三角函數(shù)精選(九篇)

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第1篇：三角函數(shù)范文

三角函數(shù)應(yīng)用題既能考查解三角形的知識(shí)與方法，又能考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能，因而備受命題者的青睞，常常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.

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解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題有下列幾個(gè)基本步驟：第一步，閱讀理解，審清題意；第二步，搜集、整理數(shù)據(jù)，通常是引入角作為參變量，建立數(shù)學(xué)模型；第三步，利用所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)對(duì)得到的三角函數(shù)模型予以解答，求出結(jié)果；第四步，將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題的答案.

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■ 如圖1，某市擬在長(zhǎng)為8千米的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinωx（A>0，ω>0，x∈[0，4]）的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S（3，2■）；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定∠MNP=120°.

（1）求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；

（2）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長(zhǎng)？

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圖1

破解思路 （1）由圖即可得到A及周期，利用三角函數(shù)的周期公式求出ω，將M的橫坐標(biāo)代入求出M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式求出MP.（2）思路一：利用三角形的正弦定理求出NP， MN，求出折線段賽道MNP的長(zhǎng)，化簡(jiǎn)三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求出最大值；思路二：利用余弦定理求出MN，NP的數(shù)量關(guān)系式，然后運(yùn)用基本不等式求出最大值.

經(jīng)典答案 （1）依題意，有A=2■，■=3，又T=■，所以ω=■. 所以y=2■sin■x，當(dāng)x=4時(shí)，y=2■sin■=3，所以M（4，3）. 又因?yàn)镻（8，0），所以MP=■=5.

（2）法1：由已知，在MNP中，∠MNP=120°，MP=5，設(shè)∠PMN=θ，則0°

法2：由已知，在MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得MN2+NP2-2MN?NPcos∠MNP=MP2，即MN2+NP2+MN?NP=25，故（MN+NP）2-25=MN?NP≤■■，從而■（MN+NP）2≤25，即MN+NP≤■，當(dāng)且僅當(dāng)MN=NP時(shí)，折線段賽道MNP最長(zhǎng).

■ 某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖2所示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）該小組已經(jīng)測(cè)得一組α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；

（2）該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測(cè)量精確度. 若電視塔的實(shí)際高度為125 m，試問(wèn)d為多少時(shí)，α-β最大.

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圖2

破解思路 解決本題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系. 第（1）問(wèn)是利用直角三角形的三角函數(shù)及線段關(guān)系A(chǔ)D-BD=AB，轉(zhuǎn)化為已知角和h，H的等式，然后求解. 第（2）問(wèn)關(guān)鍵是利用兩角差的正切公式建立tan（α-β）關(guān)于d的函數(shù)模型，再利用平均值定理及正切函數(shù)的單調(diào)性求最值，最后得出d的值.

經(jīng)典答案 （1）■=tanβ？圯AD=■，同理：AB=■，BD=■. 由AD-AB=DB得■-■=■，解得H=■=■=124. 因此，算出的電視塔的高度H是124 m.

（2）由題設(shè)可知d=AB，得tanα=■，tanβ=■=■=■，所以tan（α-β）=■=■=■=■. 又d+■≥2■（當(dāng)且僅當(dāng)d=■=■=55■時(shí)，取等號(hào)），故當(dāng)d=55■時(shí)，tan（α-β）最大. 因?yàn)?

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如圖3，開發(fā)商欲對(duì)邊長(zhǎng)為1 km的正方形ABCD地段進(jìn)行市場(chǎng)開發(fā)，擬在該地段的一角建設(shè)一個(gè)景觀，需要建一條道路EF（點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上），根據(jù)規(guī)劃要求ECF的周長(zhǎng)為2 km.

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圖3

第2篇：三角函數(shù)范文

考點(diǎn)一、任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)【考點(diǎn)解讀】 三角函數(shù)的概念在高考中單獨(dú)命題較少，但幾乎所有三角函數(shù)試題都離不開這部分內(nèi)容，同時(shí)該內(nèi)容也是研究三角函數(shù)的性質(zhì)，解決三角問(wèn)題的基礎(chǔ).理解任意角、終邊相同的角及弧度制等概念，能夠根據(jù)條件利用三角函數(shù)的定義求某些三角函數(shù).在解三角不等式時(shí)，數(shù)形結(jié)合利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧.

例1已知一扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧長(zhǎng)l及該弧所在的弓形面積.

（2）若扇形周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？

（3）若將該扇形的圓心放在坐標(biāo)原點(diǎn)，使角α的始邊與x軸重合，已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ與α的終邊相同，且-720°≤θ

【思路點(diǎn)撥】 （1）可直接使用弧長(zhǎng)公式計(jì)算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧長(zhǎng)或半徑來(lái)表達(dá)出扇形的面積，弓形面積由扇形面積與三角形面積的差組成，然后確定其最大值.（3）利用三角函數(shù)的定義求解，注意對(duì)y的討論.（4）利用終邊相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由題意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

當(dāng)且僅當(dāng)R=5時(shí)，S有最大值25（cm）2.

此時(shí)l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

當(dāng)α=2rad時(shí)，扇形面積取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以當(dāng)y=5時(shí)，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

當(dāng)y=-5時(shí)，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到適合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【歸納總結(jié)】 扇形的面積與弧長(zhǎng)的計(jì)算在幾何中應(yīng)用較多，都可以用角度制與弧度制兩種方式給出，應(yīng)注意角度制與弧度制不能混用.合理利用圓心角所在的三角形，合理選擇參數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想，解決扇形中的有關(guān)最值問(wèn)題.利用定義法求三角函數(shù)值需要已知或設(shè)角α終邊上一異于原點(diǎn)的點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需角.

