討論根的個(gè)數(shù)的方法精選(九篇)

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第1篇：討論根的個(gè)數(shù)的方法范文

    本文以人教版九年義務(wù)教育五年制小學(xué)第十冊(cè)數(shù)學(xué)第31頁(yè)的“百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題例3”的教學(xué)為例，談如何靈活 運(yùn)用“學(xué)導(dǎo)式”（本刊1998 年7—8月號(hào)）進(jìn)行教學(xué)。

    一、鋪墊導(dǎo)入

    1.聽老師念應(yīng)用題，然后讓學(xué)生根據(jù)題意，分別說成一道文字題，再口答算式。

    （1）某村去年造林20公頃，今年造林25公頃。 去年造林是今年和幾分之幾？

    （2）某工程隊(duì)七月份修路20千米，八月份修路25千米。 七月份修路是八月份的百分之幾？

    師：同學(xué)們想一想，這兩道題的算式為什么會(huì)一樣呢？

    教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、分析，明白“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”與“百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”的解題思路和方法是相同 的。

    2

    2.討論題：有的同學(xué)認(rèn)為“3米比5米少─，也可以說成5米比3米多

    5

    2

    ─?！边@樣說對(duì)不對(duì)？為什么？

    5

    通過討論，讓學(xué)生明確：解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)， 關(guān)鍵要找準(zhǔn)單位“1”的量，要分清楚是哪個(gè)數(shù)量與哪個(gè)數(shù) 量相比較。

    3.補(bǔ)題導(dǎo)入。

    教師出示一道不完整的應(yīng)用題：“一個(gè)鄉(xiāng)去年原計(jì)劃造林12公頃，實(shí)際造林14公頃?！币髮W(xué)生想一想： 根據(jù)題中的已知條件，可以提出哪些求百分之幾的問題？

    學(xué)生可能提出很多個(gè)問題，教師選擇“實(shí)際造林比原計(jì)劃多百分之幾？”的問題，變成例3。然后揭示課題 。

    〔注析：這個(gè)數(shù)學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，具有“活、實(shí)、 趣”的特點(diǎn)：（1）聽題答題，形式活潑；（2）誘導(dǎo)討論 ，訓(xùn)練落實(shí)；（3）補(bǔ)題導(dǎo)入，新穎有趣?！?/p>

    二、學(xué)習(xí)新知

    1.明確目標(biāo)。

    師：看到例題和課題，同學(xué)們想一想，議一議，這堂課我們要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？達(dá)到什么要求呢？

    歸納學(xué)生的回答，展示學(xué)習(xí)目標(biāo)。（略）

    2.自學(xué)新知。

    師：（指著例3）怎樣解答這道題呢？請(qǐng)大家邊看課本例3的解法，邊思考以下幾個(gè)問題：（1）從問題看，

    是哪個(gè)數(shù)量和哪個(gè)數(shù)量相比較：應(yīng)當(dāng)把哪個(gè)數(shù)量看作單位“1”？（2）求實(shí)際造林比原計(jì)劃多百分之幾，就是 求什么數(shù)量占什么數(shù)量的百分之幾？應(yīng)該先求什么？再求什么？

    〔注析：培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力是為學(xué)生今后的“自我發(fā)展”打好基礎(chǔ)。但自學(xué)能力的培養(yǎng)要講究策略，要做 到主導(dǎo)性和主體性相統(tǒng)一。讓學(xué)生自學(xué)課本，從課本中自主探究，獲取知識(shí)，這是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的重要形式， 突出了主體地位。思考題的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了教師主導(dǎo)的必要性?！?/p>

    3.啟導(dǎo)理解。

    （1）師生共同作例3的線段圖，并讓學(xué)生在線段圖上指出“多”的部分是（14—12）公頃。

    （2）指名回答自學(xué)思考題， 著重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生理解：“求實(shí)際造林比原計(jì)劃多百分之幾？”列成關(guān)系式 是：多的公頃數(shù)÷原計(jì)劃的公頃數(shù)＝所求。

