三角形中線定理精選(九篇)

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第1篇：三角形中線定理范文

關(guān)鍵詞：三角形；重心；內(nèi)心；垂心；外心；旁心；界心

引言：三角形的心是三角形的重要幾何點。目前對三角形心的研究大致有四個方向：三線共點問題[1]、三角形各心性質(zhì)[2]、三角形各心坐標(biāo)及心距公式[4]、歐拉定理―三心共線。

1三角形各心的概念

定理1：三角形的三條中線、三條高線、三條內(nèi)角平分線、三邊垂直平分線、一條內(nèi)角平分線和其它兩個角的外角平分線、三邊周界中線[5]都交于一點。

定義：三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心、界心分別是此三角形三條中線、三條高線、三條內(nèi)角平分線、三邊垂直平分線、一條內(nèi)角平分線和其它兩個角的外角平分線、三邊周界中線所交成的點。

2各心在三角形中的位置分布

定理2：重心、內(nèi)心與界心一定在三角形內(nèi)部。

事實上據(jù)公理“平面內(nèi)兩直線被第三條直線所截，若同旁內(nèi)角之和不等于二直角，則兩直線必相交；且交點在內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)?！倍ɡ沓闪⑹秋@然的。

定理3：旁心一定在三角形外部。

事實上：兩外角平分線一定交于三角形的外部。

定理4：外心可以在三角形內(nèi)部、外部或邊上；垂心可以在三角形內(nèi)部、外部或頂點。

事實上：銳角三角形的外心與垂心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心與垂心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊中點處，垂心與直角頂點重合。

推論：三角形某心在其周邊上，則此三角形一定是直角三角形；且這樣的心只能是在直角三角形斜邊中點的外心，或者與三角形直角頂點重合的垂心。

3定理5：有兩心重合的三角形是等邊三角形。

引理：對同一個三角形，旁心與其它幾心均不可能重合。

由定理3：三角形的旁心只可能與外心與垂心重合。事實上是不可能做到的。以外心為例，如圖1，設(shè)P為ΔABC的其一旁心，不妨設(shè)點P為∠B與∠C的外角平分線的交點。則過P作垂直于AB、AC的直線。交點均在線段AB、AC的延長線上。即P點不可能是此三角形的外心。

因此證明有兩心重合的三角形是等邊三角形，只需要證：外心、內(nèi)心、垂心、重心、界心的兩兩重合定理均成立即可。事實上：

（1）外心與內(nèi)心重合

如圖2，若ΔABC的外心與內(nèi)心重合，

則其內(nèi)切圓和外接圓是同心圓。

據(jù)垂徑定理，以及全等三角形性質(zhì)即知：

ΔABC是等邊三角形；

（2）內(nèi)心與垂心重合

如圖3，設(shè)ΔABC三條高線交于一點H，又H是內(nèi)心

∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD

ΔABCΔACD從而AB=AC；

同理：AB=BCΔABC是等邊三角形；

（3）垂心與界心重合

如圖3，設(shè)ΔABC三條周界中線交于點K，由界心性質(zhì)：

AB+BD=AB+AE=12s，BD=AE又K是ΔABC的垂心，∠AEB=∠ADB=90°

又∠AKE=∠BKD，ΔAKEΔBKDBE=AD，∠CAD=∠CBE.

ΔADCΔBEC從而AC=BC.同理可得：AB=AC.

