三角函數(shù)值規(guī)律精選(九篇)

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第1篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù) 教材分析 教學(xué)建議

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí)。三角函數(shù)是學(xué)生遇到的第一個(gè)周期性函數(shù)，是中等教育階段最后一個(gè)基本初等函數(shù)。學(xué)完本章以后，學(xué)生應(yīng)對(duì)函數(shù)的一般內(nèi)容，如函數(shù)符號(hào)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等建立更完整的認(rèn)識(shí)。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中已有銳角的三角函數(shù)的概念，但沒(méi)有將其作為一種函數(shù)來(lái)教學(xué)，關(guān)注的只是三角函數(shù)值，主要利用銳角三角函數(shù)的定義解決直角三角形中有關(guān)邊角的問(wèn)題。到了中職教育階段，需要從函數(shù)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)，落實(shí)大綱中與三角函數(shù)部分相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容與要求。

本章首先對(duì)角的概念進(jìn)行推廣，并通過(guò)弧度制對(duì)角的度量建立角與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)奠定基礎(chǔ)；為了角的概念推廣的需要，把角放到平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，不僅建立了角的大小與終邊位置的關(guān)系，而且通過(guò)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義任意角的三角函數(shù)，并利用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的正負(fù)直觀性，判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，得到特殊角的三角函數(shù)值，建立同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)圖像以及誘導(dǎo)公式幫助學(xué)生從“形”與“數(shù)”兩方面理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的變化規(guī)律；最后利用計(jì)算器及誘導(dǎo)公式，能由已知三角函數(shù)值求出指定范圍的角。

本章內(nèi)容分為五個(gè)部分：角的概念推廣，弧度制，任意角三角函數(shù)的概念及相關(guān)公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角。

《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》建議本章設(shè)置18課時(shí)，其中新授部分16課時(shí)，復(fù)習(xí)部分2課時(shí)。

《大綱》對(duì)本章知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求包括：4項(xiàng)“了解”（角的概念推廣、誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求指定范圍內(nèi)的角）；4項(xiàng)“理解”（弧度制，任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)）；2項(xiàng)“掌握”（利用計(jì)算器求三角函數(shù)值及利用計(jì)算器求角度）。

本章可看作是第三章（函數(shù)）的延伸和拓展，在教學(xué)中要注意讓學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)與一般函數(shù)之間的關(guān)系，即個(gè)性與共性之間的關(guān)系。同時(shí)，在本章的教學(xué)中，要特別注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，如突出“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。由于三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，所以教學(xué)中既要“以形助數(shù)”，突出幾何直觀幫助學(xué)生理解抽象概念，又要“以數(shù)助形”，通過(guò)代數(shù)性質(zhì)反映圖像的變化規(guī)律。再如，由銳角的三角函數(shù)值到任意角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)圖像上一點(diǎn)的作法到一個(gè)周期內(nèi)的圖像上的畫法乃至整個(gè)定義域上的圖像的畫法等都遵循了由特殊到一般的思維方法。學(xué)好余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的最有效的方法是與正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行類比。

下面，筆者對(duì)本章的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)習(xí)準(zhǔn)備、教學(xué)探究、教學(xué)過(guò)程及例題處理等方面，分節(jié)給出教學(xué)建議。

一、5.1角的概念推廣（2課時(shí)）

在學(xué)習(xí)了角概念的基礎(chǔ)上，本節(jié)的學(xué)習(xí)將進(jìn)行角的概念推廣。在初中，角的定義是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，角的范圍是0°～360°。

為了研究的方便，常將角放在平面直角坐標(biāo)系中，一般將角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與X軸的正半軸重合。這樣對(duì)所有的角來(lái)說(shuō)，角的頂點(diǎn)、始邊是相同的，區(qū)別僅在終邊，而終邊的位置就決定了它是哪個(gè)象限的角。

銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角；鈍角是第二象限角，但第二象限角不一定是鈍角。

由“問(wèn)題解決”可歸納出一般的結(jié)論：

若α是第一象限角，則α/2是第一或第三象限角；若α是第二象限角，則α/2是第一或第三象限角；若α是第三象限角，則α/2是第二或第四象限角；若α是第四象限角，則α/2是第二或第四象限角。

二、5.2弧度制（1課時(shí)）

本節(jié)的學(xué)習(xí)是在初中學(xué)習(xí)的角度制基礎(chǔ)上進(jìn)行的。首先要引導(dǎo)學(xué)生回顧角度制的規(guī)定：一個(gè)周角的1/360叫做一度。

在此基礎(chǔ)上通過(guò)多種形式的教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生理解：弧度制是一種新的度量角的單位制。一個(gè)角的弧度數(shù)就是這個(gè)角（以角的頂點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑的圓的圓心角）所對(duì)弧的長(zhǎng)度與半徑的比值，關(guān)鍵是要掌握弧度與角度換算的基本關(guān)系式：360°=2π（rad）或180°=π（rad）。

三、5.3任意角的三角函數(shù)（2課時(shí)）

本節(jié)的學(xué)習(xí)是在初中角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。在初中，學(xué)生是通過(guò)直角三角形邊的比值來(lái)規(guī)定角的三角函數(shù)值：對(duì)于一個(gè)直角三角形的銳角，其正弦值為對(duì)邊與斜邊的比值，余弦值為鄰邊與斜邊的比值，正切值為對(duì)邊與鄰邊的比值?，F(xiàn)在對(duì)任意角，分別用三個(gè)比值y/r、x/r、y/x來(lái)規(guī)定，它們都只與角的終邊所在位置有關(guān)，而與點(diǎn)P在角的終邊上的具置無(wú)關(guān)。

從“問(wèn)題解決”中，我們可以得出結(jié)論：

一個(gè)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就等于這個(gè)角的正弦；與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就等于這個(gè)角的余弦；與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值就等于這個(gè)角的正切。

由討論可知，對(duì)于任意角α，它的正弦、余弦都有意義（因?yàn)閞>0），但正切不同（因?yàn)閠anα=y/x，x有可能為0），只有當(dāng)x≠0，即角α的終邊不在y軸上才有意義。因此，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是R，正切函數(shù)的定義域是{α|α≠π/2+kπ，k∈Z}。

要確定角α的三個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵還應(yīng)從任意角的三角函數(shù)的定義出發(fā)，結(jié)合圖形更容易掌握。

四、5.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2課時(shí)）

本教材是利用單位圓導(dǎo)出同角三角函數(shù)基本關(guān)系的：角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就等于sinα，橫坐標(biāo)就等于cosα。由此就能得到sin2α+cos2α=1（稱為平方關(guān)系）；再由正切的定義tanα=y/x，就可得到sinα/cosα=cosα（稱為商數(shù)關(guān)系）。

由兩個(gè)基本關(guān)系式可知，一個(gè)角的正弦、余弦、正切函數(shù)值之間是相互關(guān)聯(lián)的。因此，已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，就可利用基本關(guān)系式求出其余兩個(gè)三角函數(shù)值。

學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系后，除了可以解決已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值，還可以對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)。要啟發(fā)學(xué)生在解題的基礎(chǔ)上討論并總結(jié)化簡(jiǎn)的原則。

五、5.5三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（2課時(shí)）

根據(jù)終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，就能得到誘導(dǎo)公式1；根據(jù)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)稱關(guān)系，就能得到誘導(dǎo)公式2、誘導(dǎo)公式3、誘導(dǎo)公式4。

要掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，關(guān)鍵是要掌握公式2、3、4的特點(diǎn)：函數(shù)名稱不變，至于正負(fù)號(hào)，可以通過(guò)特殊化的辦法來(lái)確定。既然公式對(duì)任意角α都成立，那么，當(dāng)α是銳角時(shí)當(dāng)然也成立。當(dāng)α是銳角時(shí)，-α為第四象限角，其正弦、正切值為負(fù)，余弦值為正，因此，-α的正弦、余弦、正切就分別為-sinα、cosα和-tanα。公式3、4也是如此。

用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)值化為[0，π/2]內(nèi)的角的三角函數(shù)值，正確地化角和正確地運(yùn)用誘導(dǎo)公式是關(guān)鍵。

由“問(wèn)題解決”可知，誘導(dǎo)公式之間是有聯(lián)系的。如對(duì)于sin（π+α），我們可以作如下轉(zhuǎn)化：

sin（π+α）=sin[π-（-α）]=sin（-α）=-sinα.

分析例4時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生回顧：判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，一般都是從定義出發(fā)。在確認(rèn)了定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，接著就考察f（-x）的結(jié)果等于f（x）還是-f（x），進(jìn)而判定這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。

六、5.6正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（3課時(shí)）

用正弦線作正弦曲線的好處是不需要計(jì)算角的正弦值，實(shí)際就是把正弦線平移到相應(yīng)角的位置。這里要特別注意在坐標(biāo)系里橫軸、縱軸的單位必須一致，同時(shí)注意曲線的走向，[0，π]是向上凸的，[π，2π]是向下凹的?！拔妩c(diǎn)法”作正弦曲線，實(shí)際就是列表描點(diǎn)法。這里的五個(gè)點(diǎn)分別是曲線與x軸的交點(diǎn)和最高點(diǎn)及最低點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)的間隔是π/2。

無(wú)論是幾何法還是“五點(diǎn)法”，都是為了找到曲線上的一些點(diǎn)，再用光滑的曲線把這些點(diǎn)連接起來(lái)。熟練之后就要把握好正弦曲線的形狀和特征，能迅速畫出正弦曲線的草圖。

由教材P152的“思考交流”所得結(jié)論，我們可以進(jìn)一步推廣：y=-f（x）的圖像，與y=f（x）的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，y=f（x）+1的圖像，可以由y=f（x）的圖像向上平移一個(gè)單位而得到。

無(wú)論是單位圓中角在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中正弦線的變化規(guī)律，還是由誘導(dǎo)公式1，均能得出正弦函數(shù)的圖像是呈“周而復(fù)始”的規(guī)律的。結(jié)合周期函數(shù)的定義和對(duì)周期的規(guī)定，由“探究”所得結(jié)論可知，正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，它的周期為2kπ，k∈Z，最小正周期為2π。

