自然科學的數(shù)學原理精選(九篇)

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第1篇：自然科學的數(shù)學原理范文

關鍵詞： 近代 物理學 數(shù)學化

1、物理學數(shù)學化的開始――數(shù)學實驗方法

伽利略被譽為近代物理學之父，他把實驗與數(shù)學相結合，開創(chuàng)了近代科學的有效研究方法――數(shù)學實驗方法。伽利略起初的研究可以分為三個步驟：（1）提取出從現(xiàn)象中獲取的直觀認識的主要部分，用最簡單的數(shù)學形式表示出來，以建立量的概念；（2）由此式用數(shù)學方法導出另一易于實驗證實的數(shù)量關系；（3）通過實驗證實這種數(shù)量關系。[3]勻加速運動規(guī)律的研究展示了他的跨時代研究方法。

伽利略從斜面滾球實驗開啟了物理實驗現(xiàn)象到推理的進化，而在落體運動的研究中，伽利略改變了中世紀物理學虛假的世界，改變了物理學形而上學和常識“觀察”相結合中盤旋的狀態(tài)。確立了正確的“自由落體定律”： 、 。伽利略對運動基本概念，包括重心、速度、加速度等都作了詳盡研究并給出了嚴格的數(shù)學表達式。否定了“亞里士多德的主要錯誤是，他的物理學忽略了，甚至排除了不可動搖的數(shù)學哲學這個基礎。[1]”

經(jīng)過后人的鞏固與整理，形成了目前的實驗――數(shù)學方法是：在實驗的基礎上，重視把數(shù)學概念、理論、公式用于對物體運動的研究，把物理概念及其相互聯(lián)系用簡潔的數(shù)學形式表達出來，從而使物理概念量化，形成物理量，并用數(shù)學形式揭示自然界的物理本質，把觀察與實驗的結果上升到理論的高度。

2、物理學數(shù)學化的形成――《原理》的出版

盡管伽利略、開普勒運用數(shù)學所作的嘗試是卓越的，但都只是用數(shù)學的方法解決局部問題，試探性地對客觀自然現(xiàn)象和經(jīng)驗事實進行部分的定量研究。牛頓在自然科學史上真正實現(xiàn)了物理科學的系統(tǒng)的數(shù)學化。牛頓在物理學上革命性舉動正像他的巨著《自然哲學之數(shù)學原理》的名稱所要表明的那樣，建立起“自然哲學”的數(shù)學原理。在他看來，數(shù)學方法對于研究自然是有效的，是符合物理學的研究本性的也是符合物理學研究的抽象化方向的，微積分與萬有引力定律對物理學以及對航天事業(yè)的影響，足以證明物理學的數(shù)學化是一次正確的革命。

牛頓在研究經(jīng)典力學規(guī)律和萬有引力定律時，碰到了一些無法解決的數(shù)學問題，而這些數(shù)學問題用歐幾里德幾何學和16世紀的代數(shù)學是無法解決的，因此牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的長度、重心、最大最小值等問題的方法―――流數(shù)法（后演變?yōu)槲⒎e分）。牛頓的微積分是從力學脫胎而來的物理模型的痕跡，以機械運動的數(shù)學模型出現(xiàn)，其中的基本概念，如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都來自機械運動，是機械運動瞬間狀態(tài)的數(shù)學抽象。從某種角度上推動了數(shù)學的發(fā)展。

3、物理學數(shù)學化的成熟――麥克斯韋方程

電磁學從遠古到18世紀中晚期是電磁現(xiàn)象的早期研究階段，以對電磁現(xiàn)象的觀察實驗以及定性研究為主，直到18世紀晚期到19世紀早期，庫侖定律、電流磁效、大陸派超距論電動力學體系才相繼出現(xiàn)， 1861～1865年，麥克斯韋提出電位移和位移電流的概念，把電磁場明確地定義為是一種物質，為了定量地刻畫電磁場的轉化和電磁波的傳播規(guī)律，麥克斯韋運用應用應力、變形、壓力、渦動及其他概念、矢量分析和微分方法，并把它的全部表現(xiàn)形態(tài)用個帶可變數(shù)的方程式表述出來，引進了兩組偏微分方程。后來，科學家用這些方程式建立了精密的麥克斯韋方程組。后來赫茲于1886～1888年通過實驗證實了麥克斯韋的預言，也因此徹底否定了電超距論思想，導致了無線電的誕生，開辟了電磁波通訊的新紀元。并從理論上預言了電磁波的存在，建立了麥克斯韋方程組。

或

通過麥克斯韋方程組，可導出一系列不同波長和頻率的電磁波，并由于波長的量變引起了波特性和功能的質變。諸如在這之前就已發(fā)現(xiàn)的紅外線、可見光、紫外線，在這以后陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)的x射線、微波和超短波、中波、長波等無線電波，都屬于電磁波，都可以從這組奇妙的方程中找到各自的位置。

5、物理學數(shù)學化的深入――熱力學和統(tǒng)計物理的數(shù)學化

麥克斯韋精湛的數(shù)學功底不僅促成了電磁學的統(tǒng)一與發(fā)展，它還極大的推動了統(tǒng)計物理學的發(fā)展。麥克斯韋在對土星環(huán)的研究過程中，遇到了許多概率理論的問題，同時又受到克勞修斯《關于氣體分子的平均自由路程》（該文將概率思想引入物理學及其計算之中，文章用統(tǒng)計方法推求分子運動平均自由程時采用了速率相等的假定）的影響，從而開始了對氣體動力學的研究。 他于1859年9月21日做了題為《關于氣體動力理論的說明》的報告，考慮到各個分子實際運動速度不同，利用概率論和統(tǒng)計方法確立了氣體分子按速度分布的統(tǒng)計規(guī)律（麥克斯韋速度分布律），提了著名的分子運動速度分布律，糾正了前輩學者伯努利和克勞修斯在這方面的錯誤。這個報告初次把統(tǒng)計學用于描述物理現(xiàn)象，標志著新的科學發(fā)展時期的來臨。1860年，麥克斯韋用分子速度分布律和平均自由程的理論推出一個粘滯系數(shù)公式，得到粘滯系數(shù)與氣體分子密度無關的結論，并在1866年親自做實驗驗證了這個結果。1872年，玻爾茲曼引進分子分布函數(shù)定義的H函數(shù)和熵發(fā)表了研究氣體從不平衡過度到平衡的過程的玻爾茲曼方程；1873年，吉布斯用系統(tǒng)參數(shù)的變化表示系統(tǒng)內能的變化，得到熱力學基本方程， ，后又將熱學的唯象論和分子運動論綜合到一個整體，系統(tǒng)研究系綜，發(fā)表《統(tǒng)計力學基本原理》完成統(tǒng)計物理的偉大統(tǒng)一。