ΔABC是等邊三角形；

（4）界心與重心重合

如圖3，設(shè)ΔABC三條中線交于一點G，D、E、F是各邊的中點，又G是界心，

AB+BD=AC+DC，AB+AE=BC+ECAB=AC，AB=BC＼

ΔABC是等邊三角形；

（5）重心與外心重合

如圖3，設(shè)ΔABC三條中線交于一點G，D、E、F是各邊的中點，

又G是外心，AG=BG∠BAD=∠ABE，又AF=BFΔAFGΔBFG

∠AFC=∠BFC=90°CF垂直平分線段ABAC=BC

同理可證：BE垂直平分線段AC，從而AB=BC.ΔABC是等邊三角形。

綜上，有兩心重合的三角形是等邊三角形。

參考文獻

[1]樊群濤三角形“三心”的完美統(tǒng)一[J]中學(xué)生數(shù)學(xué)，2005，22

[2]李明、嚴(yán)忠三角形各心的性質(zhì)[J]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1993，1：11-14

[3]饒克勇數(shù)形結(jié)合的魅力―三角形五心坐標(biāo)及其應(yīng)用[J]昭通師專學(xué)報，1993，15（4）：20-38

第2篇：三角形中線定理范文

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；逆向思維；培養(yǎng)途徑

1 引言

數(shù)學(xué)是一門十分重要的學(xué)科，它在我們的現(xiàn)實生活中也有著很大的用途，所以說學(xué)好數(shù)學(xué)是非常有利于學(xué)生將來學(xué)業(yè)的發(fā)展的。在我們的課堂里，數(shù)學(xué)教學(xué)中，逆向思維能起到的效果會讓你意想不到，它不僅能夠開拓學(xué)生的想象空間與理解基礎(chǔ)的知識，更能發(fā)現(xiàn)解題的技巧跟克服遲滯性的思維。

2 基本定義公式和定理教學(xué)的逆向思維應(yīng)用

概念具有兩個要素：內(nèi)涵與外延，兩者存在反比關(guān)系，內(nèi)涵豐富外延就小，內(nèi)涵少則外延就廣，數(shù)學(xué)概念也是如此。在教授概念時，在對概念內(nèi)涵與外延進行深入剖析的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過逆向思維體會概念存在的充分條件和必要條件。

3 充分利用習(xí)題訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

習(xí)題訓(xùn)練也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要途徑之一。教師有意識地選編一些習(xí)題，進行逆向思維的專項訓(xùn)練，對提高學(xué)生的逆向思維能力能夠起到很大的促進作用。數(shù)學(xué)中的許多公式、法則都可用等式表示。等號所具有的雙向性學(xué)生容易理解，但很多學(xué)生習(xí)慣于從左到右運用公式、法則，而對于逆向運用卻不習(xí)慣，因此，在數(shù)學(xué)公式、法則的教學(xué)中，應(yīng)加強公式法則的逆用指導(dǎo)，使學(xué)生明白，只有靈活地運用，才能使解題得心應(yīng)手。

分析：只注意到結(jié)果中的x（x-1）2是積的形式，卻忽略了小尾巴“-2”使積成了和，應(yīng)該這樣做原式=（x3-2x2）+（x-2）=（ x-2）（ x2+1）

4 要注意引導(dǎo)學(xué)生探索定理的逆命題是否成立

初中的數(shù)學(xué)命題中，很多性質(zhì)定理和判定定理互為逆定理。對于數(shù)學(xué)定理，探索其逆命題是否成立，既可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性思維。

例如，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可分為三種情況：頂角平分線和底邊上的中線互相重合；頂角平分線和底邊上的高互相重合；底邊上的中線和高相互重合。這三種情況都易于證明，其逆命題是否成立？三種情況是否都成立？學(xué)生探索后發(fā)現(xiàn)：一邊上的中線和高互相重合的三角形是等腰三角形，一角平分線和對邊上的高相互重合的三角形是等腰三角形，而一角平分線和對邊中線相互重合的三角形是等腰三角形卻沒法證明。三種情況的不同，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

又如，對頂角相等是正確的，而其逆命題：相等的角是對頂角卻不正確。數(shù)學(xué)命題的正確與否，說明方法有兩種：證明和反例。證明即肯定一個命題，必須在題設(shè)的條件下，對所有可能情形都證明其結(jié)論正確，而否定一個命題時只要舉一個符合題設(shè)而結(jié)論不成立的例子，即反例即可。反例是突破固有定向思維而從問題的逆向思考的。因而，反例教學(xué)也是培養(yǎng)逆向思維的一條重要途徑。在教學(xué)中，反例教學(xué)要引起足夠的重視。三、要注意引導(dǎo)學(xué)生探索定理的逆命題是否成立。

