數(shù)學歸納法精選(九篇)

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第1篇：數(shù)學歸納法范文

(1) 證明當n取第一個值n0時,命題成立;

(2) 假設當n=k (k∈N*, k≥n0)時,命題成立,證明當n=k+1時命題也成立;

(3) 根據(jù)(1)、 (2),當n≥n0且n∈N*時,命題成立.

我們在應用過程中要注意以下幾點.

一、 要注意步驟(1)的完整性

例1 證明：1+12+122+…+12n≤12+n (n∈N*).

錯解

步驟(1)：當n=1時,左邊=右邊=32,不等式成立.

剖析

步驟(1)是不完整的,它只是說明了“=”成立的情形,沒有說明“＜”成立的情形.

正解

步驟(1)：當n=1時,左邊=右邊=32;當n=2時,左邊=74＜右邊=52,不等式成立.

二、 要注意步驟(2)中假設n=k時命題成立后,下一個n的取值有可能不是k+1

例2 n為奇數(shù)時,求證：xn+yn能被x+y整除.

錯解

步驟(2)：假設n=k時命題成立,進而求證n=k+1時命題成立.

剖析

錯誤原因在于形成了思維定勢,沒有看清楚題設條件.

正解

步驟(2)：假設n=k命題成立時,進而求證n=k+2時命題成立.

當n=k+2時,xk+2+yk+2=x2(xk+yk)-x2yk+yk+2=x2(xk+yk)-yk(x2-y2),又因為當n=k時命題成立,即xk+yk能被x+y整除,同時x2-y2也能被x+y整除,故當n=k+2時,xk+2+yk+2能被x+y整除.

三、 要注意步驟(2)中n=k與n=k+1時結(jié)論的差異與聯(lián)系

例3 求證：1n+1+1n+2+…+13n+1＞1.

錯解

(2)假設n=k時命題成立,即1k+1+1k+2+…+13k+1＞1,則當n=k+1時,1k+2+1k+3+…+13k+1+13(k+1)+1＞1+13(k+1)＞1,不等式也成立.

剖析

上述證明中,對于從k到k+1的跨度,只加了一項,是錯誤的.因為分母是相臨的自然數(shù),故應加上三項13k+2+13(k+1)+13(k+1)+1.

正解

(2)假設n=k時命題成立,即1k+1+1k+2+…+13k+1＞1,則當n=k+1時,1k+2+1k+3+…+13k+1+13k+2+13(k+1)+13(k+1)+1=1k+2+1k+3+…+13k+1+13k+2+13(k+1)+13(k+1)+1-1k+1＞1+13k+2+13k+4-23(k+1)=1+6k+69k2+18k+8-6(k+1)32(k+1)2=1+6k+69k2+18k+8-6(k+1)9k2+18k+9＞1,不等式也成立.

四、 要注意步驟(2)中必須應用歸納假設

例4 已知數(shù)列8×112×32, 8×232×52, 8×352×72, …, 8n(2n-1)2(2n+1)2, …,其前n項和為Sn,計算得S1=89, S2=2425, S3=4849, S4=8081,試推測出Sn的公式,并用數(shù)學歸納法證明.

錯解

由已知猜測Sn=(2n+1)2-1(2n+1)2 (n∈N*).

步驟(2)：因為an=8n(2n-1)2(2n+1)2=1(2n-1)2-1(2n+1)2,所以Sk+1=1-132+133-152+…+1(2k+1)2-1(2k+3)2=1-1(2k+3)2=(2k+3)2-1(2k+3)2.

剖析

雖然這樣也說明了當n=k+1時,等式成立,但這種方法已經(jīng)不是數(shù)學歸納法了,因為在其過程中沒有應用歸納假設.

正解

步驟(2)：Sk+1=1-132+133-152+…+1(2k+1)2-1(2k+3)2=(2k+1)2-1(2k+1)2+1(2k+1)2-1(2k+3)2=(2k+3)2-1(2k+3)2.

運用數(shù)學歸納法證題時,以上三個步驟缺一不可.步驟(1)是正確的奠基步驟,稱之為歸納基礎;步驟(2)反映了無限遞推關系,即命題的正確性具有傳遞性.若只有步驟(1)而無步驟(2),則只是證明了命題在特殊情況下的正確性,是不完全歸納法;若只有步驟(2)而無步驟(1),那么假設當n=k (k∈N*, k≥n0)時命題成立,就是沒有根據(jù)的,缺少了遞推的基礎,也無法進行遞推.

第2篇：數(shù)學歸納法范文

關鍵詞： 數(shù)學歸納法 證明探索性問題 證明等式與不等式

數(shù)學歸納法是一種數(shù)學證明方法,典型地用于確定一個表達式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的，或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。這個方法的原理在于第一步證明起始值在表達式中是成立的,然后證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了,那么任何一個值的證明都可以被包含在重復不斷進行的過程中。

最早使用數(shù)學歸納法的證明出現(xiàn)于Francesco maurolico的Arithmeticorum libriduo。Maurolico證明了前n個奇數(shù)的總和是n,由此揭開了數(shù)學歸納法之謎。

常見的數(shù)學歸納法主要有以下幾種：

（一）第一數(shù)學歸納法

（二）第二數(shù)學歸納法

（三）倒推歸納法

（四）螺旋式歸納法

其中,在中學最常見和簡單的數(shù)學歸納法證明方法是第一種,證明當n屬于所有自然數(shù)時一個表達式成立，或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的,應用廣泛。在最近幾年的高考試卷中尤其明顯。下面我們就通過幾道例題來具體看一下。

一、用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的探索性問題

1.探索函數(shù)解析式

例1：已知y=f（x）滿足f（n-1）=f（n）-lga（n≥2，n∈N）且f（1）=-lga，是否存在實數(shù)α、β，使f（n）=（αn+βn-1）lga對任何n∈N都成立，證明你的結(jié)論.

