探索平行線的條件精選(九篇)

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第1篇：探索平行線的條件范文

1.平行線等分線段定理

定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他需直線上截得的線段也相等.

注意事項(xiàng)：定理中的平行線組是指每相鄰的兩條距離都相等的特殊的平行線組;它是由三條或三條以上的平行線組成.

定理的作用：可以用來證明同一直線上的線段相等;可以等分線段.

2.平行線等分線段定理的推論

推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰.

推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊。

記憶方法：“中點(diǎn)”+“平行”得“中點(diǎn)”.

推論的用途：(1)平分已知線段;(2)證明線段的倍分.

重難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)是平行線等分線段定理.因?yàn)樗粌H是推證三角形、梯形中位線定理的基礎(chǔ)，而且是第五章中“平行線分線段成比例定理”的基礎(chǔ).

本節(jié)的難點(diǎn)也是平行線等分線段定理.由于學(xué)生初次接觸到平行線等分線段定理，在認(rèn)識(shí)和理解上有一定的難度，在加上平行線等分線段定理的兩個(gè)推論以及各種變式，學(xué)生難免會(huì)有應(yīng)接不暇的感覺，往往會(huì)有感覺新鮮有趣但掌握不深的情況發(fā)生，教師在教學(xué)中要加以注意.

教法建議

平行線等分線段定理的引入

生活中有許多平行線等分線段定理的例子，并不陌生，平行線等分線段定理的引入可從下面幾個(gè)角度考慮：

①?gòu)纳顚?shí)例引入，如刻度尺、作業(yè)本、柵欄、等等;

②可用問題式引入，開始時(shí)設(shè)計(jì)一系列與平行線等分線段定理概念相關(guān)的問題由學(xué)生進(jìn)行思考、研究，然后給出平行線等分線段定理和推論.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

一、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生掌握平行線等分線段定理及推論.

2.能夠利用平行線等分線段定理任意等分一條已知線段，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力.

3.通過定理的變式圖形，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

4.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，體會(huì)圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的和諧美

二、教法設(shè)計(jì)

學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、討論研究，教師引導(dǎo)分析

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：平行線等分線段定理

2.教學(xué)難點(diǎn)：平行線等分線段定理

四、課時(shí)安排

l課時(shí)

五、教具學(xué)具

計(jì)算機(jī)、投影儀、膠片、常用畫圖工具

六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

教師復(fù)習(xí)引入，學(xué)生畫圖探索;師生共同歸納結(jié)論;教師示范作圖，學(xué)生板演練習(xí)

七、教學(xué)步驟

復(fù)習(xí)提問

1.什么叫平行線?平行線有什么性質(zhì).

2.什么叫平行四邊形?平行四邊形有什么性質(zhì)?

引入新課

由學(xué)生動(dòng)手做一實(shí)驗(yàn)：每個(gè)同學(xué)拿一張橫格紙，首先觀察橫線之間有什么關(guān)系?(橫線是互相平等的，并且它們之間的距離是相等的)，然后在橫格紙上畫一條垂直于橫線的直線，看看這條直線被相鄰橫線截成的各線段有什么關(guān)系?(相等，為什么?)這時(shí)在橫格紙上再任畫一條與橫線相交的直線，測(cè)量它被相鄰橫線截得的線段是否也相等?

(引導(dǎo)學(xué)生把做實(shí)驗(yàn)的條件和得到的結(jié)論寫成一個(gè)命題，教師總結(jié)，由此得到平行線等分線段定理)

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上掛得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.

注意：定理中的“一組平行線”指的是一組具有特殊條件的平行線，即每相鄰兩條平行線間的距離都相等的特殊平行線組，這一點(diǎn)必須使學(xué)生明確.

下面我們以三條平行線為例來證明這個(gè)定理(由學(xué)生口述已知，求證).

已知：如圖，直線，.

求證：.

分析1：如圖把已知相等的線段平移，與要求證的兩條線段組成三角形(也可應(yīng)用平行線間的平行線段相等得)，通過全等三角形性質(zhì)，即可得到要證的結(jié)論.

(引導(dǎo)學(xué)生找出另一種證法)

分析2：要證的兩條線段分別是梯形的腰，我們借助于前面常用的輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，然后再利用這些熟悉的知識(shí)即可證得.

證明：過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，得和，如圖.

，

又，，

為使學(xué)生對(duì)定理加深理解和掌握，把知識(shí)學(xué)活，可讓學(xué)生認(rèn)識(shí)幾種定理的變式圖形，如圖(用計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)演示).

引導(dǎo)學(xué)生觀察下圖，在梯形中，，，則可得到，由此得出推論1.

推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰.

再引導(dǎo)學(xué)生觀察下圖，在中，，，則可得到，由此得出推論2.

推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.

注意：推論1和推論2也都是很重要的定理，在今后的論證和計(jì)算中經(jīng)常用到，因此，要求學(xué)生必須掌握好.

接下來講如何利用平行線等分線段定理來任意等分一條線段.

例已知：如圖，線段.

求作：線段的五等分點(diǎn).

作法：①作射線.

②在射線上以任意長(zhǎng)順次截取.

③連結(jié).

④過點(diǎn).、、分別作的平行線、、、，分別交于點(diǎn)、、、.

、、、就是所求的五等分點(diǎn).

(說明略，由學(xué)生口述即可)

總結(jié)、擴(kuò)展

小結(jié)：

(l)平行線等分線段定理及推論.

(2)定理的證明只取三條平行線，是在較簡(jiǎn)單的情況下證明的，對(duì)于多于三條的平行線的情況，也可用同樣方法證明.

(3)定理中的“平行線組”，是指每相鄰兩條平行線間的距離都相等的特殊平行線組.

(4)應(yīng)用定理任意等分一條線段.

第2篇：探索平行線的條件范文

題型一 余角概念的運(yùn)用

【例1】如圖，AOB是一條直線，∠AOC=90°，∠DOE=90°，問圖中互余的角有哪幾對(duì)？哪些角是相等的？

【思考與分析】 由互為余角的定義，只需找出圖中和為90°的角即可.

解： 因?yàn)?∠AOC=90°，∠AOB=180°，

所以 ∠BOC=90°，∠1與∠2、∠3與∠4互余.

因?yàn)?∠DOE=90°， 所以 ∠2與∠3互余.

因?yàn)?∠1+∠DOE+∠4=180°，∠DOE=90°，

所以 ∠1+∠4=90°.即∠1與∠4互余.

可以得到互余的角有：∠1與∠2，∠2與∠3，∠3與∠4，∠4與∠1.

因?yàn)?∠1與∠2互余，∠2與∠3互余，

所以 ∠1=∠3（同角的余角相等）.

因?yàn)椤?與∠4互余，∠3與∠2互余，

所以 ∠2=∠4（同角的余角相等）.

題型二 垂線的定義和性質(zhì)

【例2】如圖，已知FEAB于E，CD是過E的直線，且∠AEC=120°，則∠DEF= .

【思考與分析】我們仔細(xì)閱讀題目，經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)有兩種解法，第一種主要利用垂直的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)， 因?yàn)椤螦EC和∠DEB是對(duì)頂角，∠AEC=∠DEB=120°，又因?yàn)?FEAB，∠BEF=90°，所以∠DEF=120°-90°=30°；第二種解法主要利用垂直的定義和鄰補(bǔ)角的定義，由∠AEC和∠AED互為鄰補(bǔ)角，可得∠AED=60°， 再由FEAB于E，可得∠AEF=90°，則∠DEF=90°-60°=30°.

解：∠DEF=30°.

【小結(jié)】本題主要考察我們是否掌握了角與角之間的關(guān)系，解答這類題目時(shí)，我們要清楚地知道有關(guān)概念，比如垂直，對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角等.

題型三、互余、互補(bǔ)魅力

【例3】如圖3，先找到長(zhǎng)方形紙的寬DC的中點(diǎn)E，將∠C過E點(diǎn)折起任意一個(gè)角，折痕是EF，再將∠D過E點(diǎn)折起，使DE和CE重合，折痕是GE，請(qǐng)?zhí)剿飨铝袉栴}：

（1）∠FEC和∠GEC互為余角嗎？為什么？

（2）∠GEF是直角嗎？為什么？

（3）在上述折紙圖形中，還有哪些互為余角？還有哪些互為補(bǔ)角？

解：（1）由折紙實(shí)驗(yàn)，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800

所以∠1+∠2=900，即∠FEC+∠GEC=900，故∠FEC和∠GEC互為余角.

（2）因?yàn)椤螱EF=∠1+∠2=900，，所以∠GEF是直角.