參考文獻

[1]牛頓.牛頓自然哲學著作選北京：商務印書館1962；

[2]楊慶余.唐福元.物理學史.中國物資出版社；

[3][美]KlineM.古今數(shù)學思想，第4冊.[M].上海：上海科學技術出版社，1981：324；

[4]周經(jīng)偉.伽利略科學研究方法探究.海南大學理工學院570228；

[5]長青.季潛.具有深厚數(shù)學根底的物理學家―麥克斯韋.物理教師.1998.19；

第2篇：自然科學的數(shù)學原理范文

1.在數(shù)學學科本身的應用。由于數(shù)學學科本身具有邏輯嚴密的特點,前面知識的學習為學習后面的知識做準備。換句話說,前面的知識要應用到后面知識的學習中。

2.在其他相關學科的應用,特別是物理及工程技術中的應用。

3.應用到現(xiàn)實情境中去。由于高中學生學習的知識畢竟還是有限的,他們用數(shù)學知識解決的現(xiàn)實問題,與應用數(shù)學家所面臨的現(xiàn)實問題相比,充其量是個“準數(shù)學問題”,至少是“半數(shù)學化”的問題,是一個經(jīng)過人為加工的“數(shù)學半成品”。

4.發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題這四者之間,能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,這是要求最高的。能夠解決已經(jīng)“數(shù)學化”了的問題,對學生來講,是個技能化的過程。而能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題則是一個能力問題。

二、應用與基礎知識的關系

對高中學生來講,掌握數(shù)學的基礎知識應該是教學的首要目標,應用是以掌握數(shù)學知識為前提的。應用不僅僅是目的,更重要的是過程,即我們不僅要使學生樹立起數(shù)學應用意識,認識到數(shù)學的廣泛應用性特點和應用價值,具備應用數(shù)學解決實際問題的規(guī)律性認識和操作性能力,而且還要切切實實讓學生在應用數(shù)學中掌握基礎知識和數(shù)學方法,學會使用數(shù)學語言,并受到數(shù)學文化的熏陶。很難想象,沒有扎實的基礎知識,談何應用?

三、應用與計算機(器)

計算機(器)的普及,為數(shù)學的應用提供了先進的計算工具,更便于處理實際數(shù)據(jù),使應用問題更加真實,切合實際;良好的演示平臺,使數(shù)學應用有了廣闊的空間,計算機能夠把靜態(tài)的變成動態(tài)的,把抽象的東西具體化、直觀化,使人們的思維能夠得到一定程度的延伸。

四、從數(shù)學學習和數(shù)學活動看“應用”

第3篇：自然科學的數(shù)學原理范文

數(shù)學是一種語言，“以前，人們認為數(shù)學只是自然科學的語言和工具，現(xiàn)在數(shù)學已成了所有科學——自然科學、社會科學、管理科學等的工具和語言”。不過，這種語言與日常語言不同，“日常語言是習俗的產(chǎn)物，也是社會和政治運動的產(chǎn)物，而數(shù)學語言則是慎重地、有意地而且經(jīng)常是精心設計的”。因此，美國著名心理學家布龍菲爾德說：“數(shù)學不過是語言所能達到的最高境界”。更有前蘇聯(lián)數(shù)學教育家斯托利亞爾言：“數(shù)學教學也就是數(shù)學語言的教學”。而語言的學習是離不開閱讀的，所以，數(shù)學的學習不能離開閱讀，這便是數(shù)學閱讀之由來。

數(shù)學閱讀過程同一般閱讀過程一樣，是一個完整的心理活動過程，包含語言符號（文字、數(shù)學符號、術語、公式、圖表等）的感知和認讀、新概念的同化和順應、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素。同時，它也是一個不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程。但由于數(shù)學語言的符號化、邏輯化及嚴謹性、抽象性等特點，數(shù)學閱讀又有不同于一般閱讀的特殊性，認識這些特殊性，對指導數(shù)學閱讀有重要意義。

首先，由于數(shù)學語言的高度抽象性，數(shù)學閱讀需要較強的邏輯思維能力。在閱讀過程中，讀者必須認讀感知閱讀材料中有關的數(shù)學術語和符號，理解每個術語和符號，并能正確依據(jù)數(shù)學原理分析它們之間的邏輯關系，最后達到對材料的本真理解，形成知識結構，這中間用到的邏輯推理思維特別多。而一般閱讀“理解和感知好像融合為一體，因為這種情況下的閱讀，主要的是運用已有的知識，把它與新的印象聯(lián)系起來，從而掌握閱讀的對象”，較少運用邏輯推理思維。

其次，數(shù)學語言的特點也在于它的精確性，每個數(shù)學概念、符號、術語都有其精確的含義，沒有含糊不清或易產(chǎn)生歧義的詞匯，數(shù)學中的結論錯對分明，不存在似是而非模棱兩可的斷言，當一個學生試圖閱讀、理解一段數(shù)學材料或一個概念、定理或其證明時，他必須了解其中出現(xiàn)的每個數(shù)學術語和每個數(shù)學符號的精確含義，不能忽視或略去任何一個不理解的詞匯。因此，瀏覽、快速閱讀等閱讀方式不太適合數(shù)學閱讀學習。

第三，數(shù)學閱讀要求認真細致。閱讀一本小說或故事書時，可以不注意細節(jié)，進行跳閱或瀏覽無趣味的段落，但數(shù)學閱讀由于數(shù)學教科書編寫的邏輯嚴謹性及數(shù)學“言必有據(jù)”的特點，要求對每個句子、每個名詞術語、每個圖表都應細致地閱讀分析，領會其內容、含義。對新出現(xiàn)的數(shù)學定義、定理一般不能一遍過，要反復仔細閱讀，并進行認真分析直至弄懂含義。數(shù)學閱讀常出現(xiàn)這種情況，認識一段數(shù)學材料中每一個字、詞或句子，卻不能理解其中的推理和數(shù)學含義，更難體會到其中的數(shù)學思想方法。數(shù)學語言形式表述與數(shù)學內容之間的這一矛盾決定了數(shù)學閱讀必須勤思多想。

第四，數(shù)學閱讀過程往往是讀寫結合過程。一方面，數(shù)學閱讀要求記憶重要概念、原理、公式，而書寫可以加快、加強記憶，數(shù)學閱讀時，對重要的內容常通過書寫或作筆記來加強記憶；另一方面，教材編寫為了簡約，數(shù)學推理的理由常省略，運算證明過程也常簡略，閱讀時，如果從上一步到下一步跨度較大，常需紙筆演算推理來“架橋鋪路”，以便順利閱讀；還有，數(shù)學閱讀時常要求從課文中概括歸納出一些東西，如解題格式、證明思想、知識結構框圖，或舉一些反例、變式來加深理解，這些往往要求讀者以注腳的形式寫在頁邊上，以便以后復習鞏固。

第4篇：自然科學的數(shù)學原理范文

【關鍵詞】環(huán)境研究法；實用性；實踐環(huán)節(jié)

環(huán)境研究法是農業(yè)高校環(huán)境類專業(yè)的一門重要必修課程，在專業(yè)人才培養(yǎng)方面具有重要地位[1]。該課程以試驗設計和數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析為基礎，結合農業(yè)領域環(huán)境科學或環(huán)境工程方面的研究，從科研課題的選題、數(shù)據(jù)資料的收集、數(shù)據(jù)資料的整理及數(shù)據(jù)資料的統(tǒng)計分析等方面系統(tǒng)介紹環(huán)境科學領域開展科學研究的基本方法，這對于培養(yǎng)農業(yè)高校環(huán)境類專業(yè)人才的基本科研素質和能力具有重要意義。然而，該課程包含很多統(tǒng)計學的數(shù)學原理，教師授課普遍感覺難度較大，很多學生也覺得枯燥難學。為了激起學生的學習興趣，提高教學效果，我們認為可以從一下幾個方面進行教學改革：

1 闡明學好環(huán)境研究法課程的重要性

講環(huán)境研究法緒論時，對學生強調學好這門課程的重要意義對于提高學生對課程的重視程度，激發(fā)學生的興趣具有重要意義。要向學生強調環(huán)境研究法講述的是環(huán)境科學或工程領域最常用、最有效的試驗設計及數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析的基本原理和基本方法，是一門實用性很強的工具課，是一項必不可少的專業(yè)技能，以引起學生對這門課的足夠重視。此外，結合學生學習的心理特點，強調學好這門課的現(xiàn)實意義。學生畢業(yè)后的去向一般是考研和就業(yè)兩條途徑，對于準備畢業(yè)后從事科研工作的學生，強調學好這門課程在科學研究、發(fā)表科研論文等方面的重要性；而對于就業(yè)的學生，學好這門課對于他們在工作中進行數(shù)據(jù)分析、工作報告撰寫等方面也是十分必要的。在緒論的講述過程中，結合實際案例，重點強調這門課的實際應用價值，從而調動學生的學習熱情，讓學生明白，學習這門課是有用的。

2 優(yōu)化課程教學體系，重點講述課程的實用性內容

試驗設計基本原理和方法和統(tǒng)計分析基本原理是環(huán)境研究法課程的主要組成部分，這些內容大部分是比較抽象和枯燥的，如果教師不注意課程內容的邏輯性和針對性，很容易導致學生興趣下降，達不到理想的教學效果[2]。為了避免此情況的發(fā)生，在課堂講授過程中應當注意以下幾點：

（1）應突出重點和難點。在講試驗設計基本原理部分時，應該強調試驗設計過程中出現(xiàn)的基本概念，如處理、水平、試驗因素等，應結合實際案例，進一步讓學生理解這些概念的含義，最終的目標是讓學生能夠正確使用和表達這些概念。生物試驗設計部分內容繁多而零碎，這更要求教師要明確劃分出重點難點，讓學生做到有的放矢，而不是胡子眉毛一把抓。講統(tǒng)計分析部分時，教材或講義中往往包含過多內容，這其中的很多內容平時是不常用到的，如統(tǒng)計假設檢驗中的百分數(shù)的假設檢驗、卡方檢驗、適應性檢驗，統(tǒng)計分析部分的拉丁方試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計等，因此，對于這些內容，應該做適當刪減，從而能夠使學生能夠更加容易的理解常用試驗統(tǒng)計的基本原理。過分強調這些內容，一方面會使學生云里霧里，將各種數(shù)學原理交纏在一起，理不清思路，反而起到不好的教學效果；另一方面，即使學生能夠在課堂上把這些數(shù)學原理都能夠搞清楚，但如果以后很少用到這些數(shù)學模型，便會很快忘掉，教學效果也及其有限。而讓學生牢牢記住幾個常用的數(shù)學模型，就能夠在以后的科研實踐中拿來即用，達到事半功倍的效果。

（2）公式推導過程少講，多講統(tǒng)計分析的實際應用方法。讓學生理解環(huán)境研究法中的數(shù)據(jù)原理是基礎，而學習這門課的最終目的是實際應用。這門課中包含大量的復雜數(shù)學公式的推導，例如三因素方法分析各變異因素的劃分、平方和的計算、方差的計算、自由度的計算、以及多重比較過程的復雜計算，裂區(qū)試驗數(shù)據(jù)分析中的復雜計算等等，有些老師過分注重這些復雜公式的推導計算，不但學生覺得枯燥、難以理解，而且教師也常常一時思路混亂，出現(xiàn)講述錯誤，教學效果可想而知。然而，及時把這些公式的推導過程講好，意義又在哪里？目前各種試驗統(tǒng)計都是通過統(tǒng)計分析軟件進行，巨大的計算量交于電腦解決，人們只需要會分析統(tǒng)計結果就可以了，沒有哪個人會把那些復雜的公式記住。因此，這些公式推導過程讓學生大體知道來龍去脈即可，要把重點放在最后統(tǒng)計分析結果的解讀上，讓學生知道如何去看統(tǒng)計分析的結果，寫論文的時候如何表述這些結果，這才是最貼合實際的內容。

（3）布置適當?shù)恼n程作業(yè)，及時批改作業(yè)。要達到理想的教學效果，對于環(huán)境研究法課程來說，只進行課堂講授是遠遠不夠的，還必須讓學生通過作業(yè)來加深對試驗設計和統(tǒng)計分析原理的理解和認識，因此，適量布置課堂作業(yè)是一個必不可少的環(huán)節(jié)。建議在試驗設計、以及每一種統(tǒng)計分析的數(shù)學模型部分均布置課堂作業(yè)，讓學生親自動手去寫試驗設計的方案、應該基本的統(tǒng)計分析公式去計算、最后把數(shù)據(jù)分析結果用文字表達出來。教師應及時批改學生作業(yè)，并將學生在作業(yè)中出現(xiàn)的典型錯誤在課堂上重點進行講述，加深學生的理解。

3 讓學生積極參與課堂，重視實習環(huán)節(jié)

要讓學生積極參與課堂，充分理解課堂內容是前提條件，因此，學生參與課堂環(huán)境應該在課程主要內容講完后進行?？梢宰寣W生自己或者由教師選擇一個微型試驗，要求學生從選題依據(jù)、試驗設計、試驗實施、數(shù)據(jù)分析到最終結論，完成一個完整的試驗過程。小組合作是讓學生參與課堂的重要形式。合作學習被人們譽為“最重要和最成功的教學改革”，發(fā)達國家普遍采用這樣的教學方式。在引導學生參與學習的過程找那個，要讓每個學生真正參與試驗，在小組合作過程中，學生可以充分體驗學習過程，使參與面達到最大化，能夠進一步加深學生對所學知識的理解。學生完成試驗選題和試驗設計后，讓每個研究小組派出代表以PPT的形式宣講自己的試驗設計，讓其他同學提建議，一方面鍛煉學生的科學表述能力，另一方面可根據(jù)大家的建議進一步完善試驗方案。環(huán)境研究法課堂授課結束后，就進入實習環(huán)節(jié)，實習就是讓學生將確定好的研究方案付諸實施，讓學生親身感受試驗完整過程，同時將課堂上所學的知識應用到實際中去，最后形成一份完整的實習報告，教師可對實習報告進行檢查，對出現(xiàn)的問題進行及時指導。通過這些環(huán)節(jié)，學生及掌握了理論知識，又能做到將其在實踐中合理運用，必然會取得良好的教學效果。

【參考文獻】

第5篇：自然科學的數(shù)學原理范文

在現(xiàn)代教育中，教師需要落實新課標教學要求，創(chuàng)造性地運用教材，注重現(xiàn)實生活與教學內容的聯(lián)系。同時，尊重學生，允許學生不同看法與獨特思維，以培養(yǎng)學生的質疑意識與主體意識。另外，為學生提供自主探究與合作交流機會，以培養(yǎng)學生自學意識與探究精神。對此，筆者以初中數(shù)學教學為例，具體談談新課標下數(shù)學教學的思考與體會。

1.要以新課標為指導進行數(shù)學課堂教學

傳統(tǒng)的課程只有教師與教材，新課標的數(shù)學課程是教師、學生教、學材料教學情境與教學環(huán)境構成的，就是說，課程是變化的，是教師和學生一起探究新知識的過程。教師和學生是課程的一部分，也是課程的建設者，教學過程教師與學生共同創(chuàng)新課程和開發(fā)課程的過程。教師在課堂教學應該以新課標為標準。

教師在課堂教學中讓學生體驗數(shù)學，體驗數(shù)學具有自然科學性，自然界的一切事物和一切現(xiàn)象都存在一定數(shù)量和空間關系，它是自然科學的基礎，也是自然科學的工具。任何一門自然科學都離不開數(shù)學思想方法，數(shù)學語言及思維方式。它是其它自然科學的基礎，生活離不開數(shù)學。例如，電視機屏幕的長與寬，盡量滿足黃金分割比例；又如，商品買賣，儲存貸款等都用到數(shù)學。因此，在課堂教學中應注意聯(lián)系生活。

2.結合生活實際，激發(fā)學生學習的熱情

在數(shù)學教學中，要求教師以學生所熟知的生活情境為出發(fā)點，給學生創(chuàng)造更多操作與觀察的機會，使其感受到數(shù)學源于生活，生活處處有數(shù)學，體會到數(shù)學知識的應用性，從而更有數(shù)學學習熱情。因此，在初中數(shù)學教學中，教師應善于抓住生活這個大課堂，將數(shù)學知識與現(xiàn)實生活緊密結合起來，從數(shù)學教材中發(fā)掘生活中的數(shù)學知識，從生活現(xiàn)象中發(fā)掘其蘊含的數(shù)學原理、背景資料，實現(xiàn)生活問題數(shù)學化，數(shù)學內容生活化，從而激活學生已有知識，喚起學生原有生活經(jīng)驗，培養(yǎng)學生形成善于觀察，關注生活，質疑探究的良好習慣。

如教學"余角、補角、對頂角"時，教師可創(chuàng)設生活化的教學情境，生成新知：（課件呈現(xiàn)下圖）在日常生活中，若要測兩堵墻所成的角∠AOB的度數(shù)，然而人不可以進入圍墻，請想想有哪些方法可以測量呢？說明幾何原理。這樣，通過生活化的情境引入，既可調動學生學習熱情，更可喚起學生探知欲望，使其基于已有知識與經(jīng)驗生成新知，形象感知對頂角的位置特點，并體會到數(shù)學知識的重要性，明白數(shù)學源自生活，還服務于生活。如學習"軸對稱"知識后，設計實踐性作業(yè)：請結合教材內容以及剪紙圖案，自己動手設計與制作一款剪紙，要蘊含一定的含義，可在家長協(xié)作下完成，并用簡潔地話說說該剪紙的意義。

3.課前加強預

課前通過預習，才能帶著問題去聽講，提高聽課效率。由于初一學生處于半成熟半幼稚狀態(tài)，進入中學后，需逐步發(fā)展抽象思維能力，但他們在小學聽慣了詳盡、細致、形象的講解，剛一進入中學就遇到"急轉彎"往往很不適應，他們雖然有求知欲和思考能力，但自學能力是較差的。初一教材涉及數(shù)、式、方程，這些內容與小學數(shù)學中的算術數(shù)、簡易方程、算術應用題等知識有關，但初一數(shù)學內容比小學內容更為豐富，抽象，復雜，在教學方法上也不盡相同；而小學學生的數(shù)學學習習慣和學習方法與中學生也不盡一致，他們往往認為看書就是預習。因此，找不出要點，也不知自己有無問題，上課時只得把老師講的內容"胡子眉毛一起抓"。顯然，這樣做"疲勞有余，效果不佳"。為此，在上某一新課前，應給學生介紹課型、特點及預習方法。如對概念課，一般是針對教材的重點、難點為學生編排相應預習題，讓學生看書思考去找答案，達到預習的目的。