【變式訓(xùn)練1】

（1）已知角α的終邊在直線y=-3x上，則10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助計(jì)算器的情況下，證明：sin20°

考點(diǎn)二、三角函數(shù)的同角公式及誘導(dǎo)公式

【考點(diǎn)解讀】 求值題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能.題型多為選擇題或填空題.六組誘導(dǎo)公式可統(tǒng)一記為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其原則：負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了.切弦互化的技巧必須靈活掌握.

例2（1）設(shè)θ為第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，則sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同時(shí)成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】 （1）利用兩角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再聯(lián)想平方關(guān)系式，解題突破口就是求解關(guān)于“sinθ，cosθ”的方程組.（2）要想求出α，β的值，必須知道α，β的某一個(gè)三角函數(shù)值，解決本題的關(guān)鍵是由兩個(gè)等式，消去α或β得出關(guān)于β或α的同名三角函數(shù)值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假設(shè)存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由誘導(dǎo)公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

將α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

將α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

綜上可知，存在α=π14，β=π16滿足條件.

【歸納總結(jié)】 （1）對(duì)于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值可求.轉(zhuǎn)化的公式為（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）關(guān)于sinθ，cosθ的齊次式，往往化為關(guān)于tanθ的式子.已知角α的三角函數(shù)值求角α的一般步驟是：①由三角函數(shù)值的符號(hào)確定角α所在的象限；②據(jù)角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用終邊相同的角寫出角α的一般表達(dá)式.

【變式訓(xùn)練2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考點(diǎn)三、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【考點(diǎn)解讀】 能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，理解這三種函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大值和最小值、對(duì)稱中心和對(duì)稱軸等），函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)于某一區(qū)間而言的，研究其單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行.

例3（1）求函數(shù)y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定義域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及單調(diào)區(qū)間；

（3）求函數(shù)y=3cosx-3sinx的值域.

【思路點(diǎn)撥】 （1）求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式（組），常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解.（2）先化為：y=-3tan（x14-π16），再求單調(diào)區(qū)間.（3）先將原函數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自變量的取值變化.

【解析】 （1）要使函數(shù)有意義，則

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如圖利用單位圓得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函數(shù)的定義域?yàn)椋簕x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期為4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞減.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，該函數(shù)值域?yàn)閇-23，23].

【歸納總結(jié)】 （1）求三角函數(shù)的定義域，既要注意一般函數(shù)定義域的規(guī)律，又要注意三角函數(shù)的特性，如題中出現(xiàn)tanx，則一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函數(shù)的定義域通常使用三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖象和數(shù)軸.（2）對(duì)于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ為常數(shù)），其周期T=π1|ω|，單調(diào)區(qū)間利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間.（3）將原函數(shù)式化為一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化為關(guān)于sinx（或cosx）的二次函數(shù)式，切忌忽視函數(shù)的定義域.

【變式訓(xùn)練3】

已知函數(shù)f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間.

考點(diǎn)四、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用【考點(diǎn)解讀】 該考點(diǎn)是高考的必考點(diǎn).理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意義及其對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.能根據(jù)所給三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定其中的參數(shù)，并能由一個(gè)三角函數(shù)的圖象通過(guò)平移變換、伸縮變換、振幅變換和對(duì)稱變換得到另一個(gè)三角函數(shù)的圖象.利用三角函數(shù)的解析式可研究三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際的問(wèn)題.

例4已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)確定x0的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】 （1）根據(jù)題目給出的周期和對(duì)稱中心求得函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)圖象的平移和伸縮的變換規(guī)律逐步得到g（x）；（2）將等差數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在指定區(qū)間內(nèi)是否有解的問(wèn)題，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【解析】 （1）由函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω>0，得ω=2，

又曲線y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）=sinx.

（2）當(dāng)x∈（π16，π14）時(shí)，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）內(nèi)是否有解.

設(shè)G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因?yàn)閤∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）內(nèi)單調(diào)遞增，

又G（π16）=-1140，

且函數(shù)G（x）的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G（x）在（π16，π14）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）滿足題意.

【歸納總結(jié)】 探討三角函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于三角函數(shù)解析式的化簡(jiǎn)與整理，熟練掌握三角恒等變換的有關(guān)公式，靈活運(yùn)用角之間的關(guān)系對(duì)角進(jìn)行變換，將解析式轉(zhuǎn)化為一角一函數(shù)的形式，然后通過(guò)換元法求解有關(guān)性質(zhì)即可.根據(jù)y=Asin（ωx+φ）+k的圖象求其解析式的問(wèn)題，主要從A、k、ω及φ等四個(gè)方面來(lái)考慮.

【變式訓(xùn)練4】

（1）函數(shù)y=2sin（ωx+φ）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是.

（2）如圖，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為2，甲同學(xué)在圖中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同學(xué)在RtACH中解得AC=11cos72°，據(jù)此可得cos72°的值所在區(qū)間為.

考點(diǎn)五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及簡(jiǎn)單的三角恒等變換【考點(diǎn)解讀】 該考點(diǎn)是高考的必考點(diǎn).研究不同三角函數(shù)值之間的關(guān)系時(shí)，常以角為切入點(diǎn)，并以此為依據(jù)進(jìn)行公式的選擇，同時(shí)還要關(guān)注式子的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)對(duì)式子進(jìn)行恒等變形，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.在進(jìn)行三角運(yùn)算時(shí)必知的幾個(gè)技巧：“1”的代換，正切化弦，異角化同角，異次化同次，變角，變名，變結(jié)構(gòu)等化簡(jiǎn)技巧.