（3）∠3和∠4，∠1和∠EFG互為余角，∠AGF和∠DGF、∠CEC和∠DEC互為補(bǔ)角等等（同學(xué)們還可以舉出一些例子）.

題型四 平行線的性質(zhì)與判定證明

【例4】如圖，如果∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F嗎？為什么？

【思考與分析】我們從已知條件入手分析題目.∠2和∠3互為對(duì)頂角，∠2=∠3，由∠1=∠2可得∠1=∠3，而∠1和∠3是一對(duì)同位角，由平行線的判定條件可知BD∥CE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠4=∠C.又因?yàn)橐阎螩=∠D，我們可以得到∠4=∠D，從而DF∥CA，從而可以推出∠A=∠F.

解：因?yàn)椤?=∠2，∠2=∠3，

所以∠1=∠3.

所以BD∥CE.

所以∠4=∠C.

又因?yàn)椤螩=∠D，

所以∠4=∠D

所以DF∥CA.

所以∠A=∠F.

題型五 利用平行線性質(zhì)與判定進(jìn)行運(yùn)算

【例5】 如圖，AB∥CD，若∠2=135°，則么∠1的度數(shù)是 （ ）

A.30° B.45° C.60° D.75°

【思考與分析】 本題主要考查平行線的性質(zhì)、互為鄰補(bǔ)角概念.

解：∠2與∠1的鄰補(bǔ)角互為內(nèi)錯(cuò)角，所以∠1=180°-∠2=45°.

【小結(jié)】 解答本題需要注意兩點(diǎn)：第一，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，第二，互為補(bǔ)角與互為鄰補(bǔ)角的區(qū)別.

題型六 學(xué)科間的綜合

【例7】 已知：如圖，∠AOB的兩邊 OA、OB均為平面反光鏡，∠AOB=40°.在OB上有一點(diǎn)P，從P點(diǎn)射出一束光線經(jīng)OA上的Q點(diǎn)反射后，反射光線QR恰好與OB平行，則∠QPB的度數(shù)是（ ）

A.60° B.80° C.100° D.120°

【思考與分析】 觀察題目，我們可以利用平行線的性質(zhì)，“兩直線平行，同位角相等”，以及PQ與OA的夾角，與QR與OA的夾角相等的原則，可得出∠AQR=∠OQP=∠AOB=40°，借助平角的定義，則∠QPB=80°.

解：B.

【小結(jié)】在學(xué)習(xí)的過程中我們一定要注意學(xué)科間的綜合，這是中考命題的熱.

題型七 探究性問題

【例8】 觀察圖1～圖5.

（1）如圖1，若AB∥CD，則∠B+∠D=∠BED，你能說明為什么嗎？

反之，若∠B+∠D=∠BED，直線AB與CD有什么位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

（2）若將點(diǎn)E移至圖2所示位置，此時(shí)∠B、∠D、∠BED之間有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

（3）若將E點(diǎn)移至圖3所示位置，情況又如何？

（4）在圖4中，AB∥CD，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D又有何關(guān)系？

（5）在圖5中，若AB∥CD，又得到什么結(jié)論？

分析：要說明（1）的結(jié)論成立，若過點(diǎn)E作EF∥AB，則由平行線的特征即可說明；其余幾個(gè)問題也都可以按照此方法說明.

解：（1）如圖1，過點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，∠B=∠BEF.所以∠D=∠DEF，而∠BED=∠BEF+∠DEF，故∠B+∠D=∠E.

反之，若∠B+∠D=∠E，則AB∥CD.

理由：如圖1，過點(diǎn)E作EF∥AB，則∠B=∠BEF，又因?yàn)椤螧+∠D=∠E，所以∠BEF+∠D=∠E.所以∠DEF=∠D，所以EF∥CD，故AB∥CD.

（2）若將點(diǎn)E移至圖2所示位置，此時(shí)有∠B+∠BED+∠D=360°.理由：過點(diǎn)E作EF∥AB，則∠B+∠BEF=180°.因?yàn)锳B∥CD，所以EF∥CD.所以∠D+∠DEF=180°，故∠B+∠BED+∠D=360°.

（3）若將E點(diǎn)移至圖3所示位置，此時(shí)有結(jié)論：∠BED+∠D=∠B.

理由：因?yàn)锳B∥CD，所以∠B=∠BMD，而∠BMD=180°-∠DME=∠D+∠E，故∠E+∠D=∠B.

（4）仿照（1）可以猜想：在圖3-4中，若AB∥CD，則有結(jié)論：∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.

提示：可以分別過點(diǎn)E、F、G作AB的平行線，仿照（1）即可說明.

第3篇：探索平行線的條件范文

所謂發(fā)散型思維，又叫求異思維，就是從某一點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用全部的信息進(jìn)行發(fā)散性聯(lián)想，朝著不同的方向，去探索多種解決問題的方案的思維過程。發(fā)散思維一般是在問題存在多種可能的解決方案，但卻不能肯定哪一種是正確的情況下進(jìn)行的，發(fā)散思維開始時(shí)往往是在常識(shí)范圍內(nèi)進(jìn)行思索，通過不斷摸索嘗試，反復(fù)變通，找到新的發(fā)散方向，產(chǎn)生新型成分。發(fā)散型思維方法是向外擴(kuò)展的，有可能找到更多更好的方案。因此，發(fā)散型思維具有多向性、獨(dú)立性、探索性、運(yùn)動(dòng)性等特征，它在創(chuàng)造性思維中占有主導(dǎo)地位。

數(shù)學(xué)是思維的體操，因此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中必須研究教材、研究學(xué)生、研究教法、研究學(xué)法。創(chuàng)設(shè)最佳思維情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有計(jì)劃、有目的地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。牛頓說過:“例子有時(shí)比定律更重要”。因此，精選典型習(xí)題，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解、一題多變，進(jìn)行歸納、總結(jié)，是培養(yǎng)發(fā)散思維的重要方法。

求線段的比及比例線段的證明是平面幾何重要內(nèi)容之一，也是學(xué)生普遍感到棘手的問題。究其原因有二，其一：不知如何構(gòu)造相似三角形；其二：不知如何添加平行線，構(gòu)造平行線分線段成比例。下面結(jié)合一個(gè)例題談?wù)劸唧w做法。

一、一題多解，思維發(fā)散

讓學(xué)生用已學(xué)過的知識(shí)從不同角度、不同方向，多方位觀察，縱橫聯(lián)想，積極探索，大膽猜測(cè)，這是尋求解決問題的各種方案的集中表現(xiàn)。一題多解就是這種理論的具體化。因此一題多解對(duì)于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動(dòng)性，拓寬解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和發(fā)散思維能力有著重要的意義。通過各種方法的討論和比較，可以達(dá)到擇優(yōu)棄劣，提高解題速度和質(zhì)量的目的，有利于學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展。

例：已知，如圖（1），B、E分別是DC和AB的中點(diǎn)， 延長(zhǎng)DE交于點(diǎn)F，求 的值。

創(chuàng)設(shè)思維情境，引發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，教師要精心設(shè)疑、激疑，從而轉(zhuǎn)化為強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)要求。求線段的比必須有相似三角形或平行線分線段，但和所在的三角形不相似，怎樣添加輔助線，構(gòu)造成比例線段呢？啟發(fā)學(xué)生回憶:經(jīng)常過線段的中點(diǎn)作平行線。

解法一：如圖（1-1），作 交 于點(diǎn) ，

是 的中點(diǎn)， ，又 ， ， 。

解法二：如圖（1-2），作 交 于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， ， 又 是 的中點(diǎn)， ， 。

解法三：如圖（1-3），連 ，過點(diǎn) 作 分別交 于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)，

，又 是 的中點(diǎn)， ， ， 。

解法四：如圖（1-4），連 ，作 別交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，連

作 別交 于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)，

又 是 的中點(diǎn)， ，又易證 ，

， ， ， ，即 。

解法三：如圖（1-3），作 交 于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)， ， ， ， 。

解法四：如圖（1-4），作 交 于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， ，又 是 的中點(diǎn)， ， ，

展示思維過程，指導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、探索、總結(jié)，指導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐的基礎(chǔ)上有所發(fā)現(xiàn)、有所突破、有所創(chuàng)新，這是發(fā)展發(fā)散思維的要求。引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)這四種解法的共同之處:過線段的中點(diǎn)作平行線，構(gòu)造出平行線分線段成比例定理的條件，且三角形中位線在每種解法中都發(fā)揮著巨大的貢獻(xiàn)。如果不過中點(diǎn)，比如過不是中點(diǎn)的分 作平行線是否也能求解呢？

