函數(shù)思想精選(九篇)

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第1篇：函數(shù)思想范文

一、分類討論思想

分類討論思想就是根據(jù)問題可能存在的情況，進(jìn)行分類討論，從而解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。這是一種重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)培養(yǎng)思維的周密性大有好處。在分類討論時(shí)應(yīng)明確標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏。

已知點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）都在反比例函數(shù)y=的圖像上，且x1＞x2，比較y1與y2的大小。

分析 討論反比例函數(shù)圖像的增減性有一個(gè)前提條件：x在哪一象限內(nèi)，而已知條件中點(diǎn)是否在同一象限不確定，所以要分類討論。

解 （1）當(dāng)兩點(diǎn)在同一象限時(shí)，即當(dāng)x1＞x2＞0或0＞x1＞x2時(shí)，由于k＞0，所以y隨x的增大而減小。因?yàn)閤1＞x2，所以y1＜y2；

（2）當(dāng)兩點(diǎn)不在同一象限時(shí)，即當(dāng)x1＞0＞x2時(shí)，因?yàn)閗＞0，x1＞0，所以y1＞0。同理y2＜0，所以y1＞y2。

點(diǎn)評(píng) 比較函數(shù)值的大小問題時(shí)，若反比例函數(shù)y=中的k的符號(hào)不確定時(shí)要進(jìn)行分類。

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合，主要是指數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。

如圖1，正比例函數(shù)y1=k1x的圖像與反比例函數(shù)y2=的圖像相交于A、B點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，n），BDx軸于點(diǎn)D，且SBDO=4。過點(diǎn)A的一次函數(shù)y3=k3x+b與反比例函數(shù)的圖像交于另一點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)E（5，0）。

（1）求正比例函數(shù)y1、反比例函數(shù)y2和一次函數(shù)y3的解析式；

（2）結(jié)合圖像，求出當(dāng)k3x+b＞＞k1x時(shí)x的取值范圍。

分析 （1）因?yàn)镾BDO=4，由k的幾何意義得y2=。由A點(diǎn)可得y1，由A、E兩點(diǎn)可得y3。在第（2）問中，就是求y3＞y2＞y1時(shí)x的取值范圍，要結(jié)合圖像，通過觀察直接寫出結(jié)果。

解 （1）y1=x；y2=；y3=-2x+10；

（2）x＜-4或1＜x＜4。

點(diǎn)評(píng) 對(duì)第（2）問，以形助數(shù)觀察出結(jié)果很重要，不要去解不等式，直接觀察圖像就可得出答案，這也是解這類題的通法。

三、方程思想

方程思想就是根據(jù)所要解決的問題建立方程模型。

如圖2，P1是反比例函數(shù)y=（k＞0）圖像在第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，0）。

（1）當(dāng)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，P1OA1的面積將如何變化？

（2）若P1OA1與P2A1A2均為等邊三角形，求此反比例函數(shù)的解析式及A2點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析 第（2）問中有正三角形，可想到作正三角形底邊上的高：作P1COA1于C，作P2DA1A2于D。先求出P1的坐標(biāo)，則函數(shù)的解析式也就知道了。若能表示出P2的坐標(biāo)，則可代入函數(shù)解析式列方程求解。

解 （1）P1OA1的面積將逐漸減?。?/p>

（2）作P1COA1于點(diǎn)C，因?yàn)镻1OA1為等邊三角形，

所以O(shè)C=1，P1C=，所以P1（1，）。

把點(diǎn)P1的坐標(biāo)代入y=，得k=，所以反比例函數(shù)的解析式為y=。

作P2DA1A2于點(diǎn)D，設(shè)A1D=a，則OD=2+a，P2D=a，所以P2（2+a，a）。

把點(diǎn)P2的坐標(biāo)代入y=，得（2+a）a=，化簡(jiǎn)得a2+2a-1=0。

解得：a=-1±。

因?yàn)閍＞0，所以a=-1+。

所以點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（2，0）。

點(diǎn)評(píng) 若把圖2中的兩個(gè)正三角形改為正方形或等腰直角三角形，仍可列方程求解。

四、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想就是將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的問題來(lái)解決的一種數(shù)學(xué)思想。

如圖3，過y軸上任意一點(diǎn)P作x軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y=-和y=的圖像交于A點(diǎn)和B點(diǎn)，若C為x軸上任意一點(diǎn)，連接AC、BC，則ABC的面積為（ ）

A.3 B.

C.2 D.4

分析 連接AO、BO，將SABC轉(zhuǎn)化為SABO，然后運(yùn)用k的幾何意義求解。

解 因?yàn)锳B∥x軸，所以ABC與ABO同底等高。

第2篇：函數(shù)思想范文

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想；方程；不等式

在數(shù)學(xué)思想方法中，函數(shù)思想是其中十分重要的內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中起到了至關(guān)重要的作用，函數(shù)代表的不僅僅是我們學(xué)習(xí)中抽象的理論知識(shí)，更反映出了自然界中量之間的依存和相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，函數(shù)明確的反映出了兩個(gè)變量之間的關(guān)系，從某種意義上來(lái)說(shuō)，函數(shù)就是將現(xiàn)有的已知條件轉(zhuǎn)化為專業(yè)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再利用我們構(gòu)造的函數(shù)關(guān)系來(lái)解決實(shí)際的問題。

1函數(shù)的概念

函數(shù)代表的是變量之間的關(guān)系，從變量的角度分析，函數(shù)可以闡述為兩個(gè)變量x和y之間的關(guān)系，在x的某一取值范圍內(nèi)，y會(huì)隨著x的變化呈現(xiàn)出規(guī)律化的變化，在這一對(duì)應(yīng)關(guān)系中，因變量y就被稱為是自變量x的函數(shù)，其表示形式為：y=f（x）。

函數(shù)有許多性質(zhì)，包括奇偶性、單調(diào)性、周期性等。將函數(shù)所具有的這些性質(zhì)與其他的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，可以幫助學(xué)生更好地學(xué)好數(shù)學(xué)，并利用函數(shù)的概念或者性質(zhì)，快速且方便地解答數(shù)學(xué)問題。

