數(shù)學(xué)歸納法精選(九篇)

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第1篇：數(shù)學(xué)歸納法范文

(1) 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí),命題成立;

(2) 假設(shè)當(dāng)n=k (k∈N*, k≥n0)時(shí),命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立;

(3) 根據(jù)(1)、 (2),當(dāng)n≥n0且n∈N*時(shí),命題成立.

我們?cè)趹?yīng)用過(guò)程中要注意以下幾點(diǎn).

一、 要注意步驟(1)的完整性

例1 證明：1+12+122+…+12n≤12+n (n∈N*).

錯(cuò)解

步驟(1)：當(dāng)n=1時(shí),左邊=右邊=32,不等式成立.

剖析

步驟(1)是不完整的,它只是說(shuō)明了“=”成立的情形,沒(méi)有說(shuō)明“＜”成立的情形.

正解

步驟(1)：當(dāng)n=1時(shí),左邊=右邊=32;當(dāng)n=2時(shí),左邊=74＜右邊=52,不等式成立.

二、 要注意步驟(2)中假設(shè)n=k時(shí)命題成立后,下一個(gè)n的取值有可能不是k+1

例2 n為奇數(shù)時(shí),求證：xn+yn能被x+y整除.

錯(cuò)解

步驟(2)：假設(shè)n=k時(shí)命題成立,進(jìn)而求證n=k+1時(shí)命題成立.

剖析

錯(cuò)誤原因在于形成了思維定勢(shì),沒(méi)有看清楚題設(shè)條件.

正解

步驟(2)：假設(shè)n=k命題成立時(shí),進(jìn)而求證n=k+2時(shí)命題成立.

當(dāng)n=k+2時(shí),xk+2+yk+2=x2(xk+yk)-x2yk+yk+2=x2(xk+yk)-yk(x2-y2),又因?yàn)楫?dāng)n=k時(shí)命題成立,即xk+yk能被x+y整除,同時(shí)x2-y2也能被x+y整除,故當(dāng)n=k+2時(shí),xk+2+yk+2能被x+y整除.

三、 要注意步驟(2)中n=k與n=k+1時(shí)結(jié)論的差異與聯(lián)系

例3 求證：1n+1+1n+2+…+13n+1＞1.

錯(cuò)解

(2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即1k+1+1k+2+…+13k+1＞1,則當(dāng)n=k+1時(shí),1k+2+1k+3+…+13k+1+13(k+1)+1＞1+13(k+1)＞1,不等式也成立.

剖析

上述證明中,對(duì)于從k到k+1的跨度,只加了一項(xiàng),是錯(cuò)誤的.因?yàn)榉帜甘窍嗯R的自然數(shù),故應(yīng)加上三項(xiàng)13k+2+13(k+1)+13(k+1)+1.

正解

(2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即1k+1+1k+2+…+13k+1＞1,則當(dāng)n=k+1時(shí),1k+2+1k+3+…+13k+1+13k+2+13(k+1)+13(k+1)+1=1k+2+1k+3+…+13k+1+13k+2+13(k+1)+13(k+1)+1-1k+1＞1+13k+2+13k+4-23(k+1)=1+6k+69k2+18k+8-6(k+1)32(k+1)2=1+6k+69k2+18k+8-6(k+1)9k2+18k+9＞1,不等式也成立.

四、 要注意步驟(2)中必須應(yīng)用歸納假設(shè)

例4 已知數(shù)列8×112×32, 8×232×52, 8×352×72, …, 8n(2n-1)2(2n+1)2, …,其前n項(xiàng)和為Sn,計(jì)算得S1=89, S2=2425, S3=4849, S4=8081,試推測(cè)出Sn的公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

錯(cuò)解

由已知猜測(cè)Sn=(2n+1)2-1(2n+1)2 (n∈N*).

步驟(2)：因?yàn)閍n=8n(2n-1)2(2n+1)2=1(2n-1)2-1(2n+1)2,所以Sk+1=1-132+133-152+…+1(2k+1)2-1(2k+3)2=1-1(2k+3)2=(2k+3)2-1(2k+3)2.

剖析

雖然這樣也說(shuō)明了當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立,但這種方法已經(jīng)不是數(shù)學(xué)歸納法了,因?yàn)樵谄溥^(guò)程中沒(méi)有應(yīng)用歸納假設(shè).

正解

步驟(2)：Sk+1=1-132+133-152+…+1(2k+1)2-1(2k+3)2=(2k+1)2-1(2k+1)2+1(2k+1)2-1(2k+3)2=(2k+3)2-1(2k+3)2.

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí),以上三個(gè)步驟缺一不可.步驟(1)是正確的奠基步驟,稱之為歸納基礎(chǔ);步驟(2)反映了無(wú)限遞推關(guān)系,即命題的正確性具有傳遞性.若只有步驟(1)而無(wú)步驟(2),則只是證明了命題在特殊情況下的正確性,是不完全歸納法;若只有步驟(2)而無(wú)步驟(1),那么假設(shè)當(dāng)n=k (k∈N*, k≥n0)時(shí)命題成立,就是沒(méi)有根據(jù)的,缺少了遞推的基礎(chǔ),也無(wú)法進(jìn)行遞推.

第2篇：數(shù)學(xué)歸納法范文

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)歸納法 證明探索性問(wèn)題 證明等式與不等式

數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法,典型地用于確定一個(gè)表達(dá)式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的，或者用于確定一個(gè)其他的形式在一個(gè)無(wú)窮序列是成立的。這個(gè)方法的原理在于第一步證明起始值在表達(dá)式中是成立的,然后證明一個(gè)值到下一個(gè)值的證明過(guò)程是有效的。如果這兩步都被證明了,那么任何一個(gè)值的證明都可以被包含在重復(fù)不斷進(jìn)行的過(guò)程中。

最早使用數(shù)學(xué)歸納法的證明出現(xiàn)于Francesco maurolico的Arithmeticorum libriduo。Maurolico證明了前n個(gè)奇數(shù)的總和是n,由此揭開了數(shù)學(xué)歸納法之謎。

常見(jiàn)的數(shù)學(xué)歸納法主要有以下幾種：

（一）第一數(shù)學(xué)歸納法

（二）第二數(shù)學(xué)歸納法

（三）倒推歸納法

（四）螺旋式歸納法

其中,在中學(xué)最常見(jiàn)和簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)歸納法證明方法是第一種,證明當(dāng)n屬于所有自然數(shù)時(shí)一個(gè)表達(dá)式成立，或者用于確定一個(gè)其他的形式在一個(gè)無(wú)窮序列是成立的,應(yīng)用廣泛。在最近幾年的高考試卷中尤其明顯。下面我們就通過(guò)幾道例題來(lái)具體看一下。

一、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的探索性問(wèn)題

1.探索函數(shù)解析式

例1：已知y=f（x）滿足f（n-1）=f（n）-lga（n≥2，n∈N）且f（1）=-lga，是否存在實(shí)數(shù)α、β，使f（n）=（αn+βn-1）lga對(duì)任何n∈N都成立，證明你的結(jié)論.