    （3）根據(jù)以上分析，啟發(fā)學(xué)生列出算式（指名口頭列式， 教師板書）。

    〔注析：“學(xué)導(dǎo)式”中的“啟導(dǎo)理解”有別于傳統(tǒng)教學(xué)方法的教師主宰講解。它要求教師必須采用啟發(fā)式 進(jìn)行教學(xué)，要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性作用，讓學(xué)生主動(dòng)參與感知、探究、理解、內(nèi)化的學(xué)習(xí)過程。在學(xué)生 感知應(yīng)用題內(nèi)容的基礎(chǔ)上，畫出線段圖，再探究解題的關(guān)鍵，理解數(shù)量關(guān)系，把內(nèi)化的解題思路與方法外化為 解題算式，這教學(xué)軌道吻合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律?！?/p>

    4.質(zhì)疑問難。（如果有些問題學(xué)生沒提出來，教師也可自我設(shè)問挑疑，將學(xué)習(xí)引向深入。）

    （1）這道題還有其他解法嗎？

    指導(dǎo)學(xué)生看分析圖，討論新的解題思路。算式：14÷12－1≈1.167－1＝0.167＝16.7％。

    （2）如果把例3中的問題改成“原計(jì)劃造林比實(shí)際造林少百分之幾”，該怎樣解答？

    先引導(dǎo)學(xué)生從問題看，思考是哪兩個(gè)量比較？把誰(shuí)看作單位“1 ”？（可讓學(xué)生遷移運(yùn)用學(xué)習(xí)例3時(shí)的方法 ， 教師要特別注意學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。）

    （3）學(xué)生有可能還提出以下一些疑問：例3第2種解法中的“14 ÷12表示什么？“1”表示什么？“1”能 不能寫成100％？ 怎樣正確使用“約等于號(hào)”和“等于號(hào)”等問題，教師可根據(jù)實(shí)際情況，靈活釋疑，既可以 由教師直接解疑也可以讓學(xué)生互相解疑。

    〔注析：質(zhì)疑問難能力是學(xué)生文化科學(xué)素質(zhì)、心理素質(zhì)的綜合反映，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑問難能力是素質(zhì)教育的 需要，是“學(xué)導(dǎo)式”教學(xué)法的一個(gè)著力點(diǎn)。這里并不拘泥于“學(xué)導(dǎo)式”的教學(xué)程序，而是根據(jù)教材編排特點(diǎn)和 認(rèn)知規(guī)律，靈活調(diào)換教學(xué)步驟，將“質(zhì)疑問難”放在“啟導(dǎo)理解”之后，既便于引出其他解法，又有利于根據(jù) 學(xué)生的差異性調(diào)整、補(bǔ)充、修正教學(xué)思路。〕

    5.歸納學(xué)法。

    （1）引導(dǎo)學(xué)生將例3的第一種解法和改變問題后的第一種解法進(jìn)行比較。異同點(diǎn)在什么地方？為什么除數(shù) 不一樣？

第2篇：討論根的個(gè)數(shù)的方法范文

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的特點(diǎn)——系統(tǒng)性、連貫性，可以知道新知識(shí)是相對(duì)的新知識(shí)，它是舊知識(shí)或者說是已知知識(shí)的延伸、發(fā)展或轉(zhuǎn)化過來的，新知識(shí)只是相對(duì)的新知識(shí)，與已知知識(shí)有相關(guān)的連接點(diǎn)，或是落腳點(diǎn). 另外，作為學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生有著學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，以及一定的生活經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)特點(diǎn)，這也為這種導(dǎo)入方法創(chuàng)造了條件.

由于是基本的導(dǎo)入方法，教學(xué)中能應(yīng)用的這種導(dǎo)入方法的內(nèi)容比較多，不一一列舉. 我以兩步計(jì)算應(yīng)用題為例列舉說明.

準(zhǔn)備題：列式計(jì)算，說說列式的依據(jù).

（1）食堂每天吃8袋糧食，吃了4天，一共吃了多少袋？

每天吃的袋數(shù) × 吃的天數(shù) = 一共吃的袋數(shù)

8 × 4 = 32（袋）

（2）食堂原有50袋糧食，吃了32袋，還剩多少袋？

原有米的總袋數(shù) - 已吃了的袋數(shù) = 剩下的袋數(shù)

50 - 32 = 18（袋）

計(jì)算反饋后，要求學(xué)生把兩道一步計(jì)算應(yīng)用題合編成一道兩步計(jì)算的應(yīng)用題，分組討論編寫，由于數(shù)量關(guān)系清楚，編寫難度不大，解答也不成問題，但應(yīng)注意中間問題的尋找. 這種導(dǎo)入方法分解了難度，逐個(gè)突破，使學(xué)生完成任務(wù)不再困難. 二、對(duì)比方法的導(dǎo)入

發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，這是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的舉措之一. 通過對(duì)新舊兩類知識(shí)或同一類知識(shí)中兩個(gè)方面相近或相似的揭示，讓學(xué)生從比較中找出差距，找出問題，由此及彼，觸類旁通，這樣不但能使學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的聯(lián)結(jié)，牢固掌握知識(shí)，還能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展思維，更能教給學(xué)生解題思路，掌握解法的道理.