初中的數(shù)學(xué)命題中，很多性質(zhì)定理和判定定理互為逆定理。對于數(shù)學(xué)定理，探索其逆命題是否成立，既可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性思維。

例如，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可分為三種情況：頂角平分線和底邊上的中線互相重合；頂角平分線和底邊上的高互相重合；底邊上的中線和高相互重合。這三種情況都易于證明，其逆命題是否成立？三種情況是否都成立？學(xué)生探索后發(fā)現(xiàn)：一邊上的中線和高互相重合的三角形是等腰三角形，一角平分線和對邊上的高相互重合的三角形是等腰三角形，而一角平分線和對邊中線相互重合的三角形是等腰三角形卻沒法證明。三種情況的不同，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

第3篇：三角形中線定理范文

教學(xué)建議

知識結(jié)構(gòu)

重點、難點分析

相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用是本節(jié)的重點也是難點．

它是本章的主要內(nèi)容之一，是在學(xué)完相似三角形判斷的基礎(chǔ)上，進一步研究相似三角形的性質(zhì)，以完成對相似三角形的定義、判定和性質(zhì)的全面研究．相似三角形的性質(zhì)還是研究相似多邊形性質(zhì)的基礎(chǔ)，是今后研究圓中線段關(guān)系的工具．

它的難度較大，是因為前面所學(xué)的知識主要用來證明兩條線段相等，兩個角相等，兩條直線平行、垂直等．借助于圖形的直觀可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究線段之間的比例關(guān)系，借助于圖形進行觀察比較困難，主要是借助于邏輯的體系進行分析、探求，難度較大．

教法建議

1.教師在知識的引入中可考慮從生活實例引入，例如照片的放大、模型的設(shè)計等等

2.教師在知識的引入中還可以考慮問題式引入，設(shè)計一個具體問題由學(xué)生參與解答

3.在知識的鞏固中要注意與全等三角形的對比

（第1課時）

一、教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生進一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性質(zhì)定理1．

2．學(xué)生掌握綜合運用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理1來解決問題．

3．進一步培養(yǎng)學(xué)生類比的教學(xué)思想．

4．通過相似性質(zhì)的學(xué)習(xí)，感受圖形和語言的和諧美

二、教法引導(dǎo)

先學(xué)后教，達標(biāo)導(dǎo)學(xué)

三、重點及難點

1．教學(xué)重點：是性質(zhì)定理1的應(yīng)用．

2．教學(xué)難點：是相似三角形的判定1與性質(zhì)等有關(guān)知識的綜合運用．

四、課時安排

1課時

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀、膠片、常用畫圖工具．

六、教學(xué)步驟

［復(fù)習(xí)提問］

1．三角形中三種主要線段是什么？

2．到目前為止，我們學(xué)習(xí)了相似三角形的哪些性質(zhì)？

3．什么叫相似比？

［講解新課］

根據(jù)相似三角形的定義，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．

下面我們研究相似三角形的其他性質(zhì)（見圖）．

建議讓學(xué)生類比“全等三角形的對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線相等”來得出性質(zhì)定理1．

性質(zhì)定理1：相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分的比都等于相似比

∽，

，

教師啟發(fā)學(xué)生自己寫出“已知、求證”，然后教師分析證題思路，這里需要指出的是在尋找判定兩三角形相似所欠缺的條件時，是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到的，這種綜合運用相似三角形判定與性質(zhì)的思維方法要向?qū)W生講清楚，而證明過程可由學(xué)生自己完成．