解：f（n）=f（n-1）+lga，令n=2，則f（2）=f（1）+f（a）=-lga+lga=0.

又f（1）=-lga，

α+β=02β+4α=1，α=β=-.

f（n）=（n-n-1）lga.

用歸納法證明：

（1）當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立.

（2）假設(shè)n=k時(shí)成立，即f（k）=（k-k-1）lga，

則n=k+1時(shí)，

f（k+1）=f（k）+lga=f（k）+klga

=（k-k-1+k）lga

=［（k+1）-（k+1）-1］lga

當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立.

綜合（1）（2）可知，存在實(shí)數(shù)α、β且α=，β=-，使f（n）=（αn+βn-1）lga對(duì)任意n都成立.

評(píng)析：該題是探索性問(wèn)題．它通過(guò)觀察歸納猜想證明這一完整的步驟去探索和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并證明所得出的結(jié)論是正確性的,這是非常重要的一種思維能力．

2.探索數(shù)列的通項(xiàng)公式

例2：設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a}滿足：a=4，且對(duì)于任何n∈N，有

2+＜＜2+.

（Ⅰ）求a，a；

（Ⅱ）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)a.

解：（Ⅰ）由已知不等式得：

2+＜n（n+1）（+）＜2+①

當(dāng)n=1時(shí)，由①得：

2+＜2（+）＜2+,

即2+＜+＜2+,

解得＜a＜．

a為正整數(shù)，a=1.

當(dāng)n=2時(shí)，由①得：

2+＜6（+）＜2+，

解得8＜a＜10．

a為正整數(shù)，a=9．

a=1，a=9．

（Ⅱ）由a=1，a=4，a=9，猜想：a=n．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)n=1，2時(shí)，由（1）知a=n均成立；

（2）假設(shè)n=k（k≥2）成立,則a=k,則n=k+1時(shí),

由①得：

2+＜k（k+1）（+）＜2+?圯＜a＜?圯（k+1）-＜a＜（k+1）+.

k≥2時(shí)，（k-k+1）-（k+1）=k（k-2）≥0，

∈（0，1］.

k-1≥1,∈（0，1］.

又a∈N，（k+1）≤a≤（k+1）．

故a=（k+1），即當(dāng)n=k+1時(shí)，a=n成立．

綜上，由（1），（2）知，對(duì)任意n∈N，a=n．

評(píng)析：本題是探索型題，“先猜想、后證明”，對(duì)學(xué)生的思維能力有較高要求；運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是“由當(dāng)n=k時(shí)成立，如何過(guò)渡與轉(zhuǎn)換為當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.”運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，形成“觀察―歸納―猜想―證明”的思維模式是解決本題的關(guān)鍵。

二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

例3：已知函數(shù)f（x）=x-sinx,數(shù)列{a}滿足：0＜a＜1，a=f（a），n=1,2,3,….

證明：0＜a＜a＜1.

證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

0＜a＜1,n=1,2,3,….

①當(dāng)n=1時(shí)，0＜a＜1，當(dāng)n=1時(shí)，0＜a＜1；

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，結(jié)論成立，即0＜a＜1.

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）=1-cosx＞0，f（x）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增.

f（x）在［0,1］上連續(xù)，f（0）＜f（a）＜f（1），即0＜a＜1-sin1＜1.

當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.

由①、②可得，0＜a＜1對(duì)一切正整數(shù)都成立.

又0＜a＜1，a=a-sina＜a，0＜a＜a＜1.

證明不等式的題型多種多樣，所以不等式證明是一個(gè)難點(diǎn)，數(shù)學(xué)歸納法是證明和正整數(shù)相關(guān)的不等式的最有效方法，其證明的關(guān)鍵是如何實(shí)現(xiàn)從n=k時(shí)原不等式成立到n=k+1時(shí)原不等式成立的過(guò)渡。

三、用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問(wèn)題

對(duì)于證明恒等的問(wèn)題，在證等式成立時(shí)，應(yīng)及時(shí)把結(jié)論和推導(dǎo)過(guò)程對(duì)比，也就是我們通常所說(shuō)的兩邊湊的方法，以降低計(jì)算的復(fù)雜度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的等式，使問(wèn)題的證明有目的性．

例4：是否存在常數(shù)a,b,c，使得等式1×2+2×3+…+n×（n+1）=（an+bn+c）對(duì)一切自然數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論．

解：假設(shè)存在a,b,c，使得題設(shè)的等式成立，則當(dāng)n=1,2,3時(shí)也成立，代入得：

4=（a+b+c）22=（4a+2b+c）70=9a+3b+c

解得：a=3,b=11,c=10，于是對(duì)n=1,2,3，下面等式成立：

1×2+2×3+…+n（n+1）=（3n+11n+10）

令S=1×2+2×3+…+n（n+1）

假設(shè)n=k時(shí)上式成立，即S=（3k+11k+10）

那么S=S+（k+1）（k+2）

=（3k+11k+10）+（k+1）（k+2）

=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）

=（3k+5k+12k+10）

=［3（k+1）+11（k+1）+10］

這就是說(shuō)，等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．

綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，原等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立.

四、證明整數(shù)的整除問(wèn)題

用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題,如:求證f（n）能被a整除,設(shè)f（n）是隨自然數(shù)變化的已知整式（或整數(shù)）,a是給定的整式（或整數(shù)）.由假設(shè)n=k時(shí)命題成立,來(lái)推證n=k+1時(shí)命題也成立,是最關(guān)鍵的一步,也是最難證明的一步.

例5：求證：5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積能被120整除.

證明：

（1）當(dāng)n=1時(shí)1×2×3×4×5=120，能被120整除，原命題成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)原命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）

=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）

因?yàn)閗（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍數(shù)，只需證5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍數(shù)，即證（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍數(shù).

四個(gè)數(shù)中兩奇兩偶，一定有4的倍數(shù)，3的倍數(shù)，還有另一個(gè)偶數(shù)，所以一定能被4×2×3=24整除.