例5已知函數(shù)f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路點(diǎn)撥】 （1）直接代入，根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值得出結(jié)果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角變換公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因?yàn)閏osθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【歸納總結(jié)】 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向.公式的逆用，變形十分重要，常通過(guò)三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù).

【變式訓(xùn)練5】

31cos10°-11sin170°=.

【變式訓(xùn)練答案】

1.解析：（1）設(shè)α終邊上任一點(diǎn)為P（k，-3k）.則r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

當(dāng)k>0時(shí)，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

當(dāng)k

第3篇：三角函數(shù)范文

浙江省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，嘉興市數(shù)學(xué)會(huì)副會(huì)長(zhǎng).

推薦名言

一切自然科學(xué)，都是研究函數(shù).

――H. H. 魯金 （蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家，現(xiàn)代實(shí)變函數(shù)論的開創(chuàng)者之一）

三角函數(shù)內(nèi)容豐富，主要包括定義，圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性），三角恒等變換，正余弦定理等．自主招生考試對(duì)三角函數(shù)的考查要求相對(duì)較高，除了高考要求的基本知識(shí)點(diǎn)與公式之外，還會(huì)考查一些拓展公式和結(jié)論. 現(xiàn)列舉如下：

萬(wàn)能公式：sinα=■，cosα=■，tanα=■.

和差化積公式：sinα+sinβ=2sin■cos■，sinα-sinβ=2cos■?sin■，cosα+cosβ=2cos■cos■，cosα-cosβ=-2sin■sin■.

積化和差公式：sinαcosβ=■［sin（α+β）+sin（α-β）］，cosαsinβ=■［sin（α+β）-sin（α-β）］，sinαsinβ=-■［cos（α+β）-cos（α-β）］，cosαcosβ=■［cos（α+β）+cos（α-β）］．

三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin3α，cos3α=4cos3α-3cosα，sin■-αsinαsin■+α＝■sin3α，cos■-αcosαcos■+α＝■cos3α，tan■-αtanαtan■+α＝tan3α．

兩個(gè)有用的三角不等式：若α是銳角，則sinα+cosα>1，sinα

三角形中的一些基本恒等式：在ABC中，cos（B+C）＝-cosA；若ABC不是直角三角形，則tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC．

在自主招生考試中，三角函數(shù)問(wèn)題主要有三類：研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換、三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題．

一、 研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1 （2007年上海交通大學(xué)自主招生考試第12題） 設(shè)函數(shù)f（x）＝sinx+cosx，試討論f（x）的性質(zhì)（有界性、奇偶性、單調(diào)性和周期性），求出其極值，并作出其在［0，2π］內(nèi)的圖象．

解析：三角函數(shù)的重要特點(diǎn)之一是周期性. 一般而言，在討論三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們常常先把含有正弦、余弦等不同三角函數(shù)的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的一種三角函數(shù)式，求出函數(shù)的周期．只要討論該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì)，就能判斷函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)． 但例1中的函數(shù)解析式比較簡(jiǎn)單，我們可以先求出函數(shù)的周期，再對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

由f（-x）=f（x）得：f（x）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.又由f■-x=f（x）可知，函數(shù)圖象關(guān)于x=■對(duì)稱. 我們還發(fā)現(xiàn)， f■+x=f（x）， f（x）的最小正周期為T＝■．由此，我們可以討論函數(shù)f（x）=sinx+cosx在一個(gè)周期0，■內(nèi)的單調(diào)性和最值，再推出一般性結(jié)論．

當(dāng)x∈0，■時(shí)， f（x）=sinx+cosx=■sinx+■. 當(dāng)x∈0，■時(shí)， f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈■，■時(shí)， f（x）單調(diào)遞減. 對(duì) f（x）=sinx+cosx而言，當(dāng)x∈■，■+■（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈■+■，■+■（k∈Z）時(shí)， f（x）單調(diào)遞減．當(dāng)x=■（k∈Z）時(shí)， f（x）min=1；當(dāng)x=■+■（k∈Z）時(shí)，f（x）max=■． 函數(shù)f（x）在［0，2π］內(nèi)的圖象如圖1所示．

當(dāng)然，在解答例1時(shí)，我們也可以先畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)圖象討論函數(shù)性質(zhì)――這也是解決三角函數(shù)問(wèn)題的一種有效方法．

二、 三角恒等變換

例2 （2010年清華大學(xué)自主招生考試第1題） 求sin410°+sin450°+sin470°的值．

解析：解答例2時(shí)，不僅要熟練掌握三角函數(shù)的相關(guān)公式，還要熟悉三角函數(shù)恒等變換的處理方法，如降冪、和差化積、積化和差等．我們先用降冪公式把所求解析式中的四次方轉(zhuǎn)化為二次方，再進(jìn)行化簡(jiǎn)：sin410°+sin450°+sin470°＝■2+■2+ ■2=■［3-2（cos20°+cos100°+cos140°）+（cos220°+cos2100°+cos2140°）］．

其中， cos20°+cos100°+cos140°＝2cos■cos■+cos140°=2cos60°cos（-40°）-cos40°＝cos（-40°）-cos40°＝0；

cos220°+cos2100°+cos2140°＝■+■+

■＝■［3+（cos40°+cos200°+cos280°）］．

又cos40°+cos200°+cos280°＝2cos■cos■+cos280°=2cos120°cos（-80°）+cos280°＝-cos（-80°）+cos（-80°）＝0， cos220°+cos2100°+cos2140°=■.

sin410°+sin450°+sin470°=■［3-2×0+■］＝■.