分析示意圖：結(jié)論∽（欠缺條件）∽（已知）

∽，

BM=MC，

∽，

以上兩種情況的證明可由學(xué)生完成．

［小結(jié)］

本節(jié)主要學(xué)習(xí)了性質(zhì)定理1的證明，重點掌握綜合運用相似三角形的判定與性質(zhì)的思維方法．

第4篇：三角形中線定理范文

我們在前面研究圖形的過程中，一直有一根“線”——“對稱”在引導(dǎo)著我們?nèi)フJ識圖形. 由“軸對稱”得到等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、角平分線、中垂線性質(zhì)，由“中心對稱”得到平行四邊形、矩形、菱形、正方形及中位線的性質(zhì). 在這一章中上述結(jié)論的再學(xué)習(xí)并不是游離于以往的探索經(jīng)驗，而是依然建立在我們對“對稱”的理解和認識基礎(chǔ)上，繼續(xù)發(fā)揮這根“線”的作用，借助曾經(jīng)的實驗操作方法，就能幫助我們確定證明的方法.

知識點1 等腰三角形的兩個底角相等

【透析】 應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)定理證明兩個角相等時，必須是這兩個角在同一個三角形中，否則結(jié)論不一定成立.

知識點2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合

【透析】 這個定理簡稱為“三線合一”，應(yīng)用的前提條件是三角形必須為等腰三角形. 在解決有關(guān)等腰三角形的問題中，經(jīng)常需要添加輔助線，雖然等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，但是如何添加輔助線要由具體情況來決定，作輔助線時只需作出一條，再根據(jù)性質(zhì)得出另外兩條.

知識點3 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

【透析】 此定理是直角三角形全等的判定定理，只能用在直角三角形中，對于一般三角形是不成立的. 證明中，主要涉及兩種方法：圖形的“拆”（把一個等腰三角形拆成兩個全等的直角三角形）和“拼”（把兩個全等的直角三角形拼成一個等腰三角形），體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，即把待證的問題轉(zhuǎn)化為可證的問題.

知識點4 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

【透析】 這里的“距離”是指“點到直線的距離”，因此在應(yīng)用時必須含有“垂直”這個條件，否則不能得到線段相等.

知識點5 菱形的性質(zhì)

【透析】 菱形也是特殊的平行四邊形，它也具有平行四邊形的所有性質(zhì)，它的獨特性質(zhì)主要體現(xiàn)在：（1） 4條邊都相等，對角線互相垂直；（2） 菱形的對角線把菱形分成4個全等的直角三角形；（3） 計算菱形的面積除利用平行四邊形的面積的計算公式外，當(dāng)a，b分別表示兩條對角線的長時，菱形的面積為s=ab.

知識點6 矩形的判定

【透析】 矩形的每種判定方法都必須有兩個條件. （1） 定義判定：① 平行四邊形；② 有一個角是直角. （2） 判定定理1：① 平行四邊形；② 對角線相等. （3） 判定定理2：① 四邊形；② 有3個角是直角.

知識點7 菱形的判定

【透析】 若已知的四邊形是平行四邊形，要證它是菱形，需要證它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；當(dāng)四邊形是一般的四邊形，要證它是菱形，可以證它的四條邊相等或先證它是一個平行四邊形，再證它是菱形.

知識點8 正方形的判定

【透析】 判定一個四邊形是正方形的主要途徑有兩條：（1） 先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；（2） 先證它是菱形，再證有一個角是直角或?qū)蔷€相等.

知識點9 等腰梯形的判定

【透析】 等腰梯形判定的一般步驟：先判定一個四邊形是梯形，再用“兩腰相等”或“在同一底上的兩個角相等或?qū)蔷€相等”來判定它是等腰梯形.