要判斷一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)，通常是按照定義，尋找非零常數(shù)T，滿足f（x+T）=f（x）。由于已約定，在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下，我們所說(shuō)的周期都是最小正周期。因此，在找到這樣的常數(shù)T之后，還要再找出其中的最小正數(shù)。

由于正弦函數(shù)y=sinx的周期為2π，也就是說(shuō)其圖像每經(jīng)過(guò)2π就重復(fù)，因此，要討論正弦函數(shù)的單調(diào)性，只需選取長(zhǎng)度為2π的區(qū)間即可。

解決了例3后，可啟發(fā)學(xué)生總結(jié)：遇到出現(xiàn)含有正弦式的等式，求其他量的范圍問(wèn)題時(shí)，通常是把正弦式放在等式的一側(cè)，其余的放在另一側(cè)。由于sinx的取值范圍是[-1，1]，等式另一側(cè)表達(dá)式的取值范圍也就是[-1，1]，這樣就可求出其他量的范圍。

不求值比較兩個(gè)角的正弦值的大小時(shí)，關(guān)鍵是用好誘導(dǎo)公式把問(wèn)題化為在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)角的正弦，再根據(jù)單調(diào)性來(lái)確定它們的大小。

七.5.7余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（2課時(shí)）

本節(jié)的教學(xué)過(guò)程中要充分運(yùn)用好類比法，利用上一節(jié)研究正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的類似方法來(lái)研究余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

與畫正弦線類似，我們要畫出余弦函數(shù)y=cosx圖像上的點(diǎn)（x，cosx）。但余弦線不像正弦線那樣是“豎立”的。從畫圖的角度來(lái)說(shuō)，得到每一個(gè)角的余弦線后，用圓規(guī)還是可以把它移到相應(yīng)的位置使它“立”起來(lái)的，但這樣做比較麻煩。用教材P157上的圖5-23，就能達(dá)到使它“立”起來(lái)的效果，這樣畫圖就比較方便。

無(wú)論是幾何法還是“五點(diǎn)法”，都是為了找到余弦函數(shù)y=cosx圖像上的一些點(diǎn)，再用平滑的曲線把這些點(diǎn)連接起來(lái)。熟練之后把握好余弦曲線的形狀和特征，就能迅速畫出余弦曲線的草圖。

仔細(xì)觀察教材P159的“思考交流”中的圖5-28，我們可以發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)y=cosx的圖像，可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左平移π/2個(gè)單位得到。

類比正弦函數(shù)的性質(zhì)，很容易得到余弦函數(shù)的前三個(gè)性質(zhì)，對(duì)照正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義域、值域、周期沒(méi)有變化，最大的區(qū)別在于奇偶性（是偶函數(shù)）、單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間不同）和最大值最小值（取得最大值最小值的自變量不同）。如此類同的根本原因，可以從幾何上得到解釋：余弦函數(shù)y=cosx的圖像，可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左平移π/2個(gè)單位得到。

不求值比較兩個(gè)角的余弦值的大小時(shí)，關(guān)鍵是用好誘導(dǎo)公式把問(wèn)題化為在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)角的余弦，再根據(jù)單調(diào)性來(lái)確定它們的大小。

對(duì)于例3，解決時(shí)要有整體意識(shí)，即把x/3看作一個(gè)角，為了方便，用換元法，設(shè)t=x/3，由t=2kπ，就能得到x/3=2kπ，從而得到x=6kπ。最后還須注意把所得結(jié)果寫成集合形式。

八、5.8已知三角函數(shù)值求角（2課時(shí)）

為了解決有關(guān)已知三角函數(shù)值求角的問(wèn)題，學(xué)生需要具備良好的基礎(chǔ)。為此，教師要組織同學(xué)一起回顧本章前面所學(xué)的知識(shí)，特別是誘導(dǎo)公式，各個(gè)象限的三角函數(shù)值的符號(hào)以及特殊角的三角函數(shù)值等。

第2篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

1.內(nèi)容與要求

1.1 本章主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角等

1.2 章頭引言安排了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題――求半圓內(nèi)接矩形的最大面積.這個(gè)問(wèn)題可以用二次函數(shù)來(lái)解決，但如果設(shè)角度為自變量，就會(huì)得到三角函數(shù)式，學(xué)生尚未學(xué)過(guò)求它的最大值

第一大節(jié)是“任意角的三角函數(shù)” 教科書(shū)首先推廣了角的概念，介紹了弧度制，接著把三角函數(shù)的概念由銳角直接推廣到任意角（都用坐標(biāo)定義），然后導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式及正弦、余弦的誘導(dǎo)公式教科書(shū)在本大節(jié)的各小節(jié)中，都安排了許多實(shí)例以及知識(shí)的應(yīng)用

第二大節(jié)是“兩角和與差的三角函數(shù)” 教科書(shū)先引入平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式（只通過(guò)畫圖說(shuō)明公式的正確性，不予嚴(yán)格證明），用距離公式推出余弦的和角公式，然后順次推出（盡量用啟發(fā)式）其他公式，同時(shí)安排了這些公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用，包括解決引言中的實(shí)際問(wèn)題，引出半角公式、和差化積及積化和差公式讓學(xué)生有所了解

第三大節(jié)是“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)” 教科書(shū)先利用正弦線畫出函數(shù) ，x∈[0， ]的圖象，并根據(jù)“終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值”，把這一圖象向左、右平行移動(dòng)，得到正弦曲線；在此基礎(chǔ)上，利用誘導(dǎo)公式，把正弦曲線向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到余弦曲線接著根據(jù)這兩種曲線的形狀和特點(diǎn)，研究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，然后又研究了正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖的畫法，簡(jiǎn)要地介紹了利用正切線畫出正切函數(shù)的圖象以及正切函數(shù)的性質(zhì)最后講述了如何由已知三角函數(shù)值求角，并引進(jìn)了arcsinx、arccosx、arctanx等記號(hào)，以供在后續(xù)章節(jié)中遇到求角問(wèn)題時(shí)用來(lái)表示答案

1.3 本章的教學(xué)要求是：

1.3.1 使學(xué)生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算

1.3.2 使學(xué)生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

1.3.3 使學(xué)生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力

1.3.4 使學(xué)生能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）

1.3.5 使學(xué)生會(huì)用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過(guò)它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡(jiǎn)圖，理解A、、φ的物理意義

1.3.6 使學(xué)生會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx、arccosx、arctanx表示

2.考點(diǎn)要求

2.1 理解弧度的定義，并能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算。

2.2 掌握任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號(hào)、同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，會(huì)求的周期，或者經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的恒等變形可以化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期能運(yùn)用上述三角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，求任意角的三角函數(shù)值與證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式

2.3 了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫法，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并能解決正弦、曲線有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題

2.4 能推導(dǎo)并掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式

2.5 了解三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式

2.6 能正確地運(yùn)用上述公式簡(jiǎn)化三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值 證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式以及解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

2.7 掌握余弦定理、正弦定理及其推導(dǎo)過(guò)程、并能運(yùn)用它們解斜三角形

3.考點(diǎn)分析

三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，由于其特殊的性質(zhì)以及與其他代數(shù)、幾何知識(shí)的密切聯(lián)系，它既是研究其他各部分知識(shí)的重要工具，又是高考考查雙基的重要內(nèi)容之一

本章分兩部分，第一部分是三角函數(shù)部分的基礎(chǔ)，不要求引入難度過(guò)高，計(jì)算過(guò)繁，技巧性過(guò)強(qiáng)的題目，重點(diǎn)應(yīng)放在結(jié)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、熟練性和靈活性上

試題以選擇題、填空題形式居多，試題難度不高，常與其他知識(shí)結(jié)合考查

復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)把握好以下幾點(diǎn)：

3.1 理解弧度制表示角的優(yōu)點(diǎn)在于把角的集合與實(shí)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，二是就可把三角函數(shù)看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)

3.2 要區(qū)別正角、負(fù)角、零角、銳角、鈍角、區(qū)間角、象限角、終邊相同角的概念

3.3 在已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意題設(shè)中角的范圍，并對(duì)不同的象限分別求出相應(yīng)的值在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡(jiǎn)、求值時(shí)，應(yīng)注意公式中符號(hào)的選取

3.4 單位圓中的三角函數(shù)線，是三角函數(shù)的一種幾何表示，用三角函數(shù)線的數(shù)值來(lái)代替三角函數(shù)值，比由三角函數(shù)定義所規(guī)定的比值所得出三角函數(shù)值優(yōu)越得多，因此，三角函數(shù)是討論三角函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)強(qiáng)有力的工具

3.5 要善于將三角函數(shù)式盡可能化為只含一個(gè)三角函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)式”，進(jìn)而可求得某些復(fù)合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調(diào)性等對(duì)函數(shù)式作恒等變形時(shí)需特別注意保持定義域的不變性

3.6 函數(shù)的單調(diào)性是在給定的區(qū)間上考慮的，只有屬于同一單調(diào)敬意的同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值才能由它的單調(diào)性來(lái)比較大小

3.7 對(duì)于具有周期性的函數(shù)，在作圖時(shí)只要先作它在一個(gè)周期中的圖象，然后利用周期性就可作出整個(gè)函數(shù)的圖象

3.8 對(duì)于，，等表達(dá)式，要會(huì)進(jìn)行熟練的變形，并利用等三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)

本章第二部分是兩角和與差的三角函數(shù)，考查的知識(shí)共7個(gè)，高考中在選擇題、填空題和解答題三種題型中都考查過(guò)本章知識(shí)，題目多為求值題，有直接求某個(gè)三角函數(shù)值的，也有通過(guò)三角變換求函數(shù)的變量范圍，周期，最小、大值和討論其他性質(zhì)；以及少量的化簡(jiǎn)，證明題考查的題量一般為3―4個(gè)，分值在12―22分，都是容易題和中等題，重點(diǎn)考查內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦及正切公式，和差化積、各積化和差公式

考生丟分的原因主要有以下兩點(diǎn)：一是公式不熟，二是運(yùn)算不過(guò)關(guān)，因此復(fù)習(xí)時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