例2的結(jié)論可以推廣成：sin4α+sin4α+■+sin4α+■＝■． 利用例2的求證方法，我們還可以證得sinα+sinα+■+sinα+■＝0， sin2α+sin2α+■+sin2α+■＝■． 有興趣的同學(xué)可以一試

三、 三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題

例3 （2011年“華約”自主招生考試第11題） A，B，C為ABC的內(nèi)角，且ABC不是直角三角形．

1） 求證：tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC ；

（2） 若■tanC－1＝■，且sin2A，sin2B，sin2C的倒數(shù)成等差數(shù)列，求cos■的值．

解析：要解決例3，既要熟悉三角恒等變換的處理方法，又要充分利用三角形內(nèi)角和為180°這一條件．

（1） A+B+C=π， tan（A+B）＝tan（π-C）=-tanC （①）． 又tan（A+B）=■，代入①式可得tanA＋tanB＋tanC＝tanA?tanB?tanC．

（2） 將（1）的結(jié)論代入■tanC－1＝■，得（■tanC－1）tanA＝tanA?tanB?tanC-tanA，解得tanB＝■. B∈（0，π）， B＝■．又■+■=■， 即■=■=■＝■，將A+C＝■代入，得：3cos（A-C）＝1+2cos（2A-2C）＝cos2（A-C）-1，解得cos（A-C）＝1或cos（A-C）＝

-■. A+C＝■π， ■∈-■，■，cos■∈■，1.由半角公式求得 cos■=1或cos■= ■．

例4 （2011年“北約”自主招生考試第4題） ABC的三邊滿足a+b≥2c，求證：C≤60°．

解析：正余弦定理是解決三角形邊角關(guān)系問(wèn)題的媒介. 運(yùn)用正余弦定理時(shí)，一般有兩種方法：一是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，使之成為三角函數(shù)問(wèn)題；二是把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，使之成為代數(shù)問(wèn)題．

解法一（化邊為角）：由a+b≥2c及正弦定理得：sinA+sinB≥2sinC，和差化積得2sin■?cos■=2cos■cos■≥2sinC=2?2sin■?cos■. C∈（0，π）， cos■>0， cos■≥2sin■，而cos■≤1， sin■≤■.由0＜■＜■可得C≤60°．

解法二（化角為邊）：由a+b≥2c及余弦定理，可得cosC=■≥■=■-■≥■-■＝■. C∈（0，π）， C≤60°．

KEY to Killing One Owl Species to Save Another:

They mean shooting the barred owls.

KEY to It’s Your Choice That Makes It:

（1） C

（2） Because he/she wants to make his/her argument more persuasive.

看到這里，相信同學(xué)們對(duì)自主招生考試中三角函數(shù)知識(shí)的考查方式大致有數(shù)了． 其實(shí)三角函數(shù)題的難度并不大，但它涉及了大量的公式，需要同學(xué)們熟練掌握、靈活轉(zhuǎn)化．正所謂“熟能生巧”，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)還需要適當(dāng)?shù)木毩?xí)．

第4篇：三角函數(shù)范文

三角測(cè)量在我國(guó)出現(xiàn)得很早.據(jù)《史記?夏本記》記載，早在公元前2000年，大禹就利用三角形的邊角關(guān)系，來(lái)進(jìn)行對(duì)山川地勢(shì)的測(cè)量.《周髀算經(jīng)》講得更詳細(xì).后來(lái)《九章算術(shù)》勾股章，專列了八個(gè)測(cè)量問(wèn)題，詳細(xì)介紹了利用直角三角形的相似原理，進(jìn)行測(cè)量的方法.后來(lái)的《海島算經(jīng)》等都是進(jìn)行三角測(cè)量的記載史料.可見(jiàn)我國(guó)對(duì)三角學(xué)研究開始得很早.

在三角學(xué)的基本函數(shù)中，最早開始獨(dú)立研究的是正弦函數(shù).正弦概念的形成是從造弦表開始的.公元前2世紀(jì)古希臘天文學(xué)家希帕克為了天文觀察的需要，著手造表工作.這些成果是從托勒密的遺著《天文集》中得到的.托勒密第一個(gè)采用了巴比倫人的60進(jìn)位制，把圓周分為360等份，但他并沒(méi)給出“度”“分”“秒”的名詞，而是用“第一小分”“第二小分”等字樣進(jìn)行描述.在1570年曲卡拉木起用了“°”的符號(hào)來(lái)表示“度”，以及“分”“秒”等名稱．書中又給出了“托勒密定理”來(lái)推算弦、弧及圓心角的關(guān)系及公式.

第一張正弦表由印度的數(shù)學(xué)家阿耶波多（約476－550年）造出來(lái)的.雖然他直接接觸了正弦，但他并沒(méi)有給出名稱.他稱連接圓弧兩端的直線為“弓弦”，后來(lái)印度著作被譯成阿拉伯文.12世紀(jì)，當(dāng)阿拉伯文被譯成拉丁文時(shí)，這個(gè)字被譯成sinus，這就是“正弦”這一術(shù)語(yǔ)的來(lái)歷.1631年鄧玉函與湯若望等人編《大測(cè)》一書，將sinus譯成“正半弦”，簡(jiǎn)稱為正弦，這是我國(guó)“正弦”這一術(shù)語(yǔ)的由來(lái).

早期人們把與已知角α相加成90°角的正弦，叫做α　的附加正弦，它的拉丁文簡(jiǎn)寫為sinusco或cosinus，后來(lái)便縮寫成cos.