第5篇：三角形中線定理范文

例1 如圖，將兩根鋼條AA′，BB′的中點O連在一起，使AA′，BB′可以繞著點O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件，則AB的長等于內(nèi)槽寬A′B′，那么判定AOB≌A′OB′的理由是（ ）

A.邊角邊 B.角邊角 C.邊邊邊 D.角角邊

思路分析：

（1）題意分析：本題考查全等三角形的判定。

（2）解題思路：新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)加強了數(shù)學(xué)知識的實踐與綜合應(yīng)用，從各地的中考應(yīng)用題可以看出，它已不再局限于傳統(tǒng)而古老的列方程（組）解應(yīng)用題這類題目，而是呈現(xiàn)了建模方式多元化的新特點，幾何應(yīng)用題就是其中之一。本題利用全等三角形來解決實際中工件測量的問題，其理論依據(jù)是“邊角邊”，故答案為A。

解答過程：A

解題后的思考：判定三角形全等的方法。

（1）邊角邊定理、角邊角定理、邊邊邊定理、斜邊直角邊定理。

（2）推論：角角邊定理。

例2 如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩側(cè)，池塘西邊有一座假山D，在DB的中點C處有一個雕塑，張倩從點A出發(fā)，沿直線AC一直向前經(jīng)過點C走到點E，并使CE=CA，然后她測量點E到假山D的距離，則DE的長度就是A、B兩點之間的距離。

（1）你能說明張倩這樣做的根據(jù)嗎？

（2）如果張倩恰好未帶測量工具，但是知道點A和假山、雕塑分別相距200米、120米，你能幫助她確定AB的長度范圍嗎？

（3）在第二問的啟發(fā)下，你能“已知三角形的一邊和另一邊上的中線，求第三邊的范圍嗎？”請你解決下列問題：在ABC中，AD是BC邊的中線，AD=3cm，AB=5cm，求AC的取值范圍。

思路分析：

（1）題意分析：本題考三角形全等三角形的應(yīng)用。

（2）解題思路：欲求AB的距離，但不宜測量，實際生活中這種情況較多，我們可以用學(xué)過的知識來解決，比如說全等，用等量來代換，即找到與AB相等的線段DE，這樣問題就解決了。第二問是根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊來解決。第三問是在第二問基礎(chǔ)上的綜合提高，有一定的區(qū)分度，采用的是“倍長中線法”。

解答過程：（1）ABC≌EDC；（2）40米

解題后的思考：

（1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應(yīng)相等。

（2）不能證明兩個三角形全等的是①三個角對應(yīng)相等，即AAA；②有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，即SSA。

全等三角形是研究兩個封閉圖形之間關(guān)系的基本工具，同時也是移動圖形位置的工具。在平面幾何知識的應(yīng)用中，若要證明線段相等或角相等，或需要移動圖形或移動圖形元素的位置，常要借助全等三角形的知識。

小結(jié)：通過對兩個全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個是由另一個經(jīng)過下列各種運動而形成的。

1.翻折

如圖（1），DBOC≌DEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180°得到的；

2.旋轉(zhuǎn)

如圖（2），DCOD≌DBOA，DCOD可以看成是由DBOA繞著點O旋轉(zhuǎn)180°得到的；

3.平移

第6篇：三角形中線定理范文

1.1三角形的邊答案

基礎(chǔ)知識

1~4：D；C；B；B；

5、3；8、6、4和11、8、9和11、8、4

6、5；6；7

7、11或10

能力提升

8~11：B；B；C；C

12、（1）4為腰長，令一腰4，底=8，不合適則4為底，

（16-4）÷2=12÷2=6

另外兩邊為6和6

（2）6為腰長，令一腰6，底=4，或6為底，

（16-6）÷2=10÷2=5

（3）三邊長都是整數(shù)，底為偶數(shù)，且底＜2×腰長，

底＜8底=2，4，6，腰=7，6，4

所以邊長分別為：2、7、7；4、6、6；6、4、4

13、如圖，連接AC、BD，其交點即H的位置。根據(jù)兩點之間線段最短，可知到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小。