3.8.1 熟練掌握和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式復(fù)習(xí)中注意掌握以下幾個(gè)三角恒等變形的常用方法和簡(jiǎn)單技巧

①常值代換，特別是“1”的代換，如：，，，等等

②項(xiàng)的分拆與角的配湊

③降次與升次

④萬(wàn)能代換

另外，注意理解兩角和、差、倍、半角公式中角的實(shí)質(zhì)，可以把公式中的角看成一種整體形式，可以錦成其他變量或函數(shù)，這樣可加大公式的應(yīng)用范圍和力度

3.8.2 要會(huì)運(yùn)用和差化積與積化和差公式對(duì)三角函數(shù)和差式，要善于轉(zhuǎn)化為積的形式，反之亦然，對(duì)于形如的式子，要引入輔助角并化成的形式，這里輔助角所在的象限由的符號(hào)決定，角的值由確定對(duì)這種思想，務(wù)必強(qiáng)化訓(xùn)練，加深認(rèn)識(shí)

3.8.3 歸納總結(jié)并熟練掌握好三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值的常用方法和技巧

①三角函數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)，在題設(shè)的要求下，首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式，還要盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)種數(shù)，盡量化同角、化同名等其他思想還有：異次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差為乘積、化乘積為和差、特殊角三角函數(shù)與特殊值互化等

②三角函數(shù)的求值問(wèn)題，主要有兩種類型 一關(guān)是給角求值問(wèn)題；另一類是給值求角問(wèn)題它們都是通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖儞Q，設(shè)法再與求值的三角函數(shù)式、特殊角的三角函數(shù)式、已知某值的三角函數(shù)式之間建立起聯(lián)系選用公式時(shí)應(yīng)注意方向性、靈活性，以造成消項(xiàng)或約項(xiàng)的機(jī)會(huì)，簡(jiǎn)化問(wèn)題

3.8.4 關(guān)于三角函數(shù)式的簡(jiǎn)單證明 三角恒等證明分不附加條件和附加條件兩種，證明方法靈活多樣一般規(guī)律是從化簡(jiǎn)入手，適當(dāng)變換，化繁為簡(jiǎn)，不過(guò)這里的變換目標(biāo)要由所證恒等式的特點(diǎn)來(lái)決定

①不附加條件的三角恒等式證明：多用綜合法、分析法、在特定的條件下，也可使用數(shù)學(xué)歸納法

②附加條件的三角恒等式證明：關(guān)鍵在于恰當(dāng)而適時(shí)地使用所附加的條件，也就是要仔細(xì)地尋找所附加條件和要證明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系常用的方法是代入法和消元法

三角恒等證明中要重點(diǎn)會(huì)用和差與積的互化公式，掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和變量代換的方法證明的關(guān)鍵是：發(fā)現(xiàn)差異――觀察等式兩邊角、函數(shù)、運(yùn)算間的差異；尋找聯(lián)系――選擇恰當(dāng)公式，找出差異間的聯(lián)系；合理轉(zhuǎn)化促進(jìn)聯(lián)系，創(chuàng)造性地應(yīng)用基本公式

而關(guān)于角的恒等式或條件恒等式的證明，一般來(lái)說(shuō)，要證，先證明的同名三角函數(shù)值相等，即，再證明在三角函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，而后由函數(shù)的單調(diào)性得出

3.8.5 在解有關(guān)三角形的問(wèn)題中，銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面積公式，的妙用和三角形內(nèi)角和的制約關(guān)系的作用

3.8.6 求三角函數(shù)最值的常用方法是：配方法、判別式法、重要不等式法、變量代換法、三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性等其基本思想是將三角函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的最值

4.三角函數(shù)中應(yīng)注意的問(wèn)題

4.1 本章內(nèi)容的重點(diǎn)是：任意角三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)間的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式及其運(yùn)用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì)難點(diǎn)是：弧度制的慨念，綜合運(yùn)用本章公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)及恒等式的證明，周期函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象與正弦曲線的關(guān)系關(guān)鍵是：使學(xué)生熟練掌握任意角三角函數(shù)的定義，講清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的變化，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì)

由于課時(shí)較緊，教學(xué)中應(yīng)遵循大綱所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補(bǔ)充已被刪簡(jiǎn)的知識(shí)點(diǎn)例如，三角函數(shù)基本上只講正弦、余弦、正切三種；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式只講，三個(gè)；除（k∈Z）外，其余誘導(dǎo)公式中，要求學(xué)生記住并能靈活運(yùn)用的，只是用正弦、余弦表示那幾個(gè)，以后求tan 可通過(guò)用科學(xué)計(jì)算器或者轉(zhuǎn)化為來(lái)求；在推導(dǎo)正切的和角公式以及畫正切函數(shù)的圖象時(shí)，出現(xiàn)了正切的誘導(dǎo)公式，但這只作為推導(dǎo)的中間步驟，不要求學(xué)生記憶；積化和差與和差化積公式、半角公式也只是作為和（差）角公式的應(yīng)用出現(xiàn)一下，結(jié)果不要求記憶，更不要求運(yùn)用；此外，也不要補(bǔ)充“把化成一個(gè)角的三角函數(shù)的形式”這樣的例習(xí)題

4.2 在講述弧度制的優(yōu)點(diǎn)、角度制的不足時(shí)，要注意科學(xué)性事實(shí)上，角的概念推廣后，無(wú)論用弧度制還用角度制，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R及之間建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系說(shuō)“每個(gè)角都有唯一的實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)”時(shí)，這個(gè)實(shí)數(shù)可以取這個(gè)角的弧度數(shù)，或度數(shù)，或角度制下的分?jǐn)?shù)，或角度制下的秒數(shù)，所以對(duì)應(yīng)法則不是唯一的，但每一種對(duì)應(yīng)法則下對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是唯一的所以不要認(rèn)為只有弧度制才能將角與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)有的教師認(rèn)為角度制的計(jì)量單位太小，而弧度制的計(jì)量單位大，而且可以省略不寫，這種說(shuō)法雖有一定道理，但在科學(xué)上并不具有充足的理由，因?yàn)樾∮行〉暮锰?，何況坐標(biāo)系中兩條數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度可以不一致關(guān)鍵在于用角度制表示角的時(shí)候，我們總是十進(jìn)制、六十進(jìn)制并用的，例如角其中61、21、12都是十進(jìn)數(shù)，而度、分、秒之間的關(guān)系是六十進(jìn)（退）位的，這樣，為了找出與角對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)（我們學(xué)的實(shí)數(shù)都是十進(jìn)數(shù)），要經(jīng)過(guò)一番計(jì)算，這就不太方便了

4.3 定義了任意角的三角函數(shù)以后，嚴(yán)格地說(shuō)，例如，只有，才可以說(shuō)是正弦函數(shù)；六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)，說(shuō)明不是這六種函數(shù)的函數(shù)，都不能說(shuō)是三角函數(shù)，例如可以說(shuō)是2x的正弦函數(shù)（這時(shí)可說(shuō)它是三角函數(shù)），也可以說(shuō)是正弦函數(shù)與正比例函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，但不能說(shuō)是x的正弦函數(shù)另一點(diǎn)是函數(shù)的定義域，三角函數(shù)或與其相關(guān)的函數(shù)總是附帶定義域的，所以教學(xué)中不宜隨便說(shuō)（或?qū)懀罢液瘮?shù)y=sinx”，需知“函數(shù)，”只是正弦函數(shù)的一個(gè)周期，不要把部分當(dāng)作整體

4.4 關(guān)于已知三角函數(shù)值求角，在講解相關(guān)例題時(shí)，可以利用設(shè)輔助角（即通過(guò)設(shè)輔助元素把未知轉(zhuǎn)化為已知，這是化歸思想的運(yùn)用）來(lái)求解，把求解過(guò)程調(diào)整為：

4.4.1 如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對(duì)應(yīng)的銳角，如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對(duì)值相應(yīng)的銳角

4.4.2 決定角x可能是第幾象限角

4.4.3 如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則根據(jù)角x可能是第幾象限角，得出 內(nèi)對(duì)應(yīng)的角――如果它是第二象限角，那么可表示為 ；如果它是第三或第四象限角，那么可表示為 或

也可以把上述輔助角看作參變量（x為自變量），那么所提供的方法就可以看作參數(shù)的應(yīng)用新大綱把參數(shù)的知識(shí)分散在有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容中，教學(xué)時(shí)適時(shí)提醒學(xué)生注意使用，這是有好處的

4.5 本章所使用的符號(hào)及其用法，全部與國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的取得一致，在板書(shū)中逐漸達(dá)到規(guī)范化 物理教科書(shū)也是這樣做的因此在布置和批改作業(yè)時(shí)，對(duì)于本章中的幾道與物理（力學(xué)、電學(xué)）有關(guān)的習(xí)題，解答時(shí)使用的符號(hào)及其用法，應(yīng)與教科書(shū)上的相同，以免與物理教師講課時(shí)的要求發(fā)生矛盾，弄得學(xué)生無(wú)所適從

第3篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

（1）從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角。

（2）從終邊位置來(lái)看，角可分為象限角與軸線角。

（3）若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β=2kπ+α，kZ。

2.弧度與角度的互化

我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是任意角，如何判斷角度以及對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的符號(hào)，我們引入了單位圓。

1.任意角的三角函數(shù)

（1）定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=（x≠0）。

（2） 幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是（1，0）。如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線。

