函數(shù)最值的應用精選(九篇)
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第1篇：函數(shù)最值的應用范文
均值不等式是高中數(shù)學不等式中的重要內容，均值不等式在求函數(shù)最值、解決一些取值范圍問題時運用非常廣泛，是歷年高考考查的重要知識點之一。在實際應用時，我們應因題而宜地進行變換，并注意等號成立的條件，達到解題的目的，變換題目所給函數(shù)的形式，利用熟悉知識求解是常用的解題技巧，熟練運用該技巧，對于提高思維的靈活性和嚴密性大有益處。
一、運用均值不等式時應注意事項
在解決這一類型的題時需要特別注意的是等號成立的條件，特別是遇到一些函數(shù)本身就有取值限制范圍時，需要根據(jù)函數(shù)合理存在的限制取值范圍再求函數(shù)的最值。
二、把所給函數(shù)巧妙轉化成均值不等式后求最值
這是一種比較難掌握的方法，因此運用此法需要具有扎實的基礎知識，敏銳的觀察力。下面舉兩個例子對此法加以介紹。
欲靈活應用此法，需要多練習，并在解題的過程中體會總結規(guī)律，達到孰能生巧，總之，遇到此類型的題，最重要的是需配出相應的形式。
三、結語
以上通過幾個實例簡單介紹了利用均值不等式求最值問題需要注意的一些事項，但對于具體題目，有時可能有多種解題方法，究竟如何求出函數(shù)合理的最值，還需要我們在教和學的實踐中不斷探索和總結。
參考文獻：
[1]王影.求函數(shù)值域的幾種常用方法.解題技巧與方法，2010.
[2]蔓，孫錳.妙用均值不等式求多元函數(shù)的最值.高中數(shù)學教與學，2010，（4）.
[3]魏福軍.用均值不等式求最值須注意的幾點.中學生數(shù)學，2003，（1）.
[4]徐麗聘.利用均值不等式求最值.求實篇――學習方法總結，2009，（9）.
[5]劉新良，李慶社.十二種求函數(shù)值域的常用方法.高中生，2006，（18）.
[6]高飛，朱傳橋.巧用均值不等式球最值.高中數(shù)學教與學，2007，（5）.
第2篇：函數(shù)最值的應用范文
關鍵詞 三角函數(shù) 最值 思維方法
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A
Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function
ZHANG Jianlu
（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）
Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.
Key words Trigonometric function； the most value； thinking method
函數(shù)是中學數(shù)學教學的主線，是中學數(shù)學的核心內容，也是整個高中數(shù)學的基礎。三角函數(shù)是函數(shù)的一種重要的函數(shù)，三角函數(shù)的最值問題包括了對三角函數(shù)的概念、圖像、性質及誘導公式、同角三角函數(shù)間基本關系式、兩角和差以及倍角公式的考查，是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，有廣泛的實際應用，一直是高考命題的熱點。我們從以下六個方面舉例介紹求三角函數(shù)的最值。
1 將已知函數(shù)轉化為 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函數(shù)的最值
求三角函數(shù)的最值問題的主要依據(jù)就是正弦、余弦函數(shù)的值域。求三角函數(shù)的最值時，常常通過恒等變換，使它轉化為反含同名函數(shù)的各項。而恒等變換，一般要綜合運用同角三角函數(shù)間的關系、和角、半角、半角的三角函數(shù)及和差化積、積化和差公式等轉化為 = （ + ） + 的形式，只要能轉化，問題就迎刃而解。
求 = + 的最值。
解： = （ + ）（ + ）
= （ + ）23 = 1
= 1 （1 ） = +
當 = （）時 = 1，當 = + （）時 = 。
2 應用平均值定理求最值
求函數(shù) = （為銳角）的最大值。
解： = >0
= = 4·≤4（）3 =
當 = ，即 = 時， = 。
應用平均值定理求函數(shù)最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通過分析將 （）放大或縮小成一個常數(shù)，這就是求最值的基本思維方法——放縮法，平均值定理是放縮法的一種極好手段。
3 應用二次函數(shù)判別式求最（極）值
求 = （，，其中為三角形內角）的最大值。
解：原函數(shù)化為 = [ ]
+ 2 = 0
= 8 ≥0 ≤≤
當 = 時， = = ，
所以當 = = 時， = 。
此題也可用放縮法解
= · ≤
= - （ ）2 + ≤。
注意在用放縮法時，等號必須成立。
4 應用函數(shù)的有界性
求 = 的值域。
解：由已知得：（） + （） = ——①
令 = ， =
①式化為 （ + ） =
∣∣≤
解得≤ - 或≥1，所求值域為（，- ]∪[1，）。
5 應用函數(shù)的單調性
已知 = + ， （0，），求的最小值。
解：令 = = ，則（0，）。 = + 。
6 利用數(shù)形結合
求函數(shù) = 的最值。
圖1