2函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

2.1以函數(shù)為載體，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化

函數(shù)與方程、不等式之間關(guān)系緊密，對(duì)函數(shù)的研究與應(yīng)用依賴于不等式和方程，例如，在求函數(shù)的定義域和值域時(shí)，就是利用不等式知識(shí)進(jìn)行求解的。證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)，利用的也是不等式知識(shí)。同時(shí)，在進(jìn)行方程和不等式的性質(zhì)研究時(shí)，也需要函數(shù)思想的指導(dǎo)，這三者之間是密不可分的。例如在求解方程時(shí)，就相當(dāng)于是在求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，在解題的過程中，要將學(xué)到的知識(shí)活學(xué)活用，注意不同知識(shí)間的交叉互換，培養(yǎng)自己的融匯交叉意識(shí)，從而對(duì)知識(shí)有一個(gè)整體的把握。

例1設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的篩x1、x2滿足0

證明：根據(jù)題意可知，

x1、x2是方程f（x）-x=0的根，即x1、x2是ax2+（b-1）x+c=0的根，

ax2

由上題的解題過程可以看出，這是一道求解二次方程的根的分布區(qū)間的問題，解答這一類問題時(shí)，要將題目中給出的已知條件轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f（x）-x=0求解的問題來(lái)解答，通過二次函數(shù)與二次方程之間的相互轉(zhuǎn)化，構(gòu)建簡(jiǎn)化的函數(shù)或方程形式，將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式進(jìn)行解答，這種解題方式可以很好的培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)轉(zhuǎn)化思想，提高學(xué)生的解題能力。

2.2以函數(shù)為載體，促進(jìn)函數(shù)與角的轉(zhuǎn)化

在進(jìn)行三角函數(shù)問題求解時(shí)，要將角的變化與函數(shù)值的變化緊密地聯(lián)系起來(lái)。由于角與三角函數(shù)之間有著緊密的依存關(guān)系，因此，可以從函數(shù)的角度對(duì)角進(jìn)行研究。

例2已知a>0，且a≠1，要使方程有解，則k的取值范圍是多少。

通過對(duì)例題的分析我們可以發(fā)現(xiàn)，這一類方程的解題方法一般是將方程中包含的等式轉(zhuǎn)換為不等式來(lái)求解，然后根據(jù)建立的不等式組有解這一解題條件，對(duì)k的取值進(jìn)行討論，從而求得k的取值范圍。這一類題解題較為簡(jiǎn)便，但在解題的過程中容易忽略對(duì)k值的討論，使得答案有所遺漏，在解題中充分的利用函數(shù)思想，就會(huì)使解題變得簡(jiǎn)單。

解：原方程可以等價(jià)為如下方程：

將上述方程再次等價(jià)為不等式組為

解出k為

令x=acosθ，θ∈（，0）∪（0，）

則

當(dāng)θ∈（，0）時(shí)，

此時(shí)k

當(dāng)θ∈（0，）時(shí)，

此時(shí)0

所以k的取值范圍為k

3結(jié)語(yǔ)

函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要教學(xué)內(nèi)容，其在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，其思維邏輯方式新穎，解法多樣，因此也是歷年考試的重點(diǎn)內(nèi)容。通過對(duì)近年來(lái)高考試題的命題進(jìn)行分析，函數(shù)在高考數(shù)學(xué)中占有非常大的比例，因此，靈活掌握函數(shù)的解題方法，學(xué)會(huì)知識(shí)的靈活運(yùn)用，對(duì)于學(xué)生推理能力和論證能力的培養(yǎng)都有著重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃炎哲.函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用[J].科教導(dǎo)刊.2016，02：124-125.

[2]何冬梅，趙國(guó)清.淺談函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用[J].保山師專學(xué)報(bào).2005，05：40-43.

第3篇：函數(shù)思想范文

一、數(shù)形結(jié)合的思想

總結(jié)：在判斷三角函數(shù)性質(zhì)的題目中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決，更容易讓學(xué)生形象化、具體化、生動(dòng)化，進(jìn)而讓學(xué)生理解、掌握.

二、換元的思想

總結(jié)：在三角函數(shù)式中，若同時(shí)含有sinα±cosα與sinαcosα，則可利用換元的思想，將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決.

三、分類討論的思想

總結(jié)：在三角運(yùn)算中，有關(guān)三角函數(shù)所在象限符號(hào)的選取常需要進(jìn)行討論，三角函數(shù)與二次函數(shù)綜合問題，以及三角函數(shù)最值等問題也要注意討論.

四、化歸與轉(zhuǎn)化的思想

總結(jié)：本題從“角”“名”“形”不同的角度，將三角函數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題得以解決，化歸與轉(zhuǎn)化的思想普遍應(yīng)用于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明中.

五、方程的思想

第4篇：函數(shù)思想范文

一、充分利用教材中的素材，滲透函數(shù)思想

小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，也有很多涉及到函數(shù)思想。老師不僅要在教學(xué)過程中挖掘其內(nèi)容涉及的函數(shù)思想，更需要做好相關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)。只有有意識(shí)地將其中的函數(shù)思想滲透在教學(xué)中，才能產(chǎn)生良好的教學(xué)效果。例如，在長(zhǎng)方體的體積教學(xué)一課中，長(zhǎng)方體的體積公式為：V（體積）=a（長(zhǎng)）×b（寬）×h（高）。這就是一個(gè)三元一次函數(shù)。如果僅是進(jìn)行公式代入計(jì)算教學(xué)，學(xué)生無(wú)法深刻理解和靈活應(yīng)用。因此，要將函數(shù)思想在“量、估、算”等活動(dòng)中體現(xiàn)：師：（黑板上貼紙條，長(zhǎng)10厘米。另一根長(zhǎng)度不明的紙條貼于下方，兩根紙條一端對(duì)齊），同學(xué)們，這紙條長(zhǎng)lO厘米，你能根據(jù)它的長(zhǎng)度估計(jì)下面的紙條有多長(zhǎng)嗎？生估計(jì)。師：說(shuō)說(shuō)你們的方法。生：可以比較一下，下面這根的長(zhǎng)度大概為上面的3倍以上。（請(qǐng)另一位學(xué)生上臺(tái)測(cè)量，結(jié)果為35厘米。對(duì)估計(jì)比較準(zhǔn)確的學(xué)生予以鼓勵(lì)）師：（將已知長(zhǎng)12.5cm，寬8em面積100cm2的長(zhǎng)方形貼于黑板，下面貼要估計(jì)面積的長(zhǎng)方形），上面這個(gè)長(zhǎng)方形面積100平方厘米，你能據(jù)此估計(jì)下面的長(zhǎng)方形面積嗎？生估計(jì)。師：說(shuō)說(shuō)你們的方法。生：上面這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是下面的3倍少一點(diǎn)，寬也是大約3倍。所以下面的長(zhǎng)方形面積約為900cm2，（請(qǐng)另一位學(xué)生上臺(tái)測(cè)量，結(jié)果875平方厘米，估計(jì)比較準(zhǔn)確。）師：（出示兩個(gè)長(zhǎng)方體，一個(gè)已知長(zhǎng)3cm，寬7cm，高10cm，另一個(gè)未知），這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是219cm3，你能據(jù)此估計(jì)一下另一個(gè)盒子的體積嗎？