第5篇：三角函數(shù)范文

【授課年級(jí)】高一年級(jí)

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生在理解任意角三角函數(shù)定義和銳角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的基礎(chǔ)上，能夠類推――發(fā)現(xiàn)――猜想――推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能夠靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式解決三角函數(shù)中已知一個(gè)角的某一三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的問(wèn)題。

能力目標(biāo)：?jiǎn)l(fā)學(xué)生主動(dòng)參與，培養(yǎng)學(xué)生類推、發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想、推導(dǎo)、整理的能力

情感目標(biāo)：讓學(xué)生獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于研究的求知精神及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

【教學(xué)重點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的理解與在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求值問(wèn)題中的靈活應(yīng)用

【教學(xué)難點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在求值問(wèn)題中的靈活應(yīng)用

【教學(xué)方法】引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法

【教具準(zhǔn)備】三角板

【課堂構(gòu)思】課堂結(jié)構(gòu)分為三部分，其一，創(chuàng)設(shè)情景，以實(shí)例引出已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求其余五個(gè)三角函數(shù)值的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)這六個(gè)三角函數(shù)值之間具有某種關(guān)系，激發(fā)學(xué)生興趣；其二、引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察任意角三角函數(shù)的定義，尋找同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式，這是主體部分；其三，實(shí)際應(yīng)用。

【教學(xué)過(guò)程】

I.引入新課

（1）引例：已知α為銳角且sinα= 4-5 ，求cosα，tanα，

（2）學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生回憶所學(xué)方法探求。

（3）預(yù)期成果：學(xué)生構(gòu)造直角三角形用定義求出。

（4）問(wèn)題1：請(qǐng)學(xué)生觀察它們之間的關(guān)系。

（5）預(yù)期答案：

（6）問(wèn)題2：判斷上述關(guān)系是否對(duì)任意銳角成立

（7）預(yù)期答案：利用勾股定理證明

（8）復(fù)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義

II.講授新課

（1）學(xué)生類推探求公式：等

（2）學(xué)生類比證明公式：等

（3）師生共同歸納整理所求公式：平方關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系、商數(shù)關(guān)系

（4）教師指出所用公式的注意事項(xiàng)：同角的含義、角的范圍、公式的變形

①注意“同角”，至于角的形式無(wú)關(guān)重要，如sin24α+cos24α=1等；

②注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，如沒(méi)有意義

③對(duì)這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用（正用、反用、變形用），如：，等

（5）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例1：（1）已知sinα= 12-13，并且α是第二象限角，求cosα，tanα，cotα.

（2）已知cosα=- 4-5，求sinα，tanα，cotα.

分析：

問(wèn)題（3）：例1中兩問(wèn)有沒(méi)有區(qū)別？

預(yù)期答案：第（1）問(wèn)中的角α給出了范圍，而第（2）問(wèn)沒(méi)有。

問(wèn)題（4）：這些問(wèn)題與α的范圍有無(wú)關(guān)系？若有，在什么時(shí)候用到這個(gè)關(guān)系？怎么處理這個(gè)問(wèn)題？

預(yù)期答案：有，在用平方關(guān)系時(shí)開方用到，要分類討論。

III 課堂練習(xí)

教材P29 1（1），（2）

IV 課堂小結(jié)

四個(gè)公式（）

一種題型（運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式解決三角函數(shù)中已知一個(gè)角的某一三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的問(wèn)題）

V 課后作業(yè)

教材習(xí)題4.4 1（1），（2），（3），

Ⅵ 板書設(shè)計(jì)

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

注意： 例1 學(xué)生板演

【教學(xué)后記】

在本節(jié)學(xué)習(xí)中，課堂上學(xué)生整體配合很好，課后作業(yè)學(xué)生完成較好，但在課堂教學(xué)中反映出了三個(gè)問(wèn)題：

（1）學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的公式很多超出了要求，如：

第6篇：三角函數(shù)范文

一、抓住關(guān)鍵，使教學(xué)精煉、簡(jiǎn)約而高效

由于初中的銳角三角函數(shù)定義不能推廣到任意角的情形，從而引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望。用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續(xù)研究的自然問(wèn)題。之前,在任意角內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已經(jīng)有了在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的經(jīng)驗(yàn)，但教學(xué)實(shí)踐表明,學(xué)生仍不能自然想到引入坐標(biāo)系工具,利用坐標(biāo)來(lái)定義任意角三角函數(shù)。筆者認(rèn)為，從幫助學(xué)生理解定義的實(shí)質(zhì)，體會(huì)坐標(biāo)思想與數(shù)形結(jié)合思想的角度，教師可利用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言,引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)解決“如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)”的關(guān)鍵問(wèn)題。需要提及的是,陶老師的問(wèn)題設(shè)計(jì)具有啟示性：

現(xiàn)在，角的范圍擴(kuò)大了,由銳角擴(kuò)展到了0°~360°內(nèi)的角,又?jǐn)U展到了任意角,并且在直角坐標(biāo)系中,使得角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境中,你認(rèn)為,對(duì)于任意角α，sinα怎樣定義好呢？

上述問(wèn)題提得“大氣”，既能使學(xué)生的學(xué)習(xí)圍繞關(guān)鍵問(wèn)題展開，又突出正弦函數(shù)的概念分析。當(dāng)然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學(xué)更符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，提高效率。

這里，需要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)用坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)，有助于從函數(shù)的本質(zhì)特征來(lái)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)。

在第三個(gè)環(huán)節(jié)中，首先是如何自然引入單位圓的問(wèn)題。

用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn)，其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系更清楚、簡(jiǎn)單，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)，有利于學(xué)生利用已有的函數(shù)概念來(lái)理解三角函數(shù)，其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