4.認真聽課，注重聽課方法

初一學生往往對課程增多、課堂學習容量加大不適應，顧此失彼、精力分散，使聽課效率下降，因此，學生只有掌握好正確的聽課方法，才能使課堂上的45分鐘發(fā)揮最大的效益。我結合數(shù)學課的特點，要求學生在課堂上必須開動腦筋，積極思維；要求學生會圍繞老師講述展開聯(lián)想，理清教材文字敘述思路；要善于從特殊到一般，學會分析、判斷與推理。遇到問題后，要多想幾個"為什么"，思考一下"怎么辦"。只有會想，才能會學，也才能學會。要善于觀察，勤看。既要觀察老師表情和手勢，因為數(shù)學上有許多抽象的概念，通過教師的眼神、手勢往往會表達的更生動、更形象，利于理解。又要仔細觀察知識語言的表現(xiàn)，多方面增加感性知識。課堂上要求學生學會聽，要聽出教師講述的重點難點，聽清楚知識的來龍去脈，弄清問題的實質所在；針對舊知識要學生耐心聽，新知識要仔細聽；跨越聽課的學習障礙，不受干擾；聽完一節(jié)課后，概念的實質要明確，主次內容要分明。課堂上學生嚴格按要求進行操作，掌握技能，學會做筆記，根據(jù)教師講課特點和板書習慣，抓住中心實質，在理解基礎上扼要記下重點、難點；思路有時也可以記下。教師形象比喻，深入淺出的分析等，尤其是技能的形成必須親手操作才能逐漸形成。

5.在初中數(shù)學教學中讓學生成為課堂的主人

教育家陶行知先生提倡"行是知之始，知是行之成。"人的能力并不是靠"聽"會的，而是靠"做"會的，只有動手操作和積極思考才能出真知。

因此，我們不能讓學生在課堂上做"聽客"和"看客"，要讓學生做課堂的主人，動口、動手、又動腦，親身參與課堂和實踐，包括知識的獲取、新舊知識的聯(lián)系，知識的鞏固和應用的全過程。要強調凡能由學生提出的問題，不要由教師提出；凡能由學生解的例題，不要由教師解答；凡能由學生表述的，不要由教學寫出。

6.幫助學生建立一系列的"數(shù)學思維模型"

現(xiàn)代數(shù)學是構造數(shù)學。學生頭腦中沒有一系列的的數(shù)學模型就難以掌握好數(shù)學知識。同理，學生頭腦中沒有一系列的數(shù)學思維模型，也難以有章可循，做到學有一定之規(guī)，思有一定之法。關于解應用題，代數(shù)比算術高明，它提供了用列解方程的方法，不僅解法更簡捷，而縣城方程思想遍及數(shù)學各領域。在數(shù)學中，很多數(shù)學思維模型經(jīng)常起作用。如抓住"歸納DD猜想DD數(shù)學歸納法"證明這一模式，很多規(guī)律得以發(fā)現(xiàn)并論證。抓住思維活動五個階段（直觀思考DD聯(lián)想思考DD興趣思考DD創(chuàng)造思考），針對學生特點，在學生興趣思考時適時點撥，往往能一石激起千層浪，使學生獲得終生難忘的真才實學，潛能必將得以充分發(fā)揮。

7.教會學生進行辯證思維

第6篇：自然科學的數(shù)學原理范文

一、利用學生的前概念引發(fā)認知沖突

前概念是指個體在沒有接受正式的科學概念教育之前，對現(xiàn)實生活現(xiàn)象所形成的經(jīng)驗性概念。學生由于種種原因，看不到事物的本質特征，往往會形成一些錯誤的日常概念。學生在學習九年級電壓表和電流表的使用中，把電壓表看作開路，電流表看作導線。而在伏安法測電阻實驗中，對實驗數(shù)據(jù)進行誤差分析時卻又不能這樣做了，它們分別起到分壓和分流的作用。于是，產(chǎn)生了新知識和舊知識的矛盾，也就爆發(fā)了認知心理上的沖突，從而激發(fā)起學生進一步探究的渴望。

學生在學習物理之前，已經(jīng)積累了大量的生活經(jīng)驗，有的經(jīng)驗反映了事物的本質，是正確的；而有的經(jīng)驗只是事物的表面現(xiàn)象，是片面的，甚至是錯誤的。可見，教學中教師要充分了解學生錯誤的前概念，善于挖掘學生頭腦中隱藏的錯誤經(jīng)驗，引發(fā)思維沖突。

二、利用實驗引發(fā)認知沖突

我國學者鐘啟泉教授指出“實驗是在學習者的面前引起日常生活中不可能經(jīng)驗到的現(xiàn)象。違背學習者常識的實驗結果，將造成學習者意識中的認知失衡狀態(tài)，擺脫這種認知矛盾狀態(tài)求得解放的需求，就成了學習的動力”。由此可見，教師可以通過創(chuàng)設探究性實驗情境，預先讓學生嘗試做出猜想，然后在學生面前呈現(xiàn)日常生活中不可檢驗到的或意想不到的新現(xiàn)象，促使學生用原有的知識結構去同化，解釋這些現(xiàn)象，往往感到困惑、迷惘，進而引發(fā)認知沖突，使學生產(chǎn)生強烈的探究欲望。

對于“電流”的概念，由于受到“流”的影響，學生會認為燈泡等用電器是讓電流“流進”并將電流消耗的終端設備，他們會認為電流在電源正極時較大，通過用電器后逐漸減小，回到電源負極時最小。這時教師只需引導學生用多個一樣電功率的小燈泡串聯(lián)起來接入電源，讓學生們看燈泡的亮度是否會離電源正極越遠而越暗，通過明顯的實驗現(xiàn)象來引發(fā)他們的認知沖突，這樣他們就明白了電流只是“流過”用電器，這不僅理解了電流的概念，也為理解與其他形式的能的轉化提供了感性認識。

三、利用物理原理與物理事實間的矛盾引發(fā)認知沖突

物理原理中的公式、定理、定律往往都有一定的適用條件，學生往往認識不夠完整與深刻，不了解其內涵與外延或沒有掌握其適用條件，在應用過程中往往會遇到理論知識與實際問題不相符的情況。在教學過程中恰恰可以利用這一矛盾，引發(fā)學生的認知沖突。

四、利用物理與數(shù)學之間的矛盾引發(fā)認知沖突

近代物理學的書寫語言是數(shù)學。牛頓的著作《自然科學的數(shù)學原理》（1678年），把數(shù)學化樹立為近代科學成功的標志，在物理概念中許多的概念都可以用數(shù)學公式來表示。但物理學不同于數(shù)學，物理學更重要的是物理事實，物理本質和物理關系。數(shù)學方法引起的認知沖突，通常教師只需把問題提出，以討論的形式開展，其收效會更大。使學生對概念的認知水平在學生討論及教師對概念的講解中不斷提高，其錯誤的物理概念也會漸漸變成科學的物理概念。

例如，在建立“密度”概念后，為深化學生對概念的理解，可以出示下面的問題：

由ρ=■，關于同一物質的密度，下列說法正確的是（ ）

A.物體的質量越大，則密度越大。

B.物體的體積越小，則密度越大。

C.在體積相同的情況下，密度與質量成正比。

D.密度與質量、體積無關。

第7篇：自然科學的數(shù)學原理范文

理想模型思想是研究物理學問題的最基本思想，是為了突出問題的主要性質，忽略了次要因素的影響，用一種理想化的客體來代替客觀事物，從而使問題變得簡單的方法。質點是物理中建立的第一個理想化模型：當物體自身的線度大小遠小于兩物體之間的距離，而且物體的大小、形狀對所研究問題的影響忽略不計時，都可以把它們視為質點。能否將物體視為一個質點，要以具體的研究問題來決定，而與物體本身無關。原子、分子雖小，一旦涉及到自身的內部結構就不可以把它們視為質點；地球雖大，如果不涉及自身結構及自轉，就可以將它看做質點。理想模型的學習能夠使學生認識到建立模型是物理學也是自然科學中的一個基本研究思想，若不這樣做就無法將復雜事物簡單化，問題很難得到解決[2]；同時這種理想化的抽象又不是憑主觀想象的，有一定的限定條件和限定范圍，是以客觀事實（當問題本身的次要因素對所要研究的問題影響不大，可以忽略不考慮）為基礎的。通過在教學過程中滲透理想模型思想可以培養(yǎng)學生的思維概括能力，抓住事物的本質因素，掌握建立理想模型的條件和方法，當理想模型存在不足時，知道如何對其進行適當修正。同時，為后續(xù)物理學中相關內容的學習打下良好的思維能力基礎，如剛體模型、黑體模型、點電荷模型、原子模型等的建立與理解。理想模型思想還能夠應用到其他學科及社會生活中去。例如，管理學中，對于一個具體的研究問題，對各方面的影響因素進行分析之后，忽略非本質因素的影響，建立一定的理想模型，通過相關的軟件計算得到最終的結果。因此，不管學生畢業(yè)之后從事什么工作，物理學中所體現(xiàn)的理想模型思想對他們今后的工作都具有一定的指導作用。

2微積分思想和方法

大學物理與中學物理的一個重要區(qū)別是微積分思想在解決物理問題中的廣泛應用。中學物理采用的是初等數(shù)學的方法，而大學物理涉及到的主要是微積分的思想，這對于剛步入大學開始學習物理的學生來說是難以適應的。因此，如何使學生理解并掌握微積分思想，熟練運用微積分方法來分析物理問題，就成為大學物理教學中必須解決的問題[3]。任何一門學科的學習都是由簡到繁的過程，復雜現(xiàn)象和規(guī)律的學習都是以簡單的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎的。中學物理研究簡單的特殊性問題，比如直線運動問題，恒力做功問題以及靜止的點電荷在空間產(chǎn)生的電場問題等。而大學主要研究普遍性的問題，例如，如何計算變力所做的功以及帶電體系周圍任一點的場強。對于難以研究的復雜物理問題，可以把它分割成許多較小單元內的相應局部問題，只要單元取的足夠小，就可以將局部范圍內的問題近似看為簡單的、所熟悉的可研究問題，例如曲面變?yōu)槠矫?，曲線變?yōu)橹本€，非線性量變?yōu)榫€性量[4]。這時再將所有單元內的研究結果累加起來，就可以得到所要研究問題的結果。這就是微積分的思想和方法。例如，計算一個帶電量為q的連續(xù)帶電體周圍任一點的場強。采用微積分的思想，可將連續(xù)帶電體分為無限多個小部分，由于每個小部分無限小，可以把它視為一個帶電量為dq的點電荷，整個帶電體可以視為一個點電荷系。點電荷周圍任一點的場強公式是已知的，整個帶電體產(chǎn)生的電場強度等于所有電荷元產(chǎn)生電場強度的矢量和。由于電荷是連續(xù)分布的，求和變?yōu)榉e分，問題得到解決。微積分思想在物理中的應用還用很多，貫穿于整個大學物理內容之中，比如均勻帶電圓盤軸線上的場強分布，任意載流導線周圍的磁場分布等。在教學中要引導學生自己分析，養(yǎng)成一個良好的思維習慣，提高教育自身的價值，為以后進行更深層次的工作和學習做好準備，對學生今后的發(fā)展具有深遠的積極意義。

3數(shù)理結合思想

物理問題的具體研究與解決需要借助于數(shù)學工具，一個優(yōu)秀的物理工作者首先也應該是一個優(yōu)秀的數(shù)學工作者。物理學的發(fā)展過程是以實驗和現(xiàn)象為基礎，通過觀察確立直觀物理量并收集需要的信息，運用數(shù)學工具建立這些物理量之間的關系，最后通過實驗驗證這一規(guī)律。物理學理論體系的建立與數(shù)學知識是密不可分的：在《自然哲學的數(shù)學原理》一書中，記錄了牛頓在力學、熱學、天文學、光學等方面的成就。牛頓在前人的工作基礎上用數(shù)學方法以數(shù)學表達式的形式清晰的總結出了牛頓三大定律、萬有引力定律，從而建立了經(jīng)典力學的理論體系。除此之外，牛頓還是微積分的首創(chuàng)者，而微積分對于后來自然科學的發(fā)展具有重要作用。后來，麥克斯韋將矢量偏微分算符引入數(shù)學，用一組方程組的形式將電場與磁場的統(tǒng)一性表示出來，成為物理理論體系的又一重大進展。由此可以看出數(shù)學在物理研究中的重要地位。在物理解題過程中常用到的數(shù)學方法有矢量分析法，矢量圖解法，幾何法，面積法等。例如，小球與平面發(fā)生碰撞前后動量的改變，既可以應用矢量圖解法及三角形法則進行分析求解，也可以應用數(shù)學中的矢量分解進行求解；對于一個任意的熱力學過程，該過程中做功大小等于過程曲線下所包含的面積大小；畢奧—薩法爾定律的應用則要用到矢量的乘法等。現(xiàn)在的理論物理工作者，每天最大的工作量就是公式推導與計算。如果沒有扎實的數(shù)學基礎作支撐，那么他們的工作就無法進行下去，物理學就不會有所進展。同樣，如果不是前人將物理規(guī)律與現(xiàn)象用簡潔的公式進行高度概括，那今天的科技發(fā)展與社會進步也不會達到這樣一個水平。但是，學生往往不能將數(shù)學知識與物理問題聯(lián)系起來，這一方面要求學生必須學好數(shù)學知識，為其它學科的學習打好基礎，另一方面教師要引導學生將物理規(guī)律的文字表述轉化為數(shù)學表述，運用數(shù)學工具推理論證。教師要做好榜樣，在教學過程中要力求數(shù)學語言的準確性及規(guī)范性。