1.角可以任意大，不受周角限制 2.角有正負(fù)之分，由旋轉(zhuǎn)方向決定 3.還有零角， 一條射線，沒(méi)有旋轉(zhuǎn)。要點(diǎn)闡釋 任意角的三要素：題型一 ：鐘表走了兩個(gè)半小時(shí)，，分針?biāo)D(zhuǎn)的角度是多少？角的符號(hào)主要由旋轉(zhuǎn)方向決定角。題型二： 比較下面三個(gè)角的大小 根據(jù)角的符號(hào)判斷規(guī)律。誤區(qū)解密：下列四個(gè)命題中，正確的是（ ） A.第一象限的角必是銳角。（學(xué)生這方面犯錯(cuò)比較多，初中主要學(xué)的是銳角，特別是特殊角。） B.銳角必是第一象限的角。C.終邊相同的角必相等。（從橫軸正方向開(kāi)始，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角是正角，多轉(zhuǎn)一圈多360°。） D.第二象限的角必大于第一象限的角。錯(cuò)解：D 錯(cuò)誤分析：在象限角中，做題的時(shí)候往往容易忽略 任意角的存在。正解：B。銳角必是第一象限的角 糾錯(cuò)心得： 對(duì)于任意角的概念理解非常重要，尤其是角的旋轉(zhuǎn)方向。初中對(duì)于角的認(rèn)識(shí)只限于0 ° ――360°，在剛接觸任意角時(shí)容易忽略任意角的方向，任意角的旋轉(zhuǎn)方向是有始邊到終邊決定的。注意： 任意角是有方向的，角的正負(fù)由旋轉(zhuǎn)方向決定 任意角的大小事沒(méi)有限制的，角可以任意大小，絕對(duì)值大小由旋轉(zhuǎn)次數(shù)及終邊位置決定 描述任意角時(shí)需要注意三個(gè)要素，尤其是旋轉(zhuǎn)方向。（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量。）

借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)的定義。根據(jù)三角函數(shù)的定義，能夠判斷三角函數(shù)值的符號(hào)。通過(guò)學(xué)生積極參與知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過(guò)程，培養(yǎng)合情猜測(cè)的能力，從中感悟數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性。單位圓對(duì)于學(xué)生理解任意角三角函數(shù)的正負(fù)有極大的幫助。當(dāng)一個(gè)角出現(xiàn)時(shí)，我們首先判斷它的象限，利用單位圓的知識(shí)很方便?，F(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動(dòng)變化都有循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的現(xiàn)象，這種變化規(guī)律稱為周期性。如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫這種變化？我們要來(lái)學(xué)習(xí)刻畫這種規(guī)律的數(shù)學(xué)模型之一 ――三角函數(shù)。

三角函數(shù)是與角有關(guān)的函數(shù)，在學(xué)習(xí)任意角概念時(shí)，我們知道在直角坐標(biāo)系中研究角，可以給學(xué)習(xí)帶來(lái)許多方便，比如我們可以根據(jù)角終邊的位置把它們進(jìn)行歸類，現(xiàn)在大家考慮：若在直角坐標(biāo)系中來(lái)研究銳角，則銳角三角函數(shù)又可怎樣定義呢？

學(xué)生情況估計(jì)：學(xué)生可能會(huì)提出兩種定義的方式，一種定義為邊之比，另一種定義在比值中引入了終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)。

問(wèn)題：1.銳角三角函數(shù)能否表示成第二種比值方式？

2.點(diǎn)P能否取在終邊上的其它位置？為什么？

3.點(diǎn)P在哪個(gè)位置，比值會(huì)更簡(jiǎn)潔？符號(hào)決定于什么？橫軸和縱軸決定什么？（引出單位圓的定義）。指出sina=MP的函數(shù)依舊表示一個(gè)比值，不過(guò)其分母為1而已。

三角函數(shù)首先是函數(shù)。你能從函數(shù)觀點(diǎn)解析三角函數(shù)嗎？（定義域）

對(duì)于確定的角a，上面三個(gè)函數(shù)值都是唯一確定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。由于角的集合和實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)。

新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗(yàn)新知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，首先，角的概念推廣了，那么銳角三角函數(shù)的定義是否也該推廣到任意角的三角函數(shù)的定義呢？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)到新知識(shí)的發(fā)生是可能的，自然的。

第4篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

筆者現(xiàn)以概念形成理論為基礎(chǔ)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程。

概念教學(xué)的基本步驟是：（1）數(shù)學(xué)概念背景的引入。（2）通過(guò)分析、比較不同的例證，進(jìn)行相關(guān)屬性的概括和綜合。（3）概括例證的共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性。（4）形成概念的定義，并用符號(hào)表示數(shù)學(xué)概念。（5）概念的辨析，進(jìn)一步明確概念的內(nèi)涵和外延。（6）概念的初步應(yīng)用，形成用概念作判斷的具體步驟。（7）建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，形成概念之間的結(jié)構(gòu)。

1.數(shù)學(xué)概念背景的引入。一般來(lái)說(shuō)，教師教學(xué)一個(gè)新概念，先應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)和認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)的必要性，包括明確學(xué)習(xí)這一概念的意義，了解概念的作用，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)。這就是概念引入環(huán)節(jié)的主要目的和任務(wù)。

新概念的引入方式一般可分為兩大類：一類是從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程中引入新概念，另一類是從解決實(shí)際問(wèn)題的需要出發(fā)引入新概念。

2.通過(guò)分析、比較不同的例證，進(jìn)行相關(guān)屬性的概括和綜合。例如，在“函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué)中，我們就可以首先舉出若干增函數(shù)的例子，如正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)，讓學(xué)生觀察、思考，初步得出有的“在某個(gè)區(qū)間上圖像上升”，有的“在某個(gè)區(qū)間上圖像下降”，并通過(guò)表格定量地分析自變量的增大與函數(shù)值的變化之間的規(guī)律，為學(xué)生抽象概括本質(zhì)屬性奠定基礎(chǔ)。這里的例證一方面應(yīng)以正例為主，另一方面又要關(guān)注正例的多種變式。

3.概括例證的共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性。還以“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)為例，在學(xué)生觀察思考上述例證之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試概括“增函數(shù)”的共同的本質(zhì)特征。

4.形成概念的定義，并用符號(hào)表示數(shù)學(xué)概念。例如，“增函數(shù)”的定義是“一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于定義域D內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1

5.概念的辨析，進(jìn)一步明確概念的內(nèi)涵和外延。教師將概念與其他有關(guān)概念進(jìn)行聯(lián)系和分化，使新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的起固著點(diǎn)作用的相關(guān)概念建立起實(shí)質(zhì)的聯(lián)系。例如，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)中的“第一象限的角”這個(gè)概念以后，學(xué)生如果不及時(shí)與已有的“銳角”概念分化，就很容易把兩個(gè)概念混淆。為此，教師在本階段教學(xué)中應(yīng)注意：（1）對(duì)定義的關(guān)鍵詞進(jìn)行分析。（2）以實(shí)例（正例、反例）為載體，讓學(xué)生進(jìn)行辨析。防止概念理解錯(cuò)誤的一種有效方法是舉反例，反例就是與定義對(duì)象內(nèi)涵不一致（擴(kuò)大或縮?。┑睦?。（3）讓學(xué)生自己舉出若干實(shí)例，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)概念的理解。

6.概念的初步應(yīng)用，形成用概念作判斷的具體步驟。該步驟本質(zhì)上是檢驗(yàn)和修正概念定義的過(guò)程。學(xué)生通過(guò)解決用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟，通過(guò)運(yùn)用概念，使得抽象概念變成思維中的具體。例如，在形成“任意角三角函數(shù)”概念的定義后，為了讓學(xué)生熟悉定義，教師可從中概括出用定義解題的步驟，可以安排如下問(wèn)題：（1）分別求自變量■，？仔-■所對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值。（2）角的終邊過(guò)點(diǎn)P（■，-■），求它的三角函數(shù)值。

7.建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，形成概念之間的結(jié)構(gòu)。在概念獲得的過(guò)程中，很重要的是通過(guò)概念之間的關(guān)系來(lái)認(rèn)識(shí)新概念，由于在這個(gè)過(guò)程中經(jīng)歷了新舊概念的相互作用，無(wú)論是已有的概念還是新概念在認(rèn)識(shí)上都有了發(fā)展，認(rèn)知心理學(xué)家把此時(shí)的概念稱為“精致的概念”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“精致”可以從兩個(gè)方面進(jìn)行：一方面是對(duì)新概念的內(nèi)涵與外延進(jìn)行盡量詳細(xì)的“深加工”，通常表現(xiàn)為對(duì)各種可能的特例或變式進(jìn)行剖析，分析可能發(fā)生的概念理解錯(cuò)誤；另一方面是加強(qiáng)概念與概念之間關(guān)系結(jié)構(gòu)的“組織”，使學(xué)生所學(xué)概念與其相關(guān)的知識(shí)之間的聯(lián)系明確化，從而形成一個(gè)合理有序的概念系統(tǒng)。例如，在學(xué)習(xí)“任意角三角函數(shù)”的概念后，教師可通過(guò)概念的“精致”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的細(xì)節(jié)，并將新概念納入到概念系統(tǒng)中去，使學(xué)生全面理解三角函數(shù)概念。這里包括如下內(nèi)容：（1）三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題，（2）終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)的三角函數(shù)值，（3）終邊相同的角的同名三角函數(shù)值，（4）與銳角三角函數(shù)的比較——因襲與擴(kuò)張，（5）從“形”的角度看三角函數(shù)——三角函數(shù)線，即聯(lián)系的觀點(diǎn)，（6）終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示的三角函數(shù)。

第5篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

一、抓住重點(diǎn)、突出重點(diǎn)

重點(diǎn)確立后，要通過(guò)每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)和教學(xué)手段，象眾星捧月般地把它加以突出，即常說(shuō)的“突出重點(diǎn)”。也就是抓住主要問(wèn)題講課。如高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)一節(jié)，依次出現(xiàn)了三個(gè)內(nèi)容：①確定三角函數(shù)的符號(hào)；②三角函數(shù)的特殊值；③終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等。而確定三角函數(shù)的符號(hào)是這節(jié)教材的重點(diǎn)，這要分別做出四個(gè)象限的角，從三角函數(shù)的定義式出發(fā)，先分析正弦、余弦、正切在各象限中的符號(hào)，再用余割、正割、余切分別是上述三個(gè)三角函數(shù)的倒數(shù)而分別對(duì)號(hào)成組（共三組），而特殊值與終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等兩個(gè)問(wèn)題也就迎刃而解了。

二、分散難點(diǎn)、突破難點(diǎn)