解法五：如圖（1-5），作 交 于點(diǎn) ， ， ， ， ， ， ， ，

解法六：如圖（1-6），作 交 于點(diǎn) ， ， ，又 ， ， ， ， ，

調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，人人開動(dòng)腦筋，個(gè)個(gè)發(fā)揮聰明才智，不僅達(dá)到提高解題能力的目的，而且把教學(xué)推向一個(gè)新的臺(tái)階。剛才過三個(gè)“分點(diǎn)”作平行線有種解決方案，那么過三個(gè)“端點(diǎn)”是否也有解決方案呢？引路指津，誘導(dǎo)思維。

解法七：如圖（1-7），作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)， ， ， ，

解法八：如圖（1-8），作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， ， ， ，即 ， 解得

解法九：如圖（1-9），作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)， ， ， ， ，

解法十：如圖（1-10），作 交的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)， ，

解法十一：如圖（1-11），作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， ，又 ， ， ，

解法十二：如圖（1-12），作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， ，又 是 的中點(diǎn)， ， ， ， 。

如此一題多解，不僅開闊了學(xué)生的視野，提高了學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生的知識(shí)更靈活、更牢固，而且使學(xué)生的發(fā)散思維能力得到鍛煉和培養(yǎng)。

二、一題多變，鞏固發(fā)散

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家G•波利亞曾說過：“一種想法使用過一次是一個(gè)技巧，經(jīng)過多次使用，就可以成為一種方法”。一題多變即變式練習(xí)是數(shù)學(xué)中訓(xùn)練思維的常用手段之一，數(shù)學(xué)題目往往能進(jìn)行改造、變換。如題目的多種敘述方式、交換條件和結(jié)論、削弱條件或加強(qiáng)條件等。因此，在例題的選講中，不能僅僅滿足于就題論題，應(yīng)注意多角度、多途徑、全方位地對(duì)例題進(jìn)行分析和挖掘，對(duì)例題進(jìn)行“一題多變”，探索例題的解法和解題規(guī)律。這樣不但能以點(diǎn)串線、舉一反三，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生向?qū)W習(xí)的興趣和積極性，從而將知識(shí)深化，而且能較好地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，防止思維僵化，提高解題能力。

變式1：例題中 、 、 它們各自被分割的兩條線段之比現(xiàn)在都知道了，那么 與 的比值是多少？能求出了嗎？

變式2：如果將例題中“ 為 的中點(diǎn)”改為 與 的比值是2，能否還有辦法求得 與 的比值嗎？

變式3：已知，如圖(2)， ，求 的值。

上面變式1和變式2中的圖形沒變，只是比值變動(dòng)而已;變式3的圖形幾乎一樣，只是此處僅一個(gè)中點(diǎn)。下面的兩個(gè)習(xí)題表面上看圖形變化很大，研究后發(fā)現(xiàn)可以去掉圖形中的某線段，解法就一樣了。

變式4：已知，如圖(3)， 中， 為 上一點(diǎn)， ， 是 的中點(diǎn)，求 的值。

變式5：已知，如圖(4)， 中， ， 是 邊上的高， 是 的中點(diǎn)， 的延長(zhǎng)線交 于 ，求證

上面的五個(gè)題目都有十二種解法，由于篇幅所限，不再一一贅述。如此借題發(fā)揮，一題多變，以點(diǎn)串線，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生由表及里、由此及彼的思維方法起到了觸類旁通的效果，同時(shí)又鞏固了發(fā)散思維。

通過上述各題的練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的奧妙，勤于思考，多做、多總結(jié)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)許多問題都有多種解法，同時(shí)許多問題的解法又是類似的，只要做個(gè)有心人，必定會(huì)事半功倍。作為數(shù)學(xué)教師，要深入鉆研教材，精心設(shè)計(jì)教法，充分利用典型例題的延展性、開拓性，引導(dǎo)學(xué)生積極聯(lián)想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散型思維。以上只是筆者在教學(xué)中的一點(diǎn)粗淺的體會(huì)，不足之處有待于今后不斷探討、求索。

第4篇：探索平行線的條件范文

蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)（上冊(cè)）在“1.5 等腰三角形的軸對(duì)稱性”第二課時(shí)中設(shè)計(jì)了如下的一組探索問題：

1.如圖1，在一張長(zhǎng)方形紙條上任意畫一條截線AB，所得∠1與∠2相等嗎？為什么？

2.如圖2，將紙條沿截線AB折疊，在所得ABC中，仍有∠1=∠2.度量邊AC和BC的長(zhǎng)度，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖1圖2

教材設(shè)計(jì)這兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的探索問題意在通過學(xué)生的動(dòng)手操作、度量、思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等腰三角形的判定定理“等角對(duì)等邊”.在探索過程中還可以改變折痕的位置重新操作，使學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)雖然∠1、∠2的大小改變了，AC、BC的大小也隨之改變，但是AC =BC的結(jié)論不變.這個(gè)探索過程，啟發(fā)我們提煉出等腰三角形的一個(gè)常見的又非常有用的基本圖形.

二、基本圖形的提煉

圖3

如圖3，OC平分∠AOB，D為射線OC上一點(diǎn)（不與O重合），DE ∥AO，與BO交于點(diǎn)E，則EO =ED.用語(yǔ)言可表述為：“過角平分線上不與角的頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，與角的另一邊相交，交點(diǎn)到這點(diǎn)與角的頂點(diǎn)的距離相等.”可簡(jiǎn)稱為“角平分線+平行線=等腰三角形”（以下稱基本圖形1）.圖2是這一基本圖形在折疊背景下的變式：長(zhǎng)方形的對(duì)邊始終平行，折痕可看作是角的平分線，圖中始終會(huì)出現(xiàn)等腰三角形.實(shí)際上，這個(gè)基本圖形中三個(gè)主要元素“角平分線、平行線、等腰三角形”出現(xiàn)其中的任意兩個(gè)，第三個(gè)必然出現(xiàn)，即還可得：“等腰三角形+角平分線=平行線”（以下稱基本圖形2）或“等腰三角形+平行線=角平分線”（以下稱基本圖形3）.

三、基本圖形的應(yīng)用

1.顯性圖形，直接運(yùn)用

例1（1）如圖4，ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平行線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F. 求證：EF =EB +FC.

圖4圖5

（2）如圖5，ABC中，∠ABC、外角∠ACM的平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平行線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F.則線段EF、EB、FC之間有什么關(guān)系？不必說明理由.

解析：（1）根據(jù)BD平分∠ABC，EF∥BC，由基本圖形1可證ED =EB，同理可證FD =FC，所以EF =ED +FD =EB +FC.

（2）EF =EB -FC.

評(píng)析：?jiǎn)栴}（1）將兩個(gè)基本圖形1巧妙結(jié)合在一起，探索三條線段的關(guān)系；問題（2）將一個(gè)內(nèi)角平分線演變成外角平分線，設(shè)計(jì)成開放性問題，可考查學(xué)生在相對(duì)復(fù)雜的背景下發(fā)現(xiàn)基本圖形并運(yùn)用基本圖形的能力.

圖6

例2 （2012年深圳市）如圖6，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，連結(jié)AF、CE.

（1）求證：四邊形AFCE為菱形； （2）略.

解析：由折疊可知：EF平分∠AFC，AF =CF，EA = EC由矩形ABCD可得AE∥BC，利用基本圖形1可得AF =AE，從而AE = EC =CF =FA，所以四邊形AFCE為菱形.

評(píng)析：此題即是基本圖形在折疊背景下的變式運(yùn)用，實(shí)際上題目中矩形這個(gè)條件換成一組對(duì)邊平行的四邊形后再按同樣方式折疊仍可得到相同的結(jié)論，通過這個(gè)問題的探究有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì).

2.隱性圖形，構(gòu)造運(yùn)用

例3已知：如圖7，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，∠FAE =∠BAE.求證：AF =BC +FC.

解析1：如圖7，此題有∠FAE =∠BAE（即AE平分∠BAF）這個(gè)條件，出現(xiàn)了基本圖形的部分條件，由正方形ABCD可得AB∥CD，因而將這兩個(gè)條件結(jié)合起來，延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于G，利用基本圖形1可得等腰FAG，即AF =FG =FC+CG，易證GCE≌ABE，得GC =AB，又因?yàn)锳B =BC，所以AF =BC +FC.

圖7圖8

解析2：如圖8，此題有∠FAE=∠BAE（即AE平分∠BAF）這個(gè)條件，部分出現(xiàn)了基本圖形的條件，由于點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，故取AF的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，由梯形中位線可得：AB +CF =2EH、EH∥AB，由AE平分∠BAF、EH∥AB利用基本圖形1可得等腰EHA，即HA=EH，所以FA =2AH =2EH，即FA =AB +CF=BC +CF.