但單位圓的這些“優(yōu)點(diǎn)”要在引入單位圓后才能逐步體會(huì)到。因此，引入單位圓的“理由”應(yīng)該另辟蹊徑，白老師在引導(dǎo)學(xué)生完成用角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)之后，從求簡(jiǎn)的角度設(shè)置問(wèn)題,不愧為“棋高一招”：

大家有沒(méi)有辦法讓所得到的定義式變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？

在學(xué)生得出x2+y2=1時(shí)定義式最簡(jiǎn)單后,白老師引入單位圓,引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓定義銳角三角函數(shù)。至此，學(xué)生就有了第四環(huán)節(jié)中用單位圓定義任意角三角函數(shù)的認(rèn)知準(zhǔn)備。

由于“定義”是一種“規(guī)定”，因此，第四環(huán)節(jié)中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形，直接給出任意角三角函數(shù)定義，對(duì)學(xué)生而言，關(guān)鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性，對(duì)定義合理性認(rèn)知基礎(chǔ)就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質(zhì)――定義要符合一般函數(shù)的內(nèi)涵（函數(shù)三要素）。

二、精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓課堂成為學(xué)生思維閃光的舞臺(tái)

基于上述認(rèn)識(shí)，對(duì)定義部分的教學(xué)，給出如下先行組織者和主干問(wèn)題設(shè)計(jì)。

先行組織者1：周期現(xiàn)象是社會(huì)生活和科學(xué)實(shí)踐中的基本現(xiàn)象，大到宇宙運(yùn)動(dòng)，小到粒子變化，這些現(xiàn)象的共同特點(diǎn)是具有周期性，另外，如潮汐現(xiàn)象、簡(jiǎn)諧振動(dòng)、交流電等，也具有周期性，而“三角函數(shù)”正是刻畫這些變化的基本函數(shù)模型。

三角函數(shù)到底是一種怎樣的函數(shù)？它具有哪些特別的性質(zhì)？在解決具有周期性變化規(guī)律的問(wèn)題中到底能發(fā)揮哪些作用？本課從研究第一個(gè)問(wèn)題入手。

意圖：明確研究方向與內(nèi)容。

問(wèn)題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？

意圖：從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，為用坐標(biāo)定義三角函數(shù)作準(zhǔn)備。

問(wèn)題2：現(xiàn)在，角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？

意圖：引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生求知欲望。

問(wèn)題3：如何定義任意角的三角函數(shù)？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生探索任意角三角函數(shù)的定義。

先行組織者2：我們知道，直角坐標(biāo)系是展示函數(shù)規(guī)律的載體，是構(gòu)架“數(shù)形結(jié)合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行研究，借助坐標(biāo)系，可以使角的討論簡(jiǎn)化，也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復(fù)始”的現(xiàn)象。坐標(biāo)系也為我們從“數(shù)”的角度定義任意角三角函數(shù)提供有效載體。

意圖：引導(dǎo)學(xué)生借助坐標(biāo)系來(lái)定義任意角三角函數(shù)。

問(wèn)題4：各個(gè)比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？

意圖：扣準(zhǔn)函數(shù)概念的內(nèi)涵，把三角函數(shù)知識(shí)納入函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，增強(qiáng)函數(shù)觀念。

先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動(dòng)畫演示，得出結(jié)論：三個(gè)比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù)。

問(wèn)題5：既然可在終邊上任取一點(diǎn)，那有沒(méi)有辦法讓所得的對(duì)應(yīng)關(guān)系變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？

意圖：為引入單位圓進(jìn)行鋪墊。

教師給出單位圓定義之后，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（或比值）為函數(shù)值的函數(shù)。

問(wèn)題6：類比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P（x，y），定義正弦函數(shù)為y=sinα，余弦函數(shù)為y=cosα，正切函數(shù)為=tanαyx=tanα。你認(rèn)為這樣定義符合函數(shù)定義要求嗎?

第7篇：三角函數(shù)范文

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，條件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要從這一條件出發(fā)，將α的某一三角函數(shù)值求出，即可獲解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

2.給角求值要求熟練掌握兩角和與差的三角函數(shù)的基本公式、二倍角公式，特別要注意逆向使用和差角公式與二倍角公式，以此將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)。

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10°=2cos30°cos10°cos10°=3

總結(jié)評(píng)述：本題的解題思路是：變角切割化弦化異角為同角轉(zhuǎn)化為特殊角約去非特殊角的三角函數(shù)。

解此類問(wèn)題的方法是，轉(zhuǎn)化為特殊角，同時(shí)能消去非特殊角的三角函數(shù)。

3.給值求角

給出三角函數(shù)值求角的關(guān)鍵有二：

（1）求出要求角的某一三角函數(shù)值（通常以正弦或余弦為目標(biāo)函數(shù)）。

（2）確定所求角在（已求該角的函數(shù)值）相應(yīng)函數(shù)的哪一個(gè)單調(diào)區(qū)間上（注意已知條件和中間所求函數(shù)值的正負(fù)符號(hào)）。

例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。

解析：由已知不難求出tanα與tan2β的值，這就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷α+2β的范圍。

cosα=－750且α∈（0，π）

sinα=150,tanα=－17

又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)

2β∈（π,2π），tan2β=－34<0

3π2<2β<2π

α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

第8篇：三角函數(shù)范文

關(guān)健詞：三角函數(shù)、給角求值、給值求角、比較大小、解三角形.

數(shù)學(xué)的考題題型：三角或數(shù)列有一道大題，概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何、解析幾何、函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式，還有三選一（幾何證明選講，極坐標(biāo)與參數(shù)方程，不等式）。本部分內(nèi)容在高考中所占分?jǐn)?shù)大約12%，主要考查三角函數(shù)的基本公式，三角恒等變形及解三角形等基本知識(shí)，近幾年高考題目中每年有1～2個(gè)小題，一個(gè)大題，，解答題以中低檔題為主，很多情況下與平面向量綜合考察，有時(shí)也與不等式、函數(shù)最值結(jié)合在一起，但難度不大，今后有關(guān)三角函數(shù)的問(wèn)題仍將以選擇題、填空題和解答題三種題型出現(xiàn)，控制在中等偏易程度；如果有解答題出現(xiàn)，一般放在前兩題位置。

解三角形的考題有客觀題也有解答題，通過(guò)三角形中的邊長(zhǎng)與角度之間的數(shù)量關(guān)系，來(lái)解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算等有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，考查考生對(duì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界和實(shí)際生活的聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)和發(fā)展考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。應(yīng)注意三角函數(shù)的解題技巧。

一、“已知三角函數(shù)值求角”問(wèn)題

通過(guò)先求角的某個(gè)三角函數(shù)值來(lái)求角，再選取函數(shù)時(shí)，遵照以下原則：

（1） 已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；

（2） 已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是 ，選正、余弦皆可；若角的范圍是 ，選余弦較好；若角的范圍為 ，選正弦較好。

解值求角問(wèn)題的一般步驟為：

1、求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；

2、確定角的范圍；

3、根據(jù)角的范圍寫出所求的角。

在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生們通常存在這么幾個(gè)困惑：1、給出一個(gè)三角函數(shù)值可能對(duì)應(yīng)著多個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)角，不知道該先求哪個(gè)角。2、不能準(zhǔn)確的寫出已知要求的那個(gè)范圍的角。3、最后寫出的角的形式怎樣。下面以四個(gè)例題說(shuō)明：

例1、已知 且 ，求 的取值集合.

解：令 （ 為銳角），則 ，又 且 ，且 ，

所以滿足條件的角在 內(nèi)，所以 ，所以 的取值集合為 .

例2、已知 且 ，求 的取值集合.

解：令 （ 為銳角），則 ，又 且 ，且 ，

所以滿足條件的角在 ， 內(nèi)，所以 或 ，

所以 的取值集合為 .

例3、已知 ，求 的取值集合.

解：由上面例1和例2可得答案為： 或

或者答案也可以為： 或

這類問(wèn)題在處理時(shí)，不管已知的三角函數(shù)值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，我們都可以暫時(shí)把它看作正數(shù)，目的是為了找到看作正數(shù)后相對(duì)應(yīng)的那個(gè)銳角 ，然后我們可以利用： 或 或 或 處理一下，就求出了相對(duì)應(yīng)的區(qū)間： ； ； ； 內(nèi)符合題意的角了.如果滿足條件的角可以有無(wú)數(shù)個(gè)，那么我們把剛才求出來(lái)的角“+” 就可以了.

例4、已知 且 ， ，求 的值；

解 ，所以 ， ， ，

解決此類問(wèn)題注意角的變形：

二、“利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小”問(wèn)題

在教學(xué)中通常要求學(xué)生把三角函數(shù)化成同名三角函數(shù)且自變量落在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，但是學(xué)生在實(shí)際操作過(guò)程中容易混淆單調(diào)區(qū)間，不如我們把此類問(wèn)題中的自變量利用誘導(dǎo)公式負(fù)角化為正角，大角化小角，正角統(tǒng)一都化為銳角，這樣就更簡(jiǎn)潔、明朗了，因?yàn)檎?、余弦、正切函?shù)在區(qū)間 內(nèi)的單調(diào)性依次為：?jiǎn)握{(diào)遞增、單調(diào)遞減、單調(diào)遞增，學(xué)生是非常熟悉的.

例5、比較 與 的大小.

解：

因?yàn)?在 內(nèi)單調(diào)遞增，且 ，所以 ，

所以 ，即

三、“利用正、余弦定理解三角形”問(wèn)題

在 中，設(shè)角 、 、 的對(duì)邊長(zhǎng)分別為： 、 、

正弦定理： （ 為 的外接圓半徑）

余弦定理： ； ；

定理的內(nèi)容以及變形學(xué)生們一般都能記住，但是遇到具體問(wèn)題時(shí)到底該用哪個(gè)定理？有的學(xué)生就拿不準(zhǔn)了.下面我們來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題，首先我們要清楚解三角形問(wèn)題中三角形的三個(gè)角和三條邊六個(gè)元素至少得已知三個(gè)，而且這三個(gè)已知的元素中至少得有一條邊，這樣我們才可以解這個(gè)三角形.

那么我們就可以以已知條件中邊的條件將此類問(wèn)題進(jìn)行分類：1、已知“一邊兩角”（實(shí)際上第三個(gè)角也知道了），用正弦定理（因?yàn)檫@條邊肯定是已知角的對(duì)邊）.2、已知“兩邊一對(duì)角”，用正弦定理；已知“兩邊一夾角”，用余弦定理.3、已知“三邊”，用余弦定理.當(dāng)然，有時(shí)在一道題目中正、余弦定理都可以用，我們選擇其一就可以了.

另外，如果已知條件允許的話，我們盡量去求三角形內(nèi)角的余弦值，這是因?yàn)樵谌切沃杏嘞抑悼梢园唁J角、直角、鈍角分的清清楚楚，余弦值為正，角為銳角；余弦值為負(fù)，角為鈍角；余弦值為0，角為直角.而正弦值分不清銳角和鈍角.

最后別忘了三角形中“內(nèi)角和等于 ”；“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”；“兩邊之和大于第三邊”；“三角形面積公式”；“射影定理”；“已知兩邊一對(duì)角時(shí)，可能兩解、一解、無(wú)解”等.