老師拿著盒子走進(jìn)學(xué)生以讓學(xué)生近距離觀察，進(jìn)行估測(cè)、記錄。最后具體測(cè)量，公布結(jié)果。統(tǒng)計(jì)估計(jì)較準(zhǔn)確的人數(shù)。（很少）師：都是通過已知的估計(jì)未知的，為什么對(duì)體積的估計(jì)會(huì)比較難？生：估計(jì)長(zhǎng)度時(shí)只需比較長(zhǎng)，估計(jì)面積就涉及到長(zhǎng)和寬，體積則要比較長(zhǎng)寬高三個(gè)方面。估計(jì)的數(shù)越多，就越不準(zhǔn)。生：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高只要有一樣變動(dòng)了一點(diǎn)，相乘算出的體積變化就非常大了?？梢?，學(xué)生可以分析出，面積是兩個(gè)變量決定的，體積由三個(gè)變量決定。再加上乘積關(guān)系，學(xué)生都體會(huì)到了只要其中一個(gè)變量變化一點(diǎn)點(diǎn)，就會(huì)較大程度影響最后的結(jié)果。這樣初步的認(rèn)知，是對(duì)f（x，y，z）=xyz這一函數(shù)模型中因變量與三個(gè)自變量存在的關(guān)系的感知體驗(yàn)過程。

其實(shí)小學(xué)教學(xué)中很多內(nèi)容都有涉及函數(shù)思維。這需要教師不斷琢磨教學(xué)內(nèi)容，深入分析理解，才能合理應(yīng)用于教學(xué)設(shè)計(jì)。而深入滲透的教學(xué)設(shè)計(jì)，才能真正挖掘教學(xué)內(nèi)容的深層作用，讓學(xué)生充分理解函數(shù)思想。

二、將靜止的問題改造成運(yùn)動(dòng)、變化的問題，滲透函數(shù)思想

計(jì)算占小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的很大篇幅。如果能把死板的計(jì)算，變得生動(dòng)，蘊(yùn)含變化，學(xué)生則更能感受到函數(shù)思想的魅力。如，小學(xué)一年級(jí)的上冊(cè)，教學(xué)中涉及到的計(jì)算問題：+2=6，教師只需把“+”和“2”靈活變化，如：=6。中填運(yùn)算符號(hào)，中填兩個(gè)數(shù)字，小小的計(jì)算題，經(jīng)過改造，就從靜止中有了變化，從而滲透了函數(shù)思想，開拓了學(xué)生的思維，全方面培養(yǎng)、挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)分析能力和潛力。以下為相關(guān)教學(xué)片段：師：（黑板上貼=6一題）同學(xué)們，今天我們來(lái)看一道有趣的計(jì)算題，想想在的位置能填什么運(yùn)算符號(hào)？生：可以填加號(hào)也可以填減號(hào)！師：如果填加號(hào)，第一個(gè)里能填哪些數(shù)字？生：1到5都可以。生：0也可以1 6也可以。因?yàn)?+0=6，0+6=6。師：（在第一個(gè)口中填上1，請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)填第二個(gè)的數(shù)字）。生填5。師：只能填5嗎？還有其他數(shù)字可以填嗎？生：只能填5.因?yàn)橹挥?加5才等于6，1加別的數(shù)就不等于6了。師：第一個(gè)口中的數(shù)字變成2，還能在第二個(gè)中填5嗎？生：不能，要填4，因?yàn)?+4=6。師：第一個(gè)的數(shù)字變成3呢？生：第二個(gè)填3。師：第一個(gè)填4呢？生：第+就填2。師：通過填數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？生：第一個(gè)數(shù)改變了，第二數(shù)也要跟著變。生：第一個(gè)數(shù)變大，第二個(gè)數(shù)就變小。生：第一個(gè)里的數(shù)加了1，第二個(gè)口里的數(shù)就會(huì)減1。如果是第一個(gè)減1，第二個(gè)則加1。因?yàn)橐荒昙?jí)只學(xué)了簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算，而高年級(jí)將學(xué)習(xí)乘除等復(fù)雜運(yùn)算，所以這樣類似的計(jì)算模型練習(xí)，可以應(yīng)用到每個(gè)年級(jí)段，根據(jù)不同年級(jí)學(xué)習(xí)的運(yùn)算知識(shí)做相應(yīng)調(diào)整。這樣有趣的填空探究游戲，學(xué)生不同程度地理解了函數(shù)涉及到的變量知識(shí)，以及其與未知數(shù)的不同：任意變換變量，未知數(shù)就可以根據(jù)變量唯一固定。這一計(jì)算模型練習(xí)，可以為將來(lái)學(xué)習(xí)方程打好基礎(chǔ)。另外一個(gè)典型的例子在五年級(jí)的下冊(cè)教材，其中一道練習(xí)題如下：一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)18cm，寬13cm。分別在四個(gè)角剪除四個(gè)正方形，邊長(zhǎng)都為1cm，剩下部分折出無(wú)蓋的長(zhǎng)方體，則這個(gè)長(zhǎng)方體的容積是多少？這是一道可以拓展空間思維的計(jì)算題，雖然比較簡(jiǎn)單，但如果教師可以探究出其中的函數(shù)思想，稍作改造，將是個(gè)很好的例題：一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)18cm，寬13cm。分別在四個(gè)角剪除四個(gè)正方形，剩下部分折出無(wú)蓋的長(zhǎng)方體。請(qǐng)你假設(shè)出其中一種剪法，并計(jì)算剪后長(zhǎng)方體的容積。在學(xué)生多種剪法的歸集后，可以讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律。即剪除正方形的邊長(zhǎng)不同，紙盒體積也不同。并且，這種變化是有規(guī)律的――先變得快，后變得慢。這樣難得的例題，可以讓學(xué)生多重.體驗(yàn)二次函數(shù)的變化規(guī)律，對(duì)極值有了初步感知?？梢?，只要教師肯動(dòng)腦筋，都可以把教學(xué)素材中一些算術(shù)問題做點(diǎn)變化，讓學(xué)生充分體驗(yàn)函數(shù)知識(shí)的樂趣！