解：原函數(shù)變形為 = 這可看作點（）和（-2，0）的直線的斜率，而是單位圓 + = 1上的動點，由圖1可知，過（-2，0）作圓的切線時，斜率有最值，由幾何性質得 = ， = - 。
前面介紹了六種常見的求三角函數(shù)最值的思維方法，但在解題中并不固定于一種方法。如
求 = 的極值，用什么方法好呢？
解：
方法一：原式化為（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。顯然≠，所以用 求出最小值。
方法二：用第一種方法化為 = （ + ） + 的形式，
原式化為 = + · = 0時， = 8。
當 = 1時， = 4。
第3篇：函數(shù)最值的應用范文
函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的最大值和最小值問題，本質上是一個最優(yōu)化的問題。求解函數(shù)最大值與最小值的實際問題，包括三方面的工作：一是根據(jù)實際問題建立目標函數(shù)，通?？偸沁x取待求的最優(yōu)量為因變量：二是按上述的求解方法求出目標函數(shù)在相應區(qū)間上的最大值或最小值；三是對所求得的解進行相應實際背景的幾何意義的解釋。同時一方面要深刻理解題意，提高閱讀能力，要加強對常見的數(shù)學模型的理解，弄清其產生的實際背景，把數(shù)學問題生活化；另一方面要不斷拓寬知識面，提高間接的生活閱歷，如了解一些諸如物價、行程、產值、利潤、環(huán)保等實際問題，也涉及角度、面積、體積、造價等最優(yōu)化問題，培養(yǎng)實際問題數(shù)學化的意識和能力。
最值問題綜合性強，幾乎涉及高中數(shù)學各個分支，要學好各個數(shù)學分支知識，透徹地理解題意，能綜合運用各種數(shù)學技能，熟練地掌握常用的解題方法，才能收到較好的效果。
（1）代數(shù)法。代數(shù)法包括判別式法（主要是應用方程的思想來解決函數(shù)最值問題）配方法（解決二次函數(shù)可轉化為求二次函數(shù)的最值問題）不等式法（基本不等式是求最值問題的重要工具，靈活運用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數(shù)最值問題）④換元法（利用題設條件，用換元的方法消去函數(shù)中的一部分變量，將問題化歸為一元函數(shù)的最值，以促成問題順利解決，常用的換元法有代數(shù)換元法和三角換元法）。
①判別法：判別式法是等式與不等式聯(lián)系的重要橋梁，若能在解多元函數(shù)最值過程中巧妙地運用，就能給人一種簡單明快、耳目一新的感覺。而應用判別式的核心在于能否合理地構造二次方程或二次函數(shù)，還需注意是否能取等號。若函數(shù)可化成一個系數(shù)含有y的關于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0時，由于x，y為實數(shù)，必須有：=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范圍確定函數(shù)最值。
②配方法：配方法多使用于二次函數(shù)中，通過變量代換，能變?yōu)殛P于t（x）的二次函數(shù)形式，函數(shù)可先配方成為f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質確定其最值（此類題的解法關鍵在于用“配方法”將二次函數(shù)一般式化為頂點式，同時要考慮頂點的橫坐標的值是否落在定義域內，若不在定義域內則需考慮函數(shù)的單調性）。
③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個必要條件，因此當其中一些條件不滿足時應考慮通過恰當?shù)暮愕茸冃危惯@些條件得以滿足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號成立的條件。（在滿足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當然這里還需要利用系數(shù)的湊合才能達到目的，具有一定技巧）
④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個部分看成一個式子，并用一個字母代替，于是使原式變得簡化，使解題過程更簡捷（在利用三角換元法求解問題時，關鍵還是要在掌握好三角函數(shù)常用關系式的基礎上，結合所求解的函數(shù)式，慎重使用）。
（2）數(shù)形結合法。數(shù)形結合法是數(shù)學中的一種重要的思想方法，即考慮函數(shù)的幾何意義，結合幾何背景，把代數(shù)問題轉化為幾何問題，解法往往顯得直觀、簡捷。通過數(shù)與形之間的對應和轉化來解題，有許多的優(yōu)越性。將抽象的數(shù)學語言和直觀的圖形結合起來，借助幾何圖形活躍解題思路，使解題過程簡化。有時函數(shù)最值也借助數(shù)形結合方法來求解。
①解析式：解析法是觀察函數(shù)的解析式，結合函數(shù)相關的性質，求解函數(shù)最值的方法。
②函數(shù)性質法：函數(shù)性質法主要是討論利用已學函數(shù)的性質，如函數(shù)的單調性求函數(shù)最值等。
③構造復數(shù)法：構造復數(shù)法是在已經(jīng)學習復數(shù)章節(jié)的基礎上，把所求結論與復數(shù)的相關知識聯(lián)系起來，充分利用復數(shù)的性質來進行求解。
