動態(tài)規(guī)劃精選(九篇)

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第1篇：動態(tài)規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：動態(tài)規(guī)劃；模板匹配；特征距離矩陣

DOIDOI：10.11907/rjdk.171142

中圖分類號：TP312

文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-7800（2017）06-0037-03

0 引言

在計算機領(lǐng)域，常需要將實驗數(shù)據(jù)與預(yù)先設(shè)定好的模板進行匹配。圖像處理領(lǐng)域中的圖像檢索、圖像分割、圖像拼接、圖像檢測、視頻編碼等，就需要運用到模板匹配技術(shù)。模板匹配技術(shù)在圖像處理領(lǐng)域的具體應(yīng)用可以簡單分為兩大類：基于特征點的匹配技術(shù)、基于像素灰度的匹配。基于特征點的匹配往往被更高級的機器視覺類任務(wù)采用，而在圖像處理中，基于特征的匹配方法由于抽取的點、線、特征子等特征容易受到視角變換、遮擋等問題的干擾，會影響到最終匹配結(jié)果的質(zhì)量，同時特征抽取方法的時間復(fù)雜度較高，對于實時性是一個挑戰(zhàn)?；谙袼鼗叶鹊哪０迤ヅ浞椒ǎ恍枰O(shè)定好匹配的模板尺寸與遍歷方式，算法簡潔、穩(wěn)定性高，適合圖像處理與計算機視覺問題中的底層預(yù)處理。但其也存在一些缺點，如噪聲、光照引起的灰度變化，且運算數(shù)據(jù)量大，基于像素灰度的匹配算法也無法避免圖像數(shù)據(jù)與模板匹配過程可能帶來的高復(fù)雜度問題。

迄今為止，模板匹配技術(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到圖像處理的實際問題中，并取得了一系列成果。例如，王倩倩[1]將模板匹配問題應(yīng)用到藻類圖像的識別問題中，李厚軍[2]將模板匹配問題應(yīng)用到眉毛的識別問題中，陳瑩[3]將模板匹配方法用于增強微光圖像，王正等[4]將模板匹配引入到圖像編碼中的調(diào)色板更正上，提高了圖像編碼效率，王志衡，郭超等[5]將模板匹配方法應(yīng)用到了新聞圖像字母行切分之中，張盼盼[6]等將模板匹配方法應(yīng)用到了數(shù)字識別過程中，陳寧等[7]將該方法應(yīng)用到集裝箱識別與匹配的問題中。然而，采用上述方法在面臨大數(shù)據(jù)量的數(shù)據(jù)時，也存在復(fù)雜度較高的問題。因此，如何進一步優(yōu)化模板匹配問題有待進一步研究解決。

動態(tài)劃方法（Dynamic Programming）早期誕生于運籌學(xué)，是一種迭代求解最優(yōu)的方法。近年來，動態(tài)規(guī)劃方法作為算法設(shè)計策略中求解最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的一種重要思想，被廣泛引入到計算機問題求解之中。動態(tài)規(guī)劃求解計算機問題的基本思想是，將待求解問題分解成若干個結(jié)構(gòu)相同的子問題，在求解過程中保存已求解子問題的答案并在后續(xù)求解過程中，有效利用之前求解的答案協(xié)助當(dāng)前問題求解。由于后續(xù)問題在求解過程中已經(jīng)遇到了需要之前已經(jīng)求過的子問題，因此大大提高了求解效率[8-11]。可以簡單地將動態(tài)規(guī)劃算法分為基于線性的動態(tài)規(guī)劃算法、基于樹形的動態(tài)規(guī)劃算法、基于區(qū)域的動態(tài)規(guī)劃算法、基于背包的動態(tài)規(guī)劃算法。具體采用何種動態(tài)規(guī)劃方法應(yīng)針對具體問題作具體分析，例如，有學(xué)者[12-13]在語音識別與動作識別等具體領(lǐng)域嘗試采用動態(tài)規(guī)劃算法嘗試優(yōu)化求解。但往往只是將動態(tài)規(guī)劃算法應(yīng)用到某一具體問題，尚未對圖像處理中的模板匹配問題進行動態(tài)規(guī)劃算法實現(xiàn)。

綜上，鑒于動態(tài)規(guī)劃方法的自身特性及當(dāng)前圖像處理在解決模板匹配問題上的不足，本文提出了一種采用動態(tài)規(guī)劃解決模板匹配的方法，首先給出圖像數(shù)據(jù)與模板的匹配問題，并對該問題進行符號化和相應(yīng)的理論分析，此后采用動態(tài)規(guī)劃的方法解決模板匹配問題，并對傳統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃解決方法在時間復(fù)雜度上進行改進。相較于傳統(tǒng)模板匹配方法，采用本文提出的方法可以將時間復(fù)雜度減少一個數(shù)量級。

1 問題分析與解決

圖像模板匹配算法的過程可以簡單歸納為：首先采用某一尺度的模板遍歷所有數(shù)據(jù)（例如整幅圖像），此后計算模板與模板在整個圖像中所對應(yīng)區(qū)域的匹配程度，最后在數(shù)據(jù)中找到與模板匹配程度最高的區(qū)域。對于一幅圖像數(shù)據(jù)S而言，若圖像的尺寸大小為H*W，模板T的尺寸為P*P，模板匹配算法需要在圖像數(shù)據(jù)上進行遍歷，并計算模板與模板覆蓋區(qū)域的匹配程度，將模板覆蓋到一個圖像區(qū)域并計算匹配度的過程約定為一個動作。設(shè)有一組試驗動作序列：V=（V0，V1，…，VM） 和一組模板動作序列T=（T0，T1，…，TN），（M>N），兩組序列都滿足動作的時間順序，這里試驗動作數(shù)據(jù)中的每個動作都必須出現(xiàn)在匹配路徑中，而模板動作序列不做此要求。計算模板與圖像對應(yīng)位置的匹配程度，可以根據(jù)需求采取不同的度量方式，如歐式距離、光度距離與幾何距離等。模板的移動可以采用Zigzag的方式實現(xiàn)。則上述模板匹配可以得到有效的距離矩陣，可以在該距離矩陣的基礎(chǔ)上設(shè)計動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化解決方案。這里，假設(shè)試驗動作數(shù)為M=15，模板動作數(shù)為N=10。

1.1 問題符號化及分析

為了方便地表達該問題，采用3個矩陣進行存儲和計算，如圖1所示。一個是矩陣A，用來存放原始數(shù)據(jù)；一個是矩陣B，用來存放計算過程的局部最優(yōu)值；一個是矩陣R，用來記錄局部最優(yōu)值所對應(yīng)的路徑。

1.2 問題解決

1.2.1 局部最優(yōu)值計算

對于上述問題，采用動態(tài)規(guī)劃思想進行解決，其基本思路如下：首先，試驗動作從V0開始，由于它是第一個試驗動作，前面沒有其它動作，因而無論它選擇哪一個模板，都可看成是當(dāng)前的最優(yōu)值；然后，考查第二個試驗動作V1，如果V1選擇的模板動作是T0，那么試驗動作V0選擇的模板只能是T0，這時它的最小值為a0，0+a1，0，同時在矩陣R中r0，0位置記錄該局部最優(yōu)值所對應(yīng)的模板序號；如果V1選擇的模板動作為T1，那么試驗動作V0可以選擇的模板是T0或T1，顯然，只有取a0，0和a0，1中的最小值，與a1，1相加后可得V1在選擇模板動作T1時的最優(yōu)值，同時在矩陣R中r0，1位置記錄該局部最優(yōu)值所對應(yīng)的模板序號；如果V1選擇的模板動作為T2，那么試驗動作V0可以選擇的模板就可以是T0、T1或T2，這時，需要取a0，0、a0，1、a0，2中的最小值，與a1，2相加后可得V1在選擇模板動作T2時的最優(yōu)值，同時在矩陣R中r0，2位置記錄該局部最優(yōu)值所對應(yīng)的模板序號；如果V1選擇的模板動作為Tj，j=3，…9，則依次類推。

其中，k的最大值是第M層葉結(jié)點的個數(shù)。度為p的樹中第i層至多有pi-1個節(jié)點（i>1），該問題求解的樹的度p=3，則第M=15層至多有3M-1=315-1個結(jié)點，試驗中k的最大值為16，通過分析可以得出該問題的時間復(fù)雜度為O（16*M）。

綜上分析，文中給出的算法在求模板匹配的最優(yōu)解時，其對應(yīng)的時間復(fù)雜度為O（MN）+O（KM），即max（O（MN），O（KM））。若從p叉樹的生成角度考慮，算法的時間復(fù)雜度為O（MN）+O（nodes），即max（O（MN），O（nodes））。

3 結(jié)語

針對傳y模板匹配算法在應(yīng)用圖像處理問題時遇到的時間復(fù)雜度過高等問題，對數(shù)據(jù)與模板匹配的過程進行優(yōu)化，提出了一種基于動態(tài)規(guī)劃算法加以實現(xiàn)的方法，算法的時間復(fù)雜度為max（O（MN），O（KM））。利用本算法，可以將模板匹配過程的復(fù)雜度大大減小，也不需要對數(shù)據(jù)進行過多處理，而且程序編寫簡單，各方面比原算法和目前已有文獻中提到的改進算法都有很大提高。

可以看出，未來無論是計算機處理領(lǐng)域的模板匹配問題，還是日常生活生產(chǎn)中經(jīng)常遇到的“試驗數(shù)據(jù)和事先存儲好的模板動作進行匹配”及類似問題，本文所提出的算法都具有一定應(yīng)用前景。

參考文獻：

[1]王倩倩.基于聚類的模板匹配顯微細胞圖像分割算法的研究[D].重慶：重慶大學(xué)，2015.

[2]李厚軍.快速模板匹配方法及其在眉毛識別中的應(yīng)用[D].北京：北京工業(yè)大學(xué)，2015.

[3]陳瑩.基于FPGA的微光圖像增強和模板匹配研究[D].北京：中國科學(xué)院大學(xué)，2014.

[4]王正，陶品，馮立新，溫江濤，楊士強.基于模板的調(diào)色板方法[J].計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報，2016，28（7）：1146-1151.

[5]王志衡，郭超.基于模板匹配的新聞圖像字幕行切分算法[J].北京郵電大學(xué)學(xué)報，2016，39（3）：49-53.

[6]張盼盼，張穎穎.模板匹配與八鄰域分析法在數(shù)字細化預(yù)處理中的應(yīng)用及比較[J].軟件導(dǎo)刊，2016，15（5）：210-211.

[7]陳寧，王勝，黃正文.基于特征匹配的集裝箱識別與定位技術(shù)研究[J].圖學(xué)學(xué)報，2016，37（4）：530-536.

[8]THOMAS H CORMEN，CHARLES E LEISERSON.Introduction to algorithms[M].Second Edition.Massachusetts：The MIT Press，2001.

[9]王曉東.計算機算法設(shè)計與分析[M].第2版.北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[10]徐孝凱，賀桂英.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（C語言描述）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

[11]唐策善，李龍澍，黃劉生.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)――用C語言描述[M].北京：高等教育出版社，2003.