三、巧用數(shù)學(xué)游戲。滲透函數(shù)思想

以上例子中，都是在教學(xué)的具體例題練習(xí)中挖掘函數(shù)思想，進(jìn)行相應(yīng)變化讓學(xué)生初步感知的例證。其實(shí)，在課堂教學(xué)外，老師也可以利用數(shù)學(xué)游戲，讓學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)。

1.巧用數(shù)學(xué)游戲，讓學(xué)生感受字母語(yǔ)言的優(yōu)越性。數(shù)學(xué)語(yǔ)言無(wú)處不在，學(xué)生使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，能鍛煉其抽象邏輯思維，開拓想象。比如簡(jiǎn)潔的字母就可以代表很多變量，做表格可以理清數(shù)學(xué)規(guī)律，直觀的圖像更能讓學(xué)生易于理解相關(guān)知識(shí)，這就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的魅力。在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中，學(xué)生更是在無(wú)形中體會(huì)數(shù)學(xué)的變化、數(shù)學(xué)知識(shí)中各數(shù)量的聯(lián)系以及相關(guān)的規(guī)律，等等。下面就字母這一數(shù)學(xué)語(yǔ)言舉例說(shuō)明數(shù)學(xué)游戲的設(shè)計(jì)：讓學(xué)生在心里想好一個(gè)數(shù)字，用這個(gè)數(shù)加上5，再乘以2，減4，除以2，最后減去所選的那個(gè)數(shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，無(wú)論選的哪個(gè)數(shù)字，最后結(jié)果都是3！這樣神奇的游戲，能激發(fā)學(xué)生的探究興趣，經(jīng)過不斷實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，學(xué)生更加想找出原因以及肯定答案，但數(shù)字無(wú)窮無(wú)盡。是無(wú)法一一舉例研究的，在教師引導(dǎo)下，學(xué)生開始應(yīng)用字母來(lái)代表任意數(shù)字，進(jìn)行相關(guān)演算：設(shè)所選數(shù)為x， 1x+5： 22（x+5）； 32x+10-4=2x+6； 4（2x+6）/2=x+3： 5x+3-x=3！小小的一個(gè)規(guī)律，通過簡(jiǎn)單的一個(gè)字母，就可以進(jìn)行驗(yàn)證推理最終得以肯定。這樣有趣的探究過程，學(xué)生不僅能體會(huì)到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的魅力，更滲透著初步的函數(shù)思想，能讓學(xué)生了解函數(shù)的巨大力量！

第5篇：函數(shù)思想范文

關(guān)鍵詞：函數(shù)；高中數(shù)學(xué)；求解思想

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2017）02-0203-02

高中數(shù)學(xué)容量很大，本身課程安排又很緊，如何在有限的時(shí)間內(nèi)快速、準(zhǔn)確的求解數(shù)學(xué)題目，給其它科目騰出更多的時(shí)間，是一個(gè)值得認(rèn)真思考的問題。函數(shù)存在于高中數(shù)學(xué)的整個(gè)過程，也是高考必考的一個(gè)熱點(diǎn)，可以用來(lái)解決很多實(shí)際問題，同時(shí)函數(shù)求解思想對(duì)我們高中生的思維能達(dá)到很好的訓(xùn)練。高中數(shù)學(xué)當(dāng)中通過構(gòu)造函數(shù)求解的數(shù)學(xué)問題大概有以下幾類，比較數(shù)和式子的大小，求極值問題，不等式的證明，方程是求解和討論參數(shù)的取值范圍等等。當(dāng)下，我們對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)不夠深刻，對(duì)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題這種思維模式比較陌生，不太容易和當(dāng)下的實(shí)際生活接軌，適當(dāng)?shù)呐囵B(yǎng)函數(shù)求解思想能增強(qiáng)我們學(xué)習(xí)的熱情，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣。

1 函數(shù)求解思想的介紹

函數(shù)求解思想是指在求解某些實(shí)際問題時(shí)通過構(gòu)造成數(shù)學(xué)函數(shù)，然后以求解函數(shù)思想來(lái)解決所要求解的問題。通過構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的特性求解非函數(shù)問題，會(huì)轉(zhuǎn)換思考問題的思路，簡(jiǎn)化題目的難度，值得我們學(xué)習(xí)和運(yùn)用。函數(shù)求解思想的解題策略實(shí)際上是將原本好像是靜態(tài)的問題放到動(dòng)態(tài)的過程中去考慮和觀察，將片面的問題投放到全面的層次上去思考解決。這種求解思想很具有創(chuàng)新性。構(gòu)造函數(shù)在降低解決問題難度的同時(shí)還可以塑造我們的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)我們數(shù)學(xué)思維的靈活性，對(duì)我們的創(chuàng)新能力有一定的促進(jìn)作用。

2 函數(shù)求解思想在高中數(shù)學(xué)解題方法中的的應(yīng)用舉例

函數(shù)求解思想貫穿于高中數(shù)學(xué)的各個(gè)層面，很多實(shí)際問題和幾何問題都可以通過構(gòu)造函數(shù)來(lái)求解，函數(shù)本身的特性和特定的函數(shù)以及題目的約束條件會(huì)大大的提高解題速度和準(zhǔn)確性。本文就以下幾個(gè)例題對(duì)函數(shù)求解思想加以闡述和說(shuō)明。求解例題如下：試著比較0.80.5和0.90.4大小。

求解：這是一個(gè)不等式的比較問題，用常規(guī)的方法很難求解，若運(yùn)用函數(shù)思想，將其構(gòu)造成冪函數(shù)，，再通過函數(shù)的單調(diào)性，則可以得出，接才來(lái)構(gòu)造冪函數(shù)，同樣根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，由此可以得出。由該例題可以看出，函數(shù)求解思想可以化不可能為可能，原本無(wú)法著手的題目通過構(gòu)造函數(shù)可以簡(jiǎn)單、清晰的求解。轉(zhuǎn)換求解問題的思路，值得我們學(xué)習(xí)。

再看下一個(gè)不等式題目，令e

求解：該題目同上，也不好求解，運(yùn)用函數(shù)思想，構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，，則導(dǎo)數(shù)，令=0，則得出x=e。再通過函數(shù)的單調(diào)性分析如下：