④求導法（微分法）：導數(shù)是高中現(xiàn)行教材新增加的內容，求導法求函數(shù)最值是應用高等數(shù)學的知識解決初等問題，可以解決一類高次函數(shù)的最值問題。找閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）的最大（或最?。┲禃r，將不可導點、穩(wěn)定點及a，b處的函數(shù)值作比較，最大（或最小）者即為最大（或最?。┲怠?/p>
第4篇：函數(shù)最值的應用范文
關鍵詞：最值問題；三角函數(shù)；解法總結；系統(tǒng)分析
一、三角函數(shù)最值問題的題型歸納及解法策略
在現(xiàn)階段中學數(shù)學三角函數(shù)最值問題中，題目給出的三角關系式往往比較復雜，進行化簡后，再進行歸納，主要有以下6種類型。掌握這幾種類型后，幾乎所有的三角函數(shù)最值問題都可以解決。
1.y=asinx+bcosx型的函數(shù)
這樣的函數(shù)是我們經(jīng)常遇到的，對于這樣的題型處理思想應該引入輔助角，化為y=sin（x+），利用函數(shù)即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化為此類，下面介紹一道實例來體會感受其中的方法。
例1 已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）-sin2x+sinxcosx
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最小值及取得最小值時相應的x的值；
（3）若當x∈[，]時，f（x）的反函數(shù)為f-1（x），求f--1（1）的值.
從上面這道例題可以清晰地看出，這一類的三角函數(shù)的最值求解中運用的基本的方
法是“利用輔助角法”，將較復雜的三角式轉化成“Asin（）” 的形式，將異名三角比化歸成同名三角比。同時，也應對自變量的取值范圍要仔細地考察。
2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函數(shù)
這樣的函數(shù)題型看上去很長，也很復雜，但是其中有一定的規(guī)律，通過下面這樣一個實例，你會發(fā)現(xiàn)它其中的玄機。處理方式是降冪，再化為“Asin（）”的形式來解。
例2 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值時的x的集合。
3.y=asin2x+bcosx+c型的函數(shù)
在三角函數(shù)的題型中，這題型是比較常見的，經(jīng)常和其它函數(shù)一起應用，特別是出現(xiàn)在“存在”問題中，對于這類題型的處理方式是應用sin2x+cos2x=1，使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù)，再應用換元法，轉化成二次函數(shù)來求解。下面通過一道例題來體會這方法。
例3 是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a?cosx+a-在閉區(qū)間[0，]上的最大值是1？若存在，求出對應的a值；若不存在，試說明理由.
分析：
這道題就是利用在閉區(qū)間上求二次函數(shù)最值的方法，只是其自變量變?yōu)閏osx。值得注意的是在運用這個方法前，首先要將引用三角比之間的轉換使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比視為二次函數(shù)的自變量。在題目條件沒有給你限制條件時，任何一種那個情況都應該作分類討論，當然要結合已有的法則和三角函數(shù)相關的公式，及三角函數(shù)隱藏的條件，這樣才能做到解題全面。
綜合上述知，存在符合題設。
4. y=型的函數(shù)
這是一個分數(shù)形式的求三角函數(shù)最值的題型，往往出現(xiàn)在需要轉化思想的綜合題目中，下面介紹這個例題，讓同學有直觀感覺。
例4求函數(shù)y=的最大值和最小值。
對于這一類題型，分子、分母只有常數(shù)項不同的三角函數(shù)式，便可以在分子中添置輔助項后，通過恒等變形把它化成只有分母含有自變量的三角函數(shù)式，只需研究分母的最值，就能求出原函數(shù)的最值。在這樣的變形中若遇到要把分子“翻下去”作為繁分式分母一部分時，這個“翻下去”的式子不能為零，如果這個式子可能為零，則應將為零的情況另作處理?！霸O其不為零的”情況下繼續(xù)解下去，最后把各種情況下求得的值綜合起來考慮最值。
5.y=sinxcos2x型的函數(shù)
這樣的三角函數(shù)題型有一定的難度，并且有的題目角和函數(shù)很難統(tǒng)一，還會出現(xiàn)次數(shù)太高的問題，這是關于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。在高中數(shù)學中涉及三次函數(shù)的最值問題，幾乎都用均值不等式來求解。但需要注意是否符合應用的條件及等號是否能取得。下面介紹一個實例來體會均值不等式的方法。
例5 在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點到光源的距離 r的平方成反比，即I=k?，其中 k是一個和燈光強度有關的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？