難點(diǎn)就是難于理解或難于掌握的內(nèi)容，或較抽象、或較復(fù)雜，難點(diǎn)與重點(diǎn)，有時(shí)兼?zhèn)洌袝r(shí)不同。難，包括學(xué)生難學(xué)和教師難教，由于學(xué)生難學(xué)致使教師難教，若教法不當(dāng)，則學(xué)無(wú)成效，教與學(xué)相互制約、相互影響。確定難點(diǎn)，要著眼于多方面，不能單憑主觀臆斷。突破難點(diǎn)，更為艱辛，要師生密切合作，協(xié)同作戰(zhàn)，方可破之。突破難點(diǎn)要注重兩點(diǎn)，一要把難點(diǎn)講清，教師要由淺入深，由易到難，循序展現(xiàn)，把知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律，清晰地交給學(xué)生，讓學(xué)生了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，化難為易，步步相扣；二是把難點(diǎn)分化成若干個(gè)小問(wèn)題，分散難點(diǎn)，各個(gè)突破。

三、尋找弱點(diǎn)、除掉弱點(diǎn)

第6篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

關(guān)鍵詞：函數(shù)；任意角三角函數(shù)；概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念的敘述語(yǔ)言雖然直接簡(jiǎn)練，但是包含了豐富的數(shù)量關(guān)系和空間形式，是事物本質(zhì)特征、內(nèi)在聯(lián)系及規(guī)律的概括。任何一種認(rèn)知的開(kāi)始即是對(duì)概念的理解。教學(xué)中概念教學(xué)將會(huì)直接影響學(xué)生后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)和能力的形成?；谝陨险J(rèn)識(shí)，教學(xué)中加強(qiáng)了對(duì)概念教學(xué)的重視，本文將結(jié)合實(shí)踐教學(xué)中的情況對(duì)任意角三角函數(shù)基本概念的教學(xué)作一些分析、探討。

一、任意角三角函數(shù)與函數(shù)

任意角三角函數(shù)是常用的周期函數(shù)，是繼函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的具體函數(shù)，但由于三角函數(shù)特殊的運(yùn)算符號(hào)，及課本所給的形式是：sinα=■，cosα=■，tanα=■，大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中認(rèn)為和前面所學(xué)函數(shù)y=f（x）的表達(dá)形式不同，懷疑這樣的函數(shù)和前面所學(xué)的函數(shù)真是一個(gè)概念嗎？由于學(xué)生在學(xué)習(xí)前面的函數(shù)概念時(shí)，習(xí)慣用x解析式表示y的函數(shù)，當(dāng)看到課本所給的不太一樣的形式時(shí)，比較難確定是怎樣的函數(shù)關(guān)系。即使知道具體是角與比值之間的函數(shù)關(guān)系，也較難將這抽象的概念形象具體化并靈活運(yùn)用。因此，教學(xué)中要從感性的實(shí)際周期函數(shù)例子到一般抽象的函數(shù)形式逐漸深入教學(xué)，展示出三角函數(shù)概念的由來(lái)，讓學(xué)生能夠切實(shí)體會(huì)到三角函數(shù)的實(shí)際意義，明確三角函數(shù)的變量是角度和比值之間的函數(shù)關(guān)系，反映的是周期變化情況。當(dāng)能理解角度與比值的關(guān)系，自然就能明白用單位圓定義的三角函數(shù)，靈活計(jì)算出任意角的三角函數(shù)值，體會(huì)到任意角的三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)關(guān)系，最終加深對(duì)函數(shù)的理解，形成一定的概念體系。

二、明確任意角的三角函數(shù)有六種表達(dá)形式

任意角的三角函數(shù)有六種表達(dá)形式，勞動(dòng)版技工學(xué)校現(xiàn)使用的數(shù)學(xué)課本只提到較常用的三種，對(duì)于技工學(xué)校所教授的專業(yè)程度來(lái)講，這已經(jīng)足夠。不過(guò)實(shí)際上，x、y、r這三個(gè)量之間的比值有六個(gè)比值，分別是■、■、■、■、■及■，故角的變化會(huì)引起六個(gè)比值的不同，也就有六種函數(shù)形式。雖然學(xué)生能夠根據(jù)學(xué)習(xí)前三種函數(shù)的方法去理解掌握后三種函數(shù)，但在實(shí)際教學(xué)中教育者仍要明確六種表達(dá)形式，要知道若想幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)知這一概念，就有必要對(duì)概念的外延做必要講解。否則，學(xué)生會(huì)認(rèn)為課本所給的三種函數(shù)表達(dá)形式就是三角函數(shù)的全部，遇到其他的表達(dá)形式會(huì)產(chǎn)生懷疑，畢竟課本上沒(méi)有給出三種之外的其他形式，且在做相關(guān)練習(xí)時(shí)，會(huì)下意識(shí)地將計(jì)變量上下顛倒來(lái)計(jì)算比值，造成答題錯(cuò)誤。所以教學(xué)中應(yīng)該充分揭示概念的內(nèi)涵與外延，明確六種表達(dá)形式和它們的形式特點(diǎn)，以便學(xué)生靈活解決遇到的各種問(wèn)題。

三、對(duì)比銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)

銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)的函數(shù)名相同，表達(dá)形式一樣，形成過(guò)程也非常相似，且學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，習(xí)慣在直角三角形中的對(duì)邊、鄰變和斜邊，致使學(xué)生容易產(chǎn)生混淆，將任意角的三角函數(shù)也說(shuō)成這三邊之間的比值，疏于考慮三角函數(shù)值的符號(hào)，運(yùn)用概念時(shí)產(chǎn)生負(fù)遷移，造成解題錯(cuò)誤。且受先入為主的影響，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問(wèn)：為什么可以將銳角三角函數(shù)的定義用于任意角的三角函數(shù)？既然是這樣，怎么還這么麻煩地將對(duì)邊、鄰變和斜邊改成x、y、r。由于初次學(xué)習(xí)，很容易就忽略銳角是第一象限角，x、y的取值都是大于零的，而鈍角則是第二象限角，x的取值是小于零的，比值出現(xiàn)有負(fù)數(shù)。學(xué)習(xí)中，他們很快便能感知到銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)的相似，卻較難清晰地理解兩者的連續(xù)與區(qū)別。注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比兩者的概念，防止產(chǎn)生負(fù)遷移是任意角三角函數(shù)概念教學(xué)的關(guān)鍵。

四、正確運(yùn)用概念

學(xué)習(xí)概念最終目的是運(yùn)用概念為我們的學(xué)習(xí)、生活和生產(chǎn)所用，所以在向?qū)W生講解完基本概念后，要采取多種形式，幫助學(xué)生多次復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)習(xí)的概念，并通過(guò)多種途徑去引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用概念，解決遇到的實(shí)際問(wèn)題。只有這樣做才能體現(xiàn)課堂教學(xué)的真正意義，同時(shí)通過(guò)多次反復(fù)的運(yùn)用概念，可以使學(xué)生加深對(duì)概念本身的理解，更好地掌握概念。

要使學(xué)生能正確運(yùn)用概念，我認(rèn)為應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概念去分辨出數(shù)學(xué)對(duì)象的不同屬性，抓住對(duì)象的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)。所以三角函數(shù)雖有六種形式，但每種形式特點(diǎn)不同，能解決的對(duì)象也不一樣，俗話說(shuō)：“兵來(lái)將擋，水來(lái)土掩。”抓住事物的本質(zhì)才能解決好問(wèn)題。

五、為后續(xù)教學(xué)做好鋪墊

概念教學(xué)只是任意角三角函數(shù)教學(xué)的開(kāi)始部分，后續(xù)還有三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、圖象等，這些教學(xué)都要以基本概念作為基本認(rèn)知。例如，任意角的三角函數(shù)關(guān)系，根據(jù)概念中的比值：■、■、■，我們就可以推斷出：sinα?cosα=1、tanα=■等基本函數(shù)關(guān)系。而在誘導(dǎo)公式教學(xué)中，學(xué)生不僅要理解概念，還要能夠用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)去看待平面直角坐標(biāo)系上角的變化，畫出任意角的終邊位置，準(zhǔn)確判斷取值的符號(hào)，懂得終邊相同的角，可以歸納出一般形式，這么多能力要求不可能一次課便能掌握到位，概念教學(xué)時(shí)就可以引導(dǎo)學(xué)生掌握終邊相同角、取值符號(hào)等知識(shí)，這樣會(huì)使教學(xué)前后呼應(yīng)，更具連貫性，學(xué)生的學(xué)習(xí)也會(huì)相對(duì)變得容易。

任意角的三角函數(shù)運(yùn)用廣泛，其概念教學(xué)較具現(xiàn)實(shí)意義，教學(xué)中不僅要遵循概念教學(xué)的一般要求，還應(yīng)該注意教學(xué)與實(shí)踐的結(jié)合，避免形式化地去講解概念。教無(wú)定法，使用不同途徑和教學(xué)方法來(lái)達(dá)到更好的教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的，是教育工作者不斷努力追求的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

第7篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

一、挖掘式備課

我校采用的是集體備課模式，由一個(gè)教師主備，其他教師二次甚至三次備課，提倡先聽(tīng)后上，就是一種好方法。在新理念指導(dǎo)下進(jìn)行教學(xué)嘗試的過(guò)程中，我深深地體會(huì)到：一冊(cè)教材即使以前教過(guò)，再教一遍又能挖掘出不同的內(nèi)涵，得到不同的體會(huì)，獲得新的收獲。因此，要想實(shí)現(xiàn)高效的課堂效果，就必須創(chuàng)新“備課”法。

二、導(dǎo)學(xué)式預(yù)習(xí)