第2篇：動態(tài)規(guī)劃范文

動態(tài)規(guī)范是算法里一種非常重要的方法,是求解決策過程最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。動態(tài)規(guī)劃自問世以來,在經(jīng)濟管理、生產(chǎn)調(diào)度、工程技術(shù)和最優(yōu)控制等方面得到了廣泛的應(yīng)用。例如最短路線、庫存管理、資源分配、設(shè)備更新、排序、裝載等問題,用動態(tài)規(guī)劃方法比用其他方法求解更為方便。

本文通過對經(jīng)典的01背包問題的求解,從動態(tài)規(guī)劃的角度進行闡述,通過案例對該算法的計算過程進行了直觀的描述,并對該算法進行了一定的優(yōu)化,最后指出該算法的優(yōu)缺點。

[關(guān)鍵詞]背包 動態(tài)規(guī)劃 時間復(fù)雜度 空間復(fù)雜度

[中圖分類號]TP31[文獻標(biāo)識碼]A[文章編號]1009-5349(2010)05-0121-03

前言

背包問題是一個經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃模型,很多關(guān)于算法的教材都把它作為一道例題,該問題既簡單又容易理解,而且在某種程度上還能夠揭示動態(tài)規(guī)劃的本質(zhì)。

將具有不同重量和價值的物體裝入一個有固定載重量的背包,以獲取最大價值,這類問題被稱為背包問題。

背包問題可以擴展出很多種問題,而01背包問題是最常見、最有代表性的背包問題。

一、問題描述

給定一個載重量為M的背包及n個物體,物體i的重量為wi、價值為pi,1≤i≤n,要求把這些物體裝入背包,使背包內(nèi)的物體價值總量最大。此處我們討論的物體是不可分割的,通常稱這種物體不可分割的背包問題為01背包問題。

二、基本思路

01背包問題的特點是:每種物體只有一件,可以選擇放或者不放。假設(shè):xi表示物體i被裝入背包的情況,xi=0,1。當(dāng)xi=0時,表示物體沒有被裝入背包;當(dāng)xi=1時,表示物體被裝入背包。根據(jù)問題的要求,有如下的約束方程(1)和目標(biāo)函數(shù)(2):

三、利用動態(tài)規(guī)劃法求解01背包問題

(一)動態(tài)規(guī)劃算法的基本思想

動態(tài)規(guī)劃算法通常用于求解具有某種最優(yōu)性質(zhì)的問題。在這類問題中,可能會有許多可行解。每一個解都對應(yīng)于一個值,我們希望找到具有最優(yōu)值的解。動態(tài)規(guī)劃算法與分治法類似,其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題,先求解子問題,然后從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法不同的是,適合于用動態(tài)規(guī)劃求解的問題,經(jīng)分解得到子問題往往不是互相獨立的。若用分治法來解這類問題,則分解得到的子問題數(shù)目太多,有些子問題被重復(fù)計算很多次。如果我們能夠保存已解決的子問題的答案,而在需要時再找出已求得的答案,這樣就可以避免大量的重復(fù)計算,節(jié)省時間。我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以后是否被用到,只要它被計算過,就將其結(jié)果填入表中,這就是動態(tài)規(guī)劃法的基本思路。具體的動態(tài)規(guī)劃算法多種多樣,但它們具有相同的填表格式。

(二)算法設(shè)計

假定背包的載重量范圍為0～m。類似于資源分配那樣,令optpi(j)表示在前i個物體中,能夠裝入載重量為j的背包所得的最大價值,j=1,2,……,m。顯然,此時在前i個物體中,有些物體可以裝入背包,有些物體不能裝入背包。于是,可以得到下面的動態(tài)規(guī)劃函數(shù):

(4)式表明:把前面i個物體裝入載重量為0的背包,或者把0個物體裝入載重量為j的背包,得到的價值都為0。(5)式表明:當(dāng)?shù)趇個物體的重量大于背包的載重量時,裝入前i個物體得到的最大價值,與裝入前i-1個物體得到的最大價值一樣,即第i個物體沒有裝入背包。(6)式表明:當(dāng)?shù)趇個物體的重量小于背包的載重量時,如果第i個物體裝入背包,背包中物體的價值,等于把前i-1個物體裝入載重量為j-wi的背包所得到的價值與第i個物體的價值pi之和;如果第i個物體沒有裝入背包,則背包中物體的價值,等于把前i-1個物體裝入載重量為j的背包,卻不裝入第i個物體所取得的價值。顯然,這兩種裝入方法,在背包中所取得的價值不一定相同,因此,取這兩者中的最大值,作為把前面i個物體裝入載重量為j的背包所取得的最優(yōu)價值。

該算法可分為n階段:

第一階段,只裝入一個物體,計算在不同載重量的背包情況下,所取得的最大價值;

第二階段,裝入前兩個物體,按(5)式和(6)式計算在不同載重量的背包情況下,取得的最大價值;

……

第n階段,裝入前n個物體,按(5)式和(6)式計算在不同載重量的背包情況下,取得的最大價值,而在背包載重量為M時,所得結(jié)果就是我們想要的結(jié)果。

為了確定具體哪個物體裝入背包,從optpn(m)的值向前倒推。有如下遞推關(guān)系式:

(7)式表明:如果optpi(j)大于optpi-1(j),則物體i被裝入背包;如果optpi(j)等于optpi-1(j),表明i物體未被裝入背包。按照該關(guān)系式,i從n到1依次類推,直到確定第一個物體是否被裝入背包為止,就能確定裝入背包的具體物體。

(三)存儲結(jié)構(gòu)

該算法需要將每一個物體的重量和價值分別存儲起來,并針對不同載重量的背包對物體分別計算,故考慮使用數(shù)組來實現(xiàn)。對于物體i,用weight[i]來表示重量、用p[i]表示價值,解向量用x[i]表示物體i是否被放入,上面提到的optpi(j)則用二維數(shù)組相應(yīng)的optp[i][j]來表示,物體個數(shù)n,背包載重量為m。

(四)算法實現(xiàn)

initial knapsack_dynamic(initial optp[][],weight[],p[],x[],n,m)

{

initial i,j,value;

//根據(jù)(4)式初始化第0列及解向量X

//解向量初始值設(shè)置為false,表示起初所有物體均未放入背包

for(i = 0; i

{

optp[i][0] = 0;

x[i] = FALSE;

}

//根據(jù)(4)式初始化第0行

for(i = 0; i

{

optp[0][i] = 0;

}

//利用(5)(6)式計算optp[i][j]

for(i = 1; i

{

for(j = 1; j

{

optp[i][j] = optp[i-1][j];

if((j >= weight[i]) && (optp[i-1][j - weight[i]]+p[i]) > optp[i-1][j])

optp[i][j] = optp[i-1][j-weight[i]] + p[i];

}

}

//確定裝入背包的具體物體

j = m;

for(i = n; i > 0; i--)

{

if(optp[i][j] > optp[i-1][j])

{

x[i] = TRUE;

j = j - weight[i];

}

}

//value就是所要求的值

value = optp[n][m];

return value;

}

1.案例分析

現(xiàn)有載重量為10的背包,有四個物體A、B、C、D,其重量分別為4、2、5、3,價值分別為4、3、5、8,要求放入物體使背包所獲價值最大。

用optp[i][j]來存儲這四個物體在不同載重量的背包下所獲的價值,計算過程如下表所示:

2.時間空間復(fù)雜度

該算法中,矩陣optp的大小為(m+1)×(n+1),物體的重量、價值和解向量大小都等于物體個數(shù)n,故該算法的空間復(fù)雜度為O(nm)。對物體重量、價值的初始化(算法實現(xiàn)略)所需時間都為n,解向量和矩陣第0行初始化時間為n,矩陣第0列初始化時間為m,對矩陣optp的計算所需時間為n×m,解向量X的確定時間為n,故整個算法的時間復(fù)雜度為O(nm)。

(五)算法優(yōu)化

在上述算法中,時間復(fù)雜度不能再繼續(xù)優(yōu)化了,但是空間復(fù)雜度是可以繼續(xù)優(yōu)化的。

上述算法中,存儲optp使用的是二維數(shù)組,其大小為(m+1)×(n+1),但是仔細觀察發(fā)現(xiàn),optp[i][j]只與optp[i-1][j]和optp[i-1][j - weight[i]]有關(guān),與optp[k][l](k=1,2,……,i-2,i+1,……n,j=1,2,……,m)無關(guān),故可考慮只用一維數(shù)組_optp來存儲,_optp[j]相當(dāng)于optp[i][j]。而考慮到optp[i][j]是由optp[i][j]和optp[i-1][j - weight[i]]共同計算得到的,故該算法中的j循環(huán)要從后往前計算,_optp[]的計算算法設(shè)計如下所示:

for(i = 1; i

{

for(j = m; j >= 1; j--)

{

if((j >= weight[i]) && (_optp[j - weight[i]]+p[i]) > _optp[j])

_optp[j] = optp[j-weight[i]] + p[i];

}

}

上述例子中,相應(yīng)的_optp[j]計算結(jié)果如下表所示:

}

}

上述例子中,相應(yīng)的_optp[j]計算結(jié)果如下表所示:

顯然,對于物體i,_optp[j]的計算不會影響到_optp[0,1,……,weight[i]-1],故上述算法可繼續(xù)優(yōu)化為:

for(i = 1; i

{

for(j = m; j >= weitht[i]; j--)

{

if((_optp[j - weight[i]]+p[i]) > _optp[j])

_optp[j] = optp[j-weight[i]] + p[i];

}

}

對于01背包問題,常見的要求有兩種:一種是恰好裝滿背包、另一種則沒有要求,針對這兩種問法,可從初始化上來區(qū)分。

當(dāng)要求恰好裝滿背包時,初始化時將_optp[0]設(shè)為0,其他_optp[1,2,……,m]全部設(shè)為-∞,這樣就可保證最終得到的_optp[n]是一種恰好裝滿的最優(yōu)解,此時可以把初始化理解成沒有任何物體可放時,只有容量為0的背包能被價值為0的nothing“恰好裝滿”;當(dāng)沒有這個限制時,初始化時應(yīng)將_optp[0,1,……,m]都設(shè)為0,此時可以理解為任何一個背包都有一個合法的解“什么都不裝”,這個解的價值為0。

當(dāng)優(yōu)化后,空間復(fù)雜度變?yōu)镺(m),計算所需時間為:

當(dāng)weitht[i]較大時,可以節(jié)省很多時間。

動態(tài)規(guī)劃的缺點:對于01背包問題,用動態(tài)規(guī)劃方法解很容易理解,但是這種方法有一些弊端,從上述算法可以看出:當(dāng)物體的重量較大時,所需的物理空間較大;當(dāng)物體的重量不是整數(shù)時,無法利用數(shù)組來存儲該結(jié)構(gòu)。

四、結(jié)束語

在日常生活中,01背包問題有很多應(yīng)用,比如如何利用有限空間的手提包,裝入外出旅行的各種必需品。

第3篇：動態(tài)規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：動態(tài)規(guī)劃；裝載問題；JAVA語言

中圖分類號：TP31 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）10-2401-03

Abstract： How to load goods to get maximum economic benefits by manufacturers is a sub-problem divided from logistics distribution.In this paper，the sub-problem is abstracted a 0-1 knapsack problem.We create a mathematical model based on dynamic programming algorithm，and analyze the advantages of the algorithm.Then we use JAVA language to solve the problem.After setting some test datum， the final results show that the dynamic programming method has efficiency，and can be applied widely.