6.含有sinx與cosx的和與積型的函數(shù)式
在這樣混合的函數(shù)式中，也是經(jīng)常會遇到的，對于含有sinx±cosx，sinxcosx的函數(shù)的最值問題，常用的方法是令sinx±cosx=t，，將sinxcosx轉化為t的函數(shù)關系式，從而化為二次函數(shù)的最值問題。通過下面這個例題了解這樣的方法。
例6 求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。
例7 求函數(shù)y=cos（sinx）的值域
結合如圖1 所示：y=cos（sinx）的圖像，知cos1=cos（-1）
例8 如圖2：ABCD是一塊邊長為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形小山，P是弧TS上一點，其余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個有邊落在BC與CD上的長方形停車場PQCR，求長方形停車場的最大值與最小值。
解：如圖2，連結AP，設，延長RP交AB于M，
則，，故矩形PQCR的面積
設，
，故當時，
當時，
例9 如圖3所示，一個摩天輪半徑為10米，輪子的底部在地面上2米處，如果此摩天輪每20秒轉一圈，且當摩天輪上某人經(jīng)過點P處（點P與摩天輪中心O高度相同）時開始計時，
（1） 求此人相對于地面的高度關于時間的函數(shù)關系式；
（2） 在摩天輪轉動的一圈內，有多長時間此人相對于地面的高度不超過10米。
解：（1）以O為坐標原點，以OP所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設摩天輪上某人在Q處，則在t秒內OQ轉過的角為，所以t秒時，Q點的縱坐標為，故在t秒時此人相對于地面的高度為（米）
（2）令，則
Fig 2-4 Example 9 here
二、對三角函數(shù)最值問題的小結
1.求三角函數(shù)最值的常用方法有：
（1）配方法（主要利用二次函數(shù)理論及三角函數(shù)的有界性）；
（2）化同角函數(shù)法（主要利用和差角公式及三角函數(shù)的有界性）；
（3）數(shù)形結合法（常用到直線的斜率關系）；
（4）換元法（如萬能公式，將三角問題轉化為代數(shù)問題）；
（5）基本不等式法等（主要遇到三次式之類的情如運用均值不等式等）；
（6）降冪法（主要利用三角函數(shù)的基本公式和定義）。
2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題設所給出的區(qū)間：
（1）求三角函數(shù)最值時，一般要進行一些代數(shù)變換和三角變換，要注意函數(shù)有意義的條件及弦函數(shù)的有界性。
（2）含參數(shù)函數(shù)的最值問題，要注意參數(shù)的作用和影響。
（3）在涉及到綜合實際生產并運用基本不等式法解最值問題時，需要注意所得結果是否符合實際情況及等號是否取得到。
3.如“表1求解三角函數(shù)最值的常用方法”是個人對以上題型及解法的總結。
表1 求解三角函數(shù)最值的常用方法
參考文獻：
[1]趙鈺林.素質教育新教案數(shù)學[M].北京：西苑出版社，2004.
[2]曹曉春.三角函數(shù)的最值問題[N].數(shù)學學習與研究，2007（10）.
第5篇：函數(shù)最值的應用范文
【關鍵詞】中職數(shù)學；三角函數(shù)；最值問題
三角函數(shù)的最值問題在中職數(shù)學教學中具有重要的地位，在考試中一直是重點和難點。研究三角函數(shù)的教學中，應當使學生掌握恒等變形以及運用三角公式對三角函數(shù)進行變形的能力。三角函數(shù)的最值問題指的是三角函數(shù)及其基礎知識的綜合運用，三角函數(shù)的最值問題，在求解方式上靈活多變，在實際生活中運用廣泛。
1.中職學生數(shù)學學習的現(xiàn)狀
與高校的學生素質相比較，中職學校的蹙額生基礎知識文化的水平較低，學生的學習底子較為薄弱；學生在學習數(shù)學時，態(tài)度、自信、動機和興趣的不足使學生在數(shù)學的學習上普遍缺乏數(shù)學學習的情感；中職教育課程設置不合理，對專業(yè)工具課的重視力度不足，數(shù)學課的課程量被不斷的刪減，數(shù)學知識的連貫性斷裂。
另外，作為中職數(shù)學教學課程中重要組成部分的三角函數(shù)學習，由于以上的三點原因，勢必會造成影響。學生學習的過程中，對于正弦、余弦、正割、反割等基本概念混淆不清，在實際運用的過程中導致解題思路不清晰的問題[1]。
2.中職數(shù)學教學三角函數(shù)最值問題探討
2.1 三角函數(shù)性質概念
對三角函數(shù)的性質概念進行精準的講解是實現(xiàn)講解三角函數(shù)最值化問題的關鍵，首先，對三角函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性、定義域值域進行精準的講解與定位，使學生知識點的掌握和圖像的掌握能力相結合。通過熟練掌握三角函數(shù)變形的技巧，實現(xiàn)三角函數(shù)由復雜轉向簡單的變形能力[2]。
2.2 求解三角函數(shù)最值問題的一般方法
2.2.1 配方法
配方是將一個解析式利用恒等變形的方式，將其中的某些配量項轉化為一個或者多個多項式的形式，使用較多的是完全平方式的配方，應用相當廣泛.