用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型，測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題（仰角和俯角，方位角）、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等。下面我們來(lái)看一些例題：

例6、在 中，已知 求 （保留兩個(gè)有效數(shù)字）.

分析：已知形式為：“一邊兩角”，所以用正弦定理

解：

.

例7、在 中，已知 求 （精確到 ）和 （保留兩個(gè)有效數(shù)字）.

分析：已知形式為：“兩邊一對(duì)角”，所以用正弦定理，而且可能兩解、一解、無(wú)解

解： .（ ）

當(dāng) 時(shí)， ，

.

當(dāng) 時(shí)， ，

.

例8、在 中，已知 解這個(gè)三角形（邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字，角度精確到 ）.

分析：已知形式為：“兩邊一夾角”，所以用余弦定理

解：由 ，得 .

， .

例9、在 中，已知 求 、 、 （精確到 ）.

分析：已知形式為：“三邊”，所以用余弦定理

解： .

.

例10：已知 分別為 三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，

，

（1） 求A；

（2） 若 ， 的面積為 ，求 。

解：（1）由 及正弦定理得

，因?yàn)?所以

。由于 ，所以 ，

又 故 。

（2） 的面積 故 ，而 ，

第9篇：三角函數(shù)范文

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué) 三角函數(shù)問(wèn)題 數(shù)學(xué)思想

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想即運(yùn)用數(shù)與形的關(guān)系來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.可以借助數(shù)的精確性來(lái)說(shuō)明形的某些屬性；也可借助形的直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)系.體現(xiàn)在三角函數(shù)中是利用單位圓中的三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)定義域、解三角不等式、求單調(diào)區(qū)間、討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、比較大小等.

例1.比較sin，cos，tan的大小.

解析：這些角都不是特殊角，求出值來(lái)再比較行不通，但如果我們注意到，，相差較大，容易利用單位圓上的三角函數(shù)線區(qū)分比較它們各自函數(shù)值的大小.

如圖所示，

設(shè)a=sin，b=cos，c=tan，

可知，b＜0＜a＜c，

因此，cos＜sin＜tan.

二、分類討論思想

分類討論是一種重要解題策略，“分類”，相當(dāng)于縮小討論范圍，故能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而將問(wèn)題化整為零，各個(gè)擊破.體現(xiàn)在三角函數(shù)值受角所在象限的影響，在不同的象限有不同的三角函數(shù)值，因此就應(yīng)根據(jù)求值或求角的需要對(duì)角的范圍或參數(shù)的范圍展開有序的討論.

例2.化簡(jiǎn)：cosπ+α+cosπ-α，（n∈Z）

解析：原式=cosnπ++α+cosnπ--α

（1）當(dāng)n為偶數(shù)即n=2k，（k∈Z）時(shí)：

原式=cos2kπ++α+cos2kπ--α

=cos+α+cos+α=2cos+α

（2）當(dāng)n為奇數(shù)即n=2k+1，（k∈Z）時(shí)：

原式=cos2kπ+π++α+cos2kπ+π--α

=-cos+α-cos+α=-2cos+α

cosπ+α+cosπ-α=（-1）2cos+α

三、轉(zhuǎn)化與化歸思想

把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的問(wèn)題，將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，從而于找出問(wèn)題的解決方法.體現(xiàn)在三角函數(shù)中就是切割化弦、統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)名稱、換元等手段處理求值（域）、最值、比較大小等問(wèn)題.

例3.求函數(shù)y=tanx+cotx-secx-cscx，x∈-，0的值域.

解析：先切割化弦，統(tǒng)一函數(shù)名稱，

得y=+--=.

令t=sinx+cosx，則sinxcosx=，t=sinx+

因?yàn)閤∈-，0，所以t∈（-1，1）

于是求原函數(shù)的值域就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=-，t∈（-1，1）的值域，解得y∈（-∞，-1）.

因此，原函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-1）.

四、整體的思想

體現(xiàn)在三角函數(shù)中主要是利用整體代入、整體變形、整體換元、整體配對(duì)、整體構(gòu)造等進(jìn)行化簡(jiǎn)求值、研究函數(shù)性質(zhì)等.

例4.已知為三角形的一個(gè)內(nèi)角，且滿足sinx+cosx=，求sinx-cosx的值.

解析：由條件和問(wèn)題聯(lián)想到公式（sinx±cosx）=1±sinxcosx，可實(shí)施整體代換求值.

由sinx+cosx=兩邊同時(shí)平方，得sinx+2sinxcosx+cosx=，

即2sinxcosx=-.

因?yàn)椋╯inx-cosx）=1-2sinxcosx=，

又因?yàn)閤為三角形的一個(gè)內(nèi)角，sinx+cosx=＞0，2sinxcosx=-＜0，

所以sinx＞0，cosx＜0，則sinx-cosx＞0.

所以sinx-cosx=.

五、函數(shù)與方程思想

三角函數(shù)本身就一種特殊的函數(shù)，解決三角函數(shù)問(wèn)題自然離不開函數(shù)與方程的思想.體現(xiàn)在某些三角函數(shù)問(wèn)題可用函數(shù)的思想求解參數(shù)的值（范圍）問(wèn)題；有些三角函數(shù)問(wèn)題可以直接轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解，還有一些三角問(wèn)題，依據(jù)題設(shè)條件和求角結(jié)構(gòu)，適當(dāng)選取三角公式聯(lián)立組成方程組，以達(dá)到消元求值的目的，這是方程的思想在三角求值、證明等問(wèn)題中的最直接體現(xiàn).