評(píng)析：解析1將∠FAE =∠BAE、AB∥CD這兩個(gè)看似毫無關(guān)聯(lián)的條件通過輔助線巧妙結(jié)合起來，構(gòu)造基本圖形使問題得到解決，解析2通過題中已有中點(diǎn)，再取一個(gè)中點(diǎn)，利用中位線性質(zhì)得到EH∥AB這個(gè)結(jié)論，從而與題中∠FAE =∠BAE這個(gè)條件聯(lián)姻，構(gòu)造基本圖形使問題得到解決. 此題是蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)（上冊(cè)）一道課本習(xí)題，題目解法靈活多樣，遠(yuǎn)不止上面介紹的兩種方法，題中還蘊(yùn)含了其他的一些基本圖形、重要結(jié)論，絕對(duì)稱得上是一道經(jīng)典幾何題.

圖9

例4（2012 福州市）如圖9， AB 為O 的直徑，C為O 上一點(diǎn)，AD 和過C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，AD交O 于點(diǎn)E.

（1）求證：AC 平分∠DAB；（2）略.

解析：初看此題根本沒有基本圖形的影子，由于遇到切線常作輔助線“連結(jié)圓心與切點(diǎn)”，故連結(jié)OC，此時(shí)得OA =OC，即構(gòu)造了等腰OCB，且OCCD，又因?yàn)锳DCD，可得OC∥AD，由基本圖形3可得AC 平分∠DAB.

評(píng)析：試題將等腰三角形、平行線隱藏起來，需要學(xué)生綜合題中條件進(jìn)行思考，通過輔助線使基本圖形顯現(xiàn)出來.試題具有一定的拓展變化空間，將條件“AB 為O 的直徑”、“CD是O 的切線”“ADCD”之一與結(jié)論“AC 平分∠DAB”對(duì)調(diào)，借助基本圖形可以證明得到的新的命題仍然成立.

3.綜合運(yùn)用，彰顯能力

例5 （2012年武漢市）如圖10，點(diǎn)A為拋物線C1：y= 12x2-2的頂點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），直線AB交拋物線C1于另一點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）略；

（3）如圖11，將拋物線C1向下平移m（m>0）個(gè)單位得到拋物線C2，且拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)M，交射線BC于點(diǎn)N，NQx軸于點(diǎn)Q，當(dāng)NP平分∠MNQ時(shí)，求m的值.

解析：（1）易求點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），故由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得直線AB的解析式為： y=2x-2，從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，6）.

（3）如圖11，由NP平分∠MNQ，NQy軸，根據(jù)基本圖形1可得等腰三角形，故設(shè)直線MN與y軸交于點(diǎn)T，則NT =TP.下面可考慮將NT、TP用有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)的代數(shù)式表示出來，建立方程解決該題.故過點(diǎn)N作NH y軸于點(diǎn)H，由（1）知直線AB的解析式為：

y=2x-2，故可設(shè)直線AB與拋物線C2的交點(diǎn)N的坐標(biāo)為

（t，2t-2）.由題知拋物線C2的解析式為

y=12x2-2-m，將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入解析式可得

12t2-2-m=2t-2，即

m=12t2-2t，故拋物線C2的解析式為

y=

12x2-2-12t2+2t

.令y=0可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為

（2-t，0）

，從而求得NQ =MQ= 2t-2，即∠MNQ =45°，故MOT與NHT均為等腰直角三角形，所以TO=MO=t-2，HN=HT=t，即NT=

2t.由拋物線C2的解析式可得P的坐標(biāo)為（0，

-2-12t2+2t），所以TP=TO+OP=

12t2-t，根據(jù)TP = NT可得方程

12t2-t=2t，解得

t=22+2（t =0舍去），所以m=2..

圖10圖11

評(píng)析：本題是一道壓軸題，充分考查了兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的處理方法、消元法、構(gòu)造法、一元二次方程的解法等多種數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)頗多，但發(fā)現(xiàn)圖11中的基本圖形1，得到兩條線段相等，利用其作為相等關(guān)系建立方程顯然是解答此題的一個(gè)關(guān)鍵.

總之，

第5篇：探索平行線的條件范文

二、學(xué)習(xí)支架的遞進(jìn)構(gòu)建與教學(xué)應(yīng)用實(shí)錄

支架性問題1 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB 分別交x軸、y軸于點(diǎn)A（-2，0），B（0，-2）.

（1）求直線AB的函數(shù)解析式；

（2）若直線l與直線AB平行，增加一個(gè)怎樣的條件就可以確定直線l的解析式？

（3）若直線AB 向下平移2個(gè)單位，求所得的函數(shù)解析式.

設(shè)計(jì)意圖 通過開放性問題的設(shè)問，能有效打開學(xué)生的思維，可以讓學(xué)生積極探索，歸納總結(jié)兩平行直線解析式的特征和決定一直線的條件，同時(shí)也為下面講題埋下了伏筆.

設(shè)計(jì)意圖 進(jìn)一步強(qiáng)化通過平行線之間的距離來求解析式，強(qiáng)化用特殊到一般，熟練掌握用方程的思想在幾何中的運(yùn)用.

教師：很好，你已經(jīng)知道所求函數(shù)解析式的特征，求一個(gè)字母b，只要再求出一個(gè)點(diǎn)就可以了，同時(shí)你會(huì)用相似求出相應(yīng)線段，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo).

支架性問題3 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（0，-1），C（1，0）.問題1：在此拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)、BC為腰的四邊形是梯形？

若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

設(shè)計(jì)意圖 讓分類更為完備，逐步加大平行線想象難度，

培養(yǎng)學(xué)生的分類思想，同時(shí)也強(qiáng)化了兩平行線的函數(shù)特征.

教師：好，能用分類思想探究問題，方程思想解決問題，從而求出點(diǎn)D坐標(biāo).

支架性問題4 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（0，-1），C（1，0）.問題2：在此拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得ABE的面積等于0.5 ？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

設(shè)計(jì)意圖 逐步過渡到第26題的第（3）問，讓學(xué)生回憶并用轉(zhuǎn)化的思想.

第6篇：探索平行線的條件范文

關(guān)鍵詞：點(diǎn)子圖；概念準(zhǔn)確性；平行四邊形；爭(zhēng)議與思考

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2015）29-0058-03

“點(diǎn)子圖”是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的操作工具，也是小學(xué)生幾何圖形學(xué)習(xí)的有效素材。點(diǎn)子圖的設(shè)計(jì)與運(yùn)用，尊重了小學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，順應(yīng)了小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求；使小學(xué)生在觀察、操作、探究等活動(dòng)中，獲得幾何圖形的直觀經(jīng)驗(yàn)，有效地幫助學(xué)生建立空間觀念。然而，筆者在教學(xué)人教版小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（2014年7月出版）第65頁(yè)“做一做”第2題時(shí)，卻引發(fā)了學(xué)生的爭(zhēng)議與筆者的思考。

一、爭(zhēng)議焦點(diǎn)一：“兩個(gè)不同平行四邊形”的理解

（一）生1作品展示：

生1：我在點(diǎn)子圖上畫的是兩個(gè)上下邊不同的平行四邊形。即：先橫著用4格畫一條平行四邊形的邊，在從這條邊下面往前移動(dòng)1格用4格畫另一邊，連接這兩條邊的兩端；用同樣的方法再用3格畫一個(gè)平行四邊形的上下兩邊，連接這兩條邊的兩端，這樣就得到兩個(gè)不同的平行四邊形，經(jīng)測(cè)量，它們的高相等。

生2：生1這樣畫的圖（1）和圖（2）不對(duì)，因?yàn)閳D（1）和（2）這兩個(gè)平行四邊形雖然不同，但是它們的四條邊不存在任何關(guān)系，在點(diǎn)子圖上畫這樣的兩個(gè)平行四邊形，不符合題意的要求；我們要結(jié)合學(xué)過的內(nèi)容和做過的第1題，應(yīng)把畫出的兩個(gè)平行四邊形看成是由四根小棒擺成的不同形狀的平行四邊形，也就是說平行四邊形的四條邊是確定的，由于高的變化導(dǎo)致了平行四邊形的形狀不同。

生3：題目中沒有明確告訴“平行四邊形四條邊確定”這個(gè)條件。

生4：我們應(yīng)該把“在點(diǎn)子圖上畫出兩個(gè)不同的平行四邊形”和課本中的“平行四邊形四條邊確定了，它的形狀能確定嗎？”這個(gè)問題，聯(lián)系在一起進(jìn)行考慮。