例如：三角函數(shù)為y=5sinx+cos2x，求出它的最值。
解： y=5sinx+（1-sin2x）
=-2sin2x+5sinx+1
=-2（sinx-5/4）2+33/8.
通過sinx的值域判定，計算其值域為[-6，4]
使用配方法進行值域的求解時，不應當將三角函數(shù)和二次函數(shù)的最值求解進行混淆，在三角函數(shù)值域的求解，配方法的使用是較為常見的。
2.2.2 換元法
換元法是將復雜的函數(shù)轉換為簡單的函數(shù)，不僅僅局限于三角函數(shù)內部的轉化，同時也可將非三角函數(shù)轉化為三角函數(shù)。比如說利用函數(shù)的有界性，特別是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的有界性進行最值的劃歸。當然，通過二次函數(shù)的劃歸也可實現(xiàn)最值的求解。在實際的講解中，數(shù)形結合求解的方式也較為常見。
2.2.3 單調性法
顧名思義，則是利用函數(shù)的單調性進行值域和定義域的求值。例如：
例：求y=sinx+2/sinx，（0
2.3 求解三角函數(shù)最值問題的其他方法
2.3.1 y=asinx+bcosx型最值的求解
在此類型中，這一類三角函數(shù)最值的求解主要是將復雜的三角模式進行相應的轉化，通過對自變量的考察，實現(xiàn)值域的求解。
例：f（x）=sin（ωx+6）+sin（ωx-6）-2cos22x，x∈R（其中ω>0）.
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為π/2，，求函數(shù)y的單調遞增區(qū)間。
2.3.2 y=asin2x+bsinx+c型最值的求解
例：求函數(shù)y=cos2x-cosx+1（π
解：y=cos2x-cosx+1
=2cox2x-cosx
=2（cosx-?） 2 -1/8
因為π
3.提升三角函數(shù)最值問題教學效果的反思
在實際的教學中，教師應當從提高學生學習的能動性、采用多向度的教學方式、優(yōu)化知識的識記方法三種方式入手，提高中職數(shù)學課堂中三角函數(shù)最值問題的學習效果。學習興趣的培養(yǎng)在學生學習的有效性中占據(jù)重要的地位，結合三角函數(shù)教學的自身特點，引導學生的學習動機，主動提前掌握三角函數(shù)最值的學習，可以使其更好地深入學習三角函數(shù)的相關問題，切實提高學生學習的主觀能動性。中職學生的基礎知識薄弱，教學過程中，采用特色的教學模式，將反繁復的三角函數(shù)知識進行簡化，進而呈現(xiàn)在課堂上，總可多種方式進行講解，，提高學生的理解與領悟能力。三角函數(shù)基本知識繁復公式繁多，在教學中，用簡易的繞口令，如：“奇變偶不變，符號看象限”來誘導學生進行公式的推導與應用。
4.結語
中職數(shù)學教學中的三角函數(shù)最值問題面臨著眾多的困難。通過一系列的課堂教學理念、策略與方式的創(chuàng)新，學生可以實現(xiàn)知識型學習向能力型學習的轉變。中職教師在其教學中，應當以自身為主導，以學生為主體，在教學的過程中耐心細致地解決學生學習過程中遇到的問題，從而提高種豬數(shù)學三角函數(shù)最值問題教學的質量，培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識進行思考的能力。
參考文獻：
[1] 張衛(wèi)斌. 三角函數(shù)不同題型最值問題求解的常用方法解析[J] . 數(shù)學學習與研究，2010，4（15）：56-58 .
第6篇：函數(shù)最值的應用范文
關鍵詞： 初中數(shù)學 最值問題 解法
最值型數(shù)學問題不論是在近幾年的競賽還是中考當中都經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題貼近生活、貼近社會，有利于體現(xiàn)數(shù)學的人文價值和社會價值，有利于考查學生的分析、猜想、建模和綜合應用等方面的能力.下面就數(shù)學中常見的最值問題和解法介紹如下.
一、平面幾何的最值問題
平面幾何的最值問題是一類常見的題型，它涉及的知識面廣，綜合性強，解答有一定的難度，下面介紹一種利用“軸對稱”巧解最值問題的方法，舉例說明.
例1：A、B兩點在直線L的同側，在直線L上取一點P，使PA+PB最小.