理由：如果任選H′點（如圖），由三角形三邊關(guān)系定理可知，

HA+HB+HC+HD=AC+BD＜H′A+H′B+H′C+H′D

1.2三角形的高、中線與角平分線答案

基礎(chǔ)知識

1~4：A；A；A；B

5、（1）AB

（2）CD

（3）FE

（4）3；3

6、∠BAE=∠EAC；BF=FC

7、②③

8、5

9、（1）因為AD是ABC的中線，也就是說D是AC的中點，所以BD=CD

ABD的周長=AB+AD+BD，ACD的周長=AC+AD+CD

所兩個三角形的周長差就是AB-AC=5-3=2cm

（2）三角形的面積=底×高÷2，因為兩個三角形共高，高長都是AE的長度。

又因為兩底有著BC=2CD的關(guān)系，所以SABC=2SACD

能力提升

10、設(shè)AB=x，BD=y

AB=AC；AD為中線

BD=CD=y（三線合一定理）

由題意可知：x+x+y+y=34

x+y+AD=30

AD=13cm

11、因為DE為中點

所以AD為ABC的中線，BE為SABD的中線

所以SABD=1/2SABC，sABE=1/2SABD

所以SABE=1/4SABC=1cm2

12、（1）∠ACB=90°，BC=12cm，AC=5cm，

SABC=1/2*AC*BC=30cm²

（2）CD是AB邊上的高，

SABC=1/2*AB*CD

AB=13cm，SABC=30cm2

CD=60/13cm

探索研究

13、如下圖，

在圖（1）中，BD＝DE＝EF＝FC

在圖（2）中，BD＝DC，AE＝BE，AF＝FD；

在圖（3）中，BD＝DC，AE＝ED，AF＝FC

在圖（4）中，AD＝DC，AE＝ED，BE＝EC；

在圖（5）中，BD＝DC，AE＝DE。

1.3三角形的穩(wěn)定性答案

基礎(chǔ)知識

1 2 3 4 5

D C D B A

6、（1）√；

（2）√；

（3）×

能力提升

7、B

8、三角形具有穩(wěn)定性

探索研究

9、四邊形木架，至少要再釘上1根木條，使四邊形變成兩個三角形；

五邊形木架，至少要再釘上2根木條，使四邊形變成3個三角形；

第7篇：三角形中線定理范文

定理有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形.(已知求證略)

引理1 同一三角形中,大邊對大角.逆之亦是.(證明略)

引理2 兩個三角形若有兩邊對應(yīng)相等,則夾角大者第三邊也較大．

其實,這是“等邊對等角”的直接推論.略證如下．

如圖1,ABC和ABD中,AC=AD,∠BAC＞∠BAD,連接CD,有∠ACD=∠ADC,而∠BCD＜∠ACD, ∠BDC＞∠ADC,所以,BC＞BD獲證．

現(xiàn)在用反證法證明定理：

如圖2,假設(shè)AB＞AC,則∠ACB＞∠ABC(引理1),進而有∠1＞∠2,又已知BE=CD,所以BD＞CE(引理2)；平移BE至DF,連接EF、CF可得∠3=∠2,DF=BE=CD,EF=BD＞CE,所以∠5＞∠4,于是有∠DCF＞∠DFC,故DF＞DC,這與DF=DC矛盾.可見假設(shè)AB＞AC錯誤；同理,AB＜AC也不成立.即AB=AC獲證.斯坦納-雷米歐斯定理證畢．

它的簡明快捷源于其對稱的反身性,可逆性.“對稱地處理對稱性問題”這一思想方法可能比證明本身更重要!

第8篇：三角形中線定理范文

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角．夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊．夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角．

例1如圖1，BD，AC交于O，OA＝OD，用“SAS”證AOB≌DOC，還需（）.

A. AB = DCB.OB = OC

C.∠A = ∠D D.∠AOB = ∠DOC

解析：此題的考查要點是“SAS”定理.用“SAS”證全等要有三個獨立條件，已知OA = OD，顯然還差兩個，而AC與BD的相交可得∠ AOB與∠ DOC是一對對頂角，第三個條件應(yīng)該圍繞夾∠AOB、∠DOC的兩邊來找，顯然OB與OC應(yīng)是另一組夾邊.選B.

點評：解答本題的關(guān)鍵是找出對頂角，然后利用“邊角邊”定理找到另一組對應(yīng)邊.

考點2全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

例2如圖2，ABD≌CDB，且AB、CD是對應(yīng)邊. 下面四個結(jié)論中不正確的是（）.

A.ABD和CDB的面積相等

B.ABD和CDB的周長相等

C.∠A + ∠ABD = ∠C+∠CBD

D. AD∥BC，且AD = BC

解析：由于兩個三角形完全重合，故面積、周長相等.因為AB和CD是對應(yīng)邊，則AD與BC是對應(yīng)邊，∠ADB = ∠CBD，因此AD∥BC且AD = BC.故C符合題意.

點評：解答本題的關(guān)鍵是要知道兩個全等三角形中，對應(yīng)頂點在對應(yīng)的位置上，這樣就不會找錯對應(yīng)角.

考點3全等三角形的判定

選擇哪種判定方法必須根據(jù)已知條件而定，詳細內(nèi)容見下表：

例3在ABC中，AD為BC邊上的中線，求證：AD＜ （AB + AC）.

解析：通過構(gòu)造輔助線，利用全等三角形將線段AD，AB，AC轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，由三角形“兩邊之和大于第三邊”即可證，證明過程如下：

延長AD至G，使DG = AD，連結(jié)BG.

在ADC和GDB中，

點評：將中線加倍是常用的作輔助線方法.

考點4 變換

只改變圖形的位置，而不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換．全等變換包括以下三種：

①平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換. 如圖4，把ABC沿直線BC移動到A1B1C1和A2B2C2位置，就是平移變換.

②對稱變換：將圖形沿某直線翻折180O，這種變換叫做對稱變換.如圖5，將ABC翻折180O到ABD的位置，就是對稱變換．

③旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換. 如圖6，將ABC繞過A點旋轉(zhuǎn)180O到AED的位置，就是旋轉(zhuǎn)變換.

我們知道，無論是平移變換、對稱變換還是旋轉(zhuǎn)變換，變換前后的兩個圖形全等，具有全等的所有性質(zhì)．

例4如圖7，已知ABC是等腰直角三角形，∠C = 90O.

（1）操作并觀察，如圖7，將三角板的45O角的頂點與點C重合，使這個角落在∠ACB的內(nèi)部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點，然后將這個角繞著點C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，觀察在點E、F的位置發(fā)生變化時，AE、EF、FB中最長的線段是否始終是EF？

寫出觀察結(jié)果.

（2）探索：AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形（即能否有EF2= AE2 + BF2）？如果能，試加以證明.

解析：（1）只須旋轉(zhuǎn)∠ECF再用刻度尺量一量或觀察，即可得到.

（2）要判斷EF2= AE2 + BF2，思路是把AE、EF、FB搬到同一個三角形中，通常有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法，解答此題用翻折的方法，得到與AE、BF相等的線段，并且它們和EF在同一個三角形中.

解答過程如下：

（1）觀察結(jié)果是：當(dāng)45O角的頂點與點C重合，并將這個角繞著點C在∠ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，AE、EF、FB中最長的線段始終是EF.

（2）AE、EF、FB三條線段能構(gòu)成以EF為斜邊的直角三角形，證明如下：

如圖在∠ECF的內(nèi)部作∠ECG = ∠ACE，

使CG = AC，連結(jié)EG，F(xiàn)G，

ACE≌GCE，

∠A = ∠CGE，同理∠B = ∠CGF，

∠A + ∠B = 90O，

∠CGE + ∠CGF = 90O，

∠EGF = 90O，EF為斜邊.

點評：探索、猜測是整個題目的重點、難點，從操作中獲取信息是探索問題過程中最重要的.