Key words： Dynamic programming； Loading problems； JAVA language

隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，各廠商在滿足客戶需求的條件下，利用物流技術(shù)，從備貨、裝箱、配送、存儲等物流配載技術(shù)網(wǎng)中尋求省時省力的方法，使得資源使用效率得到提高，同時降低了廠商的成本[1]。

問題提出：某廠商每周向校園超市運輸一次商品，在小型貨車容量不變且不能超載的約束下，如何裝載商品，使產(chǎn)生的經(jīng)濟效益最大化？該問題是廠家所關(guān)心的，也是本文的關(guān)注點。運用動態(tài)規(guī)劃方法解決此問題，能夠較好地控制企業(yè)的人力資源成本和運輸成本，從而提高商業(yè)的競爭力。

1 動態(tài)規(guī)劃算法簡介

動態(tài)規(guī)劃（dynamic programming）[2]產(chǎn)生于20世紀(jì)50年代，由美國數(shù)學(xué)家R.E.Bellman等人提出。動態(tài)規(guī)劃的思想是把一個問題劃分為具有相關(guān)性的若干子問題來解決，并將各個子問題求解答案和求解方法進行保存。如果在之后的處理過程中還需要用到已解決的子問題，則直接調(diào)用答案，從而避免重復(fù)的計算，節(jié)省了時間。

在解決實際問題中，我們需要動態(tài)規(guī)劃出適當(dāng)?shù)募s束條件和遞推關(guān)系，并在各單階段中尋找互相聯(lián)系的因素，依次將每一階段所得的最優(yōu)結(jié)果進行存儲。這種階段劃分、自下向上的求解方式需要建立表或數(shù)組才能有效實施。如圖1所示：

基于動態(tài)規(guī)劃法解決的問題需要滿足一定的條件，例如：（1）滿足無后效性，即子問題的下一狀態(tài)只與現(xiàn)在狀態(tài)有關(guān)；（2）滿足最優(yōu)性子結(jié)構(gòu)，得出子問題的最優(yōu)解；（3）原問題可以劃分出多個擁有關(guān)聯(lián)的子問題[3]。

2 模型的建立

廠商向校園超市運輸商品的問題：已知廠商共有N件商品，每件商品擁有固定的Id號，Id=i的商品重量為Wi，產(chǎn)生的經(jīng)濟效益為Vi，貨車的最大載重量為N?，F(xiàn)假設(shè)一個n維向量Xi=（X1，X2，...Xn）∈{0，1}n，當(dāng)Xi=1時表明相應(yīng)Id的商品裝入車中；當(dāng)Xi=0時表明商品未裝入車中。最終得出的結(jié)果為[maxi=1nViXi]，即最大效益值，約束條件為[maxi=1nWiXi]≤N。貨車的載重量是有限的，在這個上限內(nèi)盡可能裝下商品使經(jīng)濟效益越高越好。通過以上分析，此問題恰好可以抽象為一個重量集合、經(jīng)濟效益集合與貨車載重量分別是Wi={W1，W2，...Wn}，Vi={V1，V2，...Vn}和N的0-1KP問題。

在0-1背包問題中，物品價值與體積不隨背包容量的變化而變化[4]。舉例說明：假設(shè)有N=3個物品，總?cè)萘繛?0，體積V[i]={2，4，6}分別對應(yīng)價值P[i]={3，7，4}，設(shè)數(shù)組B[i][j]，表示在背包容量為j的條件下，放入第i個物品后的最大價值。如下表1所示：

動態(tài)規(guī)劃算法易于編程的實現(xiàn)，雖然需要一定的空間存儲其產(chǎn)生的結(jié)果，但是它的高效性能在測試中體現(xiàn)出來。

4 測試數(shù)據(jù)

假設(shè)廠商貨車載重量為上述的1534，他們所建Commodity表中總共有50件商品，其Id、weight、value的數(shù)據(jù)分別如下所示：

最終得出經(jīng)濟效益最大值為1904，如圖3所示。

5 結(jié)束語

本文從實際出發(fā)，給出廠商向校園超市運輸商品時的裝載問題，結(jié)合一個有效的算法――動態(tài)規(guī)劃算法，利用JAVA語言得以實現(xiàn)。動態(tài)規(guī)劃法有較好的效率和速度，不僅能用于解決裝箱問題，而且能夠運用于物流配載中的路徑規(guī)劃、資源分配等實際問題，優(yōu)化了企業(yè)資源管理，提高經(jīng)濟效益，降低資源成本，能夠應(yīng)用于更多的科學(xué)領(lǐng)域中。

參考文獻：

[1] 謝天保，雷西玲，席文玲.物流配送中心配載車輛調(diào)度問題研究[J].計算機工程與應(yīng)用，2010，36：237-240.

[2] 陳大偉，孫瑞志，向勇，史銀雪.基于流程模式的工作流靜態(tài)規(guī)劃方法[J].計算機工程與設(shè)計，2011（1）：129-132，137.

第4篇：動態(tài)規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：LINGO；動態(tài)規(guī)劃； 最短路問題； 生產(chǎn)批量計劃問題

中圖分類號：G642 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）04-0743-04

在交通專業(yè)課程如《交通運籌學(xué)》、《交通系統(tǒng)分析方法》等的教學(xué)過程中，大量涉及到可劃分為多階段的優(yōu)化問題求解，這些問題的求解一般使用動態(tài)規(guī)劃（dynamic programming）方法。動態(tài)規(guī)劃將決策問題的全過程劃分為若干個相互聯(lián)系的子過程（每個子過程為一個階段），然后按照一定的次序來求解。當(dāng)劃分的階段個數(shù)較多時，手工求解動態(tài)規(guī)劃問題相當(dāng)麻煩。由于在實際的交通工程規(guī)劃實踐中，涉及到的動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化問題規(guī)模往往較大，指導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)的優(yōu)化軟件求解動態(tài)規(guī)劃問題一方面能增進學(xué)生對動態(tài)規(guī)劃法的理解掌握，另一方面能鍛煉學(xué)生的編程能力，是一項十分有意義的教學(xué)工作。

美國LINDO系統(tǒng)公司開發(fā)的LINGO由其求解問題的高效性和穩(wěn)定性，成為目前廣泛使用的優(yōu)化軟件。LINGO是一套專門用于求解最優(yōu)化問題的軟件包，其內(nèi)置了一種建立最優(yōu)化模型的的語言，可以簡便表達出問題，同時利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析結(jié)果。LINGO在處理含有大量變量和約束條件的優(yōu)化問題時，一般使用數(shù)組和矩陣的輸入方法：LINGO程序首先定義集合段，確定需要的集合及其屬性，然后定義數(shù)據(jù)段，用于輸入已知原始數(shù)據(jù)，最后使用函數(shù)對集合進行操作。在通常介紹LINGO使用的文獻中[1][2]，一般著重于敘述其如何求解線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃等具有明確目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題，很少關(guān)注如何用LINGO求解復(fù)雜的動態(tài)規(guī)劃問題，該文通過分析交通運輸中常見的最短路問題和生產(chǎn)批量計劃問題，給出用動態(tài)規(guī)劃方法求解的LINGO代碼，指出LINGO可以在不需要目標(biāo)函數(shù)的情況同樣很好地求解多階段優(yōu)化問題。

1 動態(tài)規(guī)劃法求解實例

實例1 最短路問題

在縱橫交錯的公路網(wǎng)中（圖1所示），貨車司機希望找到一條從一個城市到另一個城市的最短路。圖中節(jié)點1—8代表貨車可以?？康某鞘?，弧旁的數(shù)字表示兩個城市之間的距離（百公里）。若貨車要從城市1出發(fā)到達城市8，問如何選擇行駛路線使所經(jīng)過的路程最短。

問題分析：該最短路問題滿足動態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)性原理，即“從節(jié)點1到節(jié)點8的最短路的子路徑仍然是相應(yīng)節(jié)點間的最短路”，用[D（i，j）]表示從節(jié)點[i]和[j]有弧相連時相應(yīng)的距離，[L（i）]表示從節(jié)點1到節(jié)點i的最短路程數(shù)。則不難得到以下的動態(tài)規(guī)劃由前向后遞推方程：

根據(jù)式（1），再進一步定義當(dāng)節(jié)點[i]在從節(jié)點1到節(jié)點[j]的最短路徑上時，[P（i，j）=1]，否則[P（i，j）=0]，編寫如下LINGO求解代碼：

運行LINGO得到如圖1所示的最優(yōu)解報告。

從報告中可以看到，最短路徑找到，由[L（8）]的值可以得出，從城市1到城市8的最短路程數(shù)為14，由各個[P（i，j）]的值分析可知，從城市1到城市8的最短路線為[1258]。

實例2（生產(chǎn)批量計劃問題）

某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品用以滿足市場需求。通過統(tǒng)計，該產(chǎn)品今后[T]4周的外部需求（訂貨量）分別是[d1]千件、[d2]千件、[d3]千件和[d4]千件。如果第[t]周要開工生產(chǎn)，則第[t]周開工所需的生產(chǎn)準(zhǔn)備費為[st]千元（與生產(chǎn)的數(shù)量無關(guān)），每件產(chǎn)品的生產(chǎn)費為[ct]千元。如果在滿足需求后周末有產(chǎn)品剩余，每千件產(chǎn)品的存儲費為[ht]千元。設(shè)第[t]周末的庫存量為[It]，假設(shè)開始沒有庫存，記為[I0=0]且不考慮生產(chǎn)能力限制，問工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，在按時滿足需求的條件下，使總費用最??？

問題分析：對于生產(chǎn)批量計劃問題，分析可知有如下兩條性質(zhì)成立：

由于以上兩個性質(zhì)，只有當(dāng)上一時段庫存[It-1=0]時，本時段才考慮進行生產(chǎn)，且一旦生產(chǎn)，其生產(chǎn)量一定為某些后續(xù)時段需求量的總和，即[xt∈{dt，dt+dt+1，…，dt+dt+1+…+dT}]。這樣如用[ft]表示當(dāng)[t]時段初始庫存為0時，從[t]時段到[T]時段的子問題的最優(yōu)費用值，可以建立如下的遞推關(guān)系：

運行LINGO得到如下最優(yōu)解報告：

從報告可以看到，[F（1）=561]，即從第1周到第4周末的最優(yōu)費用為561（千元），分析其它[F]值得到，最優(yōu)的生產(chǎn)批量計劃為第1周生產(chǎn)2（千件），第2周生產(chǎn)5（千件），第3周不生產(chǎn)，第4周生產(chǎn)4（千件）。

2 結(jié)束語

本文針對用動態(tài)規(guī)劃方法手工求解多階段優(yōu)化決策問題十分繁瑣的特點，利用LINGO軟件將各個動態(tài)規(guī)劃遞推方程簡潔明確地編程實現(xiàn)，幫助學(xué)生更好的理解了各階段決策變量之間相互遞進的關(guān)系，同時更重要的是交通專業(yè)學(xué)生熟練地掌握了軟件的使用，才能解決實際工程規(guī)劃中的大規(guī)模復(fù)雜優(yōu)化問題，LINGO軟件的教學(xué)實踐促進了《交通運籌學(xué)》、《交通系統(tǒng)分析方法》與《交通規(guī)劃》等課程的融合。

參考文獻：

[1] 李曉川，朱曉敏，趙乃東. 基于Lingo的運輸優(yōu)化系統(tǒng)設(shè)計與開發(fā)[J]. 物流技術(shù)，2010（Z1）.

第5篇：動態(tài)規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：最短路徑；動態(tài)規(guī)劃；C 語言編程

中圖分類號：TP311 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2013）09-2191-03

1 概述

數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活.它是一門研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科.當(dāng)今社會，隨著物質(zhì)水平的不斷提高，生活需求的不斷擴大，自然資源的不斷開發(fā)利用.像天然氣管道鋪設(shè)問題，廠區(qū)布局問題，旅行費用最小問題等都已成為我們平時經(jīng)濟生活中的普遍問題.它們其實都可以化歸為最短路線問題，而最短路問題實質(zhì)上是一個組合優(yōu)化問題[1]。

動態(tài)規(guī)劃方法主要是研究與解決多階段決策過程的最優(yōu)化問題，它將求解分成多階段進行，不但求出了全過程的解，還能求出后部子過程的一組解，在求解一些生活實際問題時，更顯其優(yōu)越性。為了快速、簡單的計算最短路徑，節(jié)約運輸時間與成本，該文利用動態(tài)規(guī)劃的思想編寫了C語言程序，解決物流運輸過程中多地點的最短路徑的選擇問題。

2 最短路徑問題

2.1 最短路徑問題算法的基本思想

在求解網(wǎng)絡(luò)圖上節(jié)點間最短路徑的方法中，目前國內(nèi)外一致公認(rèn)的較好算法有迪杰斯特拉（Dijkstra）及弗羅伊德（Floyd）算法。這兩種算法中，網(wǎng)絡(luò)被抽象為一個圖論中定義的有向或無向圖，并利用圖的節(jié)點鄰接矩陣記錄點間的關(guān)聯(lián)信息。在進行圖的遍歷以搜索最短路徑時，以該矩陣為基礎(chǔ)不斷進行目標(biāo)值的最小性判別，直到獲得最后的優(yōu)化路徑[2]。

Dijkstra算法是圖論中確定最短路的基本方法，也是其它算法的基礎(chǔ)。為了求出賦權(quán)圖中任意兩結(jié)點之間的最短路徑，通常采用兩種方法。一種方法是每次以一個結(jié)點為源點，重復(fù)執(zhí)行Dijkstra算法n次。另一種方法是由Floyd于1962年提出的Floyd算法，其時間復(fù)雜度為[On3]，雖然與重復(fù)執(zhí)行Dijkstra算法n次的時間復(fù)雜度相同，但其形式上略為簡單，且實際運算效果要好于前者。

2.2 最短路徑問題算法的基本步驟[3]

這樣經(jīng)過有限次迭代則可以求出[v1]到[vn]的最短路線。

（2）Floyd算法的基本步驟

（3）動態(tài)規(guī)劃算法基本步驟

我們將具有明顯的階段劃分和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的規(guī)劃稱為動態(tài)規(guī)劃[1]。在解決多個階段決策問題時采用動態(tài)規(guī)劃法是一個很有效的措施，同時易于實現(xiàn)。

根據(jù)動態(tài)規(guī)劃的基本概念，可以得到動態(tài)規(guī)劃的基本步驟：1）確定問題的決策對象。2）對決策過程劃分階段。3）對各階段確定狀態(tài)變量。4）根據(jù)狀態(tài)變量確定費用函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)。5）建立各階段狀態(tài)變量的轉(zhuǎn)移過程，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

根據(jù)動態(tài)規(guī)劃的基本模型，確定用動態(tài)規(guī)劃方法解題的基本思路，是將一個[n]階段決策問題轉(zhuǎn)化為一次求解[n]個具有遞推關(guān)系的單階段的決策問題，以此來簡化計算過程.其一般步驟如下：

用于衡量所選決策優(yōu)劣的函數(shù)稱為指標(biāo)函數(shù).指標(biāo)函數(shù)有有階段的指標(biāo)函數(shù)和過程的指標(biāo)函數(shù)之分.階段的指標(biāo)函數(shù)是對應(yīng)某一階段狀態(tài)和從該狀態(tài)出發(fā)的一個階段的某種效益度量，用[vkxk，uk]表示。在本文里用[dkxk，uk]來表示某一階段的決策的最短路徑。過程的指標(biāo)函數(shù)是指從狀態(tài)[xn（k=1，2，...，n）]出發(fā)至過程最終，當(dāng)采取某種子策略時，按預(yù)定的標(biāo)準(zhǔn)得到的效益值。這個值既與[xk]本身的狀態(tài)值有關(guān)，又與[xk]以后所選取的策略有關(guān)，它是兩者的函數(shù)值，記作[dk，nxk，uk，xk+1，uk+1，…xn，un]。過程的指標(biāo)函數(shù)又是它所包含的各階段指標(biāo)函數(shù)的函數(shù)。本文研究的過程的的指標(biāo)函數(shù)是其各階段指標(biāo)函數(shù)的和的形式.當(dāng)[xk]的值確定后，指標(biāo)函數(shù)的值就只同k階段起的子策略有關(guān)。對應(yīng)于從狀態(tài)[xk]出發(fā)的最優(yōu)子策略的效益值記作[fkxk]，于是在最短路問題中，有[fkxk=mindk，n]。動態(tài)規(guī)劃求解最短路徑程序流程圖如圖2所示。

3 最短路徑態(tài)規(guī)劃實際應(yīng)用舉例

設(shè)某物流配送網(wǎng)絡(luò)圖由12個配送點組成，點1為配送中心起點，12為終點，試求自終點到圖中任何配送點的最短距離。圖中相鄰兩點的連線上標(biāo)有兩點間的距離[4]。

首先用動態(tài)規(guī)劃法來討論圖3的最短路徑，由圖可知：

1）集合[ξ4]中有點9、10、11，它們在一步之內(nèi)可到達點12；

2）集合[ξ3]中有點6，7，8，它們不超過兩步就可達到點12；

3）集合[ξ2]中包括點 2、3、4、5，不超過三步就可到達點12；

4）集合[ξ1]中包括點1，不超過四步可到達點12；

按照動態(tài)規(guī)劃法類推，得到最優(yōu)路徑長為16，徑路通過點為1，2，7，10，12和1，3，6，10，12。

根據(jù)動態(tài)規(guī)劃算法編寫C語言計算程序[5] [6]，計算得到實驗結(jié)果如下圖4所示：

由圖4可以看出程序得到的結(jié)果與本文推出的結(jié)果一樣。證明了本文編寫的C語言程序是正確的。

4 結(jié)束語

綜上所述，用動態(tài)規(guī)劃解決多階段決策問題效率高，而且思路清晰簡便，同時易于實現(xiàn).我們可以看到，動態(tài)規(guī)劃方法的應(yīng)用很廣泛，已成功解決了許多實際問題，具有一定的實用性。此種算法我們用動態(tài)規(guī)劃思想來編程，并解決相應(yīng)的問題，其在 VC 環(huán)境下實現(xiàn)，能方便快速的計算出到達目的地的最短距離及路徑，節(jié)省更多的運輸時間與成本。不過，該文只考慮了動態(tài)規(guī)劃算法在生活中的簡單運用，在實際生活中可能存在多個目的地或者更復(fù)雜的情況.因此我們可以考慮將其進行改進或者結(jié)合啟發(fā)式算法，使之更好的運用在實際生活中，這有待于以后的繼續(xù)研究。

參考文獻：

[1] 杜彥娟.利用動態(tài)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型求解最短路徑[J].煤炭技術(shù)，2005（1）：94-95.

第6篇：動態(tài)規(guī)劃范文

論文關(guān)鍵詞：背包問題,動態(tài)規(guī)劃法,回溯法

 

10/1背包問題

0-1背包問題：給定n種物品和一背包。物品i的重量是Wi，其價值為Vi，背包的容量為C。問應(yīng)如何選擇裝入背包中物品，使得裝入背包中物品的總價值最大？

對于一個實例：物品種類N=4，背包容量C=10，物品重量數(shù)組W={3，5，2，1}，相應(yīng)價值數(shù)組V={9，10，7，4}。找一個n元0-1向量（x1，x2，x3….xn）xi∈{0,1},1≤i≤n.使得，達到最大。下面分別以動態(tài)規(guī)劃法和回溯法來解決這個實例。

2動態(tài)規(guī)劃法

動態(tài)規(guī)劃法的基本思想是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然后從這些子問題的解得到原問題的解。用一個表來保存記錄所有已解決的子問題的答案，在需要的時候再找出已求得的答案，避免重復(fù)的計算。

動態(tài)規(guī)劃法適用于解最優(yōu)化問題。通常可按以下4個步驟：

(1)找出最優(yōu)解的性質(zhì)并刻畫其結(jié)構(gòu)特征。

(2)遞歸的定義最優(yōu)解。

(3)以自底向上的方式計算出最優(yōu)值。

(4)根據(jù)計算最優(yōu)值時到得的信息，構(gòu)造最優(yōu)解。

對于所給0-1背包問題的子問題：

，

的最優(yōu)值為m（i，j），即m（i，j）是背包容量為j，可懸著物品為i,i+1,….,n時0-1背包問題的最優(yōu)值。由于0-1背包問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，可以建立計算m（i，j）的如下遞歸式：

（1.1）

（1.2）

從上面算法的執(zhí)行過程中可以看出假設(shè)有Q（n）個子問題,每一個子問題最多需要m次決策,則計算的頻率為nm,回溯的頻率為n，那么整個過程的算法的時間復(fù)雜度為T（n）=nm+n，即為Q（nm）。

3回溯法。

回溯法在包含問題的所有解的解空間樹中,按照深度優(yōu)先的策略,從根結(jié)點出發(fā)搜索解空間樹。回溯算法搜索至解空間樹的任一結(jié)點時,總是先判斷該結(jié)點是否肯定不包含問題的解。如果肯定不包含,則跳過對以該結(jié)點為根的子樹的系統(tǒng)搜索,逐層向其祖先結(jié)點回溯。否則,進入該子樹,繼續(xù)按深度優(yōu)先的策略進行搜索?；厮莘ㄔ谟脕砬髥栴}的所有解時,要回溯到根,且根結(jié)點的所有子樹都已被搜索遍才結(jié)束。簡單地說就是確定解空間,建立解空間樹,用深度優(yōu)先搜索算法遞歸搜索解空間樹,并同時注意剪枝。

用回溯法解題的步驟：

(1)針對所給問題定義問題的解空間；

(2)確定易于搜索的解空間結(jié)構(gòu)；

(3)以深度優(yōu)先方式搜索解空間,并在搜索過程中用剪枝函數(shù)避免無效的搜索。

根據(jù)上述0-1背包問題的數(shù)學(xué)描述解向量可以表示成X={X,X,...X|X=0或=1}若X=0,表示第i個物品不裝入背包，X=1，表示將第i個物品裝入背包。

可以用樹的形式將解空間表達出來。樹中從第i層到第i+1層的邊上的值表示解向量中X的取值，并假定第i層的左子樹描述第i個物品被裝入背包的情況，右子樹描述第i個物品被拒絕的情況。則該0-1背包問題的狀態(tài)空間樹就表示為一棵高度為n的完全二叉樹。若n=3時則此0-1背包問題的解空間的結(jié)構(gòu)如圖1-1所示。從根結(jié)點到葉子結(jié)點的任一路徑就對應(yīng)解空間中的一個解向量

圖1-1n=3時，0-1背包問題的解空間樹

用回溯法求解0-1背包問題時，可以按照物品的單位價值從大到小排序。計算當(dāng)前節(jié)點的上界,搜索左子樹。只有當(dāng)右子樹包含可行解時才搜索右子樹。剪去右子樹的條件是當(dāng)前價值加上剩余物品的總價值小于當(dāng)前的最優(yōu)總價值時,不需搜索右子樹,可將右子樹剪去?；厮莘ㄓ靡欢ǖ募糁M行優(yōu)化,算法的時間復(fù)雜度為O(n*2n),n為物品個數(shù)。

4總結(jié)

動態(tài)規(guī)劃算法：動態(tài)規(guī)劃可以把困難得多階段決策變換為一系列相互聯(lián)系比較容易的單階段問題。對于背包問題可以對子過程用枚舉法求解,而且約束條件越多,決策的搜索范圍越小,求解也越容易。但是對于規(guī)模較大的問題它并不是一個理想的算法。最重要的原因就是它的維數(shù)障礙。即計算和存儲量的需要對于狀態(tài)空間和決策空間的維數(shù)的增長呈指數(shù)增長關(guān)系，這樣驚人的增長速度是計算機難以承受的。這就使得直接的動態(tài)規(guī)劃方法求解規(guī)劃較大的背包問題發(fā)生了困難，且目前尚沒有好的解決辦法。

回溯法：回溯法需要為問題定義一個解空間,這個解空間必須至少包含問題的一個解(可能是最優(yōu)的)。使用遞歸回溯法解決背包問題的優(yōu)點在于它算法思想簡單,而且它能完全遍歷搜索空間,肯定能找到問題的最優(yōu)解。但是由于此問題解的總組合數(shù)有2個,因此,隨著物件數(shù)n的增大,其解的空間將以2級增長,當(dāng)n大到一定程度上,用此算法解決背包問題將是不現(xiàn)實的。

用此兩種方法都能得到問題的最優(yōu)解，從其時間復(fù)雜度來看，兩者的速度都較慢。

參考文獻

1 王曉東.算法設(shè)計與分析[M] .北京 清華大學(xué)出版社 2003.

2 王紅梅.算法設(shè)計與分析[M] .北京 清華大學(xué)出版社 2006.

第7篇：動態(tài)規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：人才培養(yǎng)模式；工業(yè)工程；動態(tài)規(guī)劃

中圖分類號：G640 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-4107（2013）02-0058-02

一、動態(tài)規(guī)劃與人才培養(yǎng)

（一）動態(tài)規(guī)劃

動態(tài)規(guī)劃是運籌學(xué)的一個分支，是求解決策過程最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。在現(xiàn)實生活中，有一類活動的過程，由于它的特殊性，可將過程分成若干個互相聯(lián)系的階段，在它的每一階段都需要做出決策，從而使整個過程達到最好的活動效果。當(dāng)然，各個階段決策的選取不是任意確定的，它依賴于當(dāng)前面臨的狀態(tài)，又影響以后的發(fā)展，當(dāng)各個階段決策確定后，就組成一個決策序列，因而也就確定了整個過程的一條活動路線。

這種把一個問題看作是一個前后關(guān)聯(lián)具有鏈狀結(jié)構(gòu)的多階段過程就稱為多階段決策過程。在多階段決策過程中，動態(tài)規(guī)劃法的基本思路是從終點逐段向始點方向?qū)ふ易疃搪肪€，既把當(dāng)前一段和未來各段分開，又把當(dāng)前效益和未來效益結(jié)合起來考慮，從而得到整個問題的最優(yōu)解[1]。

（二）動態(tài)規(guī)劃思想融入工業(yè)工程專業(yè)人才培養(yǎng)

動態(tài)規(guī)劃法的基本思想告訴我們，每段決策的選取是從全局來考慮的，與該段選擇的最優(yōu)答案一般是不同的，這對專業(yè)人才培養(yǎng)有很大的啟發(fā)。如果把人的整個成長過程看成全局問題，在學(xué)校階段取得最好成績只是該段決策最優(yōu)，能否在學(xué)生今后的就業(yè)及成長過程中發(fā)揮最大作用，實現(xiàn)成才的最終目標(biāo)即達到全局最優(yōu)，還取決于學(xué)生未來從事崗位和工作領(lǐng)域的選擇。這對工業(yè)工程人才培養(yǎng)格外重要。

現(xiàn)代工業(yè)工程是技術(shù)與管理相結(jié)合的交叉學(xué)科，它既有鮮明的工程屬性，也有明顯的管理特征[2]。由于這門學(xué)科技術(shù)與管理交叉的特點，使得工業(yè)工程專業(yè)人才的就業(yè)方向非常廣泛，既可以進行技術(shù)類的工程設(shè)計，也可以從事管理類的企業(yè)管理與決策，還可以繼續(xù)深造進行科研攻關(guān)，每個方向的工作崗位對人才素質(zhì)的要求各不相同[3-5]。多元化的選擇使得學(xué)生畢業(yè)求職時看似什么崗位都適合，但事實上什么技能也不完全具備，只能臨時抱佛腳或者遭到社會的淘汰。因此，要想較好地完成個人成長及成才，依據(jù)動態(tài)規(guī)劃法的基本思想應(yīng)從終點逐段向始點方向?qū)ふ易疃搪肪€，在進行人才培養(yǎng)時也應(yīng)該進行逆序求解，首先幫助學(xué)生確立成才目標(biāo)及個人定位，然后自后向前尋找，從而幫助每個學(xué)生對當(dāng)前大學(xué)階段的努力方向和培養(yǎng)過程進行決策。

二、啟發(fā)式的人才培養(yǎng)模式

基于上述理念，南京工業(yè)大學(xué)工業(yè)工程專業(yè)結(jié)合自身辦學(xué)條件和課程設(shè)置提出了開放性、啟發(fā)式的人才培養(yǎng)新思路。在引導(dǎo)學(xué)生對未來職業(yè)定位和自身特點進行分析思考的基礎(chǔ)上明確就業(yè)目標(biāo)，利用課堂教學(xué)和課余時間對學(xué)生進行專項能力培訓(xùn)，最后集中進行學(xué)業(yè)成果展示，如圖1所示。

（一）啟發(fā)式的人才測評和職業(yè)傾向測試

首先，在入學(xué)時的專業(yè)介紹中讓學(xué)生明確工業(yè)工程目前的發(fā)展?fàn)顩r以及未來發(fā)展趨勢，有意識地引導(dǎo)學(xué)生思考自身目標(biāo)，進行自我認(rèn)知。在大二階段設(shè)置的組織行為學(xué)課程實驗中，運用斯坦福―比納量表對學(xué)生進行智商測試，該量表不僅測試成人智商水平，而且顯示被測試者在語言、數(shù)學(xué)、空間、理解等方面的智商特點，幫助他們了解自己的智商水平與智力特點。運用卡特爾16相人格測試量表和明尼蘇達多相人格測試對學(xué)生進行人格特征測試，幫助他們了解自己的人格、能力特質(zhì)。在智商、人格測試的基礎(chǔ)上，運用霍蘭德職業(yè)傾向測試，幫助學(xué)生了解自己的職業(yè)興趣以及適合從事的職業(yè)類型。對有創(chuàng)業(yè)愿望的大學(xué)生運用南加州大學(xué)創(chuàng)造力測驗，幫助學(xué)生了解自己是否適合創(chuàng)業(yè)，啟發(fā)學(xué)生對未來職業(yè)定位、自身特點和興趣進行思考。

圖1 工業(yè)工程人才培養(yǎng)模式

（二）針對不同類型職業(yè)傾向的學(xué)生進行專項能力培訓(xùn)

在對學(xué)生進行人才測評和職業(yè)傾向測試的基礎(chǔ)上，在大三大四專業(yè)課學(xué)習(xí)階段針對不同類型職業(yè)傾向的學(xué)生進行專項能力培訓(xùn)與強化，設(shè)立成長性、開放性的課程體系，使每個學(xué)生都可以自主選擇參與其中一種或幾種培養(yǎng)計劃。

1.對工程設(shè)計能力相對突出的學(xué)生，進行工業(yè)工程設(shè)計能力強化培訓(xùn)。在學(xué)生已掌握的工業(yè)工程領(lǐng)域先進工程設(shè)計軟件的基礎(chǔ)上，進行企業(yè)實地調(diào)研，綜合運用Flexsim、Proplanner、AutoCAD、Matlab、動作分析軟件、流水線等軟硬件進行工程設(shè)計與改善，并在培訓(xùn)結(jié)束后對設(shè)計作品和數(shù)據(jù)資料進行匯總刻盤，最終得到可以向用人單位展示的設(shè)計成果。

針對此類學(xué)生的培養(yǎng)，在大三大四每學(xué)期期末開設(shè)為期3周的課程設(shè)計進行強化培訓(xùn)，開放性實驗也可為學(xué)生提供設(shè)計與實驗的平臺。此外，加強校企聯(lián)合，嘗試在畢業(yè)設(shè)計過程中組成團隊深入企業(yè)（如沙鋼集團）生產(chǎn)第一線進行團隊畢業(yè)設(shè)計。在進行實地調(diào)研兩個月的基礎(chǔ)上，每個學(xué)生針對企業(yè)實際存在的問題進行分析解決，最后形成畢業(yè)設(shè)計。這樣較長時間的讓學(xué)生深入企業(yè)進行課題研究，讓學(xué)生能夠持續(xù)性地、效果可檢驗地深入企業(yè)第一線進行畢業(yè)設(shè)計，并聯(lián)合各個教師的研究特長對學(xué)生進行全程指導(dǎo)，能夠切實提高學(xué)生的工程設(shè)計能力，加強團隊合作精神，打造適應(yīng)市場需求的高素質(zhì)人才，最終的團隊設(shè)計成果以總報告的方式提交給企業(yè)，深受企業(yè)贊許，多名團隊成員畢業(yè)后直接進入該企業(yè)工作。

2.對管理能力相對突出的學(xué)生，進行管理實踐能力強化培訓(xùn)。每年全國都會召開工業(yè)工程應(yīng)用案例大賽及現(xiàn)代物流技能大賽，利用此契機讓每個學(xué)生都參與其中，綜合課程所學(xué)的相關(guān)知識，對大賽中提出的案例進行分析解決，讓每個學(xué)生都撰寫相應(yīng)的案例解決報告。這樣每個同學(xué)都有可以參與全國大賽的機會，報告也可以作為學(xué)生就業(yè)時的獨特成果向用人單位展示。

對自主創(chuàng)業(yè)意識和能力相對突出的學(xué)生，進行創(chuàng)業(yè)實戰(zhàn)能力培訓(xùn)。通過參加學(xué)院每年舉辦的企業(yè)生產(chǎn)運營BOSS大獎賽和商道管理決策競賽，組織參與聽取學(xué)校創(chuàng)業(yè)講座，增強其創(chuàng)業(yè)意識和決策能力，并結(jié)合市場情況指導(dǎo)其撰寫詳細的創(chuàng)業(yè)計劃書。

在該模式的引導(dǎo)下，南京工業(yè)大學(xué)在校生多次獲得全國商科院校技能大賽、大學(xué)生管理決策模擬大賽、IE亮劍等國內(nèi)競賽獎項，畢業(yè)生中也有多個創(chuàng)業(yè)團隊出現(xiàn)。

3.對科研能力突出的同學(xué)，在課程中引入研究型教學(xué)[6]。教師以課程內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)識積累為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地運用知識和能力，自主地觀察問題、提出問題、分析問題和解決問題，在研討中積累知識、培養(yǎng)能力和鍛煉思維。

目前，我們選取“質(zhì)量管理與可靠性”課程進行研究型教學(xué)試點，教師提出問題，引起學(xué)生思考，并牽頭成立該課題的研究小組，引導(dǎo)他們在課后開展科研活動。目前課題組已經(jīng)產(chǎn)生了豐碩的研究成果，以這些科研成果為基礎(chǔ)，教師與本科生合作在《工業(yè)工程與管理》等核心期刊上發(fā)表了學(xué)術(shù)論文4篇。

三、開放性的學(xué)業(yè)成果全過程立體化展示

在以上培訓(xùn)的基礎(chǔ)上，每個學(xué)生都具備了可以向用人單位展示的各種成果。我們建設(shè)開放性的“工業(yè)工程學(xué)生學(xué)業(yè)成果展示”網(wǎng)站，將每個學(xué)生本科四年期間的各種學(xué)業(yè)成果進行集中展示，包括工程設(shè)計作品、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)作品、案例設(shè)計成果、各類競賽成績等，以學(xué)生個人為標(biāo)簽，為全系學(xué)生建立個人網(wǎng)頁，全過程、立體化地反映學(xué)生本科四年的學(xué)習(xí)成果。

成果主要將以各種可視化的方式進行有效展示，包括：個性化自我介紹（視頻）、發(fā)表的論文成果、各種獎勵證書、工業(yè)工程三大實習(xí)（認(rèn)識實習(xí)、金工實習(xí)與生產(chǎn)實習(xí)）的現(xiàn)場多媒體展示、專業(yè)主干課程實驗及課程設(shè)計作品、參與競賽獲獎、創(chuàng)新設(shè)計作品等，可以讓學(xué)生親自參與到網(wǎng)頁內(nèi)容編輯及頁面設(shè)計中，充分利用各種多媒體工具和網(wǎng)絡(luò)平臺，將每個學(xué)生的比較優(yōu)勢展現(xiàn)出來。這種方式不僅能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、實踐能力、創(chuàng)新能力，而且能夠使企業(yè)快速、全面、立體地了解本專業(yè)每一個學(xué)生的獨特能力，而不是僅靠一紙簡歷來平面地了解學(xué)生的情況。這種信息溝通方式既能有效促進本專業(yè)學(xué)生的就業(yè)，又加強了學(xué)校與用人單位的聯(lián)系，雙方可充分利用網(wǎng)絡(luò)這個平臺進行實時的動態(tài)交互。不僅企業(yè)通過這個平臺了解到學(xué)生的能力，我們也可以通過這個平臺隨時了解用人單位的需求，進而調(diào)整改進教學(xué)活動和實踐安排。

實踐表明，自該方法實行以來，學(xué)校培養(yǎng)了一批特點突出、素質(zhì)高的優(yōu)秀畢業(yè)生，獲得了學(xué)生及用人單位的一致好評。可以說，啟發(fā)式、開放性、因材施教的培養(yǎng)方式無論在提高人才培養(yǎng)質(zhì)量方面，還是在高等教育教學(xué)理論應(yīng)用和人才培養(yǎng)方法方面都取得了一定成果，邁開了教學(xué)改革堅實的一步。

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第8篇：動態(tài)規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：可重構(gòu)制造系統(tǒng)；柔性測度；動態(tài)規(guī)劃；柔性值

一、引言

可重構(gòu)制造系統(tǒng)（Reconfigurable Manufacturing System，RMS）是一種能夠根據(jù)產(chǎn)品功能和生產(chǎn)能力的需求及市場需求變化做出快速響應(yīng)，以應(yīng)對不可預(yù)測的全球性市場激烈競爭的制造系統(tǒng)。在當(dāng)今全球經(jīng)濟一體化的時代背景下，制造企業(yè)面臨著提高產(chǎn)品質(zhì)量、降低產(chǎn)品成本及對市場需求做出快速響應(yīng)的多重壓力。在這一嚴(yán)峻形勢下，提升制造系統(tǒng)的柔性對企業(yè)提高競爭優(yōu)勢有著非常重要的意義。RMS是一種可重新構(gòu)形的現(xiàn)代制造系統(tǒng)，它不僅具有剛性制造系統(tǒng)較高的生產(chǎn)制造效率，還具有柔性制造系統(tǒng)自動化程度高的優(yōu)勢，從而它是滿足大批定制要求的最佳制造系統(tǒng)。制造企業(yè)在構(gòu)建可重構(gòu)制造系統(tǒng)時，需要綜合考慮柔性與成本兩個因素，合理地確定RMS柔性的大小才能使企業(yè)獲得最大化的利益。因此，準(zhǔn)確地測度RMS的柔性具有重要的實踐意義。

針對生產(chǎn)制造系統(tǒng)的柔性研究，早期學(xué)者的研究側(cè)重于針對柔性制造系統(tǒng)的柔性進行評價。楊思遠、劉細兵在討論柔性制造系統(tǒng)柔性衡量標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上建立了柔性的凈現(xiàn)值指標(biāo)評價模型；李巖、張曉坤和徐躍飛等在針對影響柔性制造系統(tǒng)的柔性因素進行深入分析的基礎(chǔ)上提出了用模糊評價方法對制造系統(tǒng)柔性進行評價。隨后，學(xué)者們逐漸將柔性作為制造系統(tǒng)的一個特征，研究柔性的概念并針對影響制造系統(tǒng)柔性的各種因素進行分析，并且給出了具體的柔性評價的方法。近年來，梁福軍、寧汝新及姜曉鵬、王潤孝、庫祥臣分別對RMS的柔性進行了定義并系統(tǒng)闡述了柔性的分類，但是都沒有針對RMS柔性的測度方面進行研究。

在已有的制造系統(tǒng)柔性測度研究中，學(xué)者們從不同的角度對制造系統(tǒng)柔性的測度進行了研究。Mandalbaum用制造系統(tǒng)的柔性在環(huán)境變化發(fā)生時造成的損失或者帶來的收益來對柔性進行測度；Gustavsson認(rèn)為制造系統(tǒng)的柔性可以用制造系統(tǒng)的投資剩余值與投資原值之比來表示；Kumar則根據(jù)生產(chǎn)制造系統(tǒng)處理不確定性環(huán)境的能力以反映該系統(tǒng)的柔性，建立了基于信息理論的柔性測度方法；Slack認(rèn)為制造系統(tǒng)的柔性應(yīng)該在由狀態(tài)范圍維度、狀態(tài)轉(zhuǎn)移費用維度和狀態(tài)轉(zhuǎn)移時間維度構(gòu)成的三維空間中進行度量；Barad認(rèn)為制造系統(tǒng)運行柔性可以用系統(tǒng)適應(yīng)變化所需的時間來度量并采用時間Petri網(wǎng)描述柔性。以上為學(xué)者從四個不同的角度對柔性的主要特征進行了描述并提出了相應(yīng)的柔性測度方法。

綜上所述，目前對于制造系統(tǒng)柔性的測度主要是基于經(jīng)濟效果、信息論、Petri網(wǎng)和多維度的柔性度量方法，但這些柔性度量方法存在著不同程度的缺陷。雖然目前制造系統(tǒng)柔性度量研究存在一定程度的缺陷，但是針對制造系統(tǒng)“柔性”這一特征的研究已經(jīng)十分豐富。但是，目前針對可重構(gòu)制造系統(tǒng)柔性的研究還很貧乏，還僅限于柔性的概念和分類。針對現(xiàn)有研究的不足，本文選用隨機動態(tài)規(guī)劃的方法，針對制造系統(tǒng)的一個生產(chǎn)制造周期構(gòu)造了RMS中柔性的隨機動態(tài)規(guī)劃定量評價模型，通過求解模型得到最優(yōu)收益值，本文用RMS和剛性制造系統(tǒng)最優(yōu)收益值之差來定義柔性，既可避免由于運行環(huán)境、制造系統(tǒng)自身等因素的變化對制造系統(tǒng)柔性測度的準(zhǔn)確性的影響，又可以直觀地反映出可重構(gòu)制造系統(tǒng)對顧客需求發(fā)生變化的響應(yīng)程度。

二、RMS的柔性及測度原理

（一）RMS的柔性

RMS的柔性是指RMS整體通過系統(tǒng)本身的構(gòu)件之間的重新構(gòu)形從而實現(xiàn)的對加工任務(wù)或加工工作的適應(yīng)性。RMS由七個柔性因素構(gòu)成，即設(shè)備柔性、產(chǎn)品柔性、工藝柔性、工序柔性、運行柔性、批量柔性和重構(gòu)柔性。RMS具有柔性決定了其在生產(chǎn)制造過程中的優(yōu)勢：RMS具有剛性制造系統(tǒng)和柔性制造系統(tǒng)的特性，其生產(chǎn)能力和生產(chǎn)功能介于剛性制造系統(tǒng)和柔性制造系統(tǒng)之間；RMS是基于多個工件族來進行設(shè)計的，對工件族中的所有工件提供定制柔性；另外，其構(gòu)形能夠根據(jù)產(chǎn)品生產(chǎn)的變化而進行調(diào)整，在一定程度上適應(yīng)了以多品種、中小批量、短的產(chǎn)品生命周期等為特征的以顧客需求為導(dǎo)向的生產(chǎn)模式。因此，可重構(gòu)制造系統(tǒng)的柔性對企業(yè)適應(yīng)快速變化的市場需求具有重要的意義。

（二）RMS柔性測度原理

本文設(shè)定了一個生產(chǎn)制造周期，即從上一種產(chǎn)品生產(chǎn)制造完成時刻開始到因顧客需求改變而轉(zhuǎn)入下一種能夠滿足顧客需求的產(chǎn)品的生產(chǎn)制造完成時刻為止。針對這一生產(chǎn)制造周期建立隨機動態(tài)規(guī)劃模型，求解出該條件下的最優(yōu)收益值，即可重構(gòu)制造在面臨需求改變的情況下對自身進行調(diào)整以適應(yīng)這種變化這一過程中的獲得的最優(yōu)收益。由于剛性制造系統(tǒng)不具有柔性，在相同的假設(shè)條件下求得的剛性制造系統(tǒng)的最優(yōu)收益值即制造系統(tǒng)不具備柔性值時的最優(yōu)收益。RMS的最優(yōu)收益值和剛性制造系統(tǒng)的最優(yōu)收益值之差為可重構(gòu)制造系統(tǒng)僅考慮柔性作用下制造系統(tǒng)的最優(yōu)收益即可表示RMS的柔性值。

三、RMS柔性測度模型

RMS因其內(nèi)在的柔性使得企業(yè)能夠更好地適應(yīng)外界環(huán)境的變化，對各種不確定性因素做出相應(yīng)的反應(yīng)，從而增強企業(yè)自身的市場競爭力。與此同時，可重構(gòu)制造系統(tǒng)要素隨時間變化的特征使得系統(tǒng)的定量評價更加困難，因此必須建立能夠反映其內(nèi)涵的動態(tài)隨機模型。由于影響系統(tǒng)的不確定性因素很多，本文主要討論由于顧客需求發(fā)生變化對RMS造成的不確定性，而這里所指的顧客需求變化指的是顧客對產(chǎn)品組合、需求數(shù)量及對新產(chǎn)品的需求等。

（一）可重構(gòu)制造系統(tǒng)柔性定量評價的假設(shè)條件

1.假設(shè)該機械制造企業(yè)一個生產(chǎn)周期為上一批工件加工完畢的時刻開始至下一批工件加工完畢的時刻為止，且生產(chǎn)制造的兩種產(chǎn)品種類不同。

2.假設(shè)制造系統(tǒng)在第一種產(chǎn)品生產(chǎn)完成至第二種產(chǎn)品開始生產(chǎn)之前自身已完成調(diào)整可以進行轉(zhuǎn)產(chǎn)，因為本文主要研究可重構(gòu)制造系統(tǒng)對顧客需求變化的響應(yīng)程度。

3.制造系統(tǒng)在整個生產(chǎn)周期內(nèi)不受到除顧客需求發(fā)生變化之外的其他外界因素影響。

（二）評價RMS柔性的隨機動態(tài)規(guī)劃模型

1.確定階段

在此階段企業(yè)將要進行個階段的生產(chǎn)加工。

2.狀態(tài)變量和決策變量的設(shè)定

在t階段末，第t階段的生產(chǎn)制造過程結(jié)束并開始第t+1階段的生產(chǎn)制造。若在第t階段末，已知顧客需求第i種產(chǎn)品的產(chǎn)量為di（t），即Ni（t）=di（t）；假設(shè)生產(chǎn)制造完第j種產(chǎn)品的產(chǎn)量為xj（t），則有：狀態(tài)變量St=（xi（t），di（t）），可達到的狀態(tài)集合St={xj（t），dt（t）}，其中i，j=1，2，...，n，xj（t）=1，2，...，Mj，di（t）=1，2，...，Dj。

第t階段末需要對第t+1階段的生產(chǎn)進行決策，允許集合為：Dt（St）={xi（t+1）}，其中，i=1，2，...，n，xi=1，2，...，D。

若決策變量Ut（St）=xi（t+1），則有所做的決策為：第t+1階段生產(chǎn)制造第種產(chǎn)品的產(chǎn)量為xi（t+1）。其中，Mi為每個階段各種工件的產(chǎn)量上限數(shù)，Mi取整數(shù)；Di為每個階段對各種產(chǎn)品的需求上限，Di取整數(shù)，且Di≤Mi；xi（t）為第i種工件的產(chǎn)量；dj（t）為顧客對第j種產(chǎn)品的需求產(chǎn)量；Nj（t）為第t階段末顧客對第i種產(chǎn)品的需求量，Nj（t）=1，2，...，Di；di（t）∈[1，Di]，di（t）取整數(shù)，i=1，2，...，n。

（三）決策過程

由于上文中構(gòu)建的模型假定初始狀態(tài)已給定，因此選用逆序解法求得結(jié)果：F（0，xi（0），dj（0））={EF（1，xi（1），dj（1））}。此時，F(xiàn)值為該可重構(gòu)制造系統(tǒng)在整個加工階段的最優(yōu)收益值。

通過利用上文構(gòu)建的隨機動態(tài)規(guī)劃模型并對其求解，可以得到RMS在需求等外界條件處于經(jīng)常性變動的情況下整個加工階段的最優(yōu)收益值F。同時，也可以計算出該制造系統(tǒng)的剛性最優(yōu)收益值F，即假設(shè)顧客需求等外界條件不變的情況下制造系統(tǒng)生產(chǎn)制造同一種產(chǎn)品的最優(yōu)收益值Vf。最后，計算兩者之差即可定義為RMS的柔性值，即

Vf=F-F′

以Vf，即可重構(gòu)制造系統(tǒng)與剛性制造系統(tǒng)最優(yōu)收益值之差來定義可重構(gòu)制造系統(tǒng)的柔性值更具有準(zhǔn)確性和客觀性

四、結(jié)論

本文在可重構(gòu)制造系統(tǒng)柔性的相關(guān)理論研究的基礎(chǔ)上，通過隨機動態(tài)規(guī)劃的方法建立模型并通過模型求解分別得到可重構(gòu)制造系統(tǒng)與剛性制造系統(tǒng)的最優(yōu)收益值，最后可重構(gòu)制造系與剛性制造系統(tǒng)的最優(yōu)收益值之差即可重構(gòu)制造系統(tǒng)的柔性值。

本文尚存在如下不足：一是只考慮顧客需求發(fā)生變化時RMS對這一外界變化的反應(yīng)能力，而沒有考慮其他外界因素發(fā)生變化對RMS柔性的影響；二是建立模型時假設(shè)了一個理想狀態(tài)即設(shè)備處于無故障狀態(tài)、原材料供應(yīng)充足等條件完全具備，但在實際生產(chǎn)制造過程中這種理想狀態(tài)并不總是存在。因此，今后需要針對以上不足之處進行系統(tǒng)和深入研究。

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第9篇：動態(tài)規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞： 動態(tài)三角網(wǎng)格； AD*算法； 路徑規(guī)劃； 模擬仿真

中圖分類號： TN911.1?34； TM417 文獻標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）11?0103?04

Research on path planning based on dynamic triangular mesh

and heuristic search algorithm

WANG Wenxia

（Department of Computer Science and Technology， Yuncheng University， Yuncheng 044000， China）

Abstract： The dynamic triangular network map algorithm was designed and implemented on the basis of static triangular mesh to change the grid node cost value in the obstacle changing process of the triangular mesh map. The related algorithm was designed to acquire the updata information of the generated grid map in real time to realize the dynamic change effect. The search algorithm Anytime Replanning A*（ARA*） and D* Lite are combined to realize the path planning method A*（AD*） in dynamic environmet. The extended information in grid map is saved， and the expansion factor is reduced constantly in the finite time to find the node with minimum cost value in the grid map， and obtain the optimul path of dynamic planning. The dynamic scene graph is simulated in dynamic environment. The dynamic planning method is used to establish the corresponding data search structure and method to analyze and contrast the simulation results.

Keywords： dynamic triangular mesh； AD* algorithm； path planning； analog simulation

隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，找到合適、優(yōu)化而且適用于各種額外條件如動態(tài)環(huán)境、大規(guī)模人群、任意寬度路徑等一系列需求成為路徑規(guī)劃算法的研究方向[1]。本文研究在動態(tài)地圖網(wǎng)格中通過動態(tài)搜索算法，實時更新地圖信息的同時采用更加高效的搜索算法記錄當(dāng)前群體信息并反饋出動態(tài)環(huán)境中的環(huán)境變化情況，如人群規(guī)模、路徑寬度等相關(guān)信息，以便在較短時間內(nèi)避免碰撞和到達目的地。

1 動態(tài)環(huán)境地圖網(wǎng)格構(gòu)建及生成

1.1 動態(tài)三角網(wǎng)格設(shè)計實現(xiàn)

在構(gòu)建動態(tài)網(wǎng)格（Dynamic Local Clearance Triangulation，DLCT）[2]的過程中需要保持原有的LCT三角網(wǎng)格[3]中對路徑寬度的要求，在動態(tài)化的過程中添加和刪除障礙物時通過多邊形障礙物ID進行操作，在添加算法中把所有障礙物的限制條件遍歷直至找到需要添加障礙物的ID；在之后的刪除算法中會把與找到的障礙物ID相關(guān)的限制條件同時刪除。由于在地圖中障礙物之間可以相互覆蓋，因此每個ID可能關(guān)聯(lián)相互覆蓋的限制條件。

1.1.1 障礙物插入模塊

該模塊在原有LCT（S）的存儲單元中插入新的多邊形障礙物，在插入過程中，給障礙物設(shè)置新的ID。S設(shè)置為現(xiàn)在LCT（S）已存在的限制規(guī)劃，O是將插入的新多邊形障礙物。插入過程如下：

（1） 將多邊形障礙物O中的k條線段插入CDT中，對于需要修改的頂點和限制邊界分別存儲在兩個List中。List V中存儲所有已修改邊的鄰接頂點（其中包括因CDT交換的邊）；List C中存υ誆迦胝習(xí)物過程中受限制的邊界。

（2） 對于List C中的限制邊界，通過搜索算法判斷S是否被阻塞。對于每個被阻塞的遍歷找到后，相關(guān)聯(lián)頂點加入List V。如圖1所示，通過搜索加入頂點兩邊可能因S引起阻隔。對每次遍歷來說，相關(guān)聯(lián)的阻隔頂點v被加入到List V中。

圖1 尋找被阻斷過程

（3） 在遍歷過程所有被List V中頂點影響的頂點將重新測試其屬性，判斷在當(dāng)前情況是否需要被限制， Local_Ref函數(shù)定義和遍歷了在變化過程中與V相鄰的頂點。對于每一個所有與相鄰的三角形都要被訪問。設(shè)為當(dāng)前與臨近被訪問的三角形，此時需要調(diào)用函數(shù)檢測是否有遍歷過的節(jié)點需要重新定義；函數(shù)查看的后繼節(jié)點是否被影響，當(dāng)找到被影響的路徑時，頂點和若不在List V中則系統(tǒng)自動進行添加，然后重新測試所有在V中的頂點。

1.1.2 障礙物刪除模塊

該模塊將把現(xiàn)有地圖中的多邊形障礙物移除，移除過程中通過在插入中設(shè)置的ID找到該障礙物。由于障礙物之間可以發(fā)生覆蓋，故對于每一個障礙物來說可能同時具有多個ID。刪除過程如下：

（1） 將已存儲的障礙物O從CDT中刪除，并把所有已修改與邊相關(guān)的頂c信息存儲在List V1中；

（2） 將與List V1被限制頂點的周圍臨近頂點找到后存入List V2；

（3） 把List V1中相關(guān)的頂點信息從CDT中刪除；

（4） 對于所有在執(zhí)行過程中需要限制的頂點，通過調(diào)用Local_Ref函數(shù)再次遍歷與其臨近的頂點信息，并對發(fā)生變化的進行改變。

1.1.3 動態(tài)三角網(wǎng)格構(gòu)建過程

基于動態(tài)三角網(wǎng)格地圖的動態(tài)環(huán)境構(gòu)建步驟如下：

（1） 獲取三角網(wǎng)格發(fā)生變化后的地圖信息。

（2） 獲取地圖中障礙物變化信息。

（3） 地圖網(wǎng)格中障礙物節(jié)點信息發(fā)生改變時，若有新節(jié)點加入，則添加后更新相鄰節(jié)點；若有節(jié)點刪除，則刪除后更新相鄰節(jié)點信息。

（4） 反復(fù)執(zhí)行步驟（3），直至所有的更新信息都處理完畢。

（5） 更新地圖中三角網(wǎng)格節(jié)點信息。

1.2 動態(tài)地圖構(gòu)建實現(xiàn)

動態(tài)三角網(wǎng)格地圖構(gòu)建過程如圖2所示，其中第一幅圖展示了在原始地圖中通過添加障礙物實現(xiàn)了地圖中存在若干個障礙物的情況，然后通過改變地圖網(wǎng)格中障礙物的個數(shù)、重新劃分三角網(wǎng)格以及移動障礙物和刪除算法等方法，實現(xiàn)了仿真過程中對真實地圖情況的模擬和地圖網(wǎng)格的構(gòu)建過程。

圖2 動態(tài)地圖實現(xiàn)效果

2 啟發(fā)式搜索動態(tài)路徑規(guī)劃方法

2.1 啟發(fā)式動態(tài)路徑規(guī)劃方法（AD*）

Anytime Dynamic A*（AD*）算法是在原有的動態(tài)環(huán)境下將D* Lite和ARA*結(jié)合，解決了在動態(tài)環(huán)境下高效率的路徑規(guī)劃問題[4]。在AD*算法中利用ARA*中膨脹因子不斷遞減的過程進行一系列路徑搜索。當(dāng)三角網(wǎng)格地圖環(huán)境發(fā)生改變并影響到邊的代價值時，在D*算法的OPEN表中對應(yīng)節(jié)點的Key值發(fā)生相應(yīng)改變。AD*算法具體執(zhí)行過程如下：

（1） 程序初始化。將OPEN，CLOSED和INCONS表清空，膨脹因子初始值為

（2） 計算最短路徑。計算最短路徑的過程中節(jié)點的擴展順序為從目標(biāo)點goal到起始點start進行擴展，尋找出從源點到目標(biāo)點的最短路徑。

（3） 個體從start開始沿路徑向goal前進。

（4） 在擴展過程中，將已擴展過的節(jié)點存儲在INCONS表中。

（5） 判斷前進過程中網(wǎng)格代價值是否發(fā)生變化，如果發(fā)生變化，則以當(dāng)前節(jié)點為新的起始點，并減小膨脹因子的值。

（6） 在下一次擴展過程中，用作為啟發(fā)函數(shù)，在擴展OPEN表中剩余的點之前，把上一輪INCONS表中的點插入OPEN表中，在原來OPEN表的基礎(chǔ)上修改所有與變化節(jié)點相關(guān)的rhs，key的值，清空CLOSE表。

（7） 以新的start點為起始點，goal為目標(biāo)點，運行步驟（3）直至到達目標(biāo)點。

2.2 地圖網(wǎng)格密度計算

基于三角網(wǎng)格密度的改進方法[5]，模擬人群仿真的過程在不同時間內(nèi)每個三角網(wǎng)格參數(shù)值因agents數(shù)量的不同而發(fā)生變化，因此把密度信息添加到Key值的計算中，可以估算每一個OPEN表中節(jié)點的優(yōu)先權(quán)從而得到最優(yōu)路徑。density（n）表示第個節(jié)點所在三角網(wǎng)格的密度值；是通過節(jié)點和距離信息來估算到目標(biāo)點的路徑長度[6]。此時OPEN中擴展節(jié)點的優(yōu)先權(quán)的計算公式如下：

（1）

式中：膨脹因子要滿足條件

將agents標(biāo)記在不同三角形網(wǎng)格中，通過計算當(dāng)前三角網(wǎng)格的密度信息決定不同節(jié)點在OPEN表中的優(yōu)先權(quán)，此時Key的值計算公式（2）如下所示：

（2）

通過不斷減小在搜索路徑過程中膨脹因子的值找到最優(yōu)路徑。

3 動態(tài)路徑規(guī)劃算法設(shè)計與實現(xiàn)

3.1 搜索節(jié)點數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

在動態(tài)環(huán)境中，以DLCT三角網(wǎng)格[7]作為地圖的劃分方法，將地圖網(wǎng)格中的動態(tài)變化信息和移動個體動態(tài)搜索路徑方法相關(guān)聯(lián)，構(gòu)造如下數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在Map_Node中存儲動態(tài)網(wǎng)格中障礙物發(fā)生變化后節(jié)點的構(gòu)建網(wǎng)格信息；Agent_Node中記錄移動個體在尋路過程所擴展的三角網(wǎng)格邊。規(guī)劃路徑時根據(jù)當(dāng)前Open_Node節(jié)點中存放的信息計算最優(yōu)路徑。

3.2 動態(tài)搜索算法實現(xiàn)

在動態(tài)搜索算法中，當(dāng)動態(tài)環(huán)境發(fā)生變化時更新三角網(wǎng)格地圖信息，通過在OPEN表中擴展邊，更新變化的頂點信息與其鄰接節(jié)點，判斷當(dāng)前移動個體路徑是否受到影響，未受影響的個體按原路徑移動；由于網(wǎng)格變化需要重新尋路時，計算節(jié)點代價值如下所示：

（3）

通過計算新添加節(jié)點（添加障礙物）或位置變更節(jié)點（移動障礙物）的代價值得到當(dāng)前三角網(wǎng)格地圖的節(jié)點序列，在OPEN中節(jié)點進行擴展時根據(jù)代價值的排序重新規(guī)劃路徑，通過執(zhí)行RecomputeShortestPath（）得到從當(dāng)前位置為起始點到目標(biāo)點的路徑規(guī)劃方法[8]。例如，個體Agent移動到節(jié)點所連接的邊edge時，移動障礙物模塊至三角網(wǎng)格edge邊移動方向的前方，此時動態(tài)規(guī)劃域與個體移動域有交集，在此區(qū)域里由于頂點變化三角網(wǎng)格地圖重新劃分，若劃分后節(jié)點不存在，通過不斷執(zhí)行Pred（s）找到前驅(qū)節(jié)點至此節(jié)點在更新后的網(wǎng)格地圖中存在，同理，后繼節(jié)點通過執(zhí)行Succ（s）不斷向后查找直至找到的后繼節(jié)點與新生成的網(wǎng)格地圖中匹配的節(jié)點（未找到則重新規(guī)劃此區(qū)域的路徑），在前驅(qū)節(jié)點和后繼節(jié)點之間的區(qū)域D中根據(jù)式（3）計算得到網(wǎng)格地圖變化后Agent個體從當(dāng)前位置到目標(biāo)點移動的規(guī)劃路徑。

4 基于動態(tài)環(huán)境的動態(tài)規(guī)劃仿真與實現(xiàn)

4.1 地圖規(guī)模變化策略

為了驗證動態(tài)搜索算法在不同規(guī)模三角網(wǎng)格地圖上的適用性和模擬仿真場景中復(fù)雜逼真程度，同時證明DLCT網(wǎng)格劃分方法對不同地圖的劃分結(jié)果的差異。本實驗應(yīng)用動態(tài)搜索算法AD*實現(xiàn)在不同規(guī)模地圖上個體規(guī)劃路徑過程。如圖3所示，圖中地圖網(wǎng)格的復(fù)雜程度由簡到繁分別采用5×5，10×10，20×20，40×40的網(wǎng)格拓撲結(jié)構(gòu)，通過不斷增大迷宮場景圖的復(fù)雜程度，在地圖中選擇起始點和目標(biāo)點后通過啟發(fā)式動態(tài)路徑搜索算法，AD*在不斷變化的三角網(wǎng)格中進行路徑規(guī)劃，最終找到當(dāng)前狀態(tài)下的最優(yōu)路徑。

通過采用不同規(guī)模地圖對單一移動個體規(guī)劃路徑，不同的搜索算法尋路過程與地圖的復(fù)雜程度正相關(guān)，隨著地圖復(fù)雜程度的增加，搜索路徑的過程在地圖網(wǎng)格中與擴展的三角邊總數(shù)呈正相關(guān)的趨勢增長。因此，在復(fù)雜多變的環(huán)境中模擬真實場景時，采用高效的地圖網(wǎng)格剖分方法能夠使路徑規(guī)劃效率得到提高。

4.2 群w移動策略

4.2.1 碰撞檢測方法

采用的規(guī)避方法是隨機處理方式和球體處理方法相結(jié)合，在Agents碰撞發(fā)生后進行處理，設(shè)置兩個移動個體之間距離的最小值，若小于最小值時則認(rèn)為碰撞發(fā)生。在碰撞發(fā)生后，若個體所在三角網(wǎng)格密度信息較大，則重新規(guī)劃路徑進行移動直至目標(biāo)點；若個體所在三角網(wǎng)格在密度范圍內(nèi)則個體延時等待一段時間后，通過避讓的方法繞過障礙物繼續(xù)前行到達目標(biāo)點。

4.2.2 個體規(guī)避策略方法實現(xiàn)

在動態(tài)三角網(wǎng)格地圖環(huán)境中，當(dāng)障礙物發(fā)生移動時，移動個體會根據(jù)當(dāng)前規(guī)劃路徑是否受到影響決定移動策略，根據(jù)對方向進行判斷，若在移動過程中碰撞發(fā)生，記錄當(dāng)前位置信息CurPosition，判斷當(dāng)前三角網(wǎng)格密度值density，在密度滿足閾值條件時應(yīng)用規(guī)避方法重新規(guī)劃路徑繼續(xù)移動；其他情況下，需改變移動方向，密度滿足要求時進行重新規(guī)劃。

模擬仿真過程截圖如圖4～圖7所示，在圖4和圖5中，障礙物的移動沒有對個體移動的路徑產(chǎn)生影響，仍按照原規(guī)劃路徑前行；在圖6中，當(dāng)動態(tài)地圖網(wǎng)格中障礙物變化導(dǎo)致網(wǎng)格布局發(fā)生改變，從而對個體原路徑產(chǎn)生影響時，個體重新規(guī)劃路徑；在圖7中，當(dāng)?shù)貓D網(wǎng)格發(fā)生動態(tài)改變時，若同時存在的若干移動個體發(fā)生碰撞，此時應(yīng)用個體移動的規(guī)避策略對路徑進行重新規(guī)劃。

4.3 群體動態(tài)路徑規(guī)劃方法

4.3.1 群體動態(tài)路徑方法

群體路徑規(guī)劃方法是在單獨個體基礎(chǔ)上對每個移動物體進行路徑規(guī)劃的過程。為了模擬大規(guī)模人群仿真技術(shù)提出群行為模擬方法，移動個體對不同的Agent的影響有很大差異，主要問題有如下幾個方面：

（1） 如在此移動個體之前有另一個體相向而行，則其中一個物體應(yīng)該改變速度方向避免碰撞發(fā)生。

（2） 若兩個移動個體同向時，其中較慢的個體應(yīng)在人群密度較小的情況下改變速度方向超過前方遮擋個體；而在人群密度較大時，跟在前方物體之后行走。

綜合以上問題描述，本文通過碰撞類型分類對優(yōu)先級進行劃分。按照優(yōu)先級原則對仿真環(huán)境中的Agents個體進行優(yōu)先級排序（模擬真實場景中的出場順序或根據(jù)重要程度排序等），根據(jù)優(yōu)先級遞減劃分成不同的組別，對于中的每個Agent個體，保存其start，goal，position，DesSpeed，velDir變量信息。

在規(guī)劃群體路徑過程中，根據(jù)Agents的優(yōu)先級大小對速度方向進行修改，若在中Agents和中的移動個體移動方向相同則需要在判斷優(yōu)先級的條件下重新規(guī)劃其余組別的路徑方向。在采用以上方法避免碰撞發(fā)生的條件下，若碰撞發(fā)生，記錄當(dāng)前碰撞發(fā)生時移動個體的位置信息position，計算當(dāng)前三角網(wǎng)格的密度density和相鄰節(jié)點構(gòu)造網(wǎng)格密度值，根據(jù)Agents的優(yōu)先級以及已得到的密度信息進行重新排序，若此時的移動個體滿足優(yōu)先級條件，則重新計算地圖網(wǎng)格的代價值并重新規(guī)劃由當(dāng)前位置position到目標(biāo)點的路徑；若此時碰撞個體優(yōu)先級較低，則處于等待狀態(tài)至下一次重新規(guī)劃。

4.3.2 群體規(guī)劃路徑實現(xiàn)

為了驗證本文的群體動態(tài)路徑規(guī)劃方法，對在地圖網(wǎng)格中可能發(fā)生碰撞的Agents個體采用碰撞規(guī)避策略對每個Agents個體進行路徑規(guī)劃，在仿真的過程中不斷增加Agents規(guī)模，分別對Agents=50，Agents=100，Agents=150，Agents=200在不同時刻的尋路情況仿真模擬，實現(xiàn)結(jié)果截圖如圖8所示，圖中不同顏色的小方格分別代表不同的Agents移動個體，每個移動個體從初始點出發(fā)到目標(biāo)點規(guī)劃出各自的路徑，當(dāng)有Agents個體之間發(fā)生相互碰撞時（此時原規(guī)劃路徑移動方向被阻擋），則Agent個體根據(jù)本文中采用的碰撞規(guī)避原則，采用AD*算法繞過對方后重新規(guī)劃路徑。

圖8 群體規(guī)劃路徑實現(xiàn)

由仿真效果可知，隨著網(wǎng)格地圖中Agents個體數(shù)的不斷增加，發(fā)生碰撞的幾率明顯增大，因此在動態(tài)環(huán)境中，在采用高效的動態(tài)路徑搜索算法的同時，需要針對群體中發(fā)生碰撞的規(guī)避策略來避免碰撞發(fā)生。

4.4 仿真實驗結(jié)果分析

通過對動態(tài)環(huán)境中的動態(tài)網(wǎng)格效果、動態(tài)路徑規(guī)劃算法進行驗證，將二者結(jié)合實現(xiàn)本文關(guān)于動態(tài)環(huán)境中的路徑規(guī)劃方法的研究。在動態(tài)網(wǎng)格地圖中分別移動和增添障礙物后，實現(xiàn)了地圖網(wǎng)格發(fā)生變化情況的模擬。在動態(tài)搜索算法中，通過將D*Lite和ARA*算法結(jié)合實現(xiàn)了動態(tài)路徑規(guī)劃方法的優(yōu)化AD*算法，通過將二者結(jié)合，定義新的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存儲移動個體移動過程中的變量值，對群體路徑規(guī)劃和碰撞規(guī)避策略的應(yīng)用計算達到了動態(tài)環(huán)境路徑規(guī)劃的模擬仿真效果。

5 結(jié) 論

本文的主要研究內(nèi)容包括基于動態(tài)環(huán)境的網(wǎng)格地圖方法和動態(tài)路徑規(guī)劃方法的研究，在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)動態(tài)環(huán)境中的路徑規(guī)劃。在動態(tài)路徑規(guī)劃的過程中需要對網(wǎng)格構(gòu)建和搜索算法進行研究，對地圖網(wǎng)格劃分方法在LCT靜態(tài)三角網(wǎng)格的基礎(chǔ)上，通過障礙物的移動、添加和刪除實現(xiàn)了動態(tài)網(wǎng)格規(guī)劃方法（DLCT）；在路徑搜索算法方面，將基于A*算法實現(xiàn)的ARA*算法和動態(tài)搜索算法D*Lite相結(jié)合，實現(xiàn)了在動態(tài)環(huán)境中的路徑規(guī)劃算法AD*。

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