分析：在直線L上任取一點P′，連接AP′，BP′，在ABP中，AP′+BP′＞AB，如果AP′+BP′＝AB，則P′必在線段AB上，而線段AB與直線L無交點，所以這種思路錯誤.取點A關于直線L的對稱點A′，則AP′＝AP，在A′BP中，A′P′+B′P′＞A′B，當P′移到A′B與直線L的交點處P點時PA′+B′P′＝A′B，所以這時PA+PB最小.
二、利用函數(shù)的性質求最值問題
1.一次函數(shù)、反比例函數(shù)性質的應用
一次函數(shù)和反比例函數(shù)在它們的定義域內都沒有最值，但在實際應用問題當中，自變量在一定范圍內取值時，由函數(shù)的增減性知函數(shù)有最值.
例2：學校需刻錄一批電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元（包括空白光盤費）；若學校自刻，除租用一臺刻錄機需120元外，每張還需成本4元（包括空白光盤費）.刻錄這批電腦光盤，到電腦公司刻錄費用省還是自刻費用?。空堈f明理由.
分析：這里刻錄光盤的張數(shù)不知道，所需費用隨光盤張數(shù)的增大而增大，需建立一個函數(shù)關系.
解：設需刻錄x張電腦光盤，則到電腦公司刻錄需y=8x元，自錄刻需y=（120+4x）元，所以有：y-y=8x-（120+4x）=4（x-30）;當x＞30時，y-y＞0，y＞y;當x=30時，y-y=0，y=y;當x
答：當刻錄光盤數(shù)多于30張時，自刻費用?。划斂啼浌獗P數(shù)等于30張時，兩者一樣；當刻錄光盤數(shù)少于30張時，到電腦公司刻比較省.
2.二次函數(shù)性質的應用
一般情況下，二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的最值由頂點坐標來確定，這是大多數(shù)同學容易掌握的.但有時受自變量取值范圍的影響，函數(shù)的最值不是由頂點坐標來確定，這種情況很容易被學生所疏忽.下面列舉幾例說明.
例3：某商場將每臺進價為3000元的彩電以3900元的銷售價售出，每天可銷售出6臺，假設這種品牌的彩電每臺降價100x（x為正整數(shù)）元，每天可以多銷售出3x臺.（注：利潤=銷售價－進價）
（1）設商場每天銷售這種彩電獲得的利潤為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）銷售該品牌彩電每天獲得的最大利潤是多少？此時，每臺彩電的銷售價是多少時，彩電的銷售量和營業(yè)額均較高？
分析：（1）銷售每臺彩電獲利3900-3000-100x=（-100x+900）元，每天銷售量為（6+3x）臺，所以y=（-100x+900）（6+3x）=-300x+2100x+5400.
（2）y=（-100x+900）（6+3x）=-300x+2100x+5400=-300（x-）+9075.
頂點為（，9075），又因為x為正整數(shù)，所以當x=3或4時，y取最大值，且為9000元.當x=3時，銷售價為每臺3600元，銷售量為15臺，營業(yè)額為3600×15=54000元；當x=4時，銷售價為每臺3500元，銷售量為18臺，營業(yè)額為3500×18=63000元.通過對比發(fā)現(xiàn)，當銷售價為每臺3500元時，能保證銷售量和營業(yè)額均較高.
小結：本題頂點（，9075），不能作為二次函數(shù)圖像的最高點的原因是x不能取小數(shù)，所以做題時要注意審題（題中括號內已說明x為正整數(shù)），不能放過每一個細節(jié).
因此，做二次函數(shù)最值這一類題目時，要充分挖掘題目中的隱含條件，正確求出自變量的取值范圍。有兩種方法可求出最值：①幾何方法：畫出函數(shù)圖像，找出圖像中的最高點（或最低點），從而求出當自變量為何值時，函數(shù)的最大值（或最小值）是多少？②代數(shù)方法：首先判斷頂點橫坐標是否在自變量取值范圍內，若在，它就是最值點；若不在，它就不是最值點，然后另尋它點.
三、利用不等式求最值問題
例4：某公司為了擴大經(jīng)營，決定購進6臺機器用于生產某種活塞.現(xiàn)有甲、乙兩種機器供選擇，其中每種機器的價格和每臺機器日生產活塞的數(shù)量如下表所示.經(jīng)過預算，本次購買機器所耗資金不能超過34萬元.
（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？
（2）若該公司購進的6臺機器的日生產能力不能低于380個，那么為了節(jié)約資金應選擇哪種方案？
分析：本題是消費購物設計型問題，解決這類問題的基本思路是從實際問題中尋找等量（或不等量）關系，通過購建方程（或函數(shù)、不等式）模型，從中尋找解決問題的最佳方案.
解：（1）設購買甲種機器x臺，則購買乙種機器（6-x）臺.
由題意，得7x+5(6-x)≤34;解這個不等式，得x≤2，即x可以取0、1、2三個值，所以，該公司按要求可以有以下三種購買方案：方案一：不購買甲種機器，購買乙種機器6臺；方案二：購買甲種機器1臺，購買乙種機器5臺；方案三：購買甲種機器2臺，購買乙種機器4臺.
（2）按方案一購買機器，所耗資金為30萬元，新購買機器日生產量為360個；按方案二購買機器，所耗資金為1×7＋5×5＝32萬元；新購買機器日生產量為1×100＋5×60＝400個；按方案三購買機器，所耗資金為2×7＋4×5＝34萬元；新購買機器日生產量為2×100＋4×60＝440個.
第7篇：函數(shù)最值的應用范文
關鍵詞：物理學中最值問題 數(shù)學思維 解題方法
物理學家楊振寧指出：“可以用兩片生長在同一根管莖上的葉子，來形象化說明數(shù)學與物理之間的關系。數(shù)學與物理是同命相連的，它們的生命線交接在一起?！币虼?，我們從物理現(xiàn)象出發(fā)，經(jīng)過分析，把物理問題轉化為數(shù)學問題，靈活運用數(shù)學知識對解決物理問題起到十分關鍵的作用。
以下，通過例舉闡述應用數(shù)學思維求解物理過程中最值問題的方法。
一、利用幾何知識解物理中最值問題
此方法主要通過作圖，利用平面幾何知識將物理最值問題求解
例1、如圖1：傾角θ=30斜面上放一重量為G的光滑小球，斜面上立一塊擋板，使小球靜止。問擋板如何放置，擋板所受壓力最小，最小值為多少？
解：根據(jù)重力G的實際效果分解為：F1垂直于斜面的壓力，F(xiàn)2垂直于擋板。
重力G大小、方向一定；F1方向一定。
合力G構成一個三角形，重力G的末端到直線OA的最短距離表示F2
最小值，即過G末端作OA的垂線（如圖2）
由幾何關系得：
此時擋板位置垂直于斜面。
例2、如圖4，要使圓柱繞A點滾上臺階，試作圖說明作用于圓上的力F作
用在哪點沿什么方向最省力？
解：設圓柱重力為G，臺階上A點到重力G作用線的
距離為L（G、L不變）， 作用力為F，臺階上A點到作用力F作用線的
距離為X，由力矩平衡，GL=FX，要使F最小則X必須最大，由幾何知識，過A點，作直徑交圓于B點，若F作用于B點，沿切線方向
（如圖4）此時X最大，F(xiàn)最小。
二、 運用二次函數(shù)的極值解物理中最值問題
此方法主要根據(jù)二次函數(shù) ，進行求解
例3、用直流電動機提升重物，重物質量m為50kg，電源電壓為120V。當
電動機以速度V=0.9m/s勻速向上提升重物時，電流I=5A（g取10m/s2），求（1）電機線圈電阻R，（2）電動機對重物最大提升速度是多少？
解：（1）電動機工作時的機械功率
電動機消耗的電功率
由能量轉化守恒
（2）當電機提升速度變化電動機輸出的機械功率
三、 運用三角函數(shù)極值求解物理中最值問題
根據(jù)三角函數(shù)Sin（x+α）=±1時，aSinx+bCosx有最值且tanα= 的性質解題是
一種重要方法。
例4如圖5質量為m的物體受拉力F作用在水平地面勻速直線運動，物體與地面動摩擦因數(shù)為?，當F與水平方向夾角θ為多少時F最??？
解：物體受力分析如圖6 ，由牛頓定律
Fcosθ-?FN=0
F Sinθ+ FN= mg
Fcosθ=?（mg- F Sinθ）
四、 應用不等式性質求解物理中最值問題
根據(jù)不等式性質，當a>0，b>0，c>0時不等式 ，當僅當a=b=c時，不等式取等號；在解題中常發(fā)揮奇效。
例5、質量為m的小球與長度L的繩一端相連，繩的另一端固定在O點。將球拉至與O點在同一水平面上由靜止釋放，球沿圓弧下擺過程中，在何處其豎直方向分速度最大？
解：從動力學上看，球在A點豎直分速度為0，
而最低點B只有水平速度，豎直分速度為0，
所以其下擺過豎直分速度經(jīng)歷了一個
加速和減速過程，中間會有最大值。
設此位置在C點，此時擺繩與OA夾角為α，
與OB夾角為β（如圖7）
根據(jù)不等式 僅當 時，不等式取等值
五、 應用導數(shù)求解物理中最值問題
導數(shù)應用價值極高，在解決函數(shù)極值，及最值問題要自覺應用導數(shù)。
例5也可應用導數(shù)知識進行解答
第8篇：函數(shù)最值的應用范文
關鍵詞：數(shù)學；求最值；均值定理
中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0265-01
最值問題始終是高考數(shù)學的命題熱點，而利用均值不等式求函數(shù)的最值是最為常見、應用較為廣泛的方法之一，這類問題難度雖不大但技巧性，考生常因方法選擇不當，造成應用定理錯誤而失分。因此，快速找到切入點，靈活運用所學知識，將復雜問題簡單化，從而順利解答高考題，這是高三學生的最大期望。筆者現(xiàn)就此類問題進行歸納總結，對不同類型技巧的解法進行分析。希望本文能對讀者有所啟示和幫助。
一、配湊項湊“積”為定值法
例1 已知x
解：因4x-5
（4x-2）g不是常數(shù)，所以對4x-2要進行拆、湊項，Qx0，
y=4x-2+=-
5-4x++3≤-2+3=1
當且僅當5-4x=，即x=1時，上式等號成立，故當x=1時，ymax=1。
點評：本題需要調整項的符號，保證各項正，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。其實湊積為定值無非是湊“倒數(shù)”形式，消去未知數(shù)，得到定值而已。