要想提高數(shù)學(xué)課堂效益，僅有教師精心備課還不夠，還必須把學(xué)生也帶動(dòng)起來(lái)，這就是布置課前預(yù)習(xí)作業(yè)。我們采用的導(dǎo)學(xué)案教學(xué)，就是一個(gè)不錯(cuò)的嘗試。在預(yù)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生一是針對(duì)預(yù)習(xí)的內(nèi)容，自己能看得懂、能理解的，先獨(dú)立解決；二是預(yù)習(xí)內(nèi)容中理解有困難的、有疑問(wèn)的，做上標(biāo)記，以備課堂上討論；三是對(duì)于預(yù)習(xí)的內(nèi)容，還有什么新方法，也把它記下來(lái)。借助于導(dǎo)學(xué)案，使每個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)之前都有一個(gè)充分的知識(shí)與心理準(zhǔn)備，從而知道第二天講什么，什么是重點(diǎn)，什么是難點(diǎn)，做到心中有數(shù)，從而使教學(xué)過(guò)程做到有的放矢，既提高了課堂學(xué)習(xí)效率，又能讓優(yōu)秀生體驗(yàn)成功的快樂(lè)，讓落后生有補(bǔ)給的時(shí)間和機(jī)會(huì)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性。

三、體驗(yàn)式“教學(xué)過(guò)程”

我校是一所鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)，有部分學(xué)生因?yàn)槌煽?jī)不佳、家庭經(jīng)濟(jì)條件差等原因已無(wú)擇校機(jī)會(huì)而就近入學(xué)，學(xué)生從小沒(méi)有一個(gè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，沒(méi)有得到家長(zhǎng)的較嚴(yán)格督促和指導(dǎo)，面對(duì)學(xué)習(xí)困難時(shí)得不到有效幫助，受挫折時(shí)也很難得到及時(shí)的疏導(dǎo)和鼓勵(lì)，在家訪中還發(fā)現(xiàn)更有一部分家庭，由于父母工作不順利及其它問(wèn)題，家長(zhǎng)對(duì)子女在學(xué)習(xí)中遇到的失敗簡(jiǎn)單責(zé)罵甚至拳腳對(duì)待，或者不管不問(wèn)，導(dǎo)致這類學(xué)生怕數(shù)學(xué)，甚至討厭數(shù)學(xué)。長(zhǎng)期以來(lái)我們的數(shù)學(xué)教學(xué)常常處于“教材是什么，我們就教什么”的狀態(tài)，有時(shí)把數(shù)學(xué)與生活的天然聯(lián)系割裂開(kāi)來(lái)，把鮮活的數(shù)學(xué)異化成了純粹的符號(hào)系統(tǒng)，成了游離于生活之外的另一抽象的世界，使學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味。從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，他們的思維是具體、形象的，他們對(duì)數(shù)學(xué)概念理解不是按我們成人意志“直接教會(huì)學(xué)生的”，而是要通過(guò)學(xué)生的形象思維，借助對(duì)客觀事物表象的理解后而產(chǎn)生的。單一的接受式教學(xué)讓學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)單調(diào)、呆板、毫無(wú)樂(lè)趣。對(duì)于學(xué)生的家庭現(xiàn)狀我無(wú)力去改變，于是我改變教學(xué)方法，去適應(yīng)學(xué)生的實(shí)際。根據(jù)數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，遵循中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律去創(chuàng)設(shè)情景，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷實(shí)際問(wèn)題，再抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用，使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

第8篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

    教學(xué)活動(dòng)是各種教學(xué)信息進(jìn)行多向交流并發(fā)生作用的過(guò)程,教師為教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展而進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)也應(yīng)體現(xiàn)與各種教學(xué)相關(guān)因素的交往與對(duì)話,這樣才會(huì)更加符合新課程背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)特點(diǎn).

    一、與數(shù)學(xué)課標(biāo)的對(duì)話

    課標(biāo)是教學(xué)的基本依據(jù),因此,在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)與課標(biāo)進(jìn)行高質(zhì)量的對(duì)話,全面深入地了解其中蘊(yùn)含的先進(jìn)教育教學(xué)理念,這對(duì)于教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)準(zhǔn)確地把握教學(xué)起點(diǎn),合理選擇教學(xué)方法,確立自己在課堂中的角色等都有非常重要的意義.

    與課標(biāo)的有效對(duì)話主要是為了準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo).在教學(xué)設(shè)計(jì)中,教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)是靈魂.由章建躍博士主持的“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”課題,對(duì)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)提出了非常明確的思路:用了解、理解、掌握以及相應(yīng)的行為動(dòng)詞“經(jīng)歷”、“體驗(yàn)”、“探究”等表述教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上,應(yīng)當(dāng)對(duì)它們的具體含義進(jìn)行解析,核心概念的教學(xué)目標(biāo)還應(yīng)進(jìn)行分層解析;課堂教學(xué)目標(biāo)不宜分為“知識(shí)與技能”“過(guò)程與方法”“情感態(tài)度價(jià)值觀”,要強(qiáng)調(diào)把能力、態(tài)度等“隱性目標(biāo)”融合到知識(shí)、技能等“顯性目標(biāo)”中,以避免空洞闡述“隱性目標(biāo)”,使目標(biāo)對(duì)教學(xué)具有有效的定向作用.

    例如,《任意角的三角函數(shù)》一節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì),依據(jù)課標(biāo),教學(xué)目標(biāo)為:

    理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義;體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

    這一目標(biāo)的含義是:

    能用直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示任意角的三角函數(shù);知道三角函數(shù)是研究一個(gè)實(shí)數(shù)集(角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合)到另一個(gè)實(shí)數(shù)集(角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,正弦、余弦和正切都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù);在借助單位圓認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義的過(guò)程中,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,并利用這一思想解決有關(guān)定義應(yīng)用的問(wèn)題.

    通過(guò)對(duì)課標(biāo)深入理解和把握其內(nèi)在精神,可以使教師以更高的觀點(diǎn)來(lái)指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施.

    二、與數(shù)學(xué)教材的對(duì)話

    教材是教師進(jìn)行課堂教學(xué)的主要依據(jù),為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了基本線索,是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的主要資源.教師要通過(guò)與新教材的對(duì)話,去發(fā)現(xiàn)并認(rèn)識(shí)其內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、組織形式、結(jié)構(gòu)框架等方面的特點(diǎn),以此提高自己組織實(shí)施教學(xué)的水平.

    教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要有整體的意識(shí),從教材的整體角度去了解教材的編排體系及意圖,弄清每部分教材在整個(gè)教材體系中的地位和作用,要多用聯(lián)系、發(fā)展的觀點(diǎn)去思考教材內(nèi)容設(shè)計(jì)的作用、目的、意圖、意義以及在實(shí)際應(yīng)用中需要改進(jìn)和完善之處,這樣才有可能在教學(xué)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)對(duì)教材內(nèi)容的靈活處理和使用.

    教學(xué)設(shè)計(jì)中教師可以在對(duì)教學(xué)內(nèi)容作內(nèi)涵和外延簡(jiǎn)要說(shuō)明的基礎(chǔ)上,對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行相應(yīng)的解讀和分析,即在揭示內(nèi)涵的基礎(chǔ)上,說(shuō)明內(nèi)容的核心之所在,并對(duì)它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位進(jìn)行分析,其中隱含的思想方法要作出明確表述.在此基礎(chǔ)上闡明教學(xué)重點(diǎn).這里要在整體框架結(jié)構(gòu)的指導(dǎo)下,圍繞當(dāng)前內(nèi)容,從學(xué)科角度進(jìn)行微觀分析.比如,《任意角的三角函數(shù)》的內(nèi)容說(shuō)明如下:

    這是一堂關(guān)于任意角的三角函數(shù)的概念課.在初中,學(xué)生已學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù),知道直角三角形中銳角的三角函數(shù)等于相應(yīng)邊長(zhǎng)的比值.在此基礎(chǔ)上,隨著本章將角的概念推廣,以及引入弧度制后,這里相應(yīng)地也要將銳角三角函數(shù)推廣為任意角的三角函數(shù),但它與解三角形已經(jīng)沒(méi)有什么關(guān)系了.任意角的三角函數(shù)是研究一個(gè)實(shí)數(shù)集(角的弧度數(shù)的集合)到另一個(gè)實(shí)數(shù)集(角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值的集合)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.在此基礎(chǔ)上再對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行解析:三角函數(shù)是又一種基本初等函數(shù),它作為描述周期變化現(xiàn)象的最常見(jiàn)、最基本的數(shù)學(xué)模型,在高中數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用.而任意角三角函數(shù)的概念又是整個(gè)三角函數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ),所以它不僅是三角函數(shù)內(nèi)容的核心概念,同時(shí)在高中數(shù)學(xué)中還占有重要的地位.認(rèn)識(shí)它需要借助單位圓、角的終邊以及二者的交點(diǎn)這些幾何圖形的直觀幫助,其中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.本節(jié)課將圍繞任意角三角函數(shù)的概念展開(kāi),任意角三角函數(shù)的定義是這節(jié)課的重點(diǎn),能夠利用單位圓認(rèn)識(shí)該定義是解決教學(xué)重點(diǎn)的關(guān)鍵.

    三、與同行的對(duì)話

    新課程的教學(xué)中僅憑教師個(gè)人的力量必然是有限的,面對(duì)其中的問(wèn)題或困惑,有時(shí)需要依靠教師集體的力量才能解決,這就要求教師之間經(jīng)常進(jìn)行合作、交流與對(duì)話,共同開(kāi)發(fā)和利用好新課程中的教學(xué)資源.比如,開(kāi)展同學(xué)科組集體備課活動(dòng),同學(xué)科組教師在集體備課中相互研討及交流,依靠集體的力量和智慧共同解決教學(xué)中的各種問(wèn)題,通過(guò)學(xué)習(xí)和借鑒同行在教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)、教學(xué)方法的選擇和課堂評(píng)價(jià)語(yǔ)言的運(yùn)用等方面的長(zhǎng)處,參考和觀摩其他教師的課堂教學(xué)實(shí)景,以此開(kāi)闊自己的教學(xué)思路,使自己從中不斷獲得有益的啟示,為搞好教學(xué)設(shè)計(jì)提供可資借鑒的重要教學(xué)資源.

    四、與學(xué)生的對(duì)話

    學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,學(xué)生的具體情況是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn),教師只有與學(xué)生進(jìn)行和諧平等的對(duì)話,增進(jìn)師生之間的交流,才能了解學(xué)生,使教學(xué)設(shè)計(jì)具有較強(qiáng)的針對(duì)性,從而提高課堂教學(xué)效率.根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論,教師的教學(xué)不能忽視學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),而應(yīng)當(dāng)把學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上不斷獲得新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).