4結束語

第8篇：自然科學的數(shù)學原理范文

關鍵詞：微分方程；模型；應用

對于現(xiàn)實世界的變化，人們關注的往往是變量之間的變化率，或變化速度、加速度以及所處的位置隨時間的發(fā)展規(guī)律，之中的規(guī)律一般可以寫成一個（偏）微分方程或方程組。所以實際問題中，有大批的問題可以用微分方程來建立數(shù)學模型，涉及的領域包括物理學、化學、天文學、生物學、力學、政治、經(jīng)濟、軍事、人口、資源等等。

一、微分方程數(shù)學原理解析

在初等數(shù)學中，方程有很多種，比如線性方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程等，然而并不能解決所有的實際問題。要研究實際問題就要尋求滿足某些條件的一個或幾個未知數(shù)方程。這類問題的基本思想和初等數(shù)學的解方程思想有著許多的相似之處，但是在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質等方面依然存在很多不同的地方，為了解決這類問題，從而產(chǎn)生了微分方程。

微分方程是許多理工科專業(yè)需要開設的基礎課程，微分方程與微積分是同時產(chǎn)生的，一開始就成為人類認識世界和改造世界的有力工具，隨著生產(chǎn)實踐和科學技術的發(fā)展，該學科已經(jīng)演變發(fā)展為數(shù)學學科理論中理論聯(lián)系實際的一個重要分支。隨著數(shù)學建?；顒拥娜找婊钴S，利用微分方程建立數(shù)學模型，成為解決實際問題不可或缺的方法與工具。

而數(shù)學模型是對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，一個特定目的，根據(jù)特有的內在規(guī)律，做出一些必要的假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到一個數(shù)學結構.簡單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質的數(shù)學表達式（或是用數(shù)學術語對部分現(xiàn)實世界的描述），即用數(shù)學式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。

二、微分方程模型應用于實際問題的方法和流程總結

在研究實際問題時，常常會聯(lián)系到某些變量的變化率或導數(shù)，這樣所得到變量之間的關系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關系，因此，要得到直接關系，就得求微分方程。

一般用于求解微分方程的方法或形式有三種，分別是求解析解、求數(shù)值解（近似解）和定性理論方法。而建立微分方程模型的方法通常也有三種，其一是利用數(shù)學、力學、物理、化學等學科中的定理或經(jīng)過實驗檢驗的規(guī)律等來建立微分方程模型；其二是利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導數(shù)應用規(guī)律；其三是在生物、經(jīng)濟等學科的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復雜的，建模時在不同的假設下去模擬實際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學上求解或分析所建方程及其解的性質，再去同實際情況對比，檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現(xiàn)象。

在建立數(shù)學微分方程的流程上，我們通常第一步是對具體實際問題進行分析，找出問題中的變化量和變量關系，接著進行模型假設，將實際問題的元素用數(shù)學概念代替，然后進行符號設定，簡化計算，從而建立模型，進行求解，最后用求解的結果對之前的問題分析和模型假設進行驗證，驗證合理后進行模型的應用和評估。

三、微分方程模型應用領域歸納和具體案例分析

從應用領域上講，微分方程大方向上的應用領域主要分社會及市場經(jīng)濟、戰(zhàn)爭微分模型分析、人口與動物世界、疾病的傳染與診斷和自然科學這五個方面，如果細致來講，其中社會及市場經(jīng)濟方面又包括綜合國力的微分方程模型、誘發(fā)投資與加速發(fā)展的微分方程模型、經(jīng)濟調整的微分方程模型、廣告的微分方程模型、價格的微分方程模型；戰(zhàn)爭微分模型包括軍備競賽的微分方程模型、戰(zhàn)爭的微分方程模型、戰(zhàn)斗中生存可能性的微分方程模型、戰(zhàn)爭的預測與評估模型；人口與動物世界領域包括單種群模型及進行開發(fā)的單種群模型、弱肉強食模型、兩個物種在同一生態(tài)龕中的競爭排斥模型、無管理的魚類捕撈模型、人口預測與控制模型；疾病傳染與診斷領域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病診斷的微分方程模型、人體內碘的微分方程模型、藥物在體內的分布與排除模型；自然科學領域包括人造衛(wèi)星運動的微分方程模型、航空航天器翻滾控制的微分方程模型、非線性振動的微分方程模型、PLC電路自激振蕩的微分方程模型和盯梢與追擊問題的微分方程模型等。

盡管從上述微分方程應用領域的羅列和總結上，我們會覺得比較復雜，其實所有微分方程建模問題的流程都是嚴格按照問題分析、模型假設、符號設定、建立模型、模型求解和驗證模型這一流程進行的，下面就結合一個案例來具體分析：

比如弱肉強食微分方程模型。生活在同一環(huán)境中的各類生物之間，進行著殘酷的生存競爭。設想一海島，居住著狐貍與野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之豐富，兔子們無無食之憂，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐貍數(shù)量增加吃掉大量兔子，狐群又進入饑餓狀態(tài)而使其總數(shù)下降，這時兔子相對安全，于是兔子總數(shù)回升。就這樣，狐兔數(shù)目交替地增減，無休止的循環(huán)，遂形成生態(tài)的動態(tài)平衡。那么，如何用建立數(shù)學模型描述并預測下一階段情況呢？在這個問題上，某一時刻兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量就存在變量關系：

其中ax表示兔子的繁殖速度與現(xiàn)存兔子數(shù)成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；-cy表示狐貍因同類爭食造成的死亡速度與狐貍總數(shù)成正比；dxy表示狐兔相遇，對狐貍有好處而使狐貍繁殖增加的速度。

四、結語

微分方程模型的應用讓很多現(xiàn)實中難以具體計算的問題迎刃而解，通過對事物發(fā)展規(guī)律的掌控進行科學建模，是數(shù)學應用于生活的發(fā)展趨勢，作為廣大在校進行數(shù)學專業(yè)學習的同學來說，掌握好專業(yè)基本功，是將來就業(yè)工作，實現(xiàn)自身價值的重要途徑。

參考文獻：

[1]肖靜宇. 幾類分數(shù)階微分方程的數(shù)值方法研究[D].哈爾濱工業(yè)大學，2013.