（二）分析與思考

解決“在點(diǎn)子圖上畫出兩個(gè)不同的平行四邊形”這個(gè)問題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀教材內(nèi)容，深刻理解各部分內(nèi)容間的相互聯(lián)系，不要片面地理解為隨意畫兩個(gè)“不一樣”的平行四邊形；要進(jìn)一步組織學(xué)生通過觀察、操作、探究平行四邊形的特性，充分理解“兩手捏住長(zhǎng)方形的兩個(gè)對(duì)角，向相反方向拉”的含義。通過動(dòng)手操作讓學(xué)生自己觀察不同平行四邊形的形成過程，使學(xué)生清楚認(rèn)識(shí)到，平行四邊形的高隨著拉的程度不同而在改變。在操作探究的過程中，要關(guān)注教材中給出的提示：“兩組對(duì)邊有什么變化？拉成了什么圖形？”，更要關(guān)注以學(xué)生交流的方式給出的結(jié)論：“拉成了不同的平行四邊形”。這個(gè)結(jié)論，不僅說明了“平行四邊形四條邊確定了，它的形狀不能確定”，而且還為幫助學(xué)生理解“兩個(gè)不同平行四邊形”的概念，提供了重要的依據(jù)。

二、爭(zhēng)議焦點(diǎn)二：不規(guī)范點(diǎn)子圖中的點(diǎn)帶來的偏差

（一）生5作品展示：

生5：結(jié)合本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，根據(jù)平行四邊形容易變形這一特性，我認(rèn)為在點(diǎn)子圖上畫的這兩個(gè)不同平行四邊形的四條邊是確定的，它們的不同之處應(yīng)該是“高”不同。應(yīng)該這樣畫：先橫著用4格畫平行四邊形的一邊，然后往下移2格，往前移1格，用4格畫平行四邊形的另一條邊，連接這兩條邊的兩端；用同樣的方法：橫著用4格畫平行四邊形的一邊，然后往下移1格，往前移2格，用4格畫平行四邊形的另一條邊，連接這兩條邊的兩端。這樣畫出的兩個(gè)平行四邊形，它們的上、下兩邊都是4格，左右兩條邊都是由兩格組成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線，它們的高分別是2格和1格，所以它們的形狀不同。

生6：生5這樣畫的圖（1）和圖（2）兩個(gè)平行四邊形的四條邊不應(yīng)該說是確定的，因?yàn)閳D（1）和圖（2）這兩個(gè)平行四邊形上下的邊雖然都相等，但是圖（1）和圖（2）這兩個(gè)平行四邊形左右兩邊是否相等不能隨意確定；而要根據(jù)這兩條邊在點(diǎn)子圖中的具置來確定。

生7：生5的畫法不錯(cuò)，只不過是書中的點(diǎn)子圖有問題，課本中給出的點(diǎn)子圖相鄰的四個(gè)點(diǎn)圍成的不是一個(gè)小正方形，而是一個(gè)小長(zhǎng)方形。

（二）分析與思考

點(diǎn)子圖是小學(xué)數(shù)學(xué)幾何圖形教學(xué)中常用的操作工具，它與釘子板一樣，相鄰的四個(gè)點(diǎn)圍成一個(gè)小正方形，這樣才能發(fā)揮點(diǎn)子圖在畫圖時(shí)的參照作用。“在點(diǎn)子圖上畫出兩個(gè)不同的平行四邊形”，這兩個(gè)平行四邊形的四條邊是確定的，高不確定，平行四邊形的上下兩邊要利用點(diǎn)子圖中的點(diǎn)直接畫，下面的邊向前或向后移的格數(shù)不一樣，而左右兩邊要借助點(diǎn)圍成的小長(zhǎng)方形的對(duì)角線來畫，這樣才能保證平行四邊形的左右兩邊既平行又相等。因?yàn)檎n本65頁(yè)的點(diǎn)子圖中相鄰的四個(gè)點(diǎn)不能圍成小正方形，導(dǎo)致這兩條對(duì)角線所在的長(zhǎng)方形一個(gè)“胖”些，一個(gè)“瘦”些，這充分說明兩個(gè)平行四邊形中的左右兩邊是不相等的。所以這樣的兩個(gè)平行四邊形的也不符合題意的要求。

三、爭(zhēng)議焦點(diǎn)三：拋開不規(guī)范點(diǎn)子圖中的點(diǎn)先量后畫

（一）生8作品展示：

生8：如果不按書中的點(diǎn)子圖中的點(diǎn)來畫，利用直尺測(cè)量，使圖（1）和圖（2）這兩個(gè)平行四邊形的四條邊確定，再畫出不相同的高。

生9：在點(diǎn)子圖畫圖，從點(diǎn)開始畫到點(diǎn)結(jié)束，各個(gè)點(diǎn)的連線，橫橫平行，豎豎平行，橫豎垂直，離開點(diǎn)子圖中的點(diǎn)來畫，你能保證畫的四邊形的對(duì)邊是平行的嗎？……

（二）分析與思考

第7篇：探索平行線的條件范文

1.中考試題.如圖1，拋物線y=ax2 + bx + 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．E（1，2）為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，EFK的面積最大？并求出最大面積．

2.參考答案.（1）解析式為

y=-12x2-x+4，D點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，

92

）．

（2）探求得直線EF的解析式為y=12x +

32．設(shè)K（t，

-12t2-t+4），

xF＜t＜xE．過K作x軸的垂線交EF于N．則 KN=yK－yN =－

12t2-t+4-（12t+32）=

-12t2-32t+52．

所以SEFK=SKFN+SKNE=12KN（t+3）+

12KN（1－t）=2KN =－t2－3t + 5 =-（t +

32）2+

294

．

即當(dāng)t =－32時(shí)，EFK的面積最大，最大面積為

294，此時(shí)K（

-32

，358）．

3.質(zhì)疑思考.本題條件是“點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上”，但參考答案只對(duì)“xF＜t＜xE”作了解答，那么 “xA＜t≤xF”、 “xE≤t＜xB”會(huì)怎么樣呢？筆者認(rèn)為這是一個(gè)名副其實(shí)的“參考答案”，不夠嚴(yán)謹(jǐn)．如果要完整地解答此題就必須分類討論，分類表示SEFK又是一個(gè)復(fù)雜的問題．

像這樣的面積問題是近幾年中考的熱點(diǎn)之一，常結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)、四邊形、相似形等知識(shí)而命題，具有一定的綜合性.筆者研讀了2009年和2010年部分中考試題及解答，一般都通過分割，建立面積函數(shù)，用函數(shù)知識(shí)解決問題．這些分割方法通常比較麻煩，有時(shí)還回避不了分類討論．筆者進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，這些問題通?？梢苑譃閮深悾伎梢杂煤?jiǎn)單的平移法來解決．

二、解法來源

1.書本習(xí)題.人教版教科書91頁(yè)習(xí)題19.1第8題：如圖2，直線l1∥l2,ABC和DBC面積相等嗎？你還能畫出一些與ABC面積相等的三角形嗎？

2.習(xí)題解答.顯然，ABC和DBC面積相等，原因是這兩個(gè)三角形同底等高．直線l1上任意一點(diǎn)P與B、C兩點(diǎn)構(gòu)成的PBC與ABC面積總相等．

3.習(xí)題啟示.可以通過平行線，把三角形等積變形為其他更有利于解決問題的三角形．

三、解法探究

1.動(dòng)點(diǎn)在直線上，利用平行線，通過等積變形建立函數(shù)模型

例1（2009年濟(jì)南）已知：如圖3，拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)的對(duì)稱軸為

x=-1與x軸交A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中A(-3,0)、C(0,-2).

（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)D作DE∥PC交x軸于點(diǎn)E.設(shè)CD的長(zhǎng)為m，

PDE的面積為

S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試探討S是否存在最大值，說明理由．

解：（1）拋物線的解析式為

y=23x2+43x-2.

（2）連接AD，因?yàn)?/p>

DE∥AC, 所以S=SAED， OED∽OAC.

所以O(shè)DOC=OEOA，即

2-m2

=OE3

，所以

OE=3-32m.

所以AE=32

m.

所以S=12?32m(2-m)

=-

34m(m-2).

所以當(dāng)m=

0+22=

1時(shí)， S最大=34.

點(diǎn)評(píng)：本題的動(dòng)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)，沒有采用分割的方法也沒有分類討論，而是利用題目先天的DE∥PC條件，把PDE等積變形為一邊在坐標(biāo)軸上的ADE，便于表示

PDE的面積，建立函數(shù)模型解決問題．

例2 （2010年三明）如圖4，已知拋物線y=

ax2+bx+c (a≠0)經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）和點(diǎn)C（0，8），且它的對(duì)稱軸是直線

x=-2．

（1）求拋物線與x軸的另一交點(diǎn)A坐標(biāo)；

（2）求此拋物線的解析式；

（3）連結(jié)AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B）不重合，過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連結(jié)CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上探討S是否存在最大值，說明理由．

解：（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，0）.（2)解析式為

y=-23 x2-83x+8.

（3）過點(diǎn)F作FGAB，垂足為G，因?yàn)镋F//AC.所以

S=SAEF,BEF∽BAC,

所以FGCO

=BEAB

，又AE=m，BE=8-m ，所以

FG8

=8-m8

，所以FG=8-m,所以

S=12m(8-m)，

（4）由（3）得當(dāng)

m=0+82=4時(shí)， S最大=8.

解題策略：以上兩例都是動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，利用天然的平行條件，通過等積變形，把三角形轉(zhuǎn)化為有一邊在坐標(biāo)軸上的三角形，從而比較簡(jiǎn)捷地建立函數(shù)模型，應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問題．不必分割，不必分類．

2.動(dòng)點(diǎn)在拋物線上動(dòng)，構(gòu)建平行線，通過等積變形建立方程模型

例3（2010年恩施）如圖5，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大并求出最大面積.

解：（1）函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3．

（2）因SABC=6，所以當(dāng)BPC的面積最大時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大．作PQ∥BC交y軸于點(diǎn)Q，則SBPC=SBQC，BQC高OB為定值，所以當(dāng)PQ平移到使得CQ取得最大值時(shí)，BQC的面積最大，此時(shí)直線PQ和拋物線恰好一個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)直線PQ：y=x+m，得方程

x2-2x-3=x+m，當(dāng)Δ=9+4(m+3)=0時(shí)，

x=32， m=

-214，所以SBQC=

94

．

點(diǎn)評(píng)：本例是動(dòng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，沒有天然的平行條件，采用構(gòu)造平行線的方法，等積變形為有一邊在坐標(biāo)軸上的圖形，建立方程模型解決問題．

例4（2010年宜賓）如圖6，將直角邊長(zhǎng)為6的等腰RtAOC放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C及點(diǎn)B(3，0)．

(1) 求該拋物線的解析式；

(2) 若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E，連接AP，當(dāng)APE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3) 在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)G，使AGC的面積與（2）中APE的最大面積相等?請(qǐng)說明理由．

簡(jiǎn)析：本題的第（2）是動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)類型，利用天然的PE∥AB條件，把S

APE轉(zhuǎn)化為一邊在x軸上的SBPE，建立函數(shù)模型解決問題．第（3）題是動(dòng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)類型，直接求出直線HG的解析式，更顯此法的優(yōu)越性．

再來看看問題一中的那道中考題該怎樣完整地解決？

解：圖7，探求得F點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0），直線EF為y =

12x +32．過K點(diǎn)作EF的平行線，交y軸于M點(diǎn)，設(shè)直線KM的解析式為y =12x+b，EFK的邊EF為定值，又CE=EB，平移直線KM可知，當(dāng)KM與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，EFK的高取得最大值，從而面積最大．由方程

-12x2-x+4=12x+b得=0，得

b=418， x=-32， K點(diǎn)坐標(biāo)（

-32，

358），SEFK=SEFM=

294.

點(diǎn)評(píng)：動(dòng)點(diǎn)K在拋物線上運(yùn)動(dòng)，構(gòu)建平行線后，雖然不能轉(zhuǎn)化為有一邊在坐標(biāo)軸上的三角形，但是依然可以通過平移直線的方法建立方程模型解決問題．K點(diǎn)和M點(diǎn)雖然都是動(dòng)點(diǎn)，但卻有本質(zhì)的區(qū)別，M點(diǎn)只能在y軸上上下移動(dòng)，但一定在E、F之間，所以不必分類，但K點(diǎn)卻是上下左右都移動(dòng)，完全可能不在E、F之間，那就必須分類討論．

以上解法簡(jiǎn)單地說就是利用平行線或構(gòu)造平行線，實(shí)際是平移思想的具體運(yùn)用．用平移的觀點(diǎn)看待問題，會(huì)使問題顯得簡(jiǎn)單、易理解，許多問題可以通過平移直線來解決.

四、再思考

1.命題啟示

為什么學(xué)生采用了分割法建立面積函數(shù)解決問題？筆者研究發(fā)現(xiàn)，一些中考試題要求學(xué)生建立面積函數(shù)再求最值，這些試題試圖給學(xué)生思考的臺(tái)階，實(shí)際卻束縛了學(xué)生的思維．作為一道好的中考題，應(yīng)該給學(xué)生充分發(fā)揮個(gè)人才智、展現(xiàn)獨(dú)特個(gè)性、彰顯創(chuàng)新成果的空間，中考題是教學(xué)的指揮棒，是學(xué)生學(xué)和教師教的參照標(biāo)準(zhǔn)，中考怎么考，教師就怎么教，學(xué)生就怎么學(xué)，因此作為命題者一定要慎重！

不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鸢?，都?huì)影響學(xué)生的思維，形成學(xué)生思維的不嚴(yán)謹(jǐn)性，教師在教學(xué)中一定要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，否則會(huì)影響學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)，甚至造成學(xué)生為人的不嚴(yán)謹(jǐn)、工作的不嚴(yán)謹(jǐn)，教師是學(xué)生的楷模，應(yīng)該做好“嚴(yán)謹(jǐn)”的示范，中考題是教師教學(xué)的風(fēng)向標(biāo)，更應(yīng)做好教師“嚴(yán)謹(jǐn)”的標(biāo)桿．

2.教學(xué)啟示

第8篇：探索平行線的條件范文

1、指導(dǎo)學(xué)生操作的助學(xué)激趣

學(xué)生理解和掌握知識(shí)總是以感性認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，感性認(rèn)識(shí)豐富，表象清晰，理解就深刻。因此，教學(xué)中讓學(xué)生動(dòng)操作，獨(dú)立探索，會(huì)極大地激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣。如在教學(xué)有余數(shù)的除法時(shí)，讓學(xué)生通過擺小捧深刻理解被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)之間的關(guān)系及余數(shù)的實(shí)際含義。

2、通過競(jìng)賽以助學(xué)激趣

競(jìng)賽也是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的一種好辦法。因此，在數(shù)學(xué)中，要常在小組間、個(gè)人間、男女生間開展口算、速算、分析等競(jìng)賽活動(dòng)。在競(jìng)賽中，教師的一次高分，一句贊美之詞往往會(huì)給學(xué)生帶來新的希望，產(chǎn)生神奇的力量，有些甚至影響終生。對(duì)于后進(jìn)生，更應(yīng)注意給予鼓勵(lì)，獎(jiǎng)其助學(xué)所長(zhǎng)，讓他們也體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的興趣。

3、通過變式比較以助學(xué)激趣

在概念教學(xué)中，加強(qiáng)變式訓(xùn)練，可使學(xué)生排除非本質(zhì)屬性的干擾，增強(qiáng)探究知識(shí)的新奇性，從而形成正確的概念。如認(rèn)識(shí)平行線時(shí)，可出示不同方向的四組平等平行線，讓學(xué)生觀察比較得出，它們都符合在同一平面內(nèi)且不相交這兩個(gè)條件，都是平行線。

4、創(chuàng)設(shè)情境以助學(xué)激趣

創(chuàng)設(shè)一定情景，讓學(xué)生產(chǎn)生親身感受的體驗(yàn)。在教學(xué)相遇應(yīng)用題時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)這樣的情景：兩位同學(xué)代表兩列火車，站于教室前后通道口，另一同學(xué)代表中間站站一通道口，讓學(xué)生演示兩列火車相遇的情景，并配以恰當(dāng)?shù)幕疖嚻崖?，既活躍了課堂氣氛，又使學(xué)生輕松愉快地理解了相遇問題的條件和含義。

5、通過游戲以助學(xué)激趣

讓學(xué)生在游戲中學(xué)知識(shí)，定會(huì)收到事半功倍的效果。這既符合小學(xué)生的年齡特點(diǎn)又符合他們的認(rèn)識(shí)規(guī)律。如在教學(xué)一位數(shù)除法時(shí)，可以設(shè)計(jì)摘蘋果的游戲：在黑板上畫一蘋果樹，在又紅又大的蘋果上分別寫有不同的算式，樹旁畫上表示不同結(jié)果的各種籃子，讓學(xué)生將算式與結(jié)果對(duì)應(yīng)的平果摘到各自的籃子，這樣大大提高了學(xué)生的計(jì)算興趣。

第9篇：探索平行線的條件范文

一．選擇題（共8小題，每題3分）

1．（2014•欽州）如果收入80元記作+80元，那么支出20元記作（）

A．+20元B．﹣20元C．+100元D．﹣100元

考點(diǎn)：正數(shù)和負(fù)數(shù)．

分析：在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．

解答：解：“正”和“負(fù)”相對(duì)，

所以如果+80元表示收入80元，

那么支出20元表示為﹣20元．

故選：B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定一對(duì)具有相反意義的量．

2．（2015•深圳模擬）北京時(shí)間2010年4月14日07時(shí)49分，青海省玉樹縣發(fā)生地震，它牽動(dòng)了全國(guó)億萬(wàn)人民的心，深圳市慈善總會(huì)在一星期內(nèi)接受了54840000元的捐款，將54840000用科學(xué)記數(shù)法（精確到百萬(wàn)）表示為（）

A．54×106B．55×106C．5.484×107D．5.5×107

考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字．

分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯(cuò)點(diǎn)，由于54840000有8位，所以可以確定n=8﹣1=7．

因?yàn)?4840000的十萬(wàn)位上的數(shù)字是8，所以用“五入”法．

用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字只與前面的a有關(guān)，與10的多少次方無關(guān)．

解答：解：54840000=5.484×107≈5.5×107．

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法以及掌握利用“四舍五入法”，求近似數(shù)的方法．

3．（2014•臺(tái)灣）數(shù)軸上A、B、C三點(diǎn)所代表的數(shù)分別是a、1、c，且|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|．若下列選項(xiàng)中，有一個(gè)表示A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置關(guān)系，則此選項(xiàng)為何？（）

A．B．C．D．

考點(diǎn)：數(shù)軸；絕對(duì)值．

分析：從選項(xiàng)數(shù)軸上找出a、B、c的關(guān)系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|．看是否成立．

解答：解：數(shù)軸上A、B、C三點(diǎn)所代表的數(shù)分別是a、1、c，設(shè)B表示的數(shù)為b，

b=1，

|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|．

|c﹣b|﹣|a﹣b|=|a﹣c|．

A、b＜a＜c，則有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a=|a﹣c|．正確，

B、c＜b＜a則有|c﹣b|﹣|a﹣b|=b﹣c﹣a+b=2b﹣c﹣a≠|(zhì)a﹣c|．故錯(cuò)誤，

C、a＜c＜b，則有|c﹣b|﹣|a﹣b|=b﹣c﹣b+a=a﹣c≠|(zhì)a﹣c|．故錯(cuò)誤．

D、b＜c＜a，則有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a≠|(zhì)a﹣c|．故錯(cuò)誤．

故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)軸及絕對(duì)值．解題的關(guān)鍵是從數(shù)軸上找出a、B、c的關(guān)系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|是否成立．

4．（2014•日照）某養(yǎng)殖場(chǎng)2013年底的生豬出欄價(jià)格是每千克a元，受市場(chǎng)影響，2014年第一季度出欄價(jià)格平均每千克下降了15%，到了第二季度平均每千克比第一季度又上升了20%，則第三季度初這家養(yǎng)殖場(chǎng)的生豬出欄價(jià)格是每千克（）

A．（1﹣15%）（1+20%）a元B．（1﹣15%）20%a元

C．（1+15%）（1﹣20%）a元D．（1+20%）15%a元

考點(diǎn)：列代數(shù)式．

專題：銷售問題．

分析：由題意可知：2014年第一季度出欄價(jià)格為2013年底的生豬出欄價(jià)格的（1﹣15%），第二季度平均價(jià)格每千克是第一季度的（1+20%），由此列出代數(shù)式即可．

解答：解：第三季度初這家養(yǎng)殖場(chǎng)的生豬出欄價(jià)格是每千克（1﹣15%）（1+20%）a元．

故選：A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查列代數(shù)式，注意題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

5．（2014•煙臺(tái)）按如圖的運(yùn)算程序，能使輸出結(jié)果為3的x，y的值是（）

A．x=5，y=﹣2B．x=3，y=﹣3C．x=﹣4，y=2D．x=﹣3，y=﹣9

考點(diǎn)：代數(shù)式求值；二元一次方程的解．

專題：計(jì)算題．

分析：根據(jù)運(yùn)算程序列出方程，再根據(jù)二元一次方程的解的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．

解答：解：由題意得，2x﹣y=3，

A、x=5時(shí)，y=7，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、x=3時(shí)，y=3，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、x=﹣4時(shí)，y=﹣11，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、x=﹣3時(shí)，y=﹣9，故D選項(xiàng)正確．

故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了代數(shù)式求值，主要利用了二元一次方程的解，理解運(yùn)算程序列出方程是解題的關(guān)鍵．

6．（2014•安徽）已知x2﹣2x﹣3=0，則2x2﹣4x的值為（）

A．﹣6B．6C．﹣2或6D．﹣2或30

考點(diǎn)：代數(shù)式求值．

專題：整體思想．

分析：方程兩邊同時(shí)乘以2，再化出2x2﹣4x求值．

解答：解：x2﹣2x﹣3=0

2×（x2﹣2x﹣3）=0

2×（x2﹣2x）﹣6=0

2x2﹣4x=6

故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是化出要求的2x2﹣4x．

7．（2014•常州）下列立體圖形中，側(cè)面展開圖是扇形的是（）

A．B．C．D．

考點(diǎn)：幾何體的展開圖．

分析：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形．

解答：解：根據(jù)圓錐的特征可知，側(cè)面展開圖是扇形的是圓錐．

故選：B．

點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)勿忘記圓錐的特征及圓錐展開圖的情形．

8．（2011•黃岡模擬）下列圖形中，是正方體表面展開圖的是（）

A．B．C．D．

考點(diǎn)：幾何體的展開圖．

分析：利用正方體及其表面展開圖的特點(diǎn)解題．

解答：解：A、B折疊后，缺少一個(gè)底面，故不是正方體的表面展開圖；選項(xiàng)D折疊后第一行兩個(gè)面無法折起來，而且下邊沒有面，不能折成正方體，故選C．

點(diǎn)評(píng)：只要有“田”字格的展開圖都不是正方體的表面展開圖．

二．填空題（共6小題，每題3分）

9．（2014•湘西州）如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，則∠DOE=20°度．

考點(diǎn)：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；角平分線的定義．

分析：由∠AOC=40°，根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠DOB=40°，再根據(jù)角平分線定義求出∠DOE即可．

解答：解：∠AOC=40°，

∠DOB=∠AOC=40°，

OE平分∠DOB，

∠DOE=∠BOD=20°，

故答案為：20°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)角、角平分線定義的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠BOD的度數(shù)．

10．（2014•連云港）如圖，AB∥CD，∠1=62°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠2=31°．

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)．

分析：根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠EFD=∠1，再根據(jù)角平分線的定義可得∠2=∠EFD．

解答：解：AB∥CD，

∠EFD=∠1=62°，

FG平分∠EFD，

∠2=∠EFD=×62°=31°．

故答案為：31°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

11．（2014•溫州）如圖，直線AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，則∠3=80度．

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)．

專題：計(jì)算題．

分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可．

解答：解：AB∥CD，∠1=45°，

∠C=∠1=45°，

∠2=35°，

∠3=∠∠2+∠C=35°+45°=80°，

故答案為：80．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠C的度數(shù)和得出∠3=∠2+∠C．

12．（2014•齊齊哈爾）已知x2﹣2x=5，則代數(shù)式2x2﹣4x﹣1的值為9．

考點(diǎn)：代數(shù)式求值．

專題：整體思想．

分析：把所求代數(shù)式整理成已知條件的形式，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：x2﹣2x=5，

2x2﹣4x﹣1

=2（x2﹣2x）﹣1，

=2×5﹣1，

=10﹣1，

=9．

故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了代數(shù)式求值，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．

13．（2014•鹽城）“x的2倍與5的和”用代數(shù)式表示為2x+5．

考點(diǎn)：列代數(shù)式．

分析：首先表示x的2倍為2x，再表示“與5的和”為2x+5．

解答：解：由題意得：2x+5，

故答案為：2x+5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了列代數(shù)式，關(guān)鍵是列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào)；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．

14．（2014•懷化）計(jì)算：（﹣1）2014=1．

考點(diǎn)：有理數(shù)的乘方．

分析：根據(jù)（﹣1）的偶數(shù)次冪等于1解答．

解答：解：（﹣1）2014=1．

故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了有理數(shù)的乘方，﹣1的奇數(shù)次冪是﹣1，﹣1的偶數(shù)次冪是1．

三．解答題（共11小題）

15．（2005•宿遷）計(jì)算：（﹣2）2﹣|﹣7|+3﹣2×（﹣）．

考點(diǎn)：有理數(shù)的混合運(yùn)算．

分析：含有有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方多種運(yùn)算的算式．根據(jù)幾種運(yùn)算的法則可知：減法、除法可以轉(zhuǎn)化成加法和乘法，乘方是利用乘法法則來定義的，所以有理數(shù)混合運(yùn)算的關(guān)鍵是加法和乘法．加法和乘法的法則都包括符號(hào)和絕對(duì)值兩部分，同學(xué)在計(jì)算中要學(xué)會(huì)正確確定結(jié)果的符號(hào)，再進(jìn)行絕對(duì)值的運(yùn)算．

解答：解：原式=4﹣7+3+1=1．

點(diǎn)評(píng)：注意：（1）要正確掌握運(yùn)算順序，即乘方運(yùn)算（和以后學(xué)習(xí)的開方運(yùn)算）叫做三級(jí)運(yùn)算；乘法和除法叫做二級(jí)運(yùn)算；加法和減法叫做一級(jí)運(yùn)算．

（2）在混合運(yùn)算中要特別注意運(yùn)算順序：先三級(jí)，后二級(jí)，再一級(jí)；有括號(hào)的先算括號(hào)里面的；同級(jí)運(yùn)算按從左到右的順序．

16．（2014秋•吉林校級(jí)期末）計(jì)算：（﹣﹣+）÷（﹣）

考點(diǎn)：有理數(shù)的除法．

分析：將除法變?yōu)槌朔?，再根?jù)乘法分配律計(jì)算即可求解．

解答：解：原式=（﹣﹣+）×（﹣36）

=﹣×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）

=27+20﹣21

=26．

點(diǎn)評(píng)：此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序，正確判定運(yùn)算符號(hào)計(jì)算即可．

17．（2014•石景山區(qū)二模）已知當(dāng)x=1時(shí)，2ax2+bx的值為﹣2，求當(dāng)x=2時(shí)，ax2+bx的值．

考點(diǎn)：代數(shù)式求值．

專題：整體思想．

分析：把x=1代入代數(shù)式求出a、b的關(guān)系式，再把x=2代入代數(shù)式整理即可得解．

解答：解：將x=1代入2ax2+bx=﹣2中，

得2a+b=﹣2，

當(dāng)x=2時(shí)，ax2+bx=4a+2b，

=2（2a+b），

=2×（﹣2），

=﹣4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了代數(shù)式求值，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．

18．（2014秋•吉林校級(jí)期末）出租車司機(jī)小張某天上午的營(yíng)運(yùn)全是東西走向的路線，假定向東為正，向西為負(fù)，他這天上午行車?yán)锍倘缦拢海▎挝唬簁m）+12，﹣4，+15，﹣13，+10，+6，﹣22．求：

（1）小張?jiān)谒偷趲孜怀丝蜁r(shí)行車?yán)锍套钸h(yuǎn)？

（2）若汽車耗油0.1L/km，這天上午汽車共耗油多少升？

考點(diǎn)：正數(shù)和負(fù)數(shù)．

分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，可得行車距離，根據(jù)絕對(duì)值的大小，可得答案；

（2）根據(jù)行車的總路程乘以單位耗油量，可得答案．

解答：解：（1）|﹣22|＞|15|＞|﹣13|＞|12|＞|10|＞|6|＞|﹣4|，

小張?jiān)谒偷谄呶怀丝蜁r(shí)行車?yán)锍套钸h(yuǎn)；

（2）由題意，得

（12+|﹣4|+15+|﹣13|+10+6+|﹣22|）×0.1=82×0.1=8.2（升），

答：這天上午汽車共耗油8.2升．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，利用了絕對(duì)值的意義，有理數(shù)的乘法．

19．（2005•廣東）如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，EG平分∠AEF，∠1=40°，求∠2的度數(shù)．

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角．

專題：計(jì)算題．

分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，再利用角平分線的性質(zhì)推出∠2=180°﹣2∠1，這樣就可求出∠2的度數(shù)．

解答：解：AB∥CD，

∠1=∠AEG．

EG平分∠AEF，

∠1=∠GEF，∠AEF=2∠1．

又∠AEF+∠2=180°，

∠2=180°﹣2∠1=180°﹣80°=100°．

點(diǎn)評(píng)：兩條平行線被第三條直線所截，解答此類題關(guān)鍵是在復(fù)雜圖形之中辨認(rèn)出應(yīng)用性質(zhì)的基本圖形，從而利用性質(zhì)和已知條件計(jì)算．

20．（2014秋•吉林校級(jí)期末）已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，∠AOC為銳角，過O點(diǎn)作直線OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度數(shù)．

考點(diǎn)：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；角平分線的定義．

分析：根據(jù)角平分線的定義可得∠AOF=∠EOF，然后解答即可．

解答：解：OF平分∠AOE，

∠AOF=∠EOF，

∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．

21．（2014秋•吉林校級(jí)期末）如圖，已知OFOC，∠BOC：∠COD：∠DOF=1：2：3，求∠AOC的度數(shù)．

考點(diǎn)：垂線；角的計(jì)算．

分析：根據(jù)垂線的定義，可得∠COF的度數(shù)，根據(jù)按比例分配，可得∠COD的度數(shù)，根據(jù)比例的性質(zhì)，可得∠BOC的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，可得答案．

解答：解：由垂直的定義，得

∠COF=90°，

按比例分配，得

∠COD=90°×=36°．

∠BOC：∠COD=1：2，

即∠BOC：36°=1：2，由比例的性質(zhì)，得

∠BOC=18°，

由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，得

∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣18°=162°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂線，利用了垂線的定義，按比例分配，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)．

22．（2014秋•吉林校級(jí)期末）∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若AOBO，則∠EOF是多少度？

考點(diǎn)：垂線；角平分線的定義．

分析：根據(jù)垂線的定義，可得∠AOB的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得∠AOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠COE、∠COF的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案．

解答：解：由AOBO，得∠AOB=90°，

由角的和差，得∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．

由OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，得∠COE=∠AOC=×150°=75°，∠COF=∠BOC=×60°=30°．

由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣∠COF=75°﹣30°=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂線，利用了垂線的定義，角平分線的定義，角的和差．

23．（2012•錦州二模）如圖，直線AB∥CD，∠A=100°，∠C=75°，則∠E等于25°．

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)．

專題：探究型．

分析：先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠EFD的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)得出結(jié)論即可．

解答：解：直線AB∥CD，∠A=100°，

∠EFD=∠A=100°，

∠EFD是CEF的外角，

∠E=∠EFD﹣∠C=100°﹣75°=25°．

故答案為：25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同位角相等．

24．（2005•安徽）如圖，直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度數(shù)．

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)；角平分線的定義；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角．

專題：計(jì)算題．

分析：根據(jù)角平分線的定義，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)解答即可．

解答：解：∠EMB=50°，

∠BMF=180°﹣∠EMB=130°．

MG平分∠BMF，

∠BMG=∠BMF=65°，

AB∥CD，

∠1=∠BMG=65°．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了角平分線的定義及平行線的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單．

25．（2014秋•吉林校級(jí)期末）將一副直角三角尺（即直角三角形AOB和直角三角形COD）的直角頂點(diǎn)O的重合，其中，在AOB中，∠A=60°，∠B=30°，∠AOB=90°；在COD中，∠C=∠D=45°，∠COD=90°．

（1）如圖1，當(dāng)OA在∠COD的外部，且∠AOC=45°時(shí)，①試說明CO平分∠AOB；②試說明OA∥CD（要求書寫過程）；

（2）如圖2，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)直角三角尺AOB，使OA在∠COD的內(nèi)部，且CD∥OB，試探索∠AOC=45°是否成立，并說明理由．

考點(diǎn)：平行線的判定與性質(zhì)；角的計(jì)算．

分析：（1）①當(dāng)∠AOC=45°時(shí)，根據(jù)條件可求得∠COB=45°可說明CO平分∠AOB；②設(shè)CD、OB交于點(diǎn)E，則可知OE=CE，可證得OBCD，結(jié)合條件可證明OA∥CD；

（2）由平行可得到∠D=∠BOD=45°，則可得到∠AOD=45°，可得到結(jié)論．

解答：解：（1）①∠AOB=90°，∠AOC=45°，

∠COB=90°﹣45°=45°，

∠AOC=∠COB，

即OC平分∠AOB；

②如圖，設(shè)CD、OB交于點(diǎn)E，

∠C=45°，

∠C=∠COB，

∠CEO=90°，

∠AOB=90°，

∠AOB+∠OEC=180°，

AO∥CD；

（2）∠AOC=45°，理由如下：

CD∥OB，

∠DOB=∠D=45°，

∠AOD=90°﹣∠DOB=45°，