二、分離拆項或換元構造“積”為定值
例2 求y=（x>-1）的值域。
解法一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離。
y===（x+1）++5當x>-1，即x+1>0時，y≥2+5=9（當且僅當x=1時取“=”號）。
解法二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x+1，化簡原式在分離求最值。
y===t++5，當x>-1，即t=x+1>0時，y≥2+5=9（當t=2即x=1時取“=”號）。
點評：對于分子分母“一、二次“形式的分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開，構造“倒數(shù)”，創(chuàng)造均值定理使用環(huán)境，再利用不等式求最值，即化為y=mg（x）++B（A>0，B>0），g（x）恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。但仍注意“一正、二定、三相等”的限制。
三、乘“一”不變原理構造“積”為定值
例3 已知正數(shù)x、y滿足+=1，求x+2y的最小值 。
解法一：（利用均值不等式）x+2y=（+）（x+2y）=10++≥10+2=18，當且僅當
+
=1
=
即x=2，y=3時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。
解法二：（消元法）由+=1得y=，由y>0⇒>0⇒x>8則x+2y=x+=x+=x+2+=（x-8）++10≥2+10=18。
當且僅當x-8=即x=12，此時y=3時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。
點評：利用乘一不變值的道理構造“倒數(shù)”構造“積為定值”，從而創(chuàng)造使用均值定理的環(huán)境。此類問題是學生求解易錯得一類題目，解法一學生普遍有這樣一種錯誤的求解方法：。原因就是等號成立的條件不一致。
四、平方法配湊“和”為定值
例4 已知x，y為正實數(shù)，3x+2y=10，求函數(shù)W=+的最值。
解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，≤，本題很簡單，
+≤==2。
解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。
W>0，W2=3x+2y+2x?y=10+2?≤10+（）2+（）2=10+（3x+2y）=20W≤=2。
第9篇：函數(shù)最值的應用范文
重難點歸納
解決圓錐曲線綜合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、拋物線）的定義、標準方程、圖形與幾何性質，注意挖掘知識的內在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的
（1）對于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問題，需構造參數(shù)滿足的不等式，通過求不等式（組）求得參數(shù)的取值范圍；或建立關于參數(shù)的目標函數(shù)，轉化為函數(shù)的值域。
（2）對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種 當題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結合法解；當題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值。
典型題例示范講解
如圖，已知橢■+■=1（2≤m≤5），過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設f（m）=||AB|-|CD||
（1）求f（m）的解析式；
（2）求f（m）的最值.
解 （1）設橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m，b2=m-1，c2=a2-b2=1
橢圓的焦點為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）
故直線的方程為y=x+1，又橢圓的準線方程為x=±■，即x=±m(xù)。
A（-m，-m+1），D（m，m+1）
考慮方程組y=x+1■+■=1，消去y得：（m-1）x2+m（x+1）2=m（m-1）
整理得：（2m-1）x2+2mx+2m-m2=0
Δ=4m2-4（2m-1）（2m-m2）=8m（m-1）2
2≤m≤5，Δ>0恒成立，xB+xC=■.
又A、B、C、D都在直線y=x+1上
|AB|=|xB-xA|=■=（xB-xA）·■，|CD|=（xD-xC）
||AB|-|CD||=|xB-xA+xD-xC|=■|（xB+xC）-（xA+xD）|
又xA=-m，xD=m，xA+xD=0
||AB|-|CD||=|xB+xC|·■=|■|·■=（2≤m≤5）
故f（m）=■，m∈[2，5]
（2）由f（m）=■，可知f（m）=■
又2-■≤2-■≤2-■，f（m）∈■，■
故f（m）的最大值為■，此時m=2；f（m）的最小值為■，此時m=5