（1）當(dāng)0

（2）當(dāng)e0，在（e，+∞]上是單調(diào)遞減的。

由于e

再來(lái)看一道通過構(gòu)造函數(shù)來(lái)求參數(shù)的取值范圍的題目，如果不等式對(duì)滿足的所有x都成立，那么求x的取值范圍。

求解：該題目若不通過構(gòu)造函數(shù)來(lái)求解，則解題過程相當(dāng)復(fù)雜，還的分類討論。

構(gòu)造函數(shù)，則題目可以轉(zhuǎn)化為使得求解不等式組可得。由構(gòu)造函數(shù)使得題目變得簡(jiǎn)單易解，這在考場(chǎng)上很有優(yōu)勢(shì)，可以節(jié)約大量的時(shí)間，減少計(jì)算量，使我們保持清晰的思維過程。

3 利用函數(shù)求解思想解決數(shù)學(xué)問題

函數(shù)求解思想需要大膽的想象，聯(lián)想找到數(shù)學(xué)題目和函數(shù)的關(guān)聯(lián)，類比，這和敏銳的數(shù)學(xué)嗅覺是分不開的，這就需要我們平時(shí)多思考，多做題目，多積累。深刻理解每一類函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，每一個(gè)函數(shù)的幾何意義，實(shí)際意義，以及函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)定理，推論，只有深刻的洞悉這些函數(shù)內(nèi)在的意義，在解題過程中才會(huì)有靈光一現(xiàn)的瞬間，我們?cè)谧鲱}中應(yīng)當(dāng)刻意的去培養(yǎng)這種數(shù)學(xué)思維。尤其是在不等式的證明，求最值和比較大小，這時(shí)我們應(yīng)該仔細(xì)觀察題目中數(shù)學(xué)式子的模型，做一定的聯(lián)想和匹配，再應(yīng)用函數(shù)的特性尤其是單調(diào)性求解，使得所求解的問題簡(jiǎn)單化，取得化腐朽為神奇的效果，這也是當(dāng)下課改以后高考的一個(gè)趨勢(shì)。此外若涉及到求某個(gè)參數(shù)的取值范圍，這種題目十有八九就是要通過函數(shù)來(lái)解決，因?yàn)橥ㄟ^求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的零點(diǎn)和極值，這本身也是一個(gè)很綜合復(fù)雜的題目，考察的知識(shí)點(diǎn)也比較全面，符合當(dāng)下課改的要求，更有助于培養(yǎng)我們解決問題的綜合能力，在學(xué)習(xí)和解題過程中需要多加注意和總結(jié)。拋物線和一元二次方程的關(guān)系，未知數(shù)系數(shù)所代表的實(shí)際意義，以及有解和無(wú)解的判斷，判別式的合理運(yùn)用，可以快速的解決一部分選擇題，大大減少題目的計(jì)算量。此外，不等式的證明類題目，大多數(shù)都是通過構(gòu)造函數(shù)做差，證明該函數(shù)恒大于零或者恒小于零，這個(gè)題目的轉(zhuǎn)化過程值得我們注意和思考。最后，還有一些實(shí)際問題也可以通過構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決，比如二次函數(shù)和車燈的激光反射問題，只是在考慮這類問題時(shí)，應(yīng)該嚴(yán)格注意題目中自變量和因變量的取值范圍，實(shí)際問題往往有實(shí)際取值的限制。只要我們善于思考，學(xué)習(xí)，嘗試和總結(jié)，函數(shù)求解思想一定可以在解題中給我們很大的啟發(fā)性。

4 結(jié)語(yǔ)

函數(shù)求解思想是高中數(shù)學(xué)解題別實(shí)用又很常用的一種方法，通過函數(shù)求解思想的應(yīng)用可以更好的幫我們熟悉函數(shù)的性質(zhì)和意義，進(jìn)一步促進(jìn)函數(shù)的學(xué)習(xí)，鞏固先前的學(xué)習(xí)效果，挖掘單純的函數(shù)學(xué)習(xí)背后的意義，其次和實(shí)際問題的接軌，可以削減單純數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的枯燥，高效的解題方法除了提高我們學(xué)習(xí)熱情和培養(yǎng)較好的數(shù)學(xué)思維外，還給其它科目騰出更多的學(xué)習(xí)空間，這樣更有利于我們?nèi)娴膶W(xué)習(xí)，培養(yǎng)其它的興趣愛好，全面發(fā)展，在高考中占據(jù)更有利的位置，函數(shù)求解思想觸類旁通在物理中也可以借鑒，值得我們思考。將靜態(tài)的問題通過動(dòng)態(tài)的思想去解決，講局部的問題通過全面的思想去解決，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和特性，尤其是單調(diào)性和O值，最后很好的解決數(shù)學(xué)問題這本身是一種具有創(chuàng)新性的思維模式，很符合當(dāng)前的教育愿景，值得學(xué)習(xí)和思考。

參考文獻(xiàn)：

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第6篇：函數(shù)思想范文

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；函數(shù)思想；方程思想

一、知識(shí)內(nèi)容

1. 函數(shù)的思想

就是利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析問題，通常將一些方程、不等式的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題。具體體現(xiàn)有求方程的根的問題、不等式恒成立的問題，特別是一些超越方程或超越不等式中，巧用函數(shù)的思想，會(huì)使問題迎刃而解。

2. 方程的思想

就是把函數(shù)構(gòu)造成方程，利用方程進(jìn)一步研究方程的思想。具體體現(xiàn)有求函數(shù)的值域的問題、解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，都可利用解二元方程組來(lái)巧妙解決。

二、典例分析

1. （題型1）構(gòu)造函數(shù)，并利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)來(lái)解決有關(guān)問題

例1 若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值。

分析：方程2x+2x=5與方程2x+2log2（x-1）=5都是超越方程，其中方程的根都是不能直接求解，所以應(yīng)找到兩個(gè)方程之間的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的思想來(lái)解答。

解：由2x+2x=52x=5-2x2x-1=-x…（1）

2x+2log2（x-1）=52log2（x-1）=5-2xlog2（x-1）=-x… （2）

由（1）式知x1可以看做函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y=-x的產(chǎn)生的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；

由（2）式知x2可以看做函數(shù)y=log2（x-1）與函數(shù)y=-x產(chǎn)生的交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)。

而y=2x-1與y=log2（x-1）分別由y=2x與y=logx同時(shí)向右平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=2x與y=logx函數(shù)圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，即y=2x-1與log2（x-1）函數(shù)圖像關(guān)于y=x-1直線對(duì)稱。因?yàn)閥=x-1與y=-x互相垂直，其交點(diǎn)C坐標(biāo)為（，），同時(shí)A、B兩點(diǎn)關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱，所以x1+x2=2×=。

點(diǎn)評(píng)：本例由已知方程構(gòu)成函數(shù)，巧用指對(duì)函數(shù)圖像的對(duì)稱性來(lái)巧妙地解決問題。

變式：設(shè)a，b∈R且（a-1）3+2002（a-1）=-1，（b-1）3+2002（b-1）=1，求a+b的值。

分析：觀察已知條件中結(jié)構(gòu)形式，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x3+2002x，有f（a-1）=-f（b-1），知y=f（x）為奇函數(shù)且y=f（x）在R遞增的，f（a-1）=f（1-b）a-1=1-ba+b=2。

例2 設(shè)不等式2x-1>m（x2-1）對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

分析：不等式f（x）≥g（x）恒成立，往往都是構(gòu)造F（x）=f（x）-g（x），往求F（x）min，使得F（x）min≥0，即可達(dá)到解決問題的目的。若構(gòu)造二次函數(shù)F（x）=2x-1-m（x2-1），m∈[-2，2]，往求F（x）min，利用分類討論思想較為復(fù)雜化，若變換以m為主元，x為輔元，即一次函數(shù)F（m）=（x2-1）m-（2x-1），-2≤m≤2，往求F（m）max，即可使得F（m）max

只要f（-2）

實(shí)數(shù)x的取值范圍為（，）。

點(diǎn)評(píng)：本例將不等式恒成立問題構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)巧妙解決問題。

2. （題型2）建立方程，利用方程的思想解決有關(guān)問題

例3 如果函數(shù)y=的最大值是4，最小值是-1，求實(shí)數(shù)的值。

分析：函數(shù)y=的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?1≤y≤4，由y=轉(zhuǎn)化為yx2-ax+y-b=0關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，使用到別式。

解：y=定義域?yàn)镽yx2-ax+y-b=0有實(shí)數(shù)根 （-a）2-4y（y-b）≥04y2-4by-a2≤0。

-1≤y≤4，4y2-4by-a2-=0產(chǎn)生有兩根-1，4。

-1+4=-1+4=a=±4b=3。

點(diǎn)評(píng)：本例巧妙地將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成方程根的問題解決問題。

例4 已知函數(shù)f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1）。

（1）當(dāng)a>1時(shí)，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增。

（2）若函數(shù)y=f（x）-t-1有三個(gè)零點(diǎn)，求的值。

分析：函數(shù)y=f（x）-t-1有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化方程f（x）-t-1=0有三個(gè)根，再轉(zhuǎn)化成f（x）=t±1方程有三個(gè)根，再轉(zhuǎn)化成函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y==t±1有三個(gè)交點(diǎn)，利用函數(shù)與方程思想相互轉(zhuǎn)化。

解：（1）f'（x）=axlna+2x-lna=（ax-1）lna+2x。

x>0，a>1，ax>1，ax-1>0，lna>0，2x>0。

（ax-1）lna+2x>0，即f'（x）>0。y=f（x）在（0，+∞）是單調(diào)遞增的。

（2）函數(shù)y=f（x）-t-1有三個(gè)零點(diǎn)？圳方程f（x）-t-1=0有三個(gè)根？圳f（x）=t±1方程有三個(gè)根？圳函數(shù)y=f（x）與函數(shù)f=t±1有三個(gè)交點(diǎn)。

由（1）式知當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，f'（x）=（ax-1）lna+2x，當(dāng)a>1時(shí)，若x

當(dāng)a>1時(shí)，y=f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減。

當(dāng)00時(shí)，ax-1

當(dāng)a>1時(shí)，y=f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增。

當(dāng)00 lna

（ax-1）lna

當(dāng)0

y=f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增。

y=f（x）與y=t±1有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又t+1>t-1，y=t-1=f（0）=1時(shí)，且t=2時(shí)滿足要求。

t=2。

點(diǎn)評(píng)：本例巧妙利用函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的思想解決問題。

第7篇：函數(shù)思想范文

一、函數(shù)與方程思想中的基本要素分析

初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)與方程思想的掌握是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的基本技能.首先必須對(duì)初中階段函數(shù)類型和性質(zhì)有較為深刻的理解，熟悉函數(shù)與方程思想解題時(shí)所涉及的基本元素.初中階段最為常見的函數(shù)包括一次函數(shù)和二次函數(shù).在實(shí)際題目中，這兩種函數(shù)的考查頻率也相對(duì)較高.因此，一次函數(shù)和二次函數(shù)的基本概念和表達(dá)式成為函數(shù)與方程思想中的首要元素.

1.函數(shù)要素分析

對(duì)函數(shù)基本表達(dá)式的理解是掌握函數(shù)與方程思想的先決條件.比如，表達(dá)式：（1）y=kx+b；（2）y=ax2+bx+c中，要使（1）成為一次函數(shù)，必須k≠0.這是對(duì)一次函數(shù)最起碼的理解.要達(dá)到熟練應(yīng)用的程度，必須進(jìn)一步挖掘該解析式中一次項(xiàng)系數(shù)k決定的圖像類型，結(jié)合坐標(biāo)軸構(gòu)建清晰的數(shù)學(xué)模型，（2）式成為二次函數(shù)的先決條件是a≠0.函數(shù)對(duì)應(yīng)的具體形狀曲線隨a的取值不同隨之改變.按照教材內(nèi)容中對(duì)該類函數(shù)基本概念的解釋，從圖像上構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，結(jié)合圖形能夠加深對(duì)函數(shù)知識(shí)的掌握.具體如下：（1）式中，根據(jù)k、b的正負(fù)取值可以構(gòu)建不同形狀的函數(shù)曲線；（2）式中可以根據(jù)a的正負(fù)確定二次曲線的開口方向等，合坐標(biāo)系可以得到以下圖像：

圖（a）圖（b）圖（c）圖（d）

從以上基本知識(shí)的梳理中可以看出，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)知識(shí)深刻理解的有效途徑，通過對(duì)關(guān)鍵系數(shù)的分類思考，可以全面掌握函數(shù)思想在解題過程中所具備的基本要素，實(shí)際題目中涉及的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)往往圍繞以上關(guān)鍵系數(shù)展開.因此學(xué)會(huì)采用數(shù)學(xué)模型方法，以數(shù)形結(jié)合的方式鞏固基本知識(shí)，是熟練掌握函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ).

2.方程要素分析

方程是解決問題的直接入手點(diǎn)，也是定量求解實(shí)際問題的必經(jīng)之路.求解題目首先要挖掘隱含條件.構(gòu)建方程的首要任務(wù)是尋找題目中的等量關(guān)系.設(shè)想在題目所給條件下，存在一個(gè)類似方程式的等式，其中包括若干未知量和已知量.能否順利應(yīng)用函數(shù)與方程思想，取決于尋找方程所需要的對(duì)等條件.任何方程的求解，可以視為是對(duì)函數(shù)值為0時(shí)的自變量方程求解.比如，一元一次方程kx+b=0可以看做是y=kx+b的函數(shù)值為0時(shí)，自變量x的表達(dá)式.方程思想的應(yīng)用在一定程度上拓寬了解題思維，使得對(duì)方程式的求解更加形象具體，某種意義上賦予了一定的數(shù)學(xué)含義，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)更加具有啟發(fā)性.

二、函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用

方程與函數(shù)本身就有必然的聯(lián)系，方程可以視為是函數(shù)賦予特值后的自變量表達(dá)式.因此，方程與函數(shù)有著相同的思路和解題方法，都是通過建立相等關(guān)系，求出未知數(shù)的值.兩者結(jié)合的思想關(guān)鍵就是找出相等關(guān)系，建立變量之間的等量關(guān)系，這是輕松求解函數(shù)問題的基礎(chǔ)，可以使數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)潔、清晰.

通常情況下，函數(shù)與方程思想的應(yīng)用涉及方程組的求解，此類題目的一般解題步驟是盡可能挖掘題目所含條件，根據(jù)上文所提到的函數(shù)和方程所具備的基本元素，限定特征方程解析式對(duì)應(yīng)的等式條件，將互相制約的各個(gè)方程聯(lián)立起來(lái)，構(gòu)建具有共解的方程組，以下實(shí)例具體說(shuō)明.

【實(shí)例】一條拋物線y=-12x2+（5-m2）x+m-3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，且OA=OB.求m的值.

分析：A，B為兩交點(diǎn)且關(guān)于x軸對(duì)稱，可知該拋物線對(duì)稱軸x=-b2a為y軸，再結(jié)合特殊點(diǎn)位置x=0時(shí)，y>0，可輕松建立方程組求解.即

5-m2=0m-3>0聯(lián)合求解即可.該題在求解過程中首選根據(jù)拋物線特征參數(shù)，亦即對(duì)稱軸方程確定關(guān)于m的方程式，再結(jié)合拋物線定點(diǎn)特征，限定m的取值范圍，通過二者之間的制約關(guān)系，建立方程組求解，是典型的函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，是初中數(shù)學(xué)解題中的有效途徑.

第8篇：函數(shù)思想范文

本篇運(yùn)用函數(shù)思想方法, 通過建立函數(shù)或構(gòu)造輔助函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì), 從而使問題得到解決．

1．構(gòu)造函數(shù)解不等式

在構(gòu)造函數(shù)解不等式中，應(yīng)抓住所解不等式的結(jié)構(gòu)特征，適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解不等式，往往會(huì)優(yōu)化解題過程，甚至出奇制勝，給人以耳目一新的感覺．

（1）利用函數(shù)的定義域解不等式

例1 解不等式

解：構(gòu)造函數(shù),原不等式化為其定義域?yàn)?/p>

當(dāng)x≥0時(shí),

所以，原不等式的解集為

（2） 利用函數(shù)的值域解不等式

例2 不等式- 的解集為R，求實(shí)數(shù) a的取值范圍．

解：構(gòu)造函數(shù)

所以

原不等式的解集為R，所以有 同時(shí)成立,解得

（3） 利用函數(shù)的奇偶性解不等式

例3 解不等式

解：構(gòu)造函數(shù)

易證 是偶函數(shù).設(shè) 原不等式可化為

解得 原不等式的解為

（4） 利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

例4 當(dāng) 時(shí)，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解：構(gòu)造函數(shù) 恒成立，由一次函數(shù)單調(diào)性知，只須 同時(shí)成立．解得x>3或x

（5）利用“ 的解集即函數(shù)的圖象在軸的上方的部分對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍”解不等式.

例5 解不等式

解：構(gòu)造函數(shù) 其定義域?yàn)?解方程f(x)=0無(wú)實(shí)根，所以函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，取 函數(shù)f(x)圖象分別在 上連續(xù)．所以，解集為

（6）利用“f(x)>g(x)的解集即函數(shù)y=f(x)的圖象上方的部分對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍”解不等式．

例6 不等式的解集為，求實(shí)數(shù)α的取值范圍．

解：構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)f(x)的圖象為等軸雙曲線在軸上方的部分，其漸近線與y=x+1平行，所以原不等式的解集為 ．由圖象知兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，所以α=1，α=-1．

2．構(gòu)造函數(shù)證明不等式

函數(shù)思想是最基本的數(shù)學(xué)思想．根據(jù)所證不等式的特征，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性及二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式，往往是解決此類問題的簡(jiǎn)捷思路．下文試圖通過一些實(shí)例，簡(jiǎn)述函數(shù)思想在不等式證明中的運(yùn)用．在“不等式的證明”教學(xué)中，滲透函數(shù)思想，不僅可降低題目的難度，更重要的是提高了學(xué)生轉(zhuǎn)化問題、運(yùn)用知識(shí)的能力，更有助于學(xué)生構(gòu)造整體知識(shí)體系，加強(qiáng)知識(shí)板塊之間的聯(lián)系，從而逐步做到運(yùn)籌帷幄，游刃有余．

（1）利用函數(shù)的單調(diào)性

例7 巳知

本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數(shù)思想，構(gòu)造出與所證等式密切相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值而證之，思路則更為清晰．

證明：令

例8 求證：

本題若直接運(yùn)用比較法或放縮法，很難尋其線索．若考慮構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明，問題將迎刃而解．

證明：令 ，可證得f(x)在[0，∞]上是增函數(shù),

第9篇：函數(shù)思想范文

【關(guān)鍵詞】高中函數(shù) 化歸思想 解題研究

引言

在對(duì)學(xué)生進(jìn)行化歸思想教育的過程中，要注意化歸思想的幾個(gè)主要原則，首先是把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題。其次把有難度的問題轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)的問題，把抽象的問題具體化、特殊化。另外，還要注意理論與實(shí)際相結(jié)合，教師還要在解題的過程中，不斷的深化化歸思想，使學(xué)生能夠熟練的掌握和應(yīng)用。

一、化歸思想方法的類型

化歸思想簡(jiǎn)單的理解就是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)，主要包括三個(gè)基本的要素：化歸的對(duì)象、化歸的途徑以及化歸的目標(biāo)。轉(zhuǎn)化主要包括等價(jià)的轉(zhuǎn)化和非等價(jià)的轉(zhuǎn)化，其中通過等價(jià)轉(zhuǎn)化而得到的問題與原問題在本質(zhì)上是相同的，而非等價(jià)轉(zhuǎn)化得來(lái)的問題與原問題的本質(zhì)不相同，必須對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)并加以補(bǔ)充與修改，才能確定轉(zhuǎn)化的等價(jià)性?；瘹w思想主要有以下幾種

1.數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

在函數(shù)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是常用的解題方法之一，函數(shù)的解析式可以用函數(shù)的圖像清晰的表示，而且函數(shù)的圖像也可以借助函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行表達(dá)，在解題的過程中可以通過數(shù)與形的相互聯(lián)系和統(tǒng)一，使學(xué)生獲得準(zhǔn)確而簡(jiǎn)單的答案。

例：已知x=ax+1方程式中有一個(gè)負(fù)根，而且沒有正根，求出a的取值范圍。

根據(jù)分析，可以將方程的兩邊看作是兩個(gè)函數(shù)，然后分別作出函數(shù)圖像。

L1：y=x；L2：y=ax+1。等式中L2是通過（0，1）的直線，如果要使x的取值為負(fù)的，則需要a≥1。

2.映射的化歸

（1）高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念有很強(qiáng)的抽象性與概括性，其本質(zhì)是一種映射關(guān)系。在教學(xué)的的過程中，教師傾向于通過舉例來(lái)講解函數(shù)的概念，導(dǎo)致學(xué)生沒有從本質(zhì)理解函數(shù)的概念，只是大概的了解函數(shù)的概念和例子。在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，教師可以將抽象的函數(shù)概念化歸成簡(jiǎn)單的形式，以便于學(xué)生的理解和記憶。例如：滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）的函數(shù)模型為三角函數(shù)，滿足f（x）?f（y）=f（xy）的函數(shù)模型為冪函數(shù)，另外滿足f（x+y）=f（x） ?f（y）的函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)，這些等價(jià)關(guān)系之間的化歸在函數(shù)解題過程中有著重要的作用。

（2）在計(jì)算函數(shù)問題的過程中，我們可以將其轉(zhuǎn)化為具體數(shù)值，通過對(duì)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算找到解題的思路與方法，這就是函數(shù)問題中經(jīng)常用到的“賦值法”。例如：已知偶函數(shù)g（x）在零到正無(wú)窮上是增函數(shù)，那么g（x）>g（1）的解集是？對(duì)于這個(gè)問題，教師舉一個(gè)具體的函數(shù)g（x） =x2的例子即可以向?qū)W生說(shuō)明。

3.一般與特殊的轉(zhuǎn)化

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，一般與特殊的情況可以進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)化。有些數(shù)學(xué)問題通過一般的方法比較復(fù)雜，但是如果根據(jù)特殊情形進(jìn)行思考則可以獲得比較簡(jiǎn)單的解題思路。另外，特殊情況下得到的結(jié)論通過總結(jié)與歸納也可以推廣到一般的情形。例如：如果（3x+1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3 +a4x4+a5x5，求a0+a2+a4的值。首先分析，這個(gè)題目運(yùn)用一般的思路比較復(fù)雜也不容易得出答案，那么就可以考慮運(yùn)用特殊值的方法進(jìn)行解題。

令x=1，則可以得出a0+a1+a2+a3+ a4+a5=4

令x=-1，可以得出a0-a1+a2-a3+a4-a5=32相加得2（a0+a2+a4）=36，得出結(jié)果a0+a2+a4=18

這種方法不僅簡(jiǎn)單那便捷，而且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與思考的熱情，使其更愿意主動(dòng)的發(fā)現(xiàn)的新的解題方法，以此來(lái)提高學(xué)生的解題能力。

4.正面與反面的轉(zhuǎn)化

解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們可以從不同的角度進(jìn)行思考與分析，有的問題從正面解決比較容易，而有的問題則需從反面入手。根據(jù)實(shí)際情況，從正確的角度來(lái)解決問題。在解決概率問題的過程中，我們可以運(yùn)用到正面與反面的轉(zhuǎn)化。例如某射擊選手每次擊中目標(biāo)的概率為0.7，連續(xù)射擊8次，并且每次的射擊都是獨(dú)立、互不影響的。那么這個(gè)射擊選手至少擊中一次目標(biāo)的概率為多少？

首先我們考慮從正面對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行解答，這就需要我們把8種情況進(jìn)行逐一分析。那么就要考慮在射擊的過程中恰好擊中一次、兩次、三次、四次、五次、六次、七次、八次的情況，這個(gè)過程分析起來(lái)就比較的復(fù)雜，所以我們可以忽略這種方法，從反面進(jìn)行著手，來(lái)分析對(duì)立事件的概率，即射擊選手八次均未擊中目標(biāo)的情況。把八次均為擊中目標(biāo)的概率記為p8（0），那么p8（0）=C80（0.7）0 （1-0.7）8那么射擊選手至少擊中一次目標(biāo)的概率為1-p8（0）。這種方法避免了繁瑣的分析過程，不僅減少了運(yùn)算過程中的錯(cuò)誤率而且使問題的解決更加的快速。在考試的過程中，學(xué)生如果能夠熟練的運(yùn)用。

二、化歸思想的重要性

1.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，化歸思想可以起到很好的融合作用，并使學(xué)生循序漸進(jìn)的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。例如在平面幾何的教學(xué)中，我們可以多次使用化歸的思想，使學(xué)生清楚的了解到復(fù)雜的幾何圖形都是由簡(jiǎn)單的圖形組合而成的，幫助學(xué)生理清思路。另外在鈍角三角函數(shù)中，將鈍角轉(zhuǎn)化為銳角進(jìn)行來(lái)解決問題。通過這種方法，可以加深學(xué)生對(duì)化歸思想的理解。

2.化歸思想不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，而且可以培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力。在解題的過程中，學(xué)生不僅可以回顧已學(xué)過的知識(shí)，而且可以使用不同的方法進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換。在高中的函數(shù)教學(xué)中，化歸思想就是將各個(gè)函數(shù)溝通起來(lái)的橋梁，它可以把函數(shù)知識(shí)與解題模式充分的結(jié)合起來(lái)，從而提高學(xué)生的解題能力。

小結(jié)