即當(dāng)n=k+1時(shí)原命題成立.

綜合（1）、（2）原命題對(duì)任何自然數(shù)成立.

總之，在證明題中，數(shù)學(xué)歸納法有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)需要牢記：

（1）證明當(dāng)n為某一個(gè)值時(shí)，結(jié)論成立;

（2）假定n=k時(shí)成立，證明n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.

參考文獻(xiàn)：

［1］普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京:人民教育出版社,選修2.

［2］華羅庚.數(shù)學(xué)歸納法［M］.北京：科學(xué)出版社,2002：12-15.

［3］趙小云,蔣亦東.數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)通訊，2000，10.

［4］任志鴻.考試高手，3年高考2年模擬.南方出版社.

［5］吳文堯.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的若干技巧和方法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2004,4.

第3篇：數(shù)學(xué)歸納法范文

（1）數(shù)學(xué)歸納法常用于三角恒等式，組合恒等式的證明之中。

例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：

■

分析： 理解等式的特點(diǎn)，在等式左邊當(dāng)n取一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)兩項(xiàng)■即在等式右邊當(dāng)n取一值時(shí)對(duì)應(yīng)一項(xiàng)，無(wú)論n取何值應(yīng)保證等式左邊有2n項(xiàng)，而等式右邊有n項(xiàng)，然后再按數(shù)學(xué)歸納法的步驟要求給出證明。

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，■等式成立

②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即

■

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

■

■

由①②知等式對(duì)任意■都成立。

例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明n∈N+時(shí),

(2cosx－1)(2cos2x－1)…(2cos2n-1?x－1)=■

證明：①當(dāng)n=1時(shí),左式=2cosx－1,

右式=■=2cosx－1,

即左式=右式,等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即

(2cosx－1)( 2cos2x－1)…2cos2k -1?x－1)= ■

當(dāng)n=k＋1時(shí), 左式=(2cosx－1)( 2cos2x－1)…2cos2k-1?x－1)?(2cos2k?x－1)=■?(2cos2k?x－1)=■ =■=■ n=k＋1時(shí)等式成立.

由①、②可知,對(duì)n∈N+時(shí)等式成立.

（2）數(shù)學(xué)歸納法常用于整除性問(wèn)題。在此類問(wèn)題證明過(guò)程中，變形、組合、分解是常用的技巧。

例3、 求證：二項(xiàng)式x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，x2-y2=(x+y)(x-y)

能被x+y整除。

②假設(shè)n=k時(shí)，x2k-y2k能被x+y整除。

那么 n=k+1時(shí)

即 x2k+2-y2k+2=x2?x2k-x2y2k+x2?y2k- y2?y2k

=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)

x2k-y2k與x2-y2都能被x+y整除

x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除

即n=k+1時(shí)，x2k+2-y2k+2能被x+y整除

綜上①②可知，對(duì)任意的自然數(shù)n命題均成立。

說(shuō)明：由假設(shè)以x2k+2為主進(jìn)行拼湊，即減去x2y2k加上x2y2k，然后重新組合，目的是拼湊出n=k的歸納假設(shè)，剩余部分仍然能被x+y整除。

（3）數(shù)學(xué)歸納法常用于不等式的證明之中，證明的難點(diǎn)在歸納推理部分，在完成該步時(shí)常用到中學(xué)數(shù)學(xué)的各種方法技巧，如裂項(xiàng)相消，不等式的放縮，重要不等式的應(yīng)用等

例4、 試證1+■+■+……+■>■ （n∈N+）

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=■，不等式成立

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即有 1+■+■+……+■> ■

當(dāng)n=k+1時(shí)， 1+■+■+……+■+■+■+……+■>■+■+■+……+■>■+■+……+■>■+■+……+■>■+■+……+■=■,當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立。

綜上知不等式對(duì)于一切n∈N+都成立。

（4）數(shù)學(xué)歸納法常用于證明數(shù)列具有某種性質(zhì)之中。在研究數(shù)列時(shí)，先給出一個(gè)遞歸關(guān)系，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法證明。

例5、 已知數(shù)列{an}滿足a1=a，an＋1=■，(1)求a2，a3，a4；(2)推測(cè)通項(xiàng)an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

解：(1)由an＋1=■，可得，■，■，■(2)推測(cè)■

證明： ①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝a1=a，右邊＝■，結(jié)論成立。

②設(shè)n=k時(shí)，有■

則當(dāng)n=k＋1時(shí)，■

故當(dāng)n=k＋1時(shí)，結(jié)論成立。

由①、②可知，對(duì)n∈N，都有.■

（5）數(shù)學(xué)歸納法常用于證明幾何圖形具有某種性質(zhì)之中。用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是：由“n=k”到“n=k+1”時(shí)命題成立，應(yīng)理解為由k個(gè)幾何元素又增加了一個(gè)幾何元素到k+1個(gè)，要找出增加的元素與原來(lái)k個(gè)幾何元素的關(guān)系及其引起的幾何元素的變化，找到f(k+1)與f(k)的關(guān)系。

例6、 平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)。求證：這n個(gè)圓把平面分成個(gè)■部分。

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題，主要是搞清楚當(dāng)n=k+1時(shí)比n=k時(shí)，分點(diǎn)增加了多少，區(qū)域增加了幾塊。本題中第k+1個(gè)圓被原來(lái)的k個(gè)圓分成2k條弧，而每一條弧把它所在的部分分成了兩部分，此時(shí)共增加了2k個(gè)部分，問(wèn)題就容易得到解決。

證明： 用①當(dāng)n=1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩部分，■，命題成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立（n∈N*），k個(gè)圓把平面分成個(gè)■部分。

當(dāng)n=k+1時(shí)，這k+1個(gè)圓中的k個(gè)圓把平面分成個(gè)■部分，第k+1個(gè)圓被前k個(gè)圓分成2k條弧，每條弧把它所在部分分成了兩個(gè)部分，這時(shí)共增加了2k個(gè)部分，即k+1個(gè)圓把平面分成■個(gè)部分，即命題也成立。

由①、②可知，對(duì)任意n∈N*命題都成立。

第4篇：數(shù)學(xué)歸納法范文

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)競(jìng)賽 數(shù)學(xué)教育

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）32-0159-02

一、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的價(jià)值

一直以來(lái)數(shù)學(xué)歸納法都是我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育非常重要的教學(xué)內(nèi)容，而且當(dāng)學(xué)生有效的掌握數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上也就踏入了數(shù)學(xué)研究的門檻。數(shù)學(xué)歸納法主要有兩個(gè)核心的內(nèi)容，一個(gè)是起點(diǎn)驗(yàn)證，而另一個(gè)是歸納推理，不過(guò)在這兩點(diǎn)中，歸納推理的難度相較于起點(diǎn)驗(yàn)證來(lái)說(shuō)要更難一些，這主要是因?yàn)闅w納推理考驗(yàn)的是學(xué)生的思維能力和邏輯能力，在一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常會(huì)設(shè)置一些需要用到數(shù)學(xué)歸納法的題型來(lái)綜合性的考驗(yàn)學(xué)生的實(shí)際能力。而反之學(xué)生也可以參照數(shù)學(xué)競(jìng)賽的這種設(shè)置來(lái)不斷的提升自身對(duì)數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的熟練度，從而在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中脫穎而出。

二、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)競(jìng)賽實(shí)題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常被應(yīng)用，所以以數(shù)學(xué)競(jìng)賽實(shí)題來(lái)作為本文研究數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用是最好不過(guò)的例子。

在某年的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有一題是：設(shè)正整數(shù)n≥6，需要證明單位正方形可以剖分為n個(gè)小正方形。其實(shí)當(dāng)看到這道題的時(shí)候?qū)W生首先就應(yīng)該對(duì)這道題可能的考查點(diǎn)有一個(gè)明確的判斷，此題除了給出了n的范圍之外給出的唯一的條件就是正方形。眾所周知正方形的四條邊是具有相等的獨(dú)特性的，所以該題必然是一道考量一般規(guī)律的題，也就是說(shuō)其會(huì)用到數(shù)學(xué)歸納法，所以在這個(gè)時(shí)候?qū)W生就應(yīng)該從數(shù)學(xué)歸納法的角度上去看這道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題。首先以數(shù)學(xué)歸納法的第一個(gè)條件，起點(diǎn)驗(yàn)證來(lái)確定這道題目的正確性，當(dāng)n分別等于6、7、8的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)單位正方形是可以利用田字格的方式將其劃分為四個(gè)小正方形，因此使用跳躍式數(shù)學(xué)歸納法該命題是成立的。

那么如果該題的n=k是成立的話，那么對(duì)于n=k+3也應(yīng)該成立。在n=k的命題研究中我們將一個(gè)小正方形分成了四個(gè)小正方形，從而獲得了n=k+3個(gè)小正方形。

因此從數(shù)學(xué)歸納法的角度上來(lái)說(shuō)，該題的題目是得到了驗(yàn)證的。其實(shí)從本題的本質(zhì)上來(lái)看，這僅僅是一道簡(jiǎn)單的跳躍式數(shù)學(xué)歸納法，但是縱觀近幾年的中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，這種題型屢見(jiàn)不鮮，這也就意味著我國(guó)的數(shù)學(xué)教育正在逐步的提高數(shù)學(xué)歸納法在其中的占比，希望能夠培養(yǎng)出更多的具有專業(yè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，擁有良好思維能力和邏輯能力的高素質(zhì)人才。本文選擇的例子是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中比較常用的但是在難度上相對(duì)較低的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用題型，還有許多應(yīng)用到數(shù)學(xué)歸納法的題型要比上述例題更加的復(fù)雜。譬如說(shuō)設(shè)整數(shù)n≥4，證明可以將任意一個(gè)三角形剖分為n個(gè)等腰三角形。雖然乍看上去這道題的題型與上述中的例題非常相似，但是實(shí)際上由于等腰三角形具有獨(dú)特的圖形特質(zhì)，因此盡管同屬于數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的題型，但是在驗(yàn)證上，這道題的驗(yàn)證過(guò)程要比上一道題的驗(yàn)證過(guò)程復(fù)雜得多。因?yàn)橐腧?yàn)證這道題首先必須要驗(yàn)證任意一個(gè)直角三角形是可以剖分為兩個(gè)等腰三角形的，然后還要驗(yàn)證任意一個(gè)三角形是可以剖分為k個(gè)直角三角形的，其中k是≥2的，最后還要驗(yàn)證一個(gè)等腰三角形可剖分為四個(gè)等腰三角形。只有先將這三個(gè)引理驗(yàn)證清楚才能夠借此回歸到原題去證明當(dāng)n≥4的時(shí)候，可以將任意一個(gè)三角形剖分為n個(gè)等腰三角形。這實(shí)際上就是數(shù)學(xué)歸納法的綜合性應(yīng)用，它需要學(xué)生能夠考量到的多方面的因素，從而通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法去驗(yàn)證自己的想法。

三、結(jié)束語(yǔ)

一直以來(lái)數(shù)學(xué)歸納法都是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的重中之重，不過(guò)在應(yīng)試教育的壓迫下，數(shù)學(xué)歸納法雖然得到重視，但是學(xué)生的自我思考能力也逐漸的被磨滅，所以隨著我國(guó)新課改進(jìn)程的逐漸推進(jìn)，素質(zhì)教育更多的是強(qiáng)調(diào)通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法來(lái)樹立學(xué)生的思維邏輯，而不是讓他們更多去應(yīng)付考試，本文覺(jué)得這才是數(shù)學(xué)歸納法存在的意義與價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

第5篇：數(shù)學(xué)歸納法范文

隨著近幾年考試命題對(duì)于考查學(xué)生的探索和歸納問(wèn)題的能力的側(cè)重，很多的考試題目開始廣泛出現(xiàn)了利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行不等式證明的應(yīng)用.所謂數(shù)學(xué)歸納法，是用來(lái)證明和自然數(shù)有關(guān)系的命題的一種特殊技巧和方法，主要用來(lái)探討與正整數(shù)有關(guān)的一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題，在高考試題和數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題中應(yīng)用非常頻繁和廣泛.數(shù)學(xué)歸納法的歷史非常悠久，早在1575年就出現(xiàn)了數(shù)學(xué)家巧妙地利用遞推關(guān)系證明出了前n個(gè)奇數(shù)的總和為n2，以此成功地總結(jié)出了數(shù)學(xué)歸納法的證明.數(shù)學(xué)歸納法總結(jié)起來(lái)有四種，分別是第一類數(shù)學(xué)歸納法、第二類數(shù)學(xué)歸納法、倒退歸納法（反向歸納法）以及螺旋式歸納法.最常見(jiàn)并且最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明當(dāng)n隸屬于全部的正整數(shù)時(shí)一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式是否成立，主要由兩個(gè)步驟組成：進(jìn)行遞推的基礎(chǔ)條件是證明當(dāng)n為1時(shí)所要證明的數(shù)學(xué)表達(dá)式成立，進(jìn)行遞推的依據(jù)是證明假如n為正整數(shù)m時(shí)數(shù)學(xué)表達(dá)式成立，那么當(dāng)n為m+1時(shí)數(shù)學(xué)表達(dá)式同樣成立.此方法包含的原理是由第一步的遞推基礎(chǔ)證明起始數(shù)值在數(shù)學(xué)表達(dá)式中能夠成立，然后證明從一個(gè)數(shù)值到另一個(gè)數(shù)值的證明過(guò)程是有效的，那么任意一個(gè)數(shù)值的證明都可以包括在這種不斷重復(fù)的證明過(guò)程中.將這種方法類比于多米諾效應(yīng)理解起來(lái)更容易：對(duì)于一排直立著的很長(zhǎng)的多米諾骨牌，如果可以確定第一張牌將會(huì)倒下，只要是某一個(gè)牌倒下了，與它相鄰的下一個(gè)牌也會(huì)倒下，那么就可以以此確定出相應(yīng)的遞推關(guān)系來(lái)推斷所有的多米諾骨牌都會(huì)倒下.

二、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式之應(yīng)用

1.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法

利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明不等式的方法可以分為兩個(gè)步驟：第一步是驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)初始數(shù)值n0時(shí)所要證明的不等式成立，第二步是對(duì)于任意的正整數(shù)k，假設(shè)當(dāng)n的值等于k時(shí)不等式能夠成立，以此來(lái)證明當(dāng)n為k+1時(shí)所要證明的不等式是否成立.如果第一步和第二步都能夠順利證明完成，那么可以得出結(jié)論，即對(duì)于所有大于或等于n0的正整數(shù)n不等式成立.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明不等式的方法中的這兩個(gè)步驟體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的遞推思想，對(duì)于證明格式要求比較嚴(yán)格，第一個(gè)步驟是遞推思想應(yīng)用的基礎(chǔ)，第二個(gè)步驟是遞推思想應(yīng)用的依據(jù).而且第二個(gè)步驟的變形是不等式證明的關(guān)鍵點(diǎn)，需要運(yùn)用假設(shè)方法來(lái)作為遞推證明的基礎(chǔ).利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式涉及的主要知識(shí)點(diǎn)有整除、恒等式、不等式和與幾何教學(xué)相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容.數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明不等式的難點(diǎn)重點(diǎn)在于由n等于k時(shí)不等式成立來(lái)推出n等于k+1時(shí)不等式同樣成立這一步驟.為了順利完成這一步的推斷，不僅僅要合理使用假設(shè)和歸納的方法，還要靈活地使用所給問(wèn)題的其他相關(guān)條件和知識(shí)，證明時(shí)先比較n=k和n=k+1這兩個(gè)等式間的共同點(diǎn)和差異，然后決定后者做哪一種變形，再利用分析、放縮、比較、綜合的方法和不等式的傳遞性質(zhì)來(lái)完成證明.

2.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例析

數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式方面的應(yīng)用非常廣泛，利用它來(lái)證明不等式使用起來(lái)簡(jiǎn)單容易.在利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，應(yīng)該比較當(dāng)n=k和n=k+1時(shí)所得出的兩個(gè)不等式之間的形式差異，然后決定后者做什么樣的變形能符合條件.一般來(lái)說(shuō)有如下幾個(gè)解題方法和策略，首先是要學(xué)會(huì)活用起始點(diǎn)的位置，這樣可以適當(dāng)增加起點(diǎn)或者將起點(diǎn)位置前移，這樣可以補(bǔ)充不等式的一些特殊情形，容易驗(yàn)證；其次可以根據(jù)不等式的遞推目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治龊头趴s，或者引入一些合理的不等式用來(lái)過(guò)渡，將所要證明內(nèi)容進(jìn)行平穩(wěn)過(guò)渡，為目標(biāo)不等式的證明架橋鋪路.

例如，起點(diǎn)增加和前移的應(yīng)用：證明對(duì)于一切正整數(shù)n，都有2n+2>n2成立.

①當(dāng)n為1時(shí)，不等式兩邊顯然成立；

②假設(shè)對(duì)于正整數(shù)k，不等式也成立，即2k+2>k2，那么就需要證明不等式對(duì)于n=k+1也是成立的，即證明2k+1+2>（k+1）2.

因2k+1+2=2×2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

第6篇：數(shù)學(xué)歸納法范文

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)歸納法;輔助函數(shù);等式證明

在本文中通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法基本形式理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步論述了在解決很多和自然數(shù)函數(shù)有關(guān)的整式、不等式、整除和幾何等問(wèn)題時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。當(dāng)然數(shù)學(xué)歸納法，在很多時(shí)候也會(huì)使解題變的復(fù)雜繁瑣，因此我們要理解其實(shí)質(zhì)，真正掌握正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的能力。

等式證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)。隨著新課程改革的逐步推進(jìn)，高考對(duì)等式證明能力的考查方面也提出了更新更高的要求。用數(shù)學(xué)歸納證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)等式時(shí)，大多數(shù)學(xué)生在從假設(shè)時(shí)命題成立出發(fā)，證明當(dāng)時(shí)命題也成立的推理證明過(guò)程中無(wú)從下手，感到很茫然，這其中最主要的原因是他們找不到證明目標(biāo)。筆者結(jié)合多年的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，針對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的難點(diǎn)，分析其突破方法，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)思想可使這一問(wèn)題迎刃而解。下面將結(jié)合具體例子談?wù)勅绾谓柚瘮?shù)來(lái)構(gòu)造證明目標(biāo)，從而降低數(shù)學(xué)歸納法中這一步的證明難度。

例1：已知n∈N+，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

■+■+■+…+■■=.

分析：首先構(gòu)造輔助函數(shù)

f（n）=■+■+■+…+■

假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即f（k）=■，然后確定證明目標(biāo)f（k+1）=■;其次，尋找f（k+1）與f（k）的關(guān)系。這樣一來(lái)，證明思路非常清晰明了，同學(xué)們也感覺(jué)不到茫然了。

證明：令f（n）=■+■+■+…+■，則

1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊■=■，右邊■=■，左邊=右邊，等式成立;

2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)等式成立，即f（k）=■。當(dāng)n=k+1時(shí) f（k+1）=f（k）+■

=■+■+…+■+■

=■

綜上，等式對(duì)于一切正整數(shù)n都成立。

例2：已知n∈N+，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

1-■+■-■+■-■+…+■-■=■+■+…+■.

分析：首先構(gòu)造輔助函數(shù)

f（n）=1-■+■-■+■-■+…+■-■

假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)等式成立，即f（k）=■+■+…+■，然后確定證明目標(biāo)f（k+1）=■+■+…+■;其次，尋找f（k+1）與f（k）的關(guān)系。

證明：令f（n）=1-■+■-■+■-■+…+■-■，則

1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊■-■=■，右邊=■+■+…+■=■=■，左邊=右邊，即等式成立;

2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，等式成立，即f（k）=■+■+…+■，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有

f（k+1）=f（k）+■-■

=■+■+…+■+■-■

=■+■+…+■

=■+■+…+■

綜上，等式對(duì)于一切正整數(shù)n都成立。

第7篇：數(shù)學(xué)歸納法范文

        歸納的內(nèi)容包括以下幾種：

        一、歸納知識(shí)

        尤其是數(shù)學(xué)知識(shí)前后聯(lián)系緊密，且知識(shí)呈現(xiàn)一種上升趨勢(shì)，若能歸納好，有關(guān)知識(shí)就能熟練應(yīng)用。例如：函數(shù)內(nèi)容，八年級(jí)內(nèi)容中，先講函數(shù)定義，然后學(xué)習(xí)正比例函數(shù)，一次函數(shù)，進(jìn)而研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，點(diǎn)坐標(biāo)與解析式的關(guān)系，確定解析式的方法，為九年級(jí)學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)，二次函數(shù)提供了研究的方法。

        二、歸納解題方法

        解題方法雖然很多，但總有一些常用方法，例如：證明“線段相等”是很常見(jiàn)的題型，常見(jiàn)方法有：中點(diǎn)定義，等量代換，等量加減，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，等角對(duì)等邊，軸對(duì)稱性質(zhì)，中心對(duì)稱性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)邊相等，矩形對(duì)角線相等，等腰梯形對(duì)角線相等，角平分線性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)等，然后總結(jié)常見(jiàn)方法有：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，平行四邊形對(duì)邊相等，矩形對(duì)角線相等，等角對(duì)等邊，線段垂直平分線性質(zhì)等，這樣做題中就會(huì)比較容易確定解題方法。

        三、歸納幾何內(nèi)容分析問(wèn)題的方法

        數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，分析問(wèn)題最關(guān)鍵，綜合法最常用，另外還有根據(jù)經(jīng)驗(yàn)猜測(cè)法，例如：“五角星形狀圖形五個(gè)內(nèi)角之和是180度”，則從三角形內(nèi)角和是180度考慮，把五個(gè)內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為某一個(gè)三角形的內(nèi)角和。

        四、歸納易錯(cuò)易混知識(shí)及考點(diǎn)

        學(xué)生對(duì)于知識(shí)的掌握局限于當(dāng)堂學(xué)會(huì)，對(duì)于作業(yè)中出錯(cuò)的問(wèn)題不重視，以致于在考試中錯(cuò)誤的問(wèn)題仍得不到修正，所以應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會(huì)歸納易錯(cuò)題型及知識(shí)點(diǎn)。例如在學(xué)習(xí)一元一次方程解法中，對(duì)于每一步需要注意的問(wèn)題都要進(jìn)行歸納，對(duì)于去分母這一步要注意每一項(xiàng)都乘以公分母，一定不要漏項(xiàng)，尤其是無(wú)分母項(xiàng)一定不要漏乘；另外分子要當(dāng)做一個(gè)整體來(lái)對(duì)待，必要時(shí)要對(duì)分子加括號(hào)，尤其分子是一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)要加括號(hào)，對(duì)于去括號(hào)這一步要注意符號(hào)問(wèn)題，如果括號(hào)前是負(fù)號(hào)一定要各項(xiàng)都改變符號(hào)，不要漏掉后面的項(xiàng)，對(duì)于移項(xiàng)這一步要注意，以等號(hào)為界限，從等號(hào)一邊移到另一邊才需要變號(hào)，只在等號(hào)一邊交換位置而不過(guò)等號(hào)，一定不要變號(hào)，合并同類項(xiàng)這一步要注意系數(shù)相加減中的減法，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，一定要按這個(gè)要求做，系數(shù)化為一這一步要注意在結(jié)果中系數(shù)做的是分母，還要注意符號(hào)問(wèn)題一定不要掉符號(hào)。

        每章節(jié)的考點(diǎn)題型也必需要?dú)w納，例如：分式這一章考點(diǎn)有分式的性質(zhì)，分式有意義的條件，分式的值為零的條件，分式的加減乘除混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值等考點(diǎn)，另外分式的化簡(jiǎn)求值是中考必考題型。

第8篇：數(shù)學(xué)歸納法范文

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)科；小結(jié)歸納；方法；探究

一、數(shù)學(xué)課堂小結(jié)教學(xué)的重要地位及作用分析

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)從感知數(shù)學(xué)到積累數(shù)學(xué)知識(shí)、從積累數(shù)學(xué)知識(shí)到理解數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）在高中數(shù)學(xué)教學(xué)“知識(shí)和能力部分”中明確規(guī)定：學(xué)生應(yīng)在“了解一定的歸納、分析的方法的基礎(chǔ)上，具備得出數(shù)學(xué)結(jié)論的能力”；在“過(guò)程與方法部分”也提出學(xué)生應(yīng)掌握對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行初步的歸納、比較和概括的方法。換而言之，就是要求學(xué)生具備根據(jù)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)的能力?？傊?，“小結(jié)”是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不可缺少的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，學(xué)好數(shù)學(xué)的一條捷徑，也是為以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的奠基的良方。它是整節(jié)教學(xué)內(nèi)容的精華所在，是對(duì)教學(xué)總體思路最集中、明確、深刻的綜述，是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的高度概括總結(jié)！所以，作為一名數(shù)學(xué)老師，努力指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)不僅是為了順利完成課標(biāo)所規(guī)定的教學(xué)任務(wù)，而且也為了適應(yīng)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)改革的發(fā)展趨勢(shì)。指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容多、任務(wù)重的情況下培養(yǎng)學(xué)生能力，提高教學(xué)效率的有效途徑。

二、數(shù)學(xué)課堂小結(jié)教學(xué)的方法探究

1、情景導(dǎo)入，明確目標(biāo)

巧妙新課導(dǎo)入，既能激起學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性又可以活躍學(xué)生思維；成功的新課導(dǎo)入能有效地把學(xué)生引到將要探究學(xué)習(xí)的新課上來(lái)。設(shè)計(jì)時(shí)要根據(jù)學(xué)生心理特點(diǎn)和需要，緊扣教學(xué)的中心，找準(zhǔn)教學(xué)的切入點(diǎn)，力求做到簡(jiǎn)明、實(shí)用、巧妙、生動(dòng)，力求使學(xué)生形成認(rèn)知沖突，才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)其自然進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。

情景導(dǎo)入新課后要立即明確目標(biāo)，通過(guò)目標(biāo)定向喚起學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望，明白本節(jié)課學(xué)什么，怎么學(xué)，達(dá)到怎樣的學(xué)習(xí)效果。這樣讓學(xué)生在進(jìn)行課后總結(jié)的時(shí)候才能夠達(dá)到心中有數(shù)，知道本節(jié)課內(nèi)容的重難點(diǎn)在何處，才能夠重點(diǎn)回顧。

2、提出問(wèn)題，猜想設(shè)計(jì)

本環(huán)節(jié)既提出問(wèn)題，進(jìn)行猜想，啟發(fā)引導(dǎo)，設(shè)計(jì)方案。本環(huán)節(jié)是科學(xué)探究必不可少的重要步驟，提出問(wèn)題，才能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，促使其在課后進(jìn)行思考，對(duì)前面所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)和回顧，形成知識(shí)小結(jié)的內(nèi)在動(dòng)力。而猜想等的設(shè)計(jì)，則是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理論驗(yàn)證的重要手段，也是幫助學(xué)生全面總結(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容的重要手段。

3、分組實(shí)驗(yàn)，合作探究

在學(xué)生設(shè)計(jì)檢驗(yàn)與自己假設(shè)有關(guān)的觀察、實(shí)驗(yàn)方案的基礎(chǔ)上，一定要學(xué)生自己動(dòng)手，觀察實(shí)驗(yàn)，親歷探究。實(shí)驗(yàn)探究需要小組合作完成，教師要合理分組，在小組長(zhǎng)的組織下，小組內(nèi)學(xué)生合理分工合作，然后根據(jù)學(xué)案和教師提示的過(guò)程、方法和步驟，注意觀察并記錄實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和有關(guān)數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上，完成學(xué)案中的有關(guān)問(wèn)題或表格，并根據(jù)現(xiàn)象分析實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，總結(jié)歸納得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

4、交流展示，歸納規(guī)律

教師要引導(dǎo)學(xué)生從有關(guān)的探究中收集并整理獲取的信息；引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從觀察實(shí)驗(yàn)中獲得的信息去思考、分析、歸納、概括，從而得出結(jié)論。以小組為單位交流學(xué)習(xí)討論、合作實(shí)驗(yàn)、合作探究，每個(gè)同學(xué)在學(xué)習(xí)小組內(nèi)提出實(shí)驗(yàn)中遇到的問(wèn)題和得出的結(jié)論，組長(zhǎng)具體組織，通過(guò)討論交流，實(shí)現(xiàn)“兵教兵”，最大限度地解決本組同學(xué)在自學(xué)、實(shí)驗(yàn)中遇到的問(wèn)題或困惑；各組匯報(bào)本組自學(xué)情況，提出本組不能解決的問(wèn)題。教師引導(dǎo)全班各組之間的交流。培養(yǎng)學(xué)生敢想、敢說(shuō)創(chuàng)新精神和科學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力

5、應(yīng)用訓(xùn)練，總結(jié)反思

在自主、合作、探究，歸納知識(shí)規(guī)律的基礎(chǔ)上，進(jìn)行系列訓(xùn)練拓展應(yīng)用，鞏固學(xué)習(xí)效果，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系生活生產(chǎn)實(shí)際能力，提高綜合能力。根據(jù)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)聯(lián)系生活實(shí)際有針對(duì)性的設(shè)計(jì)當(dāng)堂系列訓(xùn)練題和當(dāng)堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練題。引導(dǎo)學(xué)生用自己獲得的結(jié)論解釋生產(chǎn)或生活中的實(shí)際問(wèn)題探究。這一環(huán)節(jié)教師的反饋矯正要貫穿始終，尤其關(guān)注學(xué)困生，加強(qiáng)對(duì)學(xué)困生的輔導(dǎo)。總結(jié)反思是全班學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)情況的一個(gè)總結(jié)，可以讓學(xué)生自我小結(jié)，也可師生一齊總結(jié)。

6、我們又該怎樣選擇課堂小結(jié)的方式和怎樣培訓(xùn)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)呢？

課堂小結(jié)的方式主要有以下四種：歸納式、提問(wèn)式、圖表式、懸疑引申式。

第一，為強(qiáng)化學(xué)生了解和掌握基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力，可采用歸納式課堂小結(jié)。簡(jiǎn)要故事型小結(jié)就是教師要根據(jù)板書把本課所講的主要內(nèi)容設(shè)計(jì)成一個(gè)包含時(shí)間、地點(diǎn)、人物和故事情節(jié)等要素在內(nèi)簡(jiǎn)要?dú)v史故事。教師舉例后，要求學(xué)生予以模仿練習(xí)，最終學(xué)生要自己學(xué)會(huì)講述同一類的“故事”。通過(guò)這種故事型小結(jié)，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生回想新學(xué)的知識(shí)，以達(dá)到當(dāng)堂鞏固的目的，而且也使得學(xué)生更加準(zhǔn)確、清晰、系統(tǒng)地掌握所學(xué)到的新知識(shí)。

第二，為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探究數(shù)學(xué)的熱情，可采用懸疑式，換句話就是設(shè)問(wèn)式的課堂小結(jié)。所謂探究型小結(jié)就是課堂小結(jié)教學(xué)一定要照顧到各個(gè)知識(shí)之間的前后連接。前后連接就是要把以前學(xué)到的老知識(shí)與剛新學(xué)到的知識(shí)相連接。所以，在小結(jié)最后要為下一新課埋下伏筆，為以后講授的新知識(shí)內(nèi)容提前創(chuàng)造教學(xué)氛圍和意境。

無(wú)論是使用哪種方式的課堂小結(jié)，教師都要注意課堂反映，以便及時(shí)了解學(xué)生學(xué)習(xí)掌握的程度。在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生才是認(rèn)識(shí)的主體，所以說(shuō)教學(xué)的最終目標(biāo)在“學(xué)”，而不在“教”。

三、培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)的好處

指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)，可以達(dá)到使學(xué)生既掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又提高學(xué)科能力的目的。首先，學(xué)生在進(jìn)行課堂小結(jié)時(shí)，要事先仔細(xì)地閱讀教材。這樣就可以弄明白每一個(gè)單元甚至每一課的教學(xué)內(nèi)容包括哪些大方面――每個(gè)大方面又包括哪些小方面――每個(gè)小方面又含有哪些知識(shí)點(diǎn)――這些知識(shí)點(diǎn)之間又有什么樣的聯(lián)系。這樣就可以幫助學(xué)生真正理解各個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系，把知識(shí)點(diǎn)在腦海中串聯(lián)起來(lái)，進(jìn)而就加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和對(duì)全部教學(xué)內(nèi)容的掌握。其次，這一過(guò)程也促進(jìn)了學(xué)生思維能力的發(fā)展。因?yàn)閷W(xué)生要進(jìn)行課堂小結(jié)，就必須對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行分析歸納和總結(jié)，使教材內(nèi)容顯得要點(diǎn)化、條理化，并且將有關(guān)聯(lián)的地方進(jìn)行組合和總結(jié)排序。

四、小結(jié)

同課堂教學(xué)中的其他環(huán)節(jié)一樣，課堂小結(jié)也是課堂教學(xué)中提高教學(xué)效率的重要組成部分之一，是學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)！在教學(xué)過(guò)程中，課堂小結(jié)不僅能夠再一次強(qiáng)化學(xué)生當(dāng)堂所學(xué)知識(shí)、幫助學(xué)生強(qiáng)化學(xué)習(xí)能力、理清知識(shí)脈絡(luò)、總結(jié)學(xué)習(xí)方法，而且通過(guò)給學(xué)生留下思考和探究的空間可以激發(fā)學(xué)生課后閱讀和學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)而達(dá)到課雖盡而學(xué)意無(wú)盡邊之效果。課堂的小結(jié)，是連接新知識(shí)和舊知識(shí)的紐帶，是貫通前后知識(shí)點(diǎn)的橋梁，是鞏固課堂教學(xué)內(nèi)容的絕佳機(jī)會(huì)，是學(xué)生將課內(nèi)知識(shí)運(yùn)用到課外的一個(gè)關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)。如果學(xué)生的小結(jié)能力得到提高，學(xué)生就可以學(xué)到真正的知識(shí)和能力，就能夠在今后的學(xué)習(xí)中受益匪淺！

參考文獻(xiàn)：

[1] 黃兆明，游世成.課堂結(jié)尾藝術(shù)[M].北京：中國(guó)林業(yè)出版社，2003，9.

[2] 張麗晨.高中數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)[J].北京：中國(guó)林業(yè)出版社，2004.3.

第9篇：數(shù)學(xué)歸納法范文

一、數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)歸納法是一種不同于其他數(shù)學(xué)方法的、偏向于推理和證明的方法．歸納法是連接無(wú)限與有限的一座橋梁，是數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中里程碑式進(jìn)展．在面對(duì)一些看似復(fù)雜的題目時(shí)，使用數(shù)學(xué)歸納法或許可以簡(jiǎn)化解題步驟，這更易于學(xué)生的理解記憶．與此同時(shí)，歸納法的根本價(jià)值在于它能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維方式．在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，它要求學(xué)生通過(guò)細(xì)致觀察、認(rèn)真地思考以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评砣グl(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律或原理．在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中不僅學(xué)生的觀察能力會(huì)得到充分的鍛煉，分析能力和推理也能有所改善．這些潛移默化的改變不僅能夠逐漸提高學(xué)生的抽象思維能力，還能使學(xué)生領(lǐng)悟歸納法中所蘊(yùn)含的思想，并能靈活的運(yùn)用到其他學(xué)科中．

二、數(shù)學(xué)歸納法在教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法注重鍛煉邏輯和推理，因此它的思維步驟非常明確．它的第一步能夠奠定全局的基礎(chǔ)，是進(jìn)行推理、證明的重要部分，需要保證當(dāng)前命題的準(zhǔn)確性與真實(shí)性．通過(guò)對(duì)當(dāng)前命題的觀察、分類后，才能進(jìn)行下一步．第二步著重點(diǎn)在于推理．需要保證命題的延續(xù)性，即這一命題能夠隨著參數(shù)的改變能夠進(jìn)行無(wú)限的延伸．這兩個(gè)步驟相互制約、缺一不可．而關(guān)于如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，本文通過(guò)教學(xué)實(shí)例進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明．

三、數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)困難及應(yīng)對(duì)措施

歸納法由于其本身的抽象性質(zhì)，在教學(xué)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)各種意向不到的問(wèn)題．其中，可能會(huì)因?yàn)閷W(xué)生無(wú)法真正理解歸納思想，進(jìn)而導(dǎo)致不能靈活運(yùn)用歸納法．這一問(wèn)題成為了教學(xué)過(guò)程中的最大障礙．在教學(xué)的過(guò)程中，由于歸納法連接了有限和無(wú)限兩個(gè)概念，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)了理解上的偏差與困難．在對(duì)有限的概念進(jìn)行證明時(shí)，較為簡(jiǎn)單．直接將數(shù)字帶入題中，即可得出清晰明的結(jié)果．但在假設(shè)進(jìn)行無(wú)限證明時(shí)，學(xué)生也許很難理解為何要進(jìn)行這一步，也無(wú)法理解這樣的證明與其他過(guò)程的聯(lián)系在哪里．而最后一步的證明對(duì)學(xué)生的抽象思維理解能力要求更高．當(dāng)學(xué)生無(wú)法真正領(lǐng)會(huì)歸納的思想時(shí)，則難以隨著題目的改變而做出靈活的應(yīng)變，更加難以看到題目的實(shí)質(zhì)，找出題目與歸納法的關(guān)系．在遇到這種問(wèn)題時(shí)，老師如果在講解過(guò)程中無(wú)法表述的更具體，可以建立具體的模型或者動(dòng)畫演示．比如，“多骨諾牌效應(yīng)”這一數(shù)學(xué)模型．通過(guò)演示，向?qū)W生展示歸納中的遞推關(guān)系，讓同學(xué)們了解歸納法的實(shí)質(zhì)，從而真正領(lǐng)悟歸納思想，能夠?qū)?shù)學(xué)歸納法靈活的運(yùn)用在各類題目中．

四、結(jié)語(yǔ)