    在具體的教學(xué)設(shè)計(jì)中,教師可以針對(duì)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展情況,作出可能存在問(wèn)題的診斷情況分析和教學(xué)支持條件分析.在教學(xué)問(wèn)題診斷分析中,教師根據(jù)自己以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),學(xué)科內(nèi)在的邏輯關(guān)系以及思維發(fā)展理論,對(duì)教學(xué)內(nèi)容在教與學(xué)中可能遇到的障礙進(jìn)行預(yù)測(cè),并對(duì)出現(xiàn)障礙的原因進(jìn)行分析.在上述分析的基礎(chǔ)上指出教學(xué)難點(diǎn).同時(shí)分析的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)做到言之有物,以具體學(xué)科內(nèi)容為載體進(jìn)行說(shuō)明.另外,不同的學(xué)生會(huì)出現(xiàn)不同的教學(xué)問(wèn)題,這也是在分析過(guò)程中要加以注意的.在教學(xué)問(wèn)題診斷分析的基礎(chǔ)上,為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),根據(jù)問(wèn)題診斷分析和學(xué)習(xí)行為分析,分析應(yīng)當(dāng)采取哪些教學(xué)支持條件,以幫助學(xué)生更有效地進(jìn)行思考,使他們更好地發(fā)現(xiàn)學(xué)科規(guī)律.當(dāng)前,可以適當(dāng)?shù)貍?cè)重于信息技術(shù)的使用,以構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境.

    例如,《任意角的三角函數(shù)》的教學(xué)設(shè)計(jì)中,教學(xué)問(wèn)題診斷分析可以表述為:學(xué)生在理解用終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)障礙,原因是學(xué)生在此之前都是研究直角三角形中銳角的三角函數(shù),并習(xí)慣了直觀地用有關(guān)邊長(zhǎng)的比值來(lái)表示銳角三角函數(shù).要克服這一困難,關(guān)鍵是幫助學(xué)生建立終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的比值與直角三角形有關(guān)邊長(zhǎng)的比值的聯(lián)系;學(xué)生在理解將終邊上任意一點(diǎn)取在終邊與單位圓的交點(diǎn)這一特殊位置上時(shí),又可能會(huì)出現(xiàn)障礙,原因是他們可能會(huì)認(rèn)為這一特殊點(diǎn)不具有任意性.針對(duì)這一問(wèn)題,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用相似三角形的知識(shí)來(lái)認(rèn)識(shí),明白對(duì)于一個(gè)確定的角,其三角函數(shù)值也就唯一確定了,表示其三角函數(shù)的比值不會(huì)隨終邊上所取點(diǎn)的位置的改變而改變;學(xué)生在將用單位圓定義銳角三角函數(shù)推廣到定義任意角的三角函數(shù)時(shí),還可能會(huì)出現(xiàn)障礙,主要原因還是受初中銳角三角函數(shù)定義的影響,仍然局限在直角三角形中思考問(wèn)題.要幫助學(xué)生克服這一困難,就要讓學(xué)生知道,借助單位圓,用終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示三角函數(shù),就是為了很好地解決在直角三角形中不能定義任意角的三角函數(shù)的問(wèn)題,用單位圓統(tǒng)一定義三角函數(shù),不僅沒(méi)有改變初中銳角三角函數(shù)定義的本質(zhì),同時(shí)還能定義任意角的三角函數(shù).教學(xué)支持條件分析可以表述為:為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解,幫助學(xué)生克服在理解定義過(guò)程中可能遇到的障礙,本節(jié)課準(zhǔn)備在計(jì)算機(jī)的支持下,利用幾何畫板動(dòng)態(tài)地研究任意角與其終邊和單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境,使學(xué)生能夠更好地?cái)?shù)形結(jié)合地進(jìn)行思考.

    另外,在與學(xué)生的對(duì)話中,不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)過(guò)程中可能遇到的問(wèn)題,而且還要關(guān)注學(xué)生為進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用知識(shí)而進(jìn)行的課堂練習(xí)及作業(yè).為此在教學(xué)設(shè)計(jì)中,教師可以在認(rèn)真思考要為學(xué)生設(shè)置什么樣的練習(xí)及作業(yè)的基礎(chǔ)之上,給學(xué)生布置和安排有價(jià)值的練習(xí)和作業(yè).也就是要注意設(shè)置問(wèn)題的適切性,對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和領(lǐng)悟思想方法有真正的啟發(fā)作用,達(dá)到“跳一跳摘果子”的效果.為此應(yīng)在教學(xué)問(wèn)題診斷分析、學(xué)生學(xué)習(xí)行為分析的基礎(chǔ)上設(shè)置問(wèn)題案例,并對(duì)師生活動(dòng)進(jìn)行預(yù)設(shè),并闡明及需要概括的概念要點(diǎn)、思想方法,需要進(jìn)行的技能訓(xùn)練,需要培養(yǎng)的能力,特別要對(duì)如何滲透、概括和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法作出明確表述,以“設(shè)計(jì)意圖”的形式反映在教學(xué)設(shè)計(jì)之中.也就是在為學(xué)生所設(shè)置的每個(gè)問(wèn)題或題目后面寫出相應(yīng)的設(shè)計(jì)意圖是什么,每個(gè)問(wèn)題或題目后面的“設(shè)計(jì)意圖”可以只在教學(xué)設(shè)計(jì)中呈現(xiàn)出來(lái),而在給學(xué)生的題目中可以寫出也可以不寫.

    比如,《任意角的三角函數(shù)》的教學(xué)可以設(shè)計(jì)如下類似的問(wèn)題、例題和練習(xí):

    問(wèn)題:你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域?

    設(shè)計(jì)意圖:研究一個(gè)函數(shù),就要研究其三要素,而三要素中最本質(zhì)的則是對(duì)應(yīng)法則和定義域.三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則已經(jīng)由定義式給出,所以在給出定義之后就要研究其定義域.通過(guò)利用定義求定義域,既完善了三角函數(shù)概念的內(nèi)容,同時(shí)又可幫助學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念.

    師生活動(dòng):學(xué)生求出定義域,教師進(jìn)行整理.

    例題:先確定下列三角函數(shù)值的符號(hào),然后再求出它們的值:

    設(shè)計(jì)意圖:將確定函數(shù)值的符號(hào)與求函數(shù)值這兩個(gè)問(wèn)題合在一起,通過(guò)應(yīng)用公式一解決問(wèn)題,讓學(xué)生熟悉和記憶公式一,并進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念.

    師生活動(dòng):先完成題(1),再通過(guò)改變函數(shù)名稱和角,逐步完成其他各題.

    練習(xí):

    1.設(shè)α是三角形的一個(gè)內(nèi)角,則sinα·cosα·tanα的值的符號(hào)是______.

    2.選擇“>”,“<”,“=”填空:

第9篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

近幾年全國(guó)各省市高考試題中，有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容平均有20多分，約占總分的15%.試題包括一道考查基礎(chǔ)知識(shí)的選擇題或填空題和一道考查綜合能力的解答題.解答題多考查三角化簡(jiǎn)和三角函數(shù)性質(zhì)中的單調(diào)性、周期性、最值等問(wèn)題.本文著重分析高考題和模擬題中有關(guān)三角函數(shù)的各類解答題，主要剖析命題切入點(diǎn)，圍繞解三角函數(shù)解答題的方法思路，總結(jié)一些規(guī)律，供讀者參考.

一、重視對(duì)三角函數(shù)定義的考查

例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn).

（Ⅰ）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是35，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是1213，求sin(α+β)的值；

（Ⅱ）若|AB|=32，求OA?OB的值.

【分析】本題第（Ⅰ）問(wèn)直接考查三角函數(shù)的定義，根據(jù)定義求得α，β的正弦、余弦值.之后通過(guò)兩角和的正弦公式展開(kāi)，代入就可以求出結(jié)果.而第（Ⅱ）問(wèn)求OA?OB的值的時(shí)候，除了下面解析中的定義法以外，也可以通過(guò)余弦定理求解.

【解】（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的定義知，

cosα=35，sinβ=1213.

α的終邊在第一象限，sinα=45.

β的終邊在第二象限，cosβ=-513.

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

=45×(-513)+35×1213=1665.

（Ⅱ）|AB|=|AB|=|OB-OA|，

|OB-OA|2=OB2+OA2-2OA?OB

=2-2OA?OB，2-2OA?OB=94，

OA?OB=-18.

【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)定義對(duì)學(xué)生而言既熟悉又陌生，熟悉是因?yàn)橛袖J角三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)，理解不難；陌生是因?yàn)閷W(xué)過(guò)以后用得比較少，見(jiàn)面次數(shù)少了自然陌生.本題應(yīng)用三角函數(shù)定義容易得α，β的正弦、余弦值，但是如果考生從解三角形入手，則會(huì)使本題變難，從而走不少?gòu)澛?

二、三角求值注意角的范圍限制

例2（2013年湖南卷）已知函數(shù)f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)，g(x)=2sin2x2.

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f(α)=335，求g(α)的值；

（Ⅱ）求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.

【分析】本題主要考查簡(jiǎn)單三角求值以及三角不等式求解，求解此題的關(guān)鍵是利用好降冪公式、輔助角公式等，對(duì)已知函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行先化簡(jiǎn)，之后再根據(jù)三角函數(shù)圖象或三角函數(shù)線的變化趨勢(shì)去求解.

【解】（Ⅰ）因?yàn)閒(x)=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx，

所以f(α)=3sinα=335，

從而sinα=35，α∈(0，π2).

因?yàn)閟in2α+cos2α=1，得cosα=45，且g(α)=2sin2α2=1-cosα=15.

（Ⅱ）f(x)≥g(x)3sinx≥1-cosx32?sinx+12cosx=sin(x+π6)≥12x+π6∈［2kπ+π6，2kπ+5π6］x∈［2πx，2πx+2π3］，k∈Z.