解：f（n）=f（n-1）+lga，令n=2，則f（2）=f（1）+f（a）=-lga+lga=0.

又f（1）=-lga，

α+β=02β+4α=1，α=β=-.

f（n）=（n-n-1）lga.

用歸納法證明：

（1）當n=2時，顯然成立.

（2）假設n=k時成立，即f（k）=（k-k-1）lga，

則n=k+1時，

f（k+1）=f（k）+lga=f（k）+klga

=（k-k-1+k）lga

=［（k+1）-（k+1）-1］lga

當n=k+1時，等式成立.

綜合（1）（2）可知，存在實數(shù)α、β且α=，β=-，使f（n）=（αn+βn-1）lga對任意n都成立.

評析：該題是探索性問題．它通過觀察歸納猜想證明這一完整的步驟去探索和發(fā)現(xiàn)問題，并證明所得出的結(jié)論是正確性的,這是非常重要的一種思維能力．

2.探索數(shù)列的通項公式

例2：設正整數(shù)數(shù)列{a}滿足：a=4，且對于任何n∈N，有

2+＜＜2+.

（Ⅰ）求a，a；

（Ⅱ）求數(shù)列{a}的通項a.

解：（Ⅰ）由已知不等式得：

2+＜n（n+1）（+）＜2+①

當n=1時，由①得：

2+＜2（+）＜2+,

即2+＜+＜2+,

解得＜a＜．

a為正整數(shù)，a=1.

當n=2時，由①得：

2+＜6（+）＜2+，

解得8＜a＜10．

a為正整數(shù)，a=9．

a=1，a=9．

（Ⅱ）由a=1，a=4，a=9，猜想：a=n．

下面用數(shù)學歸納法證明：

（1）當n=1，2時，由（1）知a=n均成立；

（2）假設n=k（k≥2）成立,則a=k,則n=k+1時,

由①得：

2+＜k（k+1）（+）＜2+?圯＜a＜?圯（k+1）-＜a＜（k+1）+.

k≥2時，（k-k+1）-（k+1）=k（k-2）≥0，

∈（0，1］.

k-1≥1,∈（0，1］.

又a∈N，（k+1）≤a≤（k+1）．

故a=（k+1），即當n=k+1時，a=n成立．

綜上，由（1），（2）知，對任意n∈N，a=n．

評析：本題是探索型題，“先猜想、后證明”，對學生的思維能力有較高要求；運用數(shù)學歸納法的關鍵是“由當n=k時成立，如何過渡與轉(zhuǎn)換為當n=k+1時也成立.”運用數(shù)學歸納法證明，形成“觀察―歸納―猜想―證明”的思維模式是解決本題的關鍵。

二、用數(shù)學歸納法證明不等式

例3：已知函數(shù)f（x）=x-sinx,數(shù)列{a}滿足：0＜a＜1，a=f（a），n=1,2,3,….

證明：0＜a＜a＜1.

證明：用數(shù)學歸納法證明：

0＜a＜1,n=1,2,3,….

①當n=1時，0＜a＜1，當n=1時，0＜a＜1；

②假設當n=k（k≥1）時，結(jié)論成立，即0＜a＜1.

當0＜x＜1時，f′（x）=1-cosx＞0，f（x）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增.

f（x）在［0,1］上連續(xù)，f（0）＜f（a）＜f（1），即0＜a＜1-sin1＜1.

當n=k+1時，結(jié)論成立.

由①、②可得，0＜a＜1對一切正整數(shù)都成立.

又0＜a＜1，a=a-sina＜a，0＜a＜a＜1.

證明不等式的題型多種多樣，所以不等式證明是一個難點，數(shù)學歸納法是證明和正整數(shù)相關的不等式的最有效方法，其證明的關鍵是如何實現(xiàn)從n=k時原不等式成立到n=k+1時原不等式成立的過渡。

三、用數(shù)學歸納法證明恒等式問題

對于證明恒等的問題，在證等式成立時，應及時把結(jié)論和推導過程對比，也就是我們通常所說的兩邊湊的方法，以降低計算的復雜度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的等式，使問題的證明有目的性．

例4：是否存在常數(shù)a,b,c，使得等式1×2+2×3+…+n×（n+1）=（an+bn+c）對一切自然數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論．

解：假設存在a,b,c，使得題設的等式成立，則當n=1,2,3時也成立，代入得：

4=（a+b+c）22=（4a+2b+c）70=9a+3b+c

解得：a=3,b=11,c=10，于是對n=1,2,3，下面等式成立：

1×2+2×3+…+n（n+1）=（3n+11n+10）

令S=1×2+2×3+…+n（n+1）

假設n=k時上式成立，即S=（3k+11k+10）

那么S=S+（k+1）（k+2）

=（3k+11k+10）+（k+1）（k+2）

=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）

=（3k+5k+12k+10）

=［3（k+1）+11（k+1）+10］

這就是說，等式當n=k+1時也成立．

綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，原等式對一切自然數(shù)n都成立.

四、證明整數(shù)的整除問題

用數(shù)學歸納法證明整除性問題,如:求證f（n）能被a整除,設f（n）是隨自然數(shù)變化的已知整式（或整數(shù)）,a是給定的整式（或整數(shù)）.由假設n=k時命題成立,來推證n=k+1時命題也成立,是最關鍵的一步,也是最難證明的一步.

例5：求證：5個連續(xù)自然數(shù)的積能被120整除.

證明：

（1）當n=1時1×2×3×4×5=120，能被120整除，原命題成立.

（2）假設當n=k時原命題成立，則當n=k+1時，

（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）

=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）

因為k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍數(shù)，只需證5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍數(shù)，即證（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍數(shù).

四個數(shù)中兩奇兩偶，一定有4的倍數(shù)，3的倍數(shù)，還有另一個偶數(shù)，所以一定能被4×2×3=24整除.

即當n=k+1時原命題成立.

綜合（1）、（2）原命題對任何自然數(shù)成立.

總之，在證明題中，數(shù)學歸納法有兩個關鍵點需要牢記：

（1）證明當n為某一個值時，結(jié)論成立;

（2）假定n=k時成立，證明n=k+1時，結(jié)論也成立.

參考文獻：

［1］普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［M］.北京:人民教育出版社,選修2.

［2］華羅庚.數(shù)學歸納法［M］.北京：科學出版社,2002：12-15.

［3］趙小云,蔣亦東.數(shù)學歸納法及其應用［J］.數(shù)學通訊，2000，10.

［4］任志鴻.考試高手，3年高考2年模擬.南方出版社.

［5］吳文堯.用數(shù)學歸納法證明不等式的若干技巧和方法［J］.中學數(shù)學月刊，2004,4.

第3篇：數(shù)學歸納法范文

（1）數(shù)學歸納法常用于三角恒等式，組合恒等式的證明之中。

例1、用數(shù)學歸納法證明：

■

分析： 理解等式的特點，在等式左邊當n取一個值時，對應兩項■即在等式右邊當n取一值時對應一項，無論n取何值應保證等式左邊有2n項，而等式右邊有n項，然后再按數(shù)學歸納法的步驟要求給出證明。

證明：①當n=1時，■等式成立

②假設n=k時等式成立，即

■

則當n=k+1時，

■

■

由①②知等式對任意■都成立。

例2、用數(shù)學歸納法證明n∈N+時,

(2cosx－1)(2cos2x－1)…(2cos2n-1?x－1)=■

證明：①當n=1時,左式=2cosx－1,

右式=■=2cosx－1,

即左式=右式,等式成立.

②假設當n=k時等式成立,即

(2cosx－1)( 2cos2x－1)…2cos2k -1?x－1)= ■

當n=k＋1時, 左式=(2cosx－1)( 2cos2x－1)…2cos2k-1?x－1)?(2cos2k?x－1)=■?(2cos2k?x－1)=■ =■=■ n=k＋1時等式成立.

由①、②可知,對n∈N+時等式成立.

（2）數(shù)學歸納法常用于整除性問題。在此類問題證明過程中，變形、組合、分解是常用的技巧。

例3、 求證：二項式x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除

證明：①當n=1時，x2-y2=(x+y)(x-y)

能被x+y整除。

②假設n=k時，x2k-y2k能被x+y整除。

那么 n=k+1時

即 x2k+2-y2k+2=x2?x2k-x2y2k+x2?y2k- y2?y2k

=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)

x2k-y2k與x2-y2都能被x+y整除

x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除

即n=k+1時，x2k+2-y2k+2能被x+y整除

綜上①②可知，對任意的自然數(shù)n命題均成立。

說明：由假設以x2k+2為主進行拼湊，即減去x2y2k加上x2y2k，然后重新組合，目的是拼湊出n=k的歸納假設，剩余部分仍然能被x+y整除。

（3）數(shù)學歸納法常用于不等式的證明之中，證明的難點在歸納推理部分，在完成該步時常用到中學數(shù)學的各種方法技巧，如裂項相消，不等式的放縮，重要不等式的應用等

例4、 試證1+■+■+……+■>■ （n∈N+）

證明：①當n=1時，左邊=1，右邊=■，不等式成立

②假設當n=k時不等式成立，即有 1+■+■+……+■> ■

當n=k+1時， 1+■+■+……+■+■+■+……+■>■+■+■+……+■>■+■+……+■>■+■+……+■>■+■+……+■=■,當n=k+1時不等式成立。

綜上知不等式對于一切n∈N+都成立。

（4）數(shù)學歸納法常用于證明數(shù)列具有某種性質(zhì)之中。在研究數(shù)列時，先給出一個遞歸關系，進而用數(shù)學歸納法證明。

例5、 已知數(shù)列{an}滿足a1=a，an＋1=■，(1)求a2，a3，a4；(2)推測通項an的表達式，并用數(shù)學歸納法加以證明。

解：(1)由an＋1=■，可得，■，■，■(2)推測■

證明： ①當n=1時，左邊＝a1=a，右邊＝■，結(jié)論成立。

②設n=k時，有■

則當n=k＋1時，■

故當n=k＋1時，結(jié)論成立。

由①、②可知，對n∈N，都有.■

（5）數(shù)學歸納法常用于證明幾何圖形具有某種性質(zhì)之中。用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵是：由“n=k”到“n=k+1”時命題成立，應理解為由k個幾何元素又增加了一個幾何元素到k+1個，要找出增加的元素與原來k個幾何元素的關系及其引起的幾何元素的變化，找到f(k+1)與f(k)的關系。

例6、 平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點。求證：這n個圓把平面分成個■部分。

分析 用數(shù)學歸納法證明幾何問題，主要是搞清楚當n=k+1時比n=k時，分點增加了多少，區(qū)域增加了幾塊。本題中第k+1個圓被原來的k個圓分成2k條弧，而每一條弧把它所在的部分分成了兩部分，此時共增加了2k個部分，問題就容易得到解決。

證明： 用①當n=1時，一個圓把平面分成兩部分，■，命題成立。

②假設當n=k時命題成立（n∈N*），k個圓把平面分成個■部分。

當n=k+1時，這k+1個圓中的k個圓把平面分成個■部分，第k+1個圓被前k個圓分成2k條弧，每條弧把它所在部分分成了兩個部分，這時共增加了2k個部分，即k+1個圓把平面分成■個部分，即命題也成立。

由①、②可知，對任意n∈N*命題都成立。

第4篇：數(shù)學歸納法范文

【關鍵詞】數(shù)學歸納法 數(shù)學競賽 數(shù)學教育

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）32-0159-02

一、數(shù)學歸納法在數(shù)學競賽中的價值

一直以來數(shù)學歸納法都是我國中學數(shù)學教育非常重要的教學內(nèi)容，而且當學生有效的掌握數(shù)學歸納法實際上也就踏入了數(shù)學研究的門檻。數(shù)學歸納法主要有兩個核心的內(nèi)容，一個是起點驗證，而另一個是歸納推理，不過在這兩點中，歸納推理的難度相較于起點驗證來說要更難一些，這主要是因為歸納推理考驗的是學生的思維能力和邏輯能力，在一些數(shù)學競賽中經(jīng)常會設置一些需要用到數(shù)學歸納法的題型來綜合性的考驗學生的實際能力。而反之學生也可以參照數(shù)學競賽的這種設置來不斷的提升自身對數(shù)學歸納法應用的熟練度，從而在數(shù)學競賽中脫穎而出。

二、數(shù)學歸納法在數(shù)學競賽實題中的應用

數(shù)學歸納法在數(shù)學競賽中常被應用，所以以數(shù)學競賽實題來作為本文研究數(shù)學歸納法在數(shù)學競賽中的應用是最好不過的例子。

在某年的數(shù)學競賽中有一題是：設正整數(shù)n≥6，需要證明單位正方形可以剖分為n個小正方形。其實當看到這道題的時候?qū)W生首先就應該對這道題可能的考查點有一個明確的判斷，此題除了給出了n的范圍之外給出的唯一的條件就是正方形。眾所周知正方形的四條邊是具有相等的獨特性的，所以該題必然是一道考量一般規(guī)律的題，也就是說其會用到數(shù)學歸納法，所以在這個時候?qū)W生就應該從數(shù)學歸納法的角度上去看這道數(shù)學競賽題。首先以數(shù)學歸納法的第一個條件，起點驗證來確定這道題目的正確性，當n分別等于6、7、8的時候，我們發(fā)現(xiàn)一個單位正方形是可以利用田字格的方式將其劃分為四個小正方形，因此使用跳躍式數(shù)學歸納法該命題是成立的。

那么如果該題的n=k是成立的話，那么對于n=k+3也應該成立。在n=k的命題研究中我們將一個小正方形分成了四個小正方形，從而獲得了n=k+3個小正方形。

因此從數(shù)學歸納法的角度上來說，該題的題目是得到了驗證的。其實從本題的本質(zhì)上來看，這僅僅是一道簡單的跳躍式數(shù)學歸納法，但是縱觀近幾年的中學數(shù)學競賽，這種題型屢見不鮮，這也就意味著我國的數(shù)學教育正在逐步的提高數(shù)學歸納法在其中的占比，希望能夠培養(yǎng)出更多的具有專業(yè)數(shù)學素養(yǎng)，擁有良好思維能力和邏輯能力的高素質(zhì)人才。本文選擇的例子是數(shù)學競賽中比較常用的但是在難度上相對較低的數(shù)學歸納法應用題型，還有許多應用到數(shù)學歸納法的題型要比上述例題更加的復雜。譬如說設整數(shù)n≥4，證明可以將任意一個三角形剖分為n個等腰三角形。雖然乍看上去這道題的題型與上述中的例題非常相似，但是實際上由于等腰三角形具有獨特的圖形特質(zhì)，因此盡管同屬于數(shù)學歸納法應用的題型，但是在驗證上，這道題的驗證過程要比上一道題的驗證過程復雜得多。因為要想驗證這道題首先必須要驗證任意一個直角三角形是可以剖分為兩個等腰三角形的，然后還要驗證任意一個三角形是可以剖分為k個直角三角形的，其中k是≥2的，最后還要驗證一個等腰三角形可剖分為四個等腰三角形。只有先將這三個引理驗證清楚才能夠借此回歸到原題去證明當n≥4的時候，可以將任意一個三角形剖分為n個等腰三角形。這實際上就是數(shù)學歸納法的綜合性應用，它需要學生能夠考量到的多方面的因素，從而通過數(shù)學歸納法去驗證自己的想法。

三、結(jié)束語

一直以來數(shù)學歸納法都是我國數(shù)學教育的重中之重，不過在應試教育的壓迫下，數(shù)學歸納法雖然得到重視，但是學生的自我思考能力也逐漸的被磨滅，所以隨著我國新課改進程的逐漸推進，素質(zhì)教育更多的是強調(diào)通過數(shù)學歸納法來樹立學生的思維邏輯，而不是讓他們更多去應付考試，本文覺得這才是數(shù)學歸納法存在的意義與價值。

參考文獻：

第5篇：數(shù)學歸納法范文

隨著近幾年考試命題對于考查學生的探索和歸納問題的能力的側(cè)重，很多的考試題目開始廣泛出現(xiàn)了利用數(shù)學歸納法進行不等式證明的應用.所謂數(shù)學歸納法，是用來證明和自然數(shù)有關系的命題的一種特殊技巧和方法，主要用來探討與正整數(shù)有關的一系列數(shù)學問題，在高考試題和數(shù)學聯(lián)賽試題中應用非常頻繁和廣泛.數(shù)學歸納法的歷史非常悠久，早在1575年就出現(xiàn)了數(shù)學家巧妙地利用遞推關系證明出了前n個奇數(shù)的總和為n2，以此成功地總結(jié)出了數(shù)學歸納法的證明.數(shù)學歸納法總結(jié)起來有四種，分別是第一類數(shù)學歸納法、第二類數(shù)學歸納法、倒退歸納法（反向歸納法）以及螺旋式歸納法.最常見并且最簡單的數(shù)學歸納法是用來證明當n隸屬于全部的正整數(shù)時一個數(shù)學表達式是否成立，主要由兩個步驟組成：進行遞推的基礎條件是證明當n為1時所要證明的數(shù)學表達式成立，進行遞推的依據(jù)是證明假如n為正整數(shù)m時數(shù)學表達式成立，那么當n為m+1時數(shù)學表達式同樣成立.此方法包含的原理是由第一步的遞推基礎證明起始數(shù)值在數(shù)學表達式中能夠成立，然后證明從一個數(shù)值到另一個數(shù)值的證明過程是有效的，那么任意一個數(shù)值的證明都可以包括在這種不斷重復的證明過程中.將這種方法類比于多米諾效應理解起來更容易：對于一排直立著的很長的多米諾骨牌，如果可以確定第一張牌將會倒下，只要是某一個牌倒下了，與它相鄰的下一個牌也會倒下，那么就可以以此確定出相應的遞推關系來推斷所有的多米諾骨牌都會倒下.

二、數(shù)學歸納法證明不等式之應用

1.數(shù)學歸納法證明不等式的方法

利用數(shù)學歸納法來證明不等式的方法可以分為兩個步驟：第一步是驗證當n取第一個初始數(shù)值n0時所要證明的不等式成立，第二步是對于任意的正整數(shù)k，假設當n的值等于k時不等式能夠成立，以此來證明當n為k+1時所要證明的不等式是否成立.如果第一步和第二步都能夠順利證明完成，那么可以得出結(jié)論，即對于所有大于或等于n0的正整數(shù)n不等式成立.運用數(shù)學歸納法來證明不等式的方法中的這兩個步驟體現(xiàn)了數(shù)學中的遞推思想，對于證明格式要求比較嚴格，第一個步驟是遞推思想應用的基礎，第二個步驟是遞推思想應用的依據(jù).而且第二個步驟的變形是不等式證明的關鍵點，需要運用假設方法來作為遞推證明的基礎.利用數(shù)學歸納法證明不等式涉及的主要知識點有整除、恒等式、不等式和與幾何教學相關的知識內(nèi)容.數(shù)學歸納法來證明不等式的難點重點在于由n等于k時不等式成立來推出n等于k+1時不等式同樣成立這一步驟.為了順利完成這一步的推斷，不僅僅要合理使用假設和歸納的方法，還要靈活地使用所給問題的其他相關條件和知識，證明時先比較n=k和n=k+1這兩個等式間的共同點和差異，然后決定后者做哪一種變形，再利用分析、放縮、比較、綜合的方法和不等式的傳遞性質(zhì)來完成證明.

2.數(shù)學歸納法證明不等式例析

數(shù)學歸納法在證明不等式方面的應用非常廣泛，利用它來證明不等式使用起來簡單容易.在利用數(shù)學歸納法證明不等式時，應該比較當n=k和n=k+1時所得出的兩個不等式之間的形式差異，然后決定后者做什么樣的變形能符合條件.一般來說有如下幾個解題方法和策略，首先是要學會活用起始點的位置，這樣可以適當增加起點或者將起點位置前移，這樣可以補充不等式的一些特殊情形，容易驗證；其次可以根據(jù)不等式的遞推目標進行適當?shù)姆治龊头趴s，或者引入一些合理的不等式用來過渡，將所要證明內(nèi)容進行平穩(wěn)過渡，為目標不等式的證明架橋鋪路.

例如，起點增加和前移的應用：證明對于一切正整數(shù)n，都有2n+2>n2成立.

①當n為1時，不等式兩邊顯然成立；

②假設對于正整數(shù)k，不等式也成立，即2k+2>k2，那么就需要證明不等式對于n=k+1也是成立的，即證明2k+1+2>（k+1）2.

因2k+1+2=2×2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

第6篇：數(shù)學歸納法范文

關鍵詞：中學數(shù)學;數(shù)學歸納法;輔助函數(shù);等式證明

在本文中通過對數(shù)學歸納法基本形式理解的基礎上，進一步論述了在解決很多和自然數(shù)函數(shù)有關的整式、不等式、整除和幾何等問題時數(shù)學歸納法的應用。當然數(shù)學歸納法，在很多時候也會使解題變的復雜繁瑣，因此我們要理解其實質(zhì)，真正掌握正確運用數(shù)學歸納法的能力。

等式證明是中學數(shù)學的主要內(nèi)容之一，也是中學數(shù)學的教學難點。隨著新課程改革的逐步推進，高考對等式證明能力的考查方面也提出了更新更高的要求。用數(shù)學歸納證明與正整數(shù)有關的數(shù)學等式時，大多數(shù)學生在從假設時命題成立出發(fā)，證明當時命題也成立的推理證明過程中無從下手，感到很茫然，這其中最主要的原因是他們找不到證明目標。筆者結(jié)合多年的數(shù)學教學實踐，針對中學生學習和應用數(shù)學歸納法的難點，分析其突破方法，構造輔助函數(shù)，利用函數(shù)思想可使這一問題迎刃而解。下面將結(jié)合具體例子談談如何借助函數(shù)來構造證明目標，從而降低數(shù)學歸納法中這一步的證明難度。

例1：已知n∈N+，用數(shù)學歸納法證明等式

■+■+■+…+■■=.

分析：首先構造輔助函數(shù)

f（n）=■+■+■+…+■

假設n=k時等式成立，即f（k）=■，然后確定證明目標f（k+1）=■;其次，尋找f（k+1）與f（k）的關系。這樣一來，證明思路非常清晰明了，同學們也感覺不到茫然了。

證明：令f（n）=■+■+■+…+■，則

1）當n=1時，左邊■=■，右邊■=■，左邊=右邊，等式成立;

2）假設n=k（k≥1）時等式成立，即f（k）=■。當n=k+1時 f（k+1）=f（k）+■

=■+■+…+■+■

=■

綜上，等式對于一切正整數(shù)n都成立。

例2：已知n∈N+，用數(shù)學歸納法證明等式

1-■+■-■+■-■+…+■-■=■+■+…+■.

分析：首先構造輔助函數(shù)

f（n）=1-■+■-■+■-■+…+■-■

假設n=k（k≥1）時等式成立，即f（k）=■+■+…+■，然后確定證明目標f（k+1）=■+■+…+■;其次，尋找f（k+1）與f（k）的關系。

證明：令f（n）=1-■+■-■+■-■+…+■-■，則

1）當n=1時，左邊■-■=■，右邊=■+■+…+■=■=■，左邊=右邊，即等式成立;

2）假設n=k（k≥1）時，等式成立，即f（k）=■+■+…+■，則當n=k+1時，有

f（k+1）=f（k）+■-■

=■+■+…+■+■-■

=■+■+…+■

=■+■+…+■

綜上，等式對于一切正整數(shù)n都成立。

第7篇：數(shù)學歸納法范文

一、歸納法的定義

歸納法是從個別性知識引出一般性知識的推理，即由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理。數(shù)學上的歸納法即由某些特殊的生活數(shù)學事實，概括出數(shù)學概念、數(shù)學規(guī)律、數(shù)學結(jié)論的推理過程。運用歸納法進行小學數(shù)學教學，不僅可以教給學生知識，更是教給學生數(shù)學的思維方式、數(shù)學的思想方法和能力，可以提高數(shù)學課堂教學的有效性和實效性。

二、運用歸納法設計教學，提高學生的推理能力

數(shù)學課程標準指出：“學生的數(shù)學學習內(nèi)容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動?！庇^察、實驗、猜測、驗證都是學生獲得知識的有效手段，而推理是學生在學習過程中將零碎的知識變成系統(tǒng)性知識的重要手段。推理本身又是一種相當嚴密的思維過程，它必須依賴正確的知識或理論作為基礎。因此，在教學中只有孤立的推理教學是不現(xiàn)實的，它必須與其它教學手段有機地結(jié)合起來。而觀察、實驗、猜測、驗證為學生進行正確推理提供了知識的準備。因此，要更好地運用歸納法進行教學就必須將觀察、實驗、猜測、驗證與推理有機地結(jié)合起來。下面筆者以人教版三年級上冊的部分教學內(nèi)容為例來具體說明：

1.“萬以內(nèi)的加法和減法。”這部分內(nèi)容是小學生應該掌握和形成的基礎知識和基本技能，也是進一步學習多位數(shù)筆算乘除法的基礎。例如，兩位數(shù)的乘法中要把兩個部分的積加起來，實際是計算三、四位數(shù)的加法。兩位數(shù)除法中每次試商后通常要做三位數(shù)的減法。在教學中學生最容易忘記的是相同的數(shù)位對齊和加進位的“1”或減退位的“1”。為此，筆者歸納為“一對兩注”?！耙粚Α笔侵赶嗤臄?shù)位要對齊，“兩注”是指注意加進位的“1”或減退位的“1”。提醒學生在做題時都要提到“一對兩注”，以提高計算的正確率。

2.“有余數(shù)除法。”這部分的教學內(nèi)容既是表內(nèi)除法知識的延伸和擴展，又是今后學習一位數(shù)除多位數(shù)除法的重要基礎。因此這部分的知識具有承上啟下的作用。教學例題前學生對有余數(shù)除法是完全陌生的，但是在現(xiàn)實生活中除法不可能是完全可以除盡的。如果在教學中直接教給學生算理，這樣的教學方式對學生尤其是后進生來說比較枯燥，學生理解起來也比較困難，計算結(jié)果往往失誤較多，教學效果不理想。因此，筆者針對學生的學習特點將容易混淆的知識點歸納為“一對兩小”?！耙粚Α敝干桃獙χ怀龜?shù)的個位，“兩小”分別指商和除數(shù)的積要小于被除數(shù)；余數(shù)要小于除數(shù)。然后，要求學生自己用“一對兩小”去檢驗所計算的有余數(shù)的除法，大大地減少了學生在計算中的失誤。

3.“分數(shù)的初步認識?！边@部分內(nèi)容要求學生掌握分母相同、分子不同和分子相同、分母不同分數(shù)大小的比較。教學中首先出現(xiàn)分母相同、分子不同的分數(shù)大小的比較。通過簡單引導，學生就可以得到分母相同，分子大的分數(shù)大。因為按“分子的大小，誰大誰就大”，這是正思維，學生能輕易地掌握；到分子相同、分母不同的數(shù)的大小的比較中，大部分學生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗，通過知識遷移、思考、猜測等步驟就做出“分母大的分數(shù)小”的結(jié)論。但仍有一小部分學生總是掌握不好。為此，筆者將分數(shù)大小的比較概括為“上大下小”。即“上大”指分母相同比分子（因為分子在分數(shù)線的上面），誰的分子大誰就大；“下小”指分子相同比分母（因為分母在分數(shù)線的下面）誰的分母大誰就小。學生一但記住“上大下小”的含義，在本冊分數(shù)大小的比較中再也沒有出過錯誤。

三、教師要對學生進行正確的引導

第8篇：數(shù)學歸納法范文

關鍵詞：數(shù)學學科；小結(jié)歸納；方法；探究

一、數(shù)學課堂小結(jié)教學的重要地位及作用分析

數(shù)學學習是一個從感知數(shù)學到積累數(shù)學知識、從積累數(shù)學知識到理解數(shù)學知識的過程。《數(shù)學課程標準》（實驗稿）在高中數(shù)學教學“知識和能力部分”中明確規(guī)定：學生應在“了解一定的歸納、分析的方法的基礎上，具備得出數(shù)學結(jié)論的能力”；在“過程與方法部分”也提出學生應掌握對數(shù)學知識進行初步的歸納、比較和概括的方法。換而言之，就是要求學生具備根據(jù)數(shù)學教材內(nèi)容進行小結(jié)的能力。總之，“小結(jié)”是數(shù)學課堂教學不可缺少的一個重要環(huán)節(jié)，是學生提高學習效率，學好數(shù)學的一條捷徑，也是為以后學習數(shù)學的奠基的良方。它是整節(jié)教學內(nèi)容的精華所在，是對教學總體思路最集中、明確、深刻的綜述，是對教學內(nèi)容的高度概括總結(jié)！所以，作為一名數(shù)學老師，努力指導學生進行課堂小結(jié)不僅是為了順利完成課標所規(guī)定的教學任務，而且也為了適應數(shù)學新課程教學改革的發(fā)展趨勢。指導學生進行課堂小結(jié)是在高中數(shù)學教學內(nèi)容多、任務重的情況下培養(yǎng)學生能力，提高教學效率的有效途徑。

二、數(shù)學課堂小結(jié)教學的方法探究

1、情景導入，明確目標

巧妙新課導入，既能激起學生的興趣，調(diào)動學生學習的積極主動性又可以活躍學生思維；成功的新課導入能有效地把學生引到將要探究學習的新課上來。設計時要根據(jù)學生心理特點和需要，緊扣教學的中心，找準教學的切入點，力求做到簡明、實用、巧妙、生動，力求使學生形成認知沖突，才能激發(fā)學生學習興趣，引導其自然進入學習狀態(tài)。

情景導入新課后要立即明確目標，通過目標定向喚起學生強烈的學習欲望，明白本節(jié)課學什么，怎么學，達到怎樣的學習效果。這樣讓學生在進行課后總結(jié)的時候才能夠達到心中有數(shù)，知道本節(jié)課內(nèi)容的重難點在何處，才能夠重點回顧。

2、提出問題，猜想設計

本環(huán)節(jié)既提出問題，進行猜想，啟發(fā)引導，設計方案。本環(huán)節(jié)是科學探究必不可少的重要步驟，提出問題，才能激發(fā)學生的好奇心和求知欲，促使其在課后進行思考，對前面所學知識進行總結(jié)和回顧，形成知識小結(jié)的內(nèi)在動力。而猜想等的設計，則是引導學生進行理論驗證的重要手段，也是幫助學生全面總結(jié)學習內(nèi)容的重要手段。

3、分組實驗，合作探究

在學生設計檢驗與自己假設有關的觀察、實驗方案的基礎上，一定要學生自己動手，觀察實驗，親歷探究。實驗探究需要小組合作完成，教師要合理分組，在小組長的組織下，小組內(nèi)學生合理分工合作，然后根據(jù)學案和教師提示的過程、方法和步驟，注意觀察并記錄實驗現(xiàn)象和有關數(shù)據(jù)，在此基礎上，完成學案中的有關問題或表格，并根據(jù)現(xiàn)象分析實驗的結(jié)果，總結(jié)歸納得出實驗結(jié)論。

4、交流展示，歸納規(guī)律

教師要引導學生從有關的探究中收集并整理獲取的信息；引導學生學會從觀察實驗中獲得的信息去思考、分析、歸納、概括，從而得出結(jié)論。以小組為單位交流學習討論、合作實驗、合作探究，每個同學在學習小組內(nèi)提出實驗中遇到的問題和得出的結(jié)論，組長具體組織，通過討論交流，實現(xiàn)“兵教兵”，最大限度地解決本組同學在自學、實驗中遇到的問題或困惑；各組匯報本組自學情況，提出本組不能解決的問題。教師引導全班各組之間的交流。培養(yǎng)學生敢想、敢說創(chuàng)新精神和科學語言表達能力

5、應用訓練，總結(jié)反思

在自主、合作、探究，歸納知識規(guī)律的基礎上，進行系列訓練拓展應用，鞏固學習效果，培養(yǎng)學生聯(lián)系生活生產(chǎn)實際能力，提高綜合能力。根據(jù)數(shù)學課堂教學目標聯(lián)系生活實際有針對性的設計當堂系列訓練題和當堂達標訓練題。引導學生用自己獲得的結(jié)論解釋生產(chǎn)或生活中的實際問題探究。這一環(huán)節(jié)教師的反饋矯正要貫穿始終，尤其關注學困生，加強對學困生的輔導。總結(jié)反思是全班學生對本節(jié)課學習情況的一個總結(jié)，可以讓學生自我小結(jié)，也可師生一齊總結(jié)。

6、我們又該怎樣選擇課堂小結(jié)的方式和怎樣培訓學生進行課堂小結(jié)呢？

課堂小結(jié)的方式主要有以下四種：歸納式、提問式、圖表式、懸疑引申式。

第一，為強化學生了解和掌握基礎知識，培養(yǎng)學生的歸納能力，可采用歸納式課堂小結(jié)。簡要故事型小結(jié)就是教師要根據(jù)板書把本課所講的主要內(nèi)容設計成一個包含時間、地點、人物和故事情節(jié)等要素在內(nèi)簡要歷史故事。教師舉例后，要求學生予以模仿練習，最終學生要自己學會講述同一類的“故事”。通過這種故事型小結(jié)，不僅可以引導學生回想新學的知識，以達到當堂鞏固的目的，而且也使得學生更加準確、清晰、系統(tǒng)地掌握所學到的新知識。

第二，為培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和探究數(shù)學的熱情，可采用懸疑式，換句話就是設問式的課堂小結(jié)。所謂探究型小結(jié)就是課堂小結(jié)教學一定要照顧到各個知識之間的前后連接。前后連接就是要把以前學到的老知識與剛新學到的知識相連接。所以，在小結(jié)最后要為下一新課埋下伏筆，為以后講授的新知識內(nèi)容提前創(chuàng)造教學氛圍和意境。

無論是使用哪種方式的課堂小結(jié)，教師都要注意課堂反映，以便及時了解學生學習掌握的程度。在教學過程中學生才是認識的主體，所以說教學的最終目標在“學”，而不在“教”。

三、培養(yǎng)學生進行課堂小結(jié)的好處

指導學生進行課堂小結(jié)，可以達到使學生既掌握基礎知識，又提高學科能力的目的。首先，學生在進行課堂小結(jié)時，要事先仔細地閱讀教材。這樣就可以弄明白每一個單元甚至每一課的教學內(nèi)容包括哪些大方面――每個大方面又包括哪些小方面――每個小方面又含有哪些知識點――這些知識點之間又有什么樣的聯(lián)系。這樣就可以幫助學生真正理解各個知識點間的關系，把知識點在腦海中串聯(lián)起來，進而就加深了學生對知識點的理解和對全部教學內(nèi)容的掌握。其次，這一過程也促進了學生思維能力的發(fā)展。因為學生要進行課堂小結(jié)，就必須對教材內(nèi)容進行分析歸納和總結(jié)，使教材內(nèi)容顯得要點化、條理化，并且將有關聯(lián)的地方進行組合和總結(jié)排序。

四、小結(jié)

同課堂教學中的其他環(huán)節(jié)一樣，課堂小結(jié)也是課堂教學中提高教學效率的重要組成部分之一，是學生進行有效學習的重要環(huán)節(jié)！在教學過程中，課堂小結(jié)不僅能夠再一次強化學生當堂所學知識、幫助學生強化學習能力、理清知識脈絡、總結(jié)學習方法，而且通過給學生留下思考和探究的空間可以激發(fā)學生課后閱讀和學習的興趣，進而達到課雖盡而學意無盡邊之效果。課堂的小結(jié)，是連接新知識和舊知識的紐帶，是貫通前后知識點的橋梁，是鞏固課堂教學內(nèi)容的絕佳機會，是學生將課內(nèi)知識運用到課外的一個關鍵轉(zhuǎn)折點。如果學生的小結(jié)能力得到提高，學生就可以學到真正的知識和能力，就能夠在今后的學習中受益匪淺！

參考文獻：

[1] 黃兆明，游世成.課堂結(jié)尾藝術[M].北京：中國林業(yè)出版社，2003，9.

[2] 張麗晨.高中數(shù)學課堂設計[J].北京：中國林業(yè)出版社，2004.3.

第9篇：數(shù)學歸納法范文

一、數(shù)學歸納法的教學價值

數(shù)學歸納法是一種不同于其他數(shù)學方法的、偏向于推理和證明的方法．歸納法是連接無限與有限的一座橋梁，是數(shù)學發(fā)展過程中里程碑式進展．在面對一些看似復雜的題目時，使用數(shù)學歸納法或許可以簡化解題步驟，這更易于學生的理解記憶．與此同時，歸納法的根本價值在于它能夠培養(yǎng)學生的思維方式．在學習的過程中，它要求學生通過細致觀察、認真地思考以及嚴謹?shù)赝评砣グl(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律或原理．在這個過程當中不僅學生的觀察能力會得到充分的鍛煉，分析能力和推理也能有所改善．這些潛移默化的改變不僅能夠逐漸提高學生的抽象思維能力，還能使學生領悟歸納法中所蘊含的思想，并能靈活的運用到其他學科中．

二、數(shù)學歸納法在教學中的實際應用

數(shù)學歸納法注重鍛煉邏輯和推理，因此它的思維步驟非常明確．它的第一步能夠奠定全局的基礎，是進行推理、證明的重要部分，需要保證當前命題的準確性與真實性．通過對當前命題的觀察、分類后，才能進行下一步．第二步著重點在于推理．需要保證命題的延續(xù)性，即這一命題能夠隨著參數(shù)的改變能夠進行無限的延伸．這兩個步驟相互制約、缺一不可．而關于如何在數(shù)學教學中應用數(shù)學歸納法，本文通過教學實例進行詳細說明．

三、數(shù)學歸納法的教學困難及應對措施

歸納法由于其本身的抽象性質(zhì)，在教學過程中會出現(xiàn)各種意向不到的問題．其中，可能會因為學生無法真正理解歸納思想，進而導致不能靈活運用歸納法．這一問題成為了教學過程中的最大障礙．在教學的過程中，由于歸納法連接了有限和無限兩個概念，導致學生出現(xiàn)了理解上的偏差與困難．在對有限的概念進行證明時，較為簡單．直接將數(shù)字帶入題中，即可得出清晰明的結(jié)果．但在假設進行無限證明時，學生也許很難理解為何要進行這一步，也無法理解這樣的證明與其他過程的聯(lián)系在哪里．而最后一步的證明對學生的抽象思維理解能力要求更高．當學生無法真正領會歸納的思想時，則難以隨著題目的改變而做出靈活的應變，更加難以看到題目的實質(zhì)，找出題目與歸納法的關系．在遇到這種問題時，老師如果在講解過程中無法表述的更具體，可以建立具體的模型或者動畫演示．比如，“多骨諾牌效應”這一數(shù)學模型．通過演示，向?qū)W生展示歸納中的遞推關系，讓同學們了解歸納法的實質(zhì)，從而真正領悟歸納思想，能夠?qū)?shù)學歸納法靈活的運用在各類題目中．

四、結(jié)語