反思

1.考綱要求

理解全等形的有關(guān)概念和性質(zhì)，并會運用性質(zhì)定理進行計算；掌握全等三角形的判定方法，會運用定理進行簡單的推理或計算；能夠運用全等三角形的性質(zhì)和判定定理解決實際問題，培養(yǎng)幾何計算和邏輯推理能力，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識.

2.構(gòu)造全等三角形的方法

第9篇：三角形中線定理范文

1．等腰三角形底邊上的中線，既是頂角的平分線，又是底邊上的高線；

2．等腰三角形頂角的平分線，既是底邊上的高線，又是底邊上的中線；

3．等腰三角形底邊上的高線，既是底邊上的中線，又是頂角的平分線．

顯見，以上三方面的內(nèi)容，給我們提供了證明線段相等、角相等、直線垂直的新思想和新方法．在解答一些證明問題時，要注意靈活應(yīng)用它們．

例1 如圖，在ABC中，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F，求證：DE=DF．

分析：依題意，DE和DF分別為點D到∠BAC兩邊的距離，要證明它們相等，可先證明點D在∠BAC的平分線上，即證明AD是∠BAC的平分線．

證明：連接AD．

因為AB=AC，BD=CD，

所以AD是等腰ABC底邊BC上的中線．

所以AD平分∠BAC．

因為DEAB于E，DFAC于F，

所以DE=DF．

說明：本題的解答過程中，應(yīng)用了等腰ABC底邊BC上的中線AD是頂角∠BAC的平分線的性質(zhì)．

例2 如圖，在ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，P是AD上的一點，求證：AB-AC＞PB-PC．

分析：證明四條線段之間的不等關(guān)系，應(yīng)把這四條線段轉(zhuǎn)化為同一個三角形中的三邊．為了得到AB-AC的結(jié)果，可在AB上截取AE=AC，則有BE=AB-AC．為此，只要證明BE＞PB-PC即可．

證明：在AB上截取AE=AC，連接PE、CE，CE交AD于F．

因為AE=AC，AD平分∠BAC，

所以AF是等腰ACE的頂角∠CAE的平分線．

所以AFCE，CF＝EF．

即，AF是CE的垂直平分線．

因為P在AF上，

所以PE＝PC．

因為BE＞PB-PE，BE=AB-AE，

所以AB-AC＞PB-PC．

說明：本題的解答過程中，應(yīng)用了等腰ACE頂角∠CAE的平分線AF，是底邊CE上的高線，同時又是底邊CE上的中線的性質(zhì)．

例3 如圖，在ABC中，AB=AC，D在BA的延長線上，E在AC上，且AD=AE，求證：DEBC．

分析：注意到ABC是以BC為底邊的等腰三角形，那么底邊上的高與頂角平分線重合．要證明DEBC，應(yīng)先證明DE與這條高平行．

證明：過A作AFBC于F．

因為AB=AC

所以AF平分∠BAC．

所以∠BAC=2∠BAF．

因為AD=AE，

所以∠D=∠AED．

所以∠BAC＝∠D+∠AED=2∠D．

所以∠BAF=∠D，DE∥AF．

所以DEBC．

說明：本題的解答過程中，應(yīng)用了等腰ABC底邊BC上的高AF是頂角∠BAC的平分線的性質(zhì)．

例4 如圖，ABC中，AB=AC，BDAC于點D，求證：∠CBD=1/2∠BAC．

分析：為了得到1/2∠BAC，可考慮作∠BAC的平分線．這樣，把證明兩角成倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明兩角是相等關(guān)系．

證明：作∠BAC的平分線AE交BC于點E，那么∠1=∠2=1/2∠BAC．

因為AB=AC，AE平分∠BAC，

所以AE是等腰ABC頂角∠BAC的平分線．

所以AEBC于點E．

所以∠AEC=90°，∠1+∠C=90°，

因為BDAC于點D，

所以∠BDC=90°，∠CBD+∠C=90°．