[2]付樹軍. 圖像處理中幾何驅動的變分和偏微分方程方法研究[D].北京交通大學，2008.

第9篇：自然科學的數(shù)學原理范文

[關鍵詞] 中學 數(shù)學教學 “數(shù)學美”

中學數(shù)學教材始終洋溢著“數(shù)學美”的特質,數(shù)學教學活動中的師生無時不在感受數(shù)學美的誘惑。筆者結合中學數(shù)學教材,數(shù)學教學實際探討中學數(shù)學之美。

一、數(shù)學的簡潔美

簡約是一種美。數(shù)學便是用最簡潔的語言概括了數(shù)量關系、空間結構,也正因為簡潔,數(shù)學才得以最廣泛地運用,才有極強的生命力。

1.簡潔的阿拉伯數(shù)字

1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0這一組數(shù)字是人們對物質世界存在性最直接最原始的表達。歷史上,各國各民族都有自己的數(shù)字,但只有阿拉伯數(shù)字保留并廣為流傳,究其原因,簡潔流暢的書寫,干脆上口的發(fā)音,運算中進位快捷方便,是其勝出的法寶。

2.精煉的數(shù)學符號語言

自然界的客觀存在和普遍聯(lián)系要有合適的語言去表達,這種語言要言簡意賅,要有普適性,各種各樣的數(shù)學符號應運而生。正因為有了數(shù)學符號語言,數(shù)學知識才能一代代傳下去。一位美國數(shù)學家說,合適的數(shù)學符號“帶著自己的生命出現(xiàn),并且它又創(chuàng)造出新的生命來?！?/p>

3.簡明的公理化體系

數(shù)學猶如煙波浩渺的海洋,海洋中有數(shù)學分析,實函,復函,拓撲,還有歐式幾何,解析幾何,放射幾何……它們彼此相似,但又各成一門學科。因為它們大多建立在各自的公理化體系上。所謂“公理化”,即首先通過理性思維,根據(jù)邏輯次序,指出原始概念,原始圖形,原始關系,指出哪些是基本的不加證明的原始命題,即公理。由這些原始概念和公理出發(fā),定義其它概念,證明其它命題。中學數(shù)學中不乏這樣的精美知識鏈。函數(shù)遵循著“集合――映射――函數(shù)――圖象和性態(tài)”的結構體系;立體幾何遵循著“點線面等原始概念――公理――各種位置關系及判斷(定理)――角與距離(運用)”的結構體系;向量遵循著“向量的概念――平面(空間)向量基本定理――向量垂直,平行定義及判定――運用向量”結構體系。有了知識結構,學習就有了藍本,獲取知識就有了效率。雖然有些體系并未嚴格公理化,但并不影響人們對明快的公理化方法的喜好。

二、數(shù)學的對稱美

楊振寧認為物理學的現(xiàn)代方法“不是通過實驗導致結論,而是考慮對稱性的過程中列出方程式,由實驗加以證實?！睂ΨQ性的方法論同樣帶給化學深遠影響。從物理、化學等自然科學中抽象出許許多多的對稱,就形成了數(shù)學中的對稱圖形,對稱多項式,對稱方程,對稱函數(shù),對稱矩陣,對稱空間,對稱群等,這些美倫美奐的對稱帶給人們平衡,完整的美感。

1.對稱圖形

對稱圖形分為中心對稱圖形,軸對稱圖形和鏡象對稱圖形。眾所周知,圓、球既是軸對稱,又是中心對稱,且球還是面對稱幾何模型;使圓、球保持不變的空間變換有無限多。圓是周長為定值,面積最大的(或面積一定,周長最小)的平面圖形,球則是表面積一定,體積最大(或體積一定,表面積最小)的空間幾何體。當然稍遜圓、球的是正多邊形、正多面體,雖然不及圓、球完美,但其對稱帶給人們的美感仍不容小視。

巧妙運用對稱對稱多項式的性質,不僅簡化運算,而且更能感受對稱美的力量。

3.對偶原理

對偶原理廣泛存在于幾何,代數(shù)等數(shù)學學科。對偶原理要求既對換元素的種類,又對換元素運算。中學數(shù)學不乏這樣的例子。

橢圓的定義:平面上到兩定點距離和為定值( >兩定點之距)的動點的軌跡。而雙曲線的定義:平面上到兩定點距離差的絕對值為定值(

以上數(shù)例,可以感知,對偶不僅是廣泛運用的數(shù)學原理,更是一種數(shù)學思維方式。

三、數(shù)學的和諧奇峭美

人們喜好對稱的正方形,但更欣賞神賜比例下的黃金矩形,和諧美,奇峭更美。數(shù)學發(fā)展史告訴我們,數(shù)學發(fā)展道路崎嶇不平,時而晴空萬里,光彩照人,充滿靜謐的和諧美;時而電閃雷鳴,烏云滾滾,有著神鬼莫測的奇峭美。

1.常量與變量

數(shù)學上用“常量”表示事物的相對穩(wěn)定狀態(tài),用“變量”刻劃事物的變化及運動狀態(tài)?！俺！敝杏小白儭?常是暫時的,相對的;“變”中有“?！?變是永恒的,絕對的。變量變化的某個瞬間,變化的結果,都可以當常量處理。如函數(shù)y=f(x)在x0∈I的導數(shù)是一個常量,當x0取遍區(qū)間內的所有值,其導數(shù)就形成變量,如此就構成y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x),而運用導函數(shù)又可以輕松求出函數(shù)在某點的導數(shù)

2.有限與無限

有限是經(jīng)驗的,直觀的;無限更多的是靠推理,是想象的,理性的,無限步驟中的有限推理,無限過程中的有限結果。比如數(shù)學歸納法用有限的步驟證得命題在無限集(自然數(shù)集)上成立。又如球的表面積與體積公式的產(chǎn)生,就是用無限分割,求和,再求極限給出了S=4πr2, V=43πr3這一有限的結果。

3.特殊和一般