【點(diǎn)評(píng)】本題不難，但是考生在由sinα=35求得cosα=45時(shí)，千萬(wàn)要注意α∈(0，π2)，否則余弦應(yīng)該有正、負(fù)兩個(gè)取值了.此外，就是三角函數(shù)的相關(guān)公式必須熟練掌握.

三、輔助角公式要靈活應(yīng)用

例3（2013年天津卷）已知函數(shù)f(x)=-2sin（2x+π4）+6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間［0，π2］上的最大值和最小值.

【分析】本題主要考查兩角和與差的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及輔助角公式.還包括三角函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，需要考生熟練掌握相關(guān)公式和基本的運(yùn)算求解能力.

【解】（Ⅰ）f(x)=-2sin2x?cosπ4-2cos2x?sinπ4+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=22sin(2x-π4).

所以，f(x)的最小正周期T=2π2=π.

（Ⅱ）因?yàn)閤∈［0，π2］，所以2x-π4∈［-π4，3π4］，則sin(2x-π4)∈［-22，1］，所以，當(dāng)2x-π4=π2，即x=3π8時(shí)，f(x)的最大值為22；當(dāng)2x-π4=-π4，即x=0時(shí)，f(x)的最小值為-2.

【點(diǎn)評(píng)】所謂輔助角公式，其實(shí)就是兩角和與差的正、余弦公式的逆用.顯而易見(jiàn)，逆用公式比正用公式在理解上有困難，所以建議讀者在做這類題的時(shí)候，不要怕麻煩，要盡量將步驟寫全.如本題化簡(jiǎn)過(guò)程中有2sin2x-2cos2x=22(22sin2x-22cos2x)=22(sin2x?cosπ4-cos2x?sinπ4)=22sin(2x-π4).這樣，化簡(jiǎn)自然不會(huì)失分.

四、會(huì)用換元法求二次函數(shù)型最值

例4已知函數(shù)f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.

（Ⅰ）求f(π3)的值；

（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值.

【分析】本題利用換元思想，引入?yún)?shù)，利用一元二次函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象，即可求得f(x)的最值.

【解】（Ⅰ）f（π3）=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3=-1+34-2=-94.

（Ⅱ）f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3(cosx-23)2-73，x∈R.

因?yàn)閏osx∈［-1，1］，所以，當(dāng)cosx=-1時(shí)，f(x)取最大值6；當(dāng)cosx=23時(shí)，f(x)取最小值-73.

【點(diǎn)評(píng)】其實(shí)，比如求函數(shù)f(x)=sinx?cosx+sinx+cosx的值域，我們也可以用換元法，求二次函數(shù)值域得結(jié)論.令sinx+cosx=t，則sinx?cosx=t2-12，就能很容易求得f(x)的值域.但是，在換元的過(guò)程中，千萬(wàn)注意變量的取值范圍在變化前后的等價(jià)性，本例中就是t∈［-2，2］.

五、圖象問(wèn)題考查形式多樣

例5（2013年上海卷）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx)，其中常數(shù)ω>0.

（Ⅰ）令ω=1，判斷函數(shù)F(x)=f(x)+f(x+π2)的奇偶性并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）令ω=2，將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移π6個(gè)單位，再往上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，對(duì)任意的a∈R，求y=g(x)在區(qū)間［a,a+10π］上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值.

【分析】本題第（Ⅰ）問(wèn)判斷函數(shù)的奇偶性，考生習(xí)慣上馬上入手判定F(x)與F(-x)以及-F(x)的關(guān)系.但是，當(dāng)說(shuō)明一個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的時(shí)候，我們只需要有一個(gè)反例就夠了.而第（Ⅱ）問(wèn)考查函數(shù)圖象的平移伸縮變化，是考生極易出錯(cuò)的地方，主要原因是沒(méi)有抓住關(guān)鍵――不論平移與伸縮順序如何，想要判斷水平方向平移的單位數(shù)，關(guān)鍵是看自變量x的變化，當(dāng)自變量由x變化到x+φ，函數(shù)圖象向左（φ>0）或向右（φ

【解】（Ⅰ)F(x)=2sinx+2sin(x+π2)

=2sinx+2cosx=22sin(x+π4).

F（-π4）=0,F（π4）=22,

F（-π4）≠F（π4），F(xiàn)（-π4）≠-F（π4）.

函數(shù)f(x)=f(x)+f(x+π2)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

（Ⅱ）當(dāng)ω=2時(shí)，f(x)=2sin2x，g(x)=2sin2(x+π6)+1=2sin(2x+π3)+1，其最小正周期T=π.由2sin(2x+π3)+1=0，得sin(2x+π3)=-12，

2x+π3=kπ-(-1)k?π6，k∈Z，

即x=kπ2-(-1)k?π12-π6，k∈Z.

區(qū)間［a,a+10π］的長(zhǎng)度為10個(gè)周期，若零點(diǎn)不在區(qū)間的端點(diǎn)，則每個(gè)周期有2個(gè)零點(diǎn)；若零點(diǎn)在區(qū)間的端點(diǎn)，則僅在區(qū)間左或右端點(diǎn)處得一個(gè)區(qū)間含3個(gè)零點(diǎn)，其他區(qū)間仍是2個(gè)零點(diǎn).故當(dāng)a=kπ2-(-1)k?π12-π6,k∈Z時(shí)，21個(gè)，否則20個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)圖象問(wèn)題包括圖象變換（通常以選擇題形式出現(xiàn)），上述試題是一個(gè)很不錯(cuò)的例子，通過(guò)函數(shù)圖象的平移、伸縮變換求函數(shù)解析式.

六、與向量結(jié)合問(wèn)題?？汲Ｐ?/p>

例6（2013年遼寧卷）設(shè)向量a=（3sinx，sinx），b=（cosx，sinx），x∈［0，π2］.

（Ⅰ）若|a|=|b|，求x的值；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=a?b，求f（x）的最大值.

【分析】本題注意到向量的坐標(biāo)表示，解決起來(lái)不是很困難.但是在考試的時(shí)候，考生容易忘記數(shù)量積a?b的坐標(biāo)表示，而只是記得定義a?b=|a|?|b|?cosθ，從而使得本題第（Ⅱ）問(wèn)解決起來(lái)比較困難.

【解】（Ⅰ）由|a|2=(3sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1.

又|a|=|b|，得sin2x=14，以及x∈［0，π2］，從而sinx=12，所以x=π6.

（Ⅱ）f（x）=a?b=3sinx?cosx+sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin(2x-π6)+12.由于x∈［0，π2］，則當(dāng)x=π3時(shí)，sin(2x-π6)有最大值為1，所以f（x）的最大值為32.

【點(diǎn)評(píng)】向量與三角函數(shù)等代數(shù)知識(shí)相結(jié)合考查是近年高考的熱點(diǎn)題型，其主要特點(diǎn)是用向量的形式給出條件，然后要求解決有關(guān)函數(shù)、三角、數(shù)列等問(wèn)題.在解題時(shí)，有兩方面可以考慮，一是把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，然后由代數(shù)知識(shí)解題；二是構(gòu)造適當(dāng)?shù)南蛄浚箚?wèn)題目標(biāo)向量化，然后通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)解題.

七、解三角形問(wèn)題要注意挖掘隱含條件

例7（2013年江西卷）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cosC+(cosA-3sinA)?cosB=0.

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范圍.

【分析】本題注意到A+B+C=π，故cosC=-cos(A+B)，再利用兩角和的余弦公式展開(kāi)，就可以容易求得角B的大小.第（Ⅱ）問(wèn)求b的取值范圍，則需要注意到余弦定理的選擇，以及通過(guò)二次函數(shù)求b2的取值范圍，從而求出b的取值范圍.注意，如果只是求b的最小值，還可以選擇均值定理.

【解】（Ⅰ）由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0，

即有sinAsinB-3sinAcosB=0.

因?yàn)閟inA≠0，所以sinB-3cosB=0.

又cosB≠0，所以tanB=3.

又0

（Ⅱ）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB.因?yàn)閍+c=1，cosB=12，

有b2=3(a-12)2+14.又0

【點(diǎn)評(píng)】三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，以三角形為主要依托，以正、余弦定理為知識(shí)框架，結(jié)合三角函數(shù)、平面向量等內(nèi)容進(jìn)行綜合考查.在三角形中，正、余弦定理將邊和角有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了邊角互化，從而使三角函數(shù)與幾何建立了聯(lián)系，為解三角形提供了理論依據(jù).

八、與導(dǎo)數(shù)結(jié)合問(wèn)題新穎

例8（2013年北京卷）已知函數(shù)f(x)=x2+xsinx+cosx.

（Ⅰ）若曲線y=f(x)在點(diǎn)(a，f(a))處與直線y=b相切，求a與b的值；

（Ⅱ）若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍.

【分析】本題第（Ⅰ）問(wèn)考查直線與曲線相切的問(wèn)題，只要注意相切的本質(zhì)――切點(diǎn)處曲線的斜率等于切線的斜率以及切點(diǎn)既在直線上也在曲線上，就可以求出a與b的值.本題第（Ⅱ）問(wèn)設(shè)置得簡(jiǎn)單大氣，但是對(duì)考生數(shù)學(xué)思維能力要求非常高.大多數(shù)考生判斷出來(lái)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，且f(0)=1.于是馬上下結(jié)論：若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則必須b>1.但是，卻因沒(méi)有說(shuō)明當(dāng)x+∞時(shí)，f(x)+∞的，不能得滿分.

【解】由f(x)=x2+xsinx+cosx，得

f′(x)=x(2+cosx).

(Ⅰ)因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(a，f(a))處與直線y=b相切，所以f′(a)=a(2+cosa)=0，b=f(a).解之，得a=0，b=f(0)=1.

（Ⅱ）令f′(x)=0，得x=0.

當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f′(x)的情況如下：

x(-∞，0)0(0，+∞)f′(x)-0+f(x)1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，f(0)=1是f(x)的最小值.當(dāng)b≤1時(shí)，曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b>1時(shí)，f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b，f(0)=1

所以存在x1∈(-2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)=f(x2)=b.

由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，0)和(0，+∞)上均單調(diào)，所以，當(dāng)b>1時(shí)，曲線y=f(x)與直線y=b有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn).