數(shù)學(xué)原始概念精選(九篇)

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第1篇：數(shù)學(xué)原始概念范文

——對(duì)高中數(shù)學(xué)概念本質(zhì)實(shí)施有效探究教學(xué)心得

王  慧

（太湖高級(jí)中學(xué)，江蘇  無錫  214125）

 

摘  要：數(shù)學(xué)是由概念、命題等內(nèi)容組成的知識(shí)體系，是一門以抽象思維為主的學(xué)科。而概念恰是抽象思維的語言，因此深刻理解并準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件。在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用探究的方法，充分展示數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，讓學(xué)生在體驗(yàn)中建構(gòu)，不僅可以有效地突破概念教學(xué)的難點(diǎn)，而且可以更好地幫助學(xué)生深化對(duì)概念的理解，培養(yǎng)運(yùn)用概念的意識(shí)和能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)  數(shù)學(xué)概念  探究教學(xué)

 

據(jù)資料顯示：多年來高考數(shù)學(xué)試卷的抽樣調(diào)查分析表明，高中生在把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性方面存在較多問題。主要表現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性認(rèn)識(shí)不深刻,對(duì)同一數(shù)學(xué)概念的不同表達(dá)形式缺乏系統(tǒng)概括的理解。究其原因，當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂中依然存在教師重解題、輕概念的現(xiàn)象，造成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性掌握不到位，不能很好地運(yùn)用于解題，最終導(dǎo)致嚴(yán)重影響了教學(xué)質(zhì)量。

下面筆者結(jié)合自己在實(shí)際教學(xué)中的兩則案例，談?wù)勗诟咧袛?shù)學(xué)課堂教學(xué)中對(duì)概念本質(zhì)實(shí)施有效探究教學(xué)的心得。

案例1  蘇教版《數(shù)學(xué)》必修1中“對(duì)數(shù)”

(這節(jié)課的課題企圖直接讓學(xué)生提出，基本不可能。因此課題的引入就從這個(gè)“國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值”問題開始，得到1.08x=2。體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的密切相關(guān)。)

投影：（1）2x=4（2）2x=12 （3）2x=2   （4）2x=3

（這幾個(gè)方程都與指數(shù)有關(guān)系：未知數(shù)位于指數(shù)位置。）

師：這樣的方程在實(shí)際生活當(dāng)中我們經(jīng)常會(huì)遇到，比如：隨著經(jīng)濟(jì)改革的對(duì)外開放，……假如說，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值每年平均增長(zhǎng)率是8%。請(qǐng)問經(jīng)過多少年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值是2010年的2倍？你能列出什么樣的式子？

生1：(1+8%)x=2。

師（板書(1+8%)x=2）：這是把2010年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值看作1，根據(jù)題目的意思列出這樣一個(gè)方程。這個(gè)方程與我們前面列出的方程屬于同一個(gè)類型，也就是1.08x=2。下面，我們進(jìn)一步關(guān)心一下這幾個(gè)方程是否有解？

（學(xué)生很快說出前三個(gè)方程的解：（1）x=2；（2）x= -1；（3）x=12 。但是對(duì)于第四個(gè)方程不知如何下手。）

師：第四個(gè)方程有沒有解？

生2：有。

師：到哪里找解呢？解為多少呢？(提出問題)

生2：可以考察函數(shù)y=2x的圖象。這個(gè)函數(shù)的圖象是連續(xù)的，而它的值域是所有的正實(shí)數(shù)，它又是單調(diào)遞增的，必與直線y=3有且只有一個(gè)交點(diǎn)。所以說，有一個(gè)解。

師：他采用形數(shù)結(jié)合的方法，把這個(gè)代數(shù)問題化為圖象處理，作出y=2x與y=3的圖象。從圖象上發(fā)現(xiàn)有交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解x。想不想知道x的值是多少？

（激發(fā)學(xué)生的求知欲與學(xué)習(xí)興趣。）

生齊答：想。

師：是多少？

生齊答：不知道。

師：這里的x是確定的，但用我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)又表示不出來，怎么辦？大家想一下，我們有沒有曾經(jīng)遇到過類似的問題？（圍繞問題，提出假設(shè)）（教師幫助學(xué)生共同回憶：小學(xué)1÷3，除不盡13 ；初中x2=2，x=?2 ，圓周率3.1415926…π……）

師：現(xiàn)在遇到2x =3，x= ? 怎么辦？（收集證據(jù)，形成解釋）

（對(duì)探究的一系列暗示，體現(xiàn)“素樸”、“本原”的思想，啟發(fā)學(xué)生想到：用一個(gè)什么符號(hào)來表示它。用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示一個(gè)研究對(duì)象，是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本思想方法。）

師：那么，我們給它一個(gè)記號(hào)。這個(gè)值是由底數(shù)2和3唯一確定，所以把這個(gè)值記做x=log23。log是拉丁文logreth前面的縮寫。讀作：以2為底3的對(duì)數(shù)。這一類問題就是我們這節(jié)課將要研究的問題：（板書）對(duì)數(shù)（1）。請(qǐng)同學(xué)們思考對(duì)數(shù)與指數(shù)有什么關(guān)系呢？

（學(xué)生先獨(dú)立思考后分組討論）（交流和評(píng)價(jià)）

生3：在方程2x =3中求指數(shù)x，實(shí)際上已知底數(shù)與冪，求指數(shù)。

生4：對(duì)數(shù)由指數(shù)而來。

生5：對(duì)數(shù)可以看作是指數(shù)的另一種表示，一種等價(jià)表示。

感悟：這是一個(gè)用一般科學(xué)研究的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)概念探究的過程。由這個(gè)過程很自然地得到對(duì)數(shù)的符號(hào)和名稱，進(jìn)而再確定符號(hào)的意義。

經(jīng)歷了以上探究過程，學(xué)生得出：對(duì)數(shù)的性質(zhì)“受制于”指數(shù)——受到指數(shù)性質(zhì)的制約；在這個(gè)意義上，對(duì)數(shù)的性質(zhì)是“天生的”。這也說明對(duì)數(shù)并非“全新”概念。對(duì)于進(jìn)一步學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，學(xué)生就不會(huì)再感覺到陌生與害怕。正是因?yàn)椤皩?duì)數(shù)從指數(shù)而來”，所以對(duì)數(shù)問題往往要轉(zhuǎn)化為指數(shù)來研究，這就產(chǎn)生出“把對(duì)數(shù)交給指數(shù)”的法則，一切變得更加自然。

案例2  蘇教版《數(shù)學(xué)》選修2-2中“導(dǎo)數(shù)”

投影：在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10。請(qǐng)分別計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在[0,0.5]、[1,2]、[0,6549 ]時(shí)間段的平均速度，并描述運(yùn)動(dòng)員在這三個(gè)時(shí)間段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

生：運(yùn)動(dòng)員在[0,0.5]時(shí)間段內(nèi)平均速度為4.05m/s，說明運(yùn)動(dòng)員在該段時(shí)間內(nèi)做上升運(yùn)動(dòng)。在[1,2] 時(shí)間段內(nèi)平均速度為-8.2m/s，運(yùn)動(dòng)員在該段時(shí)間內(nèi)做下降運(yùn)動(dòng)。在[0,6549 ]時(shí)間段的平均速度為0m/s，運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)做……

師：做什么運(yùn)動(dòng)？

生：平均速度為0，但是運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)并不是靜止的啊。

師：平均速度的確為0，我們并沒有算錯(cuò)，說明平均速度并不能很好的描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

師：那我們用什么來描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更為合理呢？

（引發(fā)學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知沖突，發(fā)現(xiàn)想要更為準(zhǔn)確合理地描述物體的運(yùn)動(dòng)必須尋求一個(gè)新的知識(shí)。使學(xué)生處于憤悱狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索新知的欲望。）

問題串（逐個(gè)呈現(xiàn)）

問題1：你會(huì)求t=2時(shí)刻的速度（瞬時(shí)速度）嗎？（學(xué)生一臉茫然）

問題2：在t∈[2,2.1]的平均速度是多少？（學(xué)生很快就解決了）

問題3：t∈[2,2.01]、[2,2.001]、[2,2.0001]、[2,2.00001]……的平均速度呢？（借助計(jì)算器組內(nèi)完成）

（教師投影表格，同時(shí)介紹“Δt”。由于計(jì)算量較大，因此讓學(xué)生分組用計(jì)算器完成，而后再將數(shù)值填入表內(nèi)。）

問題4：通過計(jì)算，你有何發(fā)現(xiàn)？（組內(nèi)討論）

（學(xué)生通過表格中數(shù)據(jù)的直觀呈現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)Δt越接近0時(shí)，平均速度 越接近常數(shù)-13.1。）

問題5：你會(huì)求運(yùn)動(dòng)員在t=2時(shí)刻的瞬時(shí)速度了嗎？

（學(xué)生通過計(jì)算與觀察，歸納出當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，平均速度 無限趨近于常數(shù)-13.1，這個(gè)常數(shù)就是運(yùn)動(dòng)員在t=2時(shí)刻的瞬時(shí)速度。）

問題6：你會(huì)求運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度嗎？

（用t0代替問題5中的2即可。通過以上問題的解決，學(xué)生經(jīng)歷了由特殊到一般，具體到抽象的過程，加深了對(duì)“逼近思想”的感悟，思維能力得到了提升。）

問題7：現(xiàn)在你能合理描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)了嗎？（學(xué)有所獲、學(xué)以致用、前后呼應(yīng)）

第2篇：數(shù)學(xué)原始概念范文

1．通過本章的引言，使學(xué)生初步了解本章所研究的問題是集合與簡(jiǎn)易邏輯的有關(guān)知識(shí)，并認(rèn)識(shí)到用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題離不開集合與邏輯的知識(shí)。

2．在小學(xué)與初中的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)例，初步理解集合的概念，并知道常用數(shù)集及其記法。

3.從集合及其元素的概念出發(fā)，初步了解屬于關(guān)系的意義。

二、內(nèi)容分析

1．集合是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進(jìn)一步應(yīng)用集合的語言表述一些問題。例如，在代數(shù)中用到的有數(shù)集、解集等；在幾何中用到的有點(diǎn)集。至于邏輯，可以說，從開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就離不開對(duì)邏輯知識(shí)的掌握和運(yùn)用，基本的邏輯知識(shí)在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中，也是認(rèn)識(shí)問題、研究問題不可缺少的工具。這些可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)本章的意義，也是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

把集合的初步知識(shí)與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)安排在高中數(shù)學(xué)的最開始，是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)中，這些知識(shí)與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系，它們是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)。例如，下一章講函數(shù)的概念與性質(zhì)，就離不開集合與邏輯。

2.1.1節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結(jié)合實(shí)例對(duì)集合的概念作了說明。然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子。

3．這節(jié)課主要學(xué)習(xí)全章的引言和集合的基本概念。學(xué)習(xí)引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)本章的意義。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是集合的基本概念。

4．在初中幾何中，點(diǎn)、直線、平面等概念都是原始的、不定義的概念，類似地，集合則是集合論中的原始的、不定義的概念。在開始接觸集合的概念時(shí)，主要還是通過實(shí)例，對(duì)概念有一個(gè)初步認(rèn)識(shí)。教科書給出的“一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱集。”這句話，只是對(duì)集合概念的描述性說明。

三、教學(xué)過程

提出問題：

教科書引言所給的問題。

組織討論：

為什么“回答有20名同學(xué)參賽”不一定對(duì)，怎么解決這個(gè)問題。

歸納總結(jié)：

1．可能有的同學(xué)兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參加了，因此，不能簡(jiǎn)單地用加法解決這個(gè)問題.

2．怎么解決這個(gè)問題呢？以前我們解一個(gè)問題，通常是先用代數(shù)式表示問題中的數(shù)量關(guān)系，再進(jìn)一步求解，也就是先用數(shù)學(xué)語言描述它，把它數(shù)學(xué)化。這個(gè)問題與我們過去學(xué)過的問題不同，是屬于與集合有關(guān)的問題，因此需要先用集合的語言描述它，完全解決問題，還需要更多的集合與邏輯的知識(shí)，這就是本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容了。

新課講解：

1．集合的概念：（具體舉例后，進(jìn)行描述性定義）

(1)某種指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，簡(jiǎn)稱集。

(2)元素：集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。

(3)集合中的元素與集合的關(guān)系：

a是集合A的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A；

a不是集合A的元素，稱a不屬于集合A，記作。

例如，設(shè)B＝{1，2，3，4，5}，那么5∈B，

注：集合、元素概念是數(shù)學(xué)中的原始概念，可以結(jié)合實(shí)例理解它們所描述的整體與個(gè)體的關(guān)系，同時(shí)，應(yīng)著重從以下三個(gè)元素的屬性，來把握集合及其元素的確切含義。

①確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了。

例如，像“我國(guó)的小河流”、“年輕人”、“接近零的數(shù)”等都不能組成一個(gè)集合。

②互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重復(fù)的。

此外，集合還有無序性，即集合中的元素?zé)o順序。

例如，集合{1，2}，與集合{2，1｝表示同一集合。

2．常用的數(shù)集及其記法：

全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N，非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成或；

全體整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱整數(shù)集，記作Z；

全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱有理數(shù)集，記作Q；

全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱實(shí)數(shù)集，記作R。

注：①自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0，這與小學(xué)和初中學(xué)習(xí)的可能有所不同；

②非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也就是正整數(shù)集，表示成或。其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成或。負(fù)整數(shù)集、正有理數(shù)集、正實(shí)數(shù)集等，沒有專門的記法。

課堂練習(xí)：

教科書1．1節(jié)第一個(gè)練習(xí)第1題。

歸納總結(jié)：

1．集合及其元素是數(shù)學(xué)中的原始概念，只能作描述性定義。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)結(jié)合實(shí)例弄清其含義。

2．集合中元素的特性中，確定性可以用于判定某些對(duì)象是否是給定集合的元素，互異性可用于簡(jiǎn)化集合的表示，無序性可以用于判定集合間的關(guān)系（如后面要學(xué)習(xí)的包含或相等關(guān)系等）。

第3篇：數(shù)學(xué)原始概念范文

1 抽象性

和數(shù)的概念一樣，形的概念也完全是從外部世界得來的，而不是從頭腦中由純粹的思維產(chǎn)生出來的。必須先存在具有一定形狀的物體，把這些形狀加以比較，然后才能構(gòu)成形的概念。純數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，也就是說，以非常現(xiàn)實(shí)的材料為對(duì)象的。這種材料以極度抽象的形式出現(xiàn)，這只能在表面上掩蓋它來源于外部世界。但是，為了對(duì)這些形式和關(guān)系能從它們的純粹形態(tài)來加以研究，必須使它們完全脫離自己的內(nèi)容，把內(nèi)容作為無關(guān)緊要的東西放在一邊；這樣就得到?jīng)]有長(zhǎng)寬高的點(diǎn)，沒有厚度和寬度的線，a和b與x和y，常數(shù)和變數(shù)；只是在最后才得到知性自身的自由創(chuàng)造物和想象物，即虛數(shù)?！睌?shù)的概念，點(diǎn)、線、面等幾何圖形的概念屬于最原始的數(shù)學(xué)概念。在原始概念的基礎(chǔ)上又形成有理數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)、函數(shù)、微分、積分、n維空間以至無窮維空間這樣一些抽象程度更高的概念。從數(shù)學(xué)研究的問題來看，數(shù)學(xué)研究的問題的原始素材可以來自任何領(lǐng)域，著眼點(diǎn)不是素材的內(nèi)容而是素材的形式，不相干的事物在量的側(cè)面，形的側(cè)面可以呈現(xiàn)類似的模式，比如代數(shù)的演算可以描述邏輯的推理以至計(jì)算機(jī)的運(yùn)行；流體力學(xué)的方程也可能出現(xiàn)在金融領(lǐng)域，數(shù)學(xué)強(qiáng)大的生命力就在于能夠把一個(gè)領(lǐng)域的思想經(jīng)過抽象過程的提煉而轉(zhuǎn)移到別的領(lǐng)域。數(shù)學(xué)科學(xué)的高度抽象性，決定數(shù)學(xué)教育應(yīng)該把發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力規(guī)定為其目標(biāo)。從具體事物抽象出數(shù)量關(guān)系和空間形式，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的科學(xué)抽象過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

在培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力的過程中，應(yīng)該注意從現(xiàn)實(shí)實(shí)際事物中抽象出數(shù)學(xué)概念的提煉過程的教學(xué)，又要注意不使數(shù)學(xué)概念陷入某一具體原型的探討糾纏。例如，對(duì)于直線概念，就要從學(xué)生常見并可以理解的實(shí)際背景，如拉緊的線，筆直的樹干和電線桿等事物中抽象出這個(gè)概念，說明直線概念是從許多實(shí)際原型中抽象出來的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，但不要使這個(gè)概念的教學(xué)變成對(duì)直線的某一具體背景的探討。光是直線的一個(gè)重要實(shí)際原型，但如果對(duì)于直線概念的教學(xué)陷入到對(duì)于光的概念的探究，就會(huì)導(dǎo)致對(duì)直線概念糾緾不清。光的概念涉及了大量數(shù)學(xué)和物理的問題，牽涉了近現(xiàn)代幾何學(xué)與物理學(xué)的概念，其中包括對(duì)歐幾里得幾何第五公設(shè)的漫長(zhǎng)研究歷史，非歐幾何的產(chǎn)生，以及光學(xué)，電磁學(xué)，時(shí)間，空間，從牛頓力學(xué)的絕對(duì)時(shí)空觀，到愛因斯坦的狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論，等等。試圖從光的實(shí)際背景角度去講直線的概念，陷入對(duì)于光的本質(zhì)的討論，就使直線的概念教學(xué)走入歧途。應(yīng)該清楚，光不是直線唯一的實(shí)際原型，直線的實(shí)際原型是極其豐富的。

2 嚴(yán)密性

根據(jù)對(duì)于新中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的一些調(diào)查，新教材中對(duì)于某些公式的推導(dǎo)，某些內(nèi)容的講解方面過于簡(jiǎn)單，不能滿足同學(xué)的學(xué)習(xí)要求，特別典型的立體幾何中的一些關(guān)系判定定理只給出結(jié)論，不給出證明，方法上采用了實(shí)驗(yàn)科學(xué)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)論的方法進(jìn)行操作確認(rèn)，就與數(shù)學(xué)科學(xué)的精神和方法不一致，老師們的意見比較大，是目前數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐面臨的一個(gè)問題。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)是教學(xué)生思維的過程與方法，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性、科學(xué)性，發(fā)展嚴(yán)密的邏輯思維能力。

此外，在數(shù)學(xué)教學(xué)上追求邏輯上的嚴(yán)密性需要有教學(xué)時(shí)間的保證，中學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間有限。目前，在實(shí)施中學(xué)數(shù)學(xué)新課程以后，各地實(shí)際教學(xué)反映教學(xué)內(nèi)容多而課時(shí)緊的矛盾比較突出，教學(xué)中適當(dāng)?shù)販p少了一些對(duì)中學(xué)生來說比較抽象，或難度較大，或綜合性較強(qiáng)的教學(xué)內(nèi)容，使教學(xué)時(shí)間比較充裕以利于學(xué)生消化吸收知識(shí)。在目前的中學(xué)數(shù)學(xué)新課程試驗(yàn)中，教學(xué)內(nèi)容的量怎樣才比較合理，讓一部分中學(xué)生能夠?qū)W得了的新增的數(shù)學(xué)選修課內(nèi)容（尤其是選修系列四的部分專題）切實(shí)得到實(shí)施，以貫徹落實(shí)新中學(xué)課程的多樣性和選擇性，也是值得繼續(xù)探討的重要問題。

教材編制應(yīng)該有利于老師組織教學(xué)，考慮為老師們優(yōu)化教學(xué)過程提供設(shè)計(jì)的方案。老師的實(shí)際教學(xué)本身是對(duì)教材使用的再創(chuàng)造，必須有一個(gè)研究教材，能動(dòng)地設(shè)計(jì)符合學(xué)生實(shí)際的合理教學(xué)方案的過程。教材不能過分地引導(dǎo)甚至去限定實(shí)際教學(xué)方法，更不必把實(shí)際教學(xué)過程都予以呈現(xiàn)。數(shù)學(xué)教材有必要為學(xué)生的學(xué)習(xí)鉆研以及老師的教學(xué)留有空間和余地，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要講過程，很重要的方面是針對(duì)的是在實(shí)際課堂教學(xué)中讓學(xué)生簡(jiǎn)單記憶背誦數(shù)學(xué)結(jié)論而不重視數(shù)學(xué)結(jié)論的來龍去脈的教學(xué)的問題和現(xiàn)象。作為數(shù)學(xué)教科書，應(yīng)該提倡簡(jiǎn)明扼要，經(jīng)得起學(xué)生對(duì)于教科書的推敲和研究。

計(jì)算是數(shù)學(xué)研究的一種重要途徑，所以，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)量觀念和運(yùn)算能力。現(xiàn)在的計(jì)算工具更加先進(jìn)，還可以借助于大型的計(jì)算系統(tǒng)，這使計(jì)算能力可以大大加強(qiáng)。

3 應(yīng)用廣泛性

第4篇：數(shù)學(xué)原始概念范文

一、集合的產(chǎn)生不是偶然的,是必然的

從原始社會(huì)的狩獵開始,人們就有意識(shí)地把自己最原始的生活生產(chǎn)與集合聯(lián)系在一起了。當(dāng)在外狩獵了一天的男人們將自己的戰(zhàn)利品帶回部落時(shí),他們會(huì)把野兔、野雞等肉食分在一起,而把一些野果、野菜分到一起。從這里,我們可以隱隱約約地看到集合的萌芽了。雖然這些只知道維持自己生活的原始人并不知道什么是集合,但他們的這種分類方法在我們現(xiàn)在看來還是具有一定的集合思想的。幾千年以后,1874年,德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家康托爾開始提出“集合”的概念――把若干確定的有區(qū)別的(不論是具體的或抽象的)事物合并起來,看作一個(gè)整體,就稱為一個(gè)集合,其中各事物稱為該集合的元素。

二、集合的發(fā)展――研究的道路上充滿了陷阱

如果把現(xiàn)代數(shù)學(xué)比作一座無比輝煌的大廈,那么可以說集合論正是構(gòu)成這座大廈的基石。

集合論的創(chuàng)始人――康托爾,因其集合論的成就被譽(yù)為對(duì)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一。他引入了集合論中有關(guān)基數(shù)的概念,并且定義了聚點(diǎn)、閉集、開集等概念。

18世紀(jì)初,正當(dāng)數(shù)學(xué)家們處在集合論帶給數(shù)學(xué)的進(jìn)步時(shí),他們認(rèn)為有了集合論這塊基石,輝煌的數(shù)學(xué)大廈就可以巍峨地矗立起來了。殊不知,第三次數(shù)學(xué)危機(jī)已悄然而至。1902年,英國(guó)著名數(shù)學(xué)家羅素寫了一則有關(guān)理發(fā)師的笑話,這位理發(fā)師夸下海口:“我給鎮(zhèn)上所有不給自己刮胡子的人刮胡子,而且只給這樣的人刮胡子”――這就是數(shù)學(xué)史上著名的“理發(fā)師悖論”正如現(xiàn)在的經(jīng)濟(jì)危機(jī)帶給世界經(jīng)濟(jì)的不僅是更殘酷經(jīng)濟(jì)的競(jìng)爭(zhēng),而是國(guó)與國(guó)之間更加密切的交流與合作一樣,第三次數(shù)學(xué)危機(jī)帶給數(shù)學(xué)家們的不僅是種種未知的陷阱,而正是這些叵測(cè)的未知,讓數(shù)學(xué)家們更有勇往直前的科學(xué)精神。經(jīng)過幾十年的努力,終于建立了公理化的集合論,至此,更進(jìn)一步完美了集合論的理論。

三、集合的巨大作用

前面提到過“集合是數(shù)學(xué)的基石”,這句話終究從何談起呢?二十世紀(jì),一群法國(guó)數(shù)學(xué)家――尼古拉?布爾巴基學(xué)派,希望在集合論發(fā)展的基礎(chǔ)上,用公理化的方法重新構(gòu)造整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)。布爾巴基學(xué)派認(rèn)為,數(shù)學(xué)是一門研究集合以及作用在集合上的映射的一門學(xué)科,且具有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)――代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。我們從一開始就接觸到的1,2,3,4,5到初中的幾何,再到高中的算法,乃至大學(xué)階段所學(xué)的泛函,都無一例外地使研究集合以及其映射的。集合論的發(fā)展,更為數(shù)學(xué)的發(fā)展拉開了嶄新的一幕。

第5篇：數(shù)學(xué)原始概念范文

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；概念；基礎(chǔ)

依照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，函數(shù)概念在初中才能明確地引入，等到高中再用集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)去闡述函數(shù)的概念。但在我們小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中卻一直貫穿著函數(shù)這一概念，因此，只有真正了解函數(shù)在教材中的地位和作用，才能使數(shù)學(xué)更生動(dòng)，目標(biāo)更明確。

小學(xué)數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)知識(shí)中最基礎(chǔ)的部分，但已經(jīng)孕育了一些函數(shù)的觀點(diǎn)。比如，在我們小學(xué)數(shù)學(xué)中去討論的和、差、積、商的變化，它就直接地滲透了函數(shù)的思想。

在建立數(shù)的相等和不等的概念以及求兩數(shù)差多少的應(yīng)用題的過程中也滲透了“對(duì)應(yīng)”的思想，正比例、反比例關(guān)系那就更直接地揭示了兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系。待到初中函數(shù)概念的引入就會(huì)成為數(shù)學(xué)發(fā)展認(rèn)識(shí)的必然。如，方程可以看成帶有變數(shù)的函數(shù)表達(dá)式。求未知數(shù)的值，實(shí)質(zhì)上是求函數(shù)值，并且要求分式的分母不能為零，實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了其取值的范圍。不等式也可以類似去看，把序列函數(shù)看作是整標(biāo)函數(shù)等等。笛卡爾坐標(biāo)上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就直接揭示其“對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)。

在以上所列知識(shí)的教學(xué)過程中，使學(xué)生從感性上認(rèn)識(shí)了對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)函數(shù)概念有了初步的認(rèn)識(shí)后，到中學(xué)再引入函數(shù)這一概念也就順其自然了，學(xué)生接受起來也就輕松愉快了。然而，這只是函數(shù)概念的原始模型，這要到高中一步用集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)，去加深對(duì)“傳統(tǒng)定義”的理解，加以深化和提高，統(tǒng)一以前不完整的概念，使函數(shù)概念更精確化、準(zhǔn)確化，為今后函數(shù)概念的學(xué)習(xí)和研究打下良好的基礎(chǔ)。

變量的建立，使自然科學(xué)描述現(xiàn)實(shí)物質(zhì)世界的運(yùn)動(dòng)和變化過程成為可能，變量數(shù)學(xué)的基本概念――變量，函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)和微分以及微分法和積分法，從本質(zhì)上看不外是辯證法在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，使許多在以前不能解決的問題得到比較圓滿的解決。例如，我們小學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的圓的面積、周長(zhǎng)，圓柱、圓錐的表面積、體積，無限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)，實(shí)數(shù)概念等等，就可以讓學(xué)生清晰地去理解和掌握了。

第6篇：數(shù)學(xué)原始概念范文

【關(guān)鍵詞】 人類早期的會(huì)計(jì)行為;起源時(shí)間;產(chǎn)生條件

人類早期的會(huì)計(jì)行為起源于何時(shí)?是如何產(chǎn)生的?本文欲對(duì)此作一簡(jiǎn)要分析和回答。

一、人類早期會(huì)計(jì)行為的起源時(shí)間

人類早期的會(huì)計(jì)行為,是指人類早期的原始計(jì)量、記錄行為,它是人類早期原始計(jì)量、記錄思想的體現(xiàn),是會(huì)計(jì)的萌芽階段。關(guān)于人類早期的會(huì)計(jì)行為起源于何時(shí)的問題,國(guó)內(nèi)外會(huì)計(jì)學(xué)者均作出了自己的回答。

(一)國(guó)內(nèi)學(xué)者的研究成果

郭道揚(yáng)教授認(rèn)為,會(huì)計(jì)的萌芽階段起源于舊石器時(shí)代的中、晚期,而作為具有獨(dú)立意義的會(huì)計(jì)特征,直到原始公社制末期或到達(dá)文明時(shí)代的初期才表現(xiàn)出來。1982年,中國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社出版了湖北財(cái)經(jīng)學(xué)院郭道揚(yáng)編著的《中國(guó)會(huì)計(jì)史稿(上冊(cè))》一書,標(biāo)志著中國(guó)會(huì)計(jì)史系統(tǒng)研究的開端。隨后,中央廣播電視大學(xué)出版社于1984年出版了郭道揚(yáng)的《會(huì)計(jì)發(fā)展史綱》,1988年,中國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社出版了郭道揚(yáng)編著的《中國(guó)會(huì)計(jì)史稿(下冊(cè))》。郭道揚(yáng)著的普通高等教育“九五”國(guó)家級(jí)重點(diǎn)教材《會(huì)計(jì)史教程(第一卷)》也由中國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社于1999年出版。郭道揚(yáng)教授的國(guó)家社科基金資助項(xiàng)目――《會(huì)計(jì)史研究》一、二、三卷也已經(jīng)出版。這些論著都進(jìn)一步論證了他的觀點(diǎn)。但1985年,河南人民出版社出版了中國(guó)人民大學(xué)高治宇的《中國(guó)會(huì)計(jì)發(fā)展簡(jiǎn)史》,他認(rèn)為,會(huì)計(jì)的產(chǎn)生和發(fā)展可追溯到原始公社末期。而1987年,中國(guó)商業(yè)出版社出版了文碩著的《西方會(huì)計(jì)史(上)》。書中的觀點(diǎn)與郭道揚(yáng)教授的看法一致,認(rèn)為人類原始計(jì)量和記錄時(shí)代起源于舊石器時(shí)代的中、晚期。

(二)國(guó)外學(xué)者的研究成果

國(guó)外學(xué)者則普遍傾向于會(huì)計(jì)起源于新石器時(shí)代。1605年,荷蘭數(shù)學(xué)家、會(huì)計(jì)學(xué)家西蒙?斯蒂文所著的《傳統(tǒng)數(shù)學(xué)》一書出版,其中第七章“古代簿記探測(cè)”,是最早的會(huì)計(jì)史研究專論,但當(dāng)時(shí)會(huì)計(jì)史尚未發(fā)展成為一門科學(xué)。1933年,美國(guó)會(huì)計(jì)學(xué)家A?C?利特爾頓著的《1900年以前的會(huì)計(jì)發(fā)展》一書問世,奠定了會(huì)計(jì)史學(xué)科的基礎(chǔ)。1912年,英國(guó)律師沃爾芙編著的《會(huì)計(jì)師與會(huì)計(jì)簡(jiǎn)史》在英國(guó)倫敦出版,人們習(xí)慣稱該書為《沃爾芙會(huì)計(jì)史》。1977年,邁克爾?查特菲爾德著的《會(huì)計(jì)思想史》一書在美國(guó)問世。1985年,前蘇聯(lián)著名會(huì)計(jì)學(xué)家索科洛夫著的《會(huì)計(jì)發(fā)展史》一書由莫斯科財(cái)政統(tǒng)計(jì)出版社出版。西蒙?斯蒂文和A?C?利特爾頓均未在其論著中對(duì)會(huì)計(jì)萌芽的起源問題作專門論述。沃爾芙認(rèn)為,盡管世界上最古老的商業(yè)文書是在公元前3 500年以前,但可以推斷,記賬在公元前4 000年左右就開始了。邁克爾?查特菲爾德則引用Richard Brown的觀點(diǎn),認(rèn)為約7 000多年以前的巴比倫地區(qū)就出現(xiàn)了世界上最古老的商業(yè)記錄。前蘇聯(lián)會(huì)計(jì)學(xué)家索科洛夫認(rèn)為,人類對(duì)經(jīng)濟(jì)事項(xiàng)進(jìn)行有目的的記錄活動(dòng)開始于6 000年以前。這些論斷都說明人類早期會(huì)計(jì)行為出現(xiàn)在新石器時(shí)期。

通過比較上述國(guó)內(nèi)外會(huì)計(jì)學(xué)者的不同觀點(diǎn)可知:國(guó)內(nèi)學(xué)者傾向于認(rèn)為人類早期的會(huì)計(jì)行為起源于舊石器時(shí)代的中、晚期,而國(guó)外學(xué)者則傾向于認(rèn)為會(huì)計(jì)起源于新石器時(shí)代。

二、人類早期會(huì)計(jì)行為的產(chǎn)生條件

解決了人類早期會(huì)計(jì)行為的起源時(shí)間問題,而會(huì)計(jì)行為又是如何產(chǎn)生的呢?郭道揚(yáng)教授認(rèn)為,人類最初的會(huì)計(jì)思想與會(huì)計(jì)行為是社會(huì)生產(chǎn)發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物。社會(huì)生產(chǎn)發(fā)展水平是衡量人類會(huì)計(jì)思想、會(huì)計(jì)行為發(fā)生的先決條件,而生產(chǎn)剩余物品的出現(xiàn)與陸續(xù)增加則是衡量人類會(huì)計(jì)思想、會(huì)計(jì)行為發(fā)生的具體條件。正是由于生產(chǎn)剩余物品的出現(xiàn),人類才有可能在思維活動(dòng)方面將生產(chǎn)、分配、儲(chǔ)備問題聯(lián)系起來加以考慮,從而萌生了一種計(jì)量、記錄思想,進(jìn)而便產(chǎn)生了人類最古老的、最原始的計(jì)量、記錄行為。

高治宇認(rèn)為,在人類社會(huì)的歷史長(zhǎng)河中,會(huì)計(jì)的產(chǎn)生和發(fā)展的歷史過程可追溯到原始社會(huì)末期。當(dāng)人們有了剩余生產(chǎn)物,需要對(duì)生產(chǎn)活動(dòng)進(jìn)行計(jì)量、計(jì)算和反映時(shí),會(huì)計(jì)的原始萌芽就產(chǎn)生了。除了生產(chǎn)發(fā)展這個(gè)先決條件外,另一個(gè)重要條件,就是有了計(jì)量、計(jì)算和反映的方法,這兩個(gè)條件相結(jié)合,才可以說明會(huì)計(jì)的起源?？傊?研究我國(guó)會(huì)計(jì)的產(chǎn)生,必須明確認(rèn)識(shí)兩方面,一方面,它的產(chǎn)生與當(dāng)時(shí)生產(chǎn)力的發(fā)展水平相適應(yīng);另一方面,由于當(dāng)時(shí)數(shù)量概念的形成,計(jì)量、計(jì)算和反映方法的采用,為會(huì)計(jì)核算方法提供了重要條件。

索科洛夫認(rèn)為,核算(即會(huì)計(jì),下同,筆者注)的起源或萌芽狀態(tài)對(duì)我們來說,將永遠(yuǎn)是個(gè)謎。我們只能確信:核算不是一下子產(chǎn)生的。最初人們還不需要核算,因?yàn)閼{人的頭腦就足以容下所有的經(jīng)濟(jì)情況,這倒不是說某人有其特殊的記憶力,而是由于經(jīng)濟(jì)的規(guī)模太小,有關(guān)的信息不多。只有在具備了某些條件后才有可能出現(xiàn)書面核算與賬簿登記。首先,經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的發(fā)展應(yīng)該達(dá)到相當(dāng)廣泛的程度;其次,必須要有文字和學(xué)會(huì)初等算術(shù)。文字的出現(xiàn)與算術(shù)的發(fā)展為核算的產(chǎn)生創(chuàng)造了條件,而經(jīng)營(yíng)活動(dòng)則有助于它的全面推廣。

本文把郭道揚(yáng)教授的觀點(diǎn)歸納為“一條件說”,即剩余產(chǎn)品的出現(xiàn)促使了人類早期會(huì)計(jì)行為的產(chǎn)生。雖然郭道揚(yáng)教授分析時(shí)提到了社會(huì)生產(chǎn)發(fā)展水平為先決條件,生產(chǎn)剩余物品的出現(xiàn)和陸續(xù)增加為具體條件,但本文以為生產(chǎn)剩余物品的出現(xiàn)和陸續(xù)增加是社會(huì)生產(chǎn)發(fā)展水平達(dá)到一定程度的結(jié)果,如新技術(shù)(石器打制和磨制技術(shù)、石器鉆孔技術(shù)、摩擦取火技術(shù))、新工具(石球、標(biāo)槍、骨器與角器工具)的相繼發(fā)明和應(yīng)用,因此,這兩個(gè)條件實(shí)則表現(xiàn)為一個(gè)條件。本文把高治宇的觀點(diǎn)歸納為“二條件說”,即剩余產(chǎn)品的出現(xiàn)和數(shù)學(xué)的出現(xiàn)共同促使了人類早期會(huì)計(jì)行為的產(chǎn)生。本文把索科洛夫的觀點(diǎn)歸納為“三條件說”,即剩余產(chǎn)品的出現(xiàn)、數(shù)學(xué)的出現(xiàn)和文字的出現(xiàn)三者共同促使了人類早期會(huì)計(jì)行為的產(chǎn)生。

三、人類早期會(huì)計(jì)行為與數(shù)學(xué)的關(guān)系

(一)郭道揚(yáng)教授在分析人類早期會(huì)計(jì)行為的產(chǎn)生條件時(shí),只提到了社會(huì)生產(chǎn)發(fā)展水平和生產(chǎn)剩余物品的出現(xiàn)這個(gè)條件,而沒有提到數(shù)學(xué)條件和文字條件

其實(shí),郭道揚(yáng)教授是提到了這兩個(gè)條件的。郭道揚(yáng)教授認(rèn)為,人類最初的計(jì)量、記錄行為,其本身就表現(xiàn)為一種原始的“數(shù)學(xué)”行為,原始的會(huì)計(jì)行為與原始的數(shù)學(xué)行為是同時(shí)發(fā)生的。本文雖不同意郭道揚(yáng)教授的這一觀點(diǎn),但這并不影響我們對(duì)這一觀點(diǎn)的理解,即人類早期的會(huì)計(jì)行為――人類最初的計(jì)量行為(表現(xiàn)為數(shù)學(xué),此時(shí)的數(shù)學(xué)為萌芽狀態(tài))、人類最初的記錄行為(表現(xiàn)為文字,此時(shí)的文字為萌芽狀態(tài))到了人類社會(huì)有了生產(chǎn)剩余物品時(shí)才出現(xiàn)。

高治宇在分析人類早期會(huì)計(jì)行為的產(chǎn)生條件時(shí),提到了兩個(gè)條件:一個(gè)是“有了剩余生產(chǎn)物”,另一個(gè)是“有了計(jì)量、計(jì)算和反映的方法”。仔細(xì)分析第二個(gè)條件“有了計(jì)量、計(jì)算和反映的方法”,我們可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)條件包含了兩層意思:第一層意思是“有了計(jì)量、計(jì)算的方法”(表現(xiàn)為數(shù)學(xué)),第二層意思是“有了反映的方法(表現(xiàn)為文字)。

剩余產(chǎn)品的出現(xiàn)、數(shù)學(xué)的出現(xiàn)和文字的出現(xiàn)三者共同促使了人類早期會(huì)計(jì)行為的產(chǎn)生。

(二)由于國(guó)內(nèi)外對(duì)“會(huì)計(jì)”、“數(shù)學(xué)”、“文字”等概念理解上的差異,國(guó)內(nèi)學(xué)者基本上以“早期的萌芽狀態(tài)”來理解這些概念,而國(guó)外學(xué)者卻按“后期的特征狀態(tài)”來理解這些概念

這樣一來,就導(dǎo)致了人類早期會(huì)計(jì)行為的起源時(shí)間一早一晚結(jié)論的出現(xiàn),即:國(guó)內(nèi)學(xué)者主張人類早期的會(huì)計(jì)行為起源于舊石器時(shí)代的中、晚期(距今約十萬至二、三萬年前),而國(guó)外學(xué)者則認(rèn)為會(huì)計(jì)起源于新石器時(shí)代(距今約八千至五千年前)。

(三)會(huì)計(jì)與數(shù)學(xué)的關(guān)系源遠(yuǎn)流長(zhǎng),會(huì)計(jì)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)的支持和幫助

早期會(huì)計(jì)的出現(xiàn)依賴于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和運(yùn)用,后期會(huì)計(jì)的發(fā)展更是依賴于數(shù)學(xué)的支撐,如1494年意大利數(shù)學(xué)家盧卡?帕喬利出版的《算術(shù)、幾何、比及比例概要》(也譯《數(shù)學(xué)大全》),1605年荷蘭數(shù)學(xué)家西蒙?斯蒂文出版的《數(shù)學(xué)慣例法》(又譯《傳統(tǒng)數(shù)學(xué)》),均把會(huì)計(jì)作為數(shù)學(xué)問題的一部分進(jìn)行論述,詳細(xì)介紹了意大利的復(fù)式簿記。復(fù)式簿記是會(huì)計(jì)的基本記賬方法,在會(huì)計(jì)學(xué)中占有非常重要的地位。此外,像會(huì)計(jì)恒等式:資產(chǎn)=負(fù)債+所有者權(quán)益,賬戶余額的計(jì)算公式:期末余額=期初余額+本期增加額-本期減少額,固定資產(chǎn)折舊額的計(jì)算,產(chǎn)品成本的計(jì)算等,都是數(shù)學(xué)原理在會(huì)計(jì)學(xué)中的具體運(yùn)用。

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第7篇：數(shù)學(xué)原始概念范文

新課標(biāo)提出，要讓學(xué)生“經(jīng)歷從日常生活中抽象出數(shù)的過程，理解萬以內(nèi)數(shù)的意義，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)”。心理學(xué)研究表明：兒童獲得概念的方式主要是概念的形成和概念的同化。前者主要依靠對(duì)具體事物的概括獲得概念，后者主要利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的原有概念來理解新概念。隨著學(xué)生對(duì)知識(shí)的積累，概念的同化逐漸成為他們獲得概念的主要方式。學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)應(yīng)該屬于概念的同化。但問題的關(guān)鍵，是如何找到用來同化小數(shù)這個(gè)概念的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

從學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來看，有兩種方式可以抽象出小數(shù)的概念。一種是從十進(jìn)分?jǐn)?shù)入手，一般認(rèn)為小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表示形式，所以教材都是先安排認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，再安排認(rèn)識(shí)小數(shù)。元、角、分是小數(shù)在生活中的原型，教學(xué)時(shí)都會(huì)利用這個(gè)資源，通過生活經(jīng)驗(yàn)（零點(diǎn)幾元）和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)（十分之幾）的對(duì)接，讓學(xué)生知道零點(diǎn)幾就是十分之幾。另一種是從整數(shù)計(jì)數(shù)方法的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，把小數(shù)看作整數(shù)計(jì)數(shù)的概念推廣，也就是基于十進(jìn)制表示數(shù)量的需要，以前學(xué)生學(xué)習(xí)的整數(shù)計(jì)數(shù)是往大的方向發(fā)展的，即滿10個(gè)計(jì)數(shù)單位就往上面一級(jí)進(jìn)1，但由于生活和數(shù)學(xué)的發(fā)展要求，計(jì)數(shù)也要往另一個(gè)方向（即越來越小的方向）發(fā)展。

由此，我們知道，小數(shù)與自然數(shù)一樣，都是用來計(jì)量的，是生活中很多時(shí)候不能用自然數(shù)計(jì)量時(shí)產(chǎn)生的新數(shù)，它也遵循十進(jìn)制位值系統(tǒng)的一切規(guī)則。張奠宙教授指出：小數(shù)是十進(jìn)制計(jì)數(shù)沿著另一個(gè)方向（越來越小）的延伸，不是分?jǐn)?shù)的附庸。

從數(shù)學(xué)史的角度來看，分?jǐn)?shù)和小數(shù)的產(chǎn)生其實(shí)是相對(duì)獨(dú)立的，我國(guó)古代劉徽最早提出十進(jìn)小數(shù)的概念，實(shí)質(zhì)上就是十進(jìn)制計(jì)數(shù)的發(fā)展。國(guó)內(nèi)外教材對(duì)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”的編排也有兩種不同的方式：一種是從小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系來編排的，如我國(guó)的教材；另一種是從整數(shù)計(jì)數(shù)的推廣角度來編排的，如法國(guó)的教材。

基于上述分析，教學(xué)時(shí)，我采用十進(jìn)制計(jì)數(shù)與分?jǐn)?shù)意義相結(jié)合的方式，創(chuàng)設(shè)古人計(jì)數(shù)的情境，讓學(xué)生經(jīng)歷小數(shù)的產(chǎn)生過程，通過獨(dú)立思考和小組合作的方式“再創(chuàng)造”出小數(shù)，并逐步抽象出小數(shù)的意義。用學(xué)生已經(jīng)熟悉的十進(jìn)制位值系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)來同化小數(shù)的概念，對(duì)學(xué)生來說，更容易理解小數(shù)的意義，因?yàn)檫@對(duì)其知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建來說，不僅能凸顯小數(shù)的本質(zhì)，也是十進(jìn)制位值系統(tǒng)完善的需要；從另一個(gè)角度講，分?jǐn)?shù)的意義也是小數(shù)意義的基礎(chǔ)。由此，在教學(xué)中，我充分利用學(xué)生已有的分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)，這樣，學(xué)生能更完整地認(rèn)識(shí)小數(shù)的本質(zhì)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.結(jié)合具體情境，使學(xué)生經(jīng)歷初步抽象出小數(shù)概念的過程，體會(huì)小數(shù)的意義，體會(huì)小數(shù)產(chǎn)生的必要性。

2.會(huì)讀、寫小數(shù)部分是一位的小數(shù)，知道小數(shù)各部分的名稱。

3.培養(yǎng)學(xué)生互相合作、互相交流的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生經(jīng)歷初步抽象出小數(shù)概念的過程，理解小數(shù)的意義。

【教學(xué)活動(dòng)及意圖】

一、呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)，喚醒舊知

1.談話導(dǎo)入結(jié)繩計(jì)數(shù)。

今天，老師帶來了一位大家的好朋友（出示哆啦A夢(mèng)圖片），哆啦A夢(mèng)有一個(gè)神奇的時(shí)光機(jī)，可以穿越時(shí)空。讓我們一起跟著他來到一個(gè)原始部落。（播放視頻）這個(gè)原始部落里的人以打獵為生，有一次，他們打到了一些獵物。（出示獵物情境）

師：同學(xué)們猜猜看，古時(shí)候的人是怎么知道打了多少只獵物的呢？（結(jié)繩計(jì)數(shù)、用小石子計(jì)數(shù)）

師：是的，古時(shí)候計(jì)數(shù)的方法很多，這個(gè)部落是用繩子打結(jié)來計(jì)數(shù)的。（出示結(jié)繩計(jì)數(shù)場(chǎng)景，出示圖1）你知道這表示幾只獵物嗎？

2.怎么來表示很多獵物？

師：獵物越打越多，打一只獵物就要打一個(gè)結(jié)，非常麻煩，于是他們想到了一個(gè)辦法。你知道是什么辦法嗎？（滿十只打一個(gè)大一些或者長(zhǎng)一些的繩結(jié)）

出示圖2，這表示多少只獵物呢？（124只）

3.在計(jì)數(shù)器上畫一畫、寫一寫。

師：同學(xué)們真了不起，一下子就明白了古人的意思！請(qǐng)你在計(jì)數(shù)器上畫一畫，并寫下這個(gè)數(shù)。

師：與古人相比，你感覺我們現(xiàn)在的計(jì)數(shù)方法怎么樣？（方便、清楚、容易）

4.假如獵物儲(chǔ)存到十個(gè)一百只，在這個(gè)繩子上怎么來表示？（在百前面加一根更長(zhǎng)一點(diǎn)的繩結(jié)）

【十進(jìn)制位值系統(tǒng)有兩層含義：一是“滿十進(jìn)一”；二是同一個(gè)數(shù)字在不同的數(shù)位上表示不同的數(shù)值。本片段十分生動(dòng)地勾畫了十進(jìn)制位值系統(tǒng)發(fā)展的歷史，喚醒了學(xué)生已有的知識(shí)積累。通過了解古代計(jì)數(shù)方法并與現(xiàn)代計(jì)數(shù)方法進(jìn)行比較，再現(xiàn)十進(jìn)制的知識(shí)結(jié)構(gòu)，為學(xué)生接納小數(shù)的概念作好了鋪墊?！?/p>

二、自主探究，初步建構(gòu)

1.把1只獵物平均分成10份，其中的1份在繩子上怎么表示？

師：有一次，部落里來了客人，他們正好打到了一只獵物，于是把這只獵物拿出來平均分成10份，用其中的9份去招待客人了，還剩下其中的1份，你會(huì)在圖2的繩結(jié)上把這1份記下來嗎？

同桌討論交流，學(xué)生自己嘗試記錄，之后反饋交流。

生：我在1只后面再畫一根更短的繩結(jié)。

師：這根更短的繩結(jié)表示什么意思？

生：表示把1只獵物平均分成10份，其中的1份。

師：想法非常棒，但老師有個(gè)疑問，假如一個(gè)不了解的人，怎么知道哪個(gè)表示1只，哪個(gè)表示（1只）10份中的1份呢？你有辦法區(qū)分嗎？

生1：這個(gè)（1份）繩結(jié)離那個(gè)（1只）繩結(jié)遠(yuǎn)一點(diǎn)。

生2：在1只和1份之間作一個(gè)記號(hào)。

師（出示圖3）：好辦法！原始部落的人也是這么做的，在1只和1份之間再打個(gè)結(jié)區(qū)分一下。

2.怎么在計(jì)數(shù)器上表示1份？

師：原始部落的人會(huì)用繩結(jié)上表示1份了，你能不能在剛才表示124的計(jì)數(shù)器上把這個(gè)10份中的1份表示出來呢？

小組討論，嘗試“創(chuàng)造”出小數(shù)。

生1：我們小組發(fā)現(xiàn)原來的數(shù)位上不能表示這10份中的1份了，怎么辦呢？我們就在個(gè)位的右邊又添了一根線，在上面畫一顆珠子就表示10份中的1份了，我們給這個(gè)新的數(shù)位取名叫“分位”，因?yàn)樗瞧骄殖鰜淼摹?/p>

生2：我們也是這樣想的，只不過我們給這個(gè)數(shù)位取名為“份位”，因?yàn)樗厦娴囊活w珠子表示的是1份。

生3：我們?nèi)∶小笆治弧?，因?yàn)槭前?只獵物平均分成10份，表示其中的1份。

師：同學(xué)們的想法非常棒，自己創(chuàng)造出了一個(gè)新的數(shù)位。那怎么跟原來的個(gè)位區(qū)分呢？

生1：我在這兩個(gè)數(shù)位中間畫一小豎作個(gè)記號(hào)。

生2：我畫了一個(gè)點(diǎn)，這樣更簡(jiǎn)單。

師：同學(xué)們的想法跟數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的非常接近，現(xiàn)在我們又創(chuàng)造了一個(gè)新的數(shù)位，這個(gè)數(shù)位叫十分位，它表示把1平均分成10份。為了區(qū)分1個(gè)和10份中的1份，我們?cè)谶@里用一個(gè)小圓點(diǎn)區(qū)分開。（課件演示十分位的產(chǎn)生過程）

3.認(rèn)識(shí)小數(shù)。

師：把計(jì)數(shù)器（如圖4）上的數(shù)完整地寫下來。（學(xué)生寫一寫124.1）

師：這樣的數(shù)叫什么數(shù)？（揭示課題：認(rèn)識(shí)小數(shù)）關(guān)于小數(shù)的知識(shí)還有很多，請(qǐng)自學(xué)教材第88頁的一部分內(nèi)容。

學(xué)生交流124.1這個(gè)數(shù)各部分的名稱，并一起來讀一讀。（板書：整數(shù)部分，小數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)）

4.認(rèn)識(shí)0.1。

師（出示表示0.1的計(jì)數(shù)器）：你能寫出這個(gè)數(shù)嗎？它的整數(shù)部分是多少？小數(shù)部分呢？0.1表示什么意思？

表示這樣的3份是多少呢？（0.3）0.4，0.5……0.9（十分位上的珠子依次增加）再加一顆呢？（往前進(jìn)一，也就是說10個(gè)0.1是1）

出示兩個(gè)計(jì)數(shù)器（分別表示36.6和0.4），讓學(xué)生寫一寫、讀一讀、說一說，整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是多少？36.6中的2個(gè)6分別表示什么意思？

5.回顧總結(jié)。

師：學(xué)到這里，你對(duì)小數(shù)有了哪些認(rèn)識(shí)？怎么會(huì)出現(xiàn)小數(shù)的？

【小數(shù)的產(chǎn)生是生產(chǎn)和生活中計(jì)量的需要。這個(gè)片段的教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生真正經(jīng)歷了小數(shù)產(chǎn)生的過程，弗賴登塔爾說：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”。通過讓學(xué)生自己創(chuàng)造出小數(shù)，一方面，可以加深他們對(duì)小數(shù)概念的理解；另一方面，可以讓他們感受到，十進(jìn)制的位值系統(tǒng)除了可以向越來越大的方向發(fā)展，還可以向相反的方向發(fā)展，這是對(duì)原來計(jì)數(shù)方法的一次重大突破?！?/p>

三、逐步深化，系統(tǒng)建構(gòu)

師：同學(xué)們，你們?cè)谏钪幸姷竭^小數(shù)嗎？

1.大自然中的小數(shù)。

（出示：蜂鳥的重量1.8克，蜂鳥蛋的重量0.2克）提問：1.8的整數(shù)部分是幾？小數(shù)部分是幾？0.2表示什么意思？

2.超市中的小數(shù)。

鉛筆0.5元 0.5元=（ ）角

橡皮9角 9角=（ ）元

文具盒8.4元 8.4元=（ ）元（ ）角

計(jì)算器25.6元 25.6元=（ ）元（ ）角

反饋時(shí)追問：為什么0.5元是5角？9角為什么是0.9元？8.4和25.6的整數(shù)部分表示什么？小數(shù)部分呢？

3.圖形中的小數(shù)。

（2）出示圖6，可以用0.1來表示嗎？為什么？

4.數(shù)軸上的小數(shù)。

出示圖7，請(qǐng)你在數(shù)軸上找出0.2、1.3和2.7，并展示交流你是怎么找到的，這里還有其他小數(shù)嗎？

【本片段分層進(jìn)行練習(xí)：一是利用小數(shù)在生活中的應(yīng)用，使學(xué)生加深對(duì)小數(shù)的理解，豐富小數(shù)的內(nèi)涵；二是利用圖形溝通分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系，通過反例進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的理解；三是在數(shù)軸上找小數(shù)，讓學(xué)生在找的過程中加深對(duì)小數(shù)的理解，滲透數(shù)系擴(kuò)展的思想。】

四、拓展應(yīng)用，豐富內(nèi)涵

在原始部落的繩子上又出現(xiàn)了更短的繩子（如圖8），它表示什么意思呢？在計(jì)數(shù)器上怎么來表示？

第8篇：數(shù)學(xué)原始概念范文

此后，對(duì)“善”的研究最有影響的人物要數(shù)英國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家懷特海。1939年在美國(guó)哈佛大學(xué)所做的一次題為“數(shù)學(xué)與善”的演講中，懷特海不僅對(duì)柏拉圖始終強(qiáng)調(diào)的一個(gè)重要思想——“善”的思想（又稱理念）予以了充分的肯定，而且對(duì)達(dá)到善的途徑和善的最終狀態(tài)進(jìn)行了詳細(xì)的闡述。他從“有限”（有限的識(shí)別力、有限的知識(shí)）與“無限”（無限的宇宙）的相互關(guān)系出發(fā)，提出了“善”是一種描述無限豐富的數(shù)學(xué)世界的理想模式的思想，他指出所謂“善”，是一種理想的東西，具有無限的性質(zhì)，人們正是通過模式這種有限的東西而達(dá)到對(duì)無限的宇宙——“善”的認(rèn)識(shí)的。這樣，在柏拉圖眼里抽象、玄妙、讓人始終不可捉摸的“善”，通過懷特海精辟透徹的分析，使人們第一次對(duì)“善”有了一個(gè)具體而直觀的認(rèn)識(shí)，那就是“善”本質(zhì)上是一種描述無限豐富的數(shù)學(xué)世界的理想模式。[2]從柏拉圖與懷特海對(duì)“善”的闡述中我們也逐漸演繹出“數(shù)學(xué)理解的至‘善’追求是數(shù)學(xué)思想方法的理解”這一重要觀點(diǎn)。為了更好地理解這一點(diǎn)，下面從四個(gè)方面來具體闡述。

一、從數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)看，數(shù)學(xué)思想方法處于數(shù)學(xué)理解的最高層次

數(shù)學(xué)理解是每一個(gè)從事數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的人都無法回避的問題，但究竟什么是數(shù)學(xué)理解卻眾說紛紜。有人認(rèn)為，“對(duì)一個(gè)事物本質(zhì)的理解，就是指該事物的性質(zhì)以一定的方式在學(xué)習(xí)者頭腦中呈現(xiàn)并能迅速提取。而數(shù)學(xué)理解就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的正確、完整、合理的表征?！盵3]也有人認(rèn)為，“一個(gè)數(shù)學(xué)的概念或方法或事實(shí)被理解了，那么它就會(huì)成為個(gè)人內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)部分?！盵4]還有人認(rèn)為，“學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么就說明是理解了?！盵5]但若從聯(lián)系的觀點(diǎn)來進(jìn)行考察則可以清楚地發(fā)現(xiàn)，從某種意義上來說，數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)就是要在新、舊數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立一種非人為的、實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。

明確了數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)以后，我們?cè)賮磉M(jìn)一步闡述“數(shù)學(xué)理解的最高層次是數(shù)學(xué)思想方法”這一觀點(diǎn)。為了更好地闡述這一觀點(diǎn)，有必要先明確一下數(shù)學(xué)思想方法的概念。關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法，目前比較公認(rèn)的說法有兩種：其一，“數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)概念、理論的相互聯(lián)系和本質(zhì)所在，是貫穿于數(shù)學(xué)的、具有一定統(tǒng)攝性和概括性的概念?！盵6]其二，“數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映在人的意識(shí)中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)?！盵7]盡管兩者的表述不盡相同，但基本上都把數(shù)學(xué)思想方法看作是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法所形成的規(guī)律性認(rèn)識(shí)或基本看法，認(rèn)為數(shù)學(xué)思想是在對(duì)較低水平的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行不斷概括、反思基礎(chǔ)上提煉出來的中心思想、原理或總綱。比如人們?cè)趯?duì)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象的基礎(chǔ)上產(chǎn)生了自然數(shù)的概念以及自然數(shù)的運(yùn)算法則等，對(duì)自然數(shù)進(jìn)一步抽象又可以將自然數(shù)用字母來進(jìn)行表示（比如用N表示自然數(shù)），這樣就產(chǎn)生了字母代數(shù)的思想；而字母又可以進(jìn)一步抽象為變量，這樣又會(huì)產(chǎn)生變量的思想。

由此可見，數(shù)學(xué)思想方法不同于數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題等理性知識(shí)，它更多表現(xiàn)為一種整體的、直觀的認(rèn)識(shí)，它屬于理性知識(shí)但又高于通常所說的理性知識(shí)，它是一種至“善”的知識(shí)，這種知識(shí)追求的是一種數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美、和諧美、簡(jiǎn)潔美，這種知識(shí)作為一種高層次的思維形式它具有高度的抽象性，同時(shí)它又具有很強(qiáng)的直觀性，它往往會(huì)在人的頭腦中留下非常清晰的直觀形象（常常被稱為心理意象），會(huì)讓人產(chǎn)生清晰明確、天經(jīng)地義的（被懷特海稱為自明的）感覺。若從聯(lián)系的觀點(diǎn)來看，數(shù)學(xué)思想方法本質(zhì)上是構(gòu)建各種數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系的方法或線索。

這樣我們就比較容易理解為什么數(shù)學(xué)理解的至善追求是數(shù)學(xué)思想方法的理解這一命題了。從聯(lián)系的觀點(diǎn)來看，數(shù)學(xué)理解是在數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立聯(lián)系，而要在眾多數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立聯(lián)系又必須首先找到構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系的方法或線索——數(shù)學(xué)思想方法。可以說，數(shù)學(xué)思想方法（作為線索和方法）既是構(gòu)建聯(lián)系的前提，同時(shí)又是構(gòu)建聯(lián)系的目標(biāo)。這樣，數(shù)學(xué)思想方法層次理解的本質(zhì)就是要能夠用某個(gè)思想方法作為線索將所要理解的知識(shí)“串聯(lián)”起來，從而達(dá)到奧蘇貝爾所提出的“綜合貫通”境界。

二、從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史看，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)展的高級(jí)階段

從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史看，數(shù)學(xué)思想方法經(jīng)歷了從模糊的感性認(rèn)識(shí)到精確的數(shù)學(xué)刻劃再到形成數(shù)學(xué)方法直到最后上升為理性的數(shù)學(xué)思想這四個(gè)發(fā)展階段。

在萌芽數(shù)學(xué)時(shí)期，原始人的思維還僅僅處于主客體分化的邊緣。其內(nèi)部意識(shí)活動(dòng)和外部信息活動(dòng)的區(qū)分是極不確定、極不明晰的，原始人的思維以模糊的感性認(rèn)識(shí)為主要形式?？脊叛芯勘砻鳎谠既四抢锊]有真正的數(shù)詞，使用的僅僅是執(zhí)行數(shù)詞的功能詞。而且數(shù)本身尚未形成同類序列，還只是一種“數(shù)-總和”的混合物。[8]比如，在很多原始部落，原始人只能認(rèn)識(shí)到“5”，而大于5的自然數(shù)都統(tǒng)稱為“多”。

進(jìn)入常量數(shù)學(xué)時(shí)期，為了更加精確地刻劃研究對(duì)象，科學(xué)進(jìn)入了分門別類的研究階段，人們開始利用演繹方法來探究事物之間的各種聯(lián)系，其最典型的表現(xiàn)是數(shù)學(xué)的公理化和推理的嚴(yán)密化。

進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)期，數(shù)學(xué)的發(fā)展從對(duì)事物靜態(tài)聯(lián)系的考察進(jìn)一步發(fā)展到對(duì)事物動(dòng)態(tài)發(fā)展過程的考察階段。而要全面、深入地考察事物的動(dòng)態(tài)發(fā)展過程就必須準(zhǔn)確把握事物的發(fā)展脈絡(luò)。于是，數(shù)學(xué)從過去僅僅著眼于對(duì)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的研究逐漸過渡到關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想并進(jìn)一步發(fā)展為立足于數(shù)學(xué)思想發(fā)展變化的高度來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)這一新階段，如用函數(shù)的思想、變換的思想來重新審視代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)的本質(zhì)等。

到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期，數(shù)學(xué)思想方法的研究又得到全新的發(fā)展。數(shù)學(xué)思想方法的研究逐漸從幕后走到了臺(tái)前，現(xiàn)在，數(shù)學(xué)思想方法不再僅僅只是研究數(shù)學(xué)知識(shí)的手段或工具，數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)直接成為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象并迅速發(fā)展成為一門重要的數(shù)學(xué)學(xué)科——數(shù)學(xué)方法論。

為了更好地理解這一過程，我們通過極限思想的發(fā)展歷史來說明這一點(diǎn)。

如果大家對(duì)極限的發(fā)展歷史有一點(diǎn)了解的話，那么應(yīng)該知道極限的發(fā)展大體經(jīng)歷了以下幾個(gè)階段：

1.運(yùn)用模糊、直觀的日常語言對(duì)極限思想進(jìn)行定性的描述的階段

極限思想起源于無限，最初表現(xiàn)為對(duì)無限這一概念的模糊、直觀認(rèn)識(shí)。在我國(guó)，《莊子·天下篇》中曾經(jīng)用“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”形象地反映人們對(duì)極限的直觀認(rèn)識(shí)，而劉徽提出的“割圓術(shù)”則是極限思想的直接運(yùn)用。在西方，無論是亞里士多德、德謨克利特等人提出的無限概念和無窮小量觀念，還是攸多克索斯提出的窮竭法，抑或牛頓、萊布尼茲提出的無窮小概念，都還只是對(duì)極限的一種直觀認(rèn)識(shí)。盡管牛頓已經(jīng)發(fā)明了微積分，但對(duì)極限的認(rèn)識(shí)還沒有脫離直觀，還存在著很多模糊的地方。英國(guó)大主教貝克萊就曾對(duì)牛頓的無窮小概念提出了尖銳批評(píng)，并指出，“這些瞬時(shí)變化率既不是一給定的量，也不是無窮小的量，它什么也不是，它只是消失了的量的靈魂……。”[9]

2.借助于精確的數(shù)學(xué)語言對(duì)極限思想進(jìn)行定量刻劃階段

微積分產(chǎn)生以后，人們發(fā)現(xiàn)微積分的基礎(chǔ)存在很多漏洞。為了完善其基礎(chǔ)，柯西采用“無限的趨近”、“任意小”等帶有模糊性的自然語言來描述極限，但這仍然不能徹底解決微積分基礎(chǔ)不嚴(yán)格的問題。后來，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯采用了精確的數(shù)學(xué)語言——“？著-N（？啄）”語言來刻劃極限，從而把微積分奠基于算術(shù)概念的基礎(chǔ)上，徹底解決了微積分中存在的漏洞。這樣極限從原來模糊的定性描述逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榫_的定量刻劃并因此而導(dǎo)致了數(shù)學(xué)分析的產(chǎn)生。

3.極限成為解決問題的一種重要方法

極限的產(chǎn)生不僅促進(jìn)了微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)格化，而且還導(dǎo)致了諸如“？著-N（？啄）”語言、“l(fā)im”等一系列數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生。同時(shí)極限本身在解決問題中也顯示了巨大的作用，用極限既可以求導(dǎo)、求積分、還可以解方程、求收斂級(jí)數(shù)之和等等，其應(yīng)用涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眾多分支，隨著極限在各種問題求解過程中的廣泛運(yùn)用，極限已經(jīng)成為解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法。

4.極限升華為一種理性的數(shù)學(xué)思想

隨著極限應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大和應(yīng)用層次的不斷加深，人們對(duì)極限的價(jià)值有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，逐漸形成了運(yùn)用極限的思想來觀察問題、分析問題和解決問題的態(tài)度，并在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生了“以直代曲”思想、“逼近”思想等重要數(shù)學(xué)思想。這表明極限已經(jīng)逐漸發(fā)展成為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。

三、從人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的過程看，數(shù)學(xué)思想的理解是數(shù)學(xué)理解的最高層次

從人類對(duì)數(shù)學(xué)的理解過程來看，數(shù)學(xué)思想方法通常起源于人們的認(rèn)識(shí)活動(dòng)。洛克認(rèn)為，理解過程從事物刺激感官所得到的簡(jiǎn)單觀念開始（這時(shí)理解大部分是被動(dòng)的），然后運(yùn)用心中的主動(dòng)性對(duì)簡(jiǎn)單觀念進(jìn)行合成、聯(lián)想和抽象而得到復(fù)雜觀念，大大增加人的理解力（這時(shí)候是知覺能力），理解便運(yùn)用各種觀念作為材料，依照這些觀念的契合或相違（以此為范圍），通過感覺的、直覺的和推論的途徑，達(dá)到對(duì)個(gè)別事物、一般原則和上帝等對(duì)象的知識(shí)。[10]康德認(rèn)為，一切人的認(rèn)識(shí)都從感覺開始，再從感覺上升到概念，最后形成思想[11]。

通俗地說，數(shù)學(xué)思想方法的理解需要經(jīng)歷從具有不確定性的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中抽取出具有確定性的數(shù)學(xué)知識(shí)，產(chǎn)生解決數(shù)學(xué)問題的方法，然后再運(yùn)用這些知識(shí)和方法來解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題、解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，并在這種解釋世界、解決問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中形成解決數(shù)學(xué)問題的觀念和態(tài)度——數(shù)學(xué)思想方法這幾個(gè)階段。

比如，在學(xué)分法時(shí)，一些有經(jīng)驗(yàn)的老師就先采用“幸運(yùn)52”游戲來讓學(xué)生體驗(yàn)二分的過程，當(dāng)學(xué)生積累了一定的感性認(rèn)識(shí)以后老師再出示具體方程讓學(xué)生猜測(cè)方程根的分布情況。如讓學(xué)生模仿“幸運(yùn)52”游戲來猜方程“x5+5x-3=0”的根，先構(gòu)造函數(shù)f（x）=x5+5x-3并任取兩個(gè)函數(shù)值異號(hào)的點(diǎn)如x=-1，x=1，由此斷定在區(qū)間（1，1）內(nèi)一定有根，接著看其二等份點(diǎn)x=0處的函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)f（0）

學(xué)生在對(duì)二分法本質(zhì)獲得更加清晰的理解以后要做的事情就是要能夠靈活運(yùn)用這一方法解決各類問題，如用二分法求方程的近似解，求曲線的近似交點(diǎn)等。

而對(duì)二分法認(rèn)識(shí)的最高階段則是形成運(yùn)用二分法思想觀察問題、分析問題和解決問題的態(tài)度和數(shù)學(xué)觀。如果學(xué)生能夠?qū)⒍址ㄟM(jìn)一步上升為逼近這一重要數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用逼近思想去觀察問題、分析問題和解決問題，那么對(duì)二分法的理解就達(dá)到數(shù)學(xué)思想方法理解這一至“善”層次[12]。

四、從專家與新手的解題對(duì)比看，專家往往更擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)思想方法的理解

數(shù)學(xué)思想層次的理解是高水平數(shù)學(xué)理解的體現(xiàn)。德格魯特（deGroot）在對(duì)專家與新手解決問題的過程比較后發(fā)現(xiàn)：專家知識(shí)是圍繞核心概念或“大觀點(diǎn)”（bigideas）來組織的，專家解決問題常常涉及到核心概念或“大觀點(diǎn)”的思維方式。相反，新手的知識(shí)則極少按“大觀點(diǎn)”來組織，他們更多的是通過自己的日常直覺尋找正確的公式和貼切的答案。[13]腦科學(xué)的最新研究也充分揭示了這一點(diǎn)，一個(gè)領(lǐng)域的專家和新手的區(qū)別表現(xiàn)為專家傾向于（由于有大量的經(jīng)驗(yàn)）用更大的組塊來組織信息，而新手則以孤立的小塊信息來處理。[14]而是否能夠很好地進(jìn)行組塊的關(guān)鍵在于解題者能否找到組塊的線索和方法——數(shù)學(xué)思想方法。這就難怪雅克·阿達(dá)瑪會(huì)認(rèn)為，如果一個(gè)人習(xí)慣于在較深的層次上進(jìn)行思想組合，那么他就偏重于直覺型；相反，如果某人習(xí)慣于在較淺的層次上工作，他就偏重于邏輯型。[15]比如在解“由ABC兩邊AB、AC分別向外作正三角形ABD、ACE，求證：ABD≌ACE”這一問題時(shí)，新手往往只能看到這兩個(gè)三角形全等這一點(diǎn)，而專家則往往還能看到可以通過旋轉(zhuǎn)變換將其中一個(gè)三角形變換到與另一個(gè)三角形重合這一面。前者僅僅著眼于三角形全等判斷定理的具體運(yùn)用，而后者則能立足于變換這一重要數(shù)學(xué)思想來處理數(shù)學(xué)問題。

可見，新手或初學(xué)者往往比較關(guān)注細(xì)節(jié)，而專家或復(fù)習(xí)舊知時(shí)則更關(guān)注思路或方法等宏觀方面。專家之所以比新手高明就在于專家往往能夠借助于數(shù)學(xué)思想方法或站在數(shù)學(xué)思想方法的高度來認(rèn)識(shí)所研究的問題。這就難怪日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏為什么那么看重?cái)?shù)學(xué)思想方法，為什么始終把數(shù)學(xué)思想方法的理解作為數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心，并提出了“不管學(xué)生畢業(yè)以后從事何種工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等（若培養(yǎng)了這方面的素質(zhì)的話），卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！边@一至理名言。

綜合以上分析，我們完全可以得出這樣的結(jié)論，那就是，數(shù)學(xué)思想方法的理解是數(shù)學(xué)理解的最高層次，是數(shù)學(xué)理解的至“善”追求。

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第9篇：數(shù)學(xué)原始概念范文

關(guān)鍵詞 美育；數(shù)學(xué)；教學(xué)

新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中就指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要充分利用教學(xué)資源，對(duì)學(xué)生實(shí)施美的教育，培養(yǎng)學(xué)生高尚的審美情趣，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)美、鑒賞美、創(chuàng)造美的能力。使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中充分享受美、從而形成美的心靈、美的靈魂?！?/p>

一、數(shù)學(xué)美的客觀性

數(shù)學(xué)中美的因素是極為豐富的，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念和公式的科學(xué)性、準(zhǔn)確性；數(shù)學(xué)定理和法則的概括性、普遍適用性；數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的完整、圖形的對(duì)稱、布局的合理、形式的簡(jiǎn)潔性。

數(shù)學(xué)的最初概念起源于原始社會(huì)對(duì)數(shù)與形的早期最初認(rèn)識(shí)及其相關(guān)運(yùn)算。數(shù)的概念產(chǎn)生于原始人的生活和生產(chǎn)，他們?cè)陂L(zhǎng)期的狩獵與分配過程中逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念；“形”的產(chǎn)生源于遠(yuǎn)古人對(duì)周圍環(huán)境的各種物體形狀的長(zhǎng)期觀察，從而抽象出圓、直線等幾何圖形概念。這就反映了數(shù)學(xué)美的客觀性。

在日常生活中，到處可見具有確定數(shù)學(xué)關(guān)系的數(shù)學(xué)美，小學(xué)一年級(jí)開始學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)、認(rèn)數(shù)和寫數(shù)。在認(rèn)識(shí)這些數(shù)的時(shí)候，可以將數(shù)的產(chǎn)生與實(shí)際教學(xué)聯(lián)系起來，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些數(shù)是與日常生活密不可分的，是客觀存在的；小學(xué)二年級(jí)涉及到軸對(duì)稱圖形，在讓學(xué)生初步了解了軸對(duì)稱圖形的概念后，讓學(xué)生想一想，生活中有哪些事物具有對(duì)稱性，如：身邊的建筑物、身邊的動(dòng)物（蝴蝶、蜻蜓）、數(shù)字、字母以及自己的身體和衣服褲子等，做到把課堂上學(xué)到的知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合，以此來達(dá)到了新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的“初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)?！边@樣的目的。

二、數(shù)學(xué)美的嚴(yán)謹(jǐn)性

楊振寧教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的高度嚴(yán)密性，也是一種美，數(shù)學(xué)美是客觀事物及其規(guī)律經(jīng)過人的思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)，是理論思維與審美意識(shí)交融的產(chǎn)物”。數(shù)學(xué)是一門邏輯性極強(qiáng)的學(xué)科。德國(guó)大數(shù)學(xué)家菲利克斯?克萊因（Felix Christian Klein）說過：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作”。數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家創(chuàng)造了美好的新概念。這也就形成了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密、簡(jiǎn)潔、秩序、規(guī)整和高度統(tǒng)一的特點(diǎn)和數(shù)學(xué)規(guī)律的普遍性和應(yīng)用的廣泛性的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念、一個(gè)定理和一個(gè)公式，都能準(zhǔn)確地揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性；數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)結(jié)論存在與唯一，對(duì)錯(cuò)分明，不模棱兩可；數(shù)學(xué)的邏輯推理嚴(yán)密也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美的嚴(yán)謹(jǐn)性，從公理開始到演繹的最后一個(gè)環(huán)節(jié)都絲絲入扣、精確計(jì)算、嚴(yán)謹(jǐn)推理。

三、數(shù)學(xué)美的奇異性

弗蘭西斯?培根（Francis Bacon）曾經(jīng)說過“美在于獨(dú)特而令人驚異，奇異與和諧是對(duì)立的統(tǒng)一?！比缙娈惖狞S金分割數(shù)0.618，它是最奇異與和諧的比例關(guān)系，其美學(xué)價(jià)值日常生活中處處體現(xiàn)，如電視屏幕、寫字臺(tái)面、門窗等，其短邊與長(zhǎng)邊之比應(yīng)為0.618；人的肚臍高度和人體總高度之比接近等于0.618；建筑物的裝飾物主要在黃金分割處。在小學(xué)數(shù)學(xué)中也處處體現(xiàn)這種奇異與和諧的對(duì)立統(tǒng)一。小學(xué)數(shù)學(xué)的奇異較多地表現(xiàn)在超越常規(guī)、新穎獨(dú)特的思想方法上。比如六年級(jí)學(xué)習(xí)圓的面積公式的推導(dǎo)：把圓用化成無數(shù)多個(gè)小扇形，把這些一個(gè)一個(gè)的拼起來，就成了一個(gè)長(zhǎng)方形，就可以推導(dǎo)出圓的面積公式，如果讓學(xué)生親自動(dòng)手做做，就能讓學(xué)生體會(huì)這奇異的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生以拓寬思維方式，讓學(xué)生逐步理解到數(shù)學(xué)的奇異美來源于現(xiàn)實(shí)世界，又將現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行“高度的抽象化”，從而具有廣泛的應(yīng)用性。培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)美、鑒賞美、創(chuàng)造美的能力。

四、數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性