教學(xué)內(nèi)容有：兩步計(jì)算與三步計(jì)算的計(jì)算題；除數(shù)是一位數(shù)和除數(shù)是兩位數(shù)的除法豎式計(jì)算；除法、分?jǐn)?shù)與比三者之間的各自性質(zhì)；等等. 這里仍以兩步計(jì)算應(yīng)用題為例.

投影出示8個(gè)蘋果，梨一袋，求蘋果和梨一共有（ ）個(gè). 根據(jù)投影討論下列問題：

（1）求蘋果和梨一共有多少個(gè)，能不能直接進(jìn)行計(jì)算，為什么？

（2）如果用一步計(jì)算，要補(bǔ)充什么條件？

（3）如果用兩步計(jì)算，要補(bǔ)充什么條件？

（4）你認(rèn)為“梨的個(gè)數(shù)和蘋果的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系”可以怎樣表示？

學(xué)生利用已有知識(shí)討論得出“梨的個(gè)數(shù) + 蘋果的個(gè)數(shù) = 一共的個(gè)數(shù)”. 要求用一步計(jì)算，梨的個(gè)數(shù)已知就可以解決問題；通過比較得出要求用兩步計(jì)算時(shí)，梨的個(gè)數(shù)應(yīng)未知，應(yīng)告知梨的個(gè)數(shù)與蘋果之間的關(guān)系；通過一步計(jì)算與兩步計(jì)算的比較進(jìn)一步得出“梨的個(gè)數(shù)”與“蘋果的個(gè)數(shù)”可以是“和差關(guān)系”也可以是“倍數(shù)關(guān)系”.

根據(jù)上述條件關(guān)系補(bǔ)充條件，就成一題兩步計(jì)算應(yīng)用題. 三、從實(shí)際生活問題導(dǎo)入

由于數(shù)學(xué)問題起源于實(shí)際生活，同時(shí)又為解決實(shí)際生活問題而產(chǎn)生. 學(xué)生對(duì)身邊的問題比較熟悉，那么在導(dǎo)課中利用身邊的實(shí)際問題，既能幫助學(xué)生解決了身邊問題，又能掌握數(shù)學(xué)知識(shí)；既培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成了理論聯(lián)系實(shí)際的思考方法，同時(shí)還發(fā)展了學(xué)生的思維.

對(duì)整數(shù)退位減法、重量單位千克的認(rèn)識(shí)、體積等等內(nèi)容可應(yīng)用這種導(dǎo)入方法. 現(xiàn)以比的意義給大家介紹：

（1）出示日常生活中常見的信息：爸爸年齡38周歲，兒子年齡13周歲. 你從中可知道哪些問題？年齡和年齡差、倍數(shù)、分率關(guān)系，商的問題等. 如：

（2）3支圓珠筆6元錢，每支幾元？ 6 ÷ 3 = 2（元）

（3）李平5天看書100頁(yè)，每天看幾頁(yè)？100 ÷ 5 = 20（頁(yè)）

教師小結(jié)：上面幾組除法算式還可用另外一種方法述說，如：

上述內(nèi)容是學(xué)生實(shí)際生活中經(jīng)常遇見的，而抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)用這些具體知識(shí)來幫助解決，就顯得容易多了，學(xué)生也會(huì)樂學(xué)，愛學(xué).

四、從培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣導(dǎo)入

興趣導(dǎo)入能激發(fā)學(xué)生求知的欲望，激勵(lì)學(xué)生勇于探索，提高學(xué)生的思維能力. 要讓學(xué)生愛數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，首先要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感興趣. 可以根據(jù)學(xué)生的好奇心，精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生充分展示自己的才能，讓學(xué)生有突破，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神.

這種導(dǎo)入可選擇的內(nèi)容有：周長(zhǎng)的計(jì)算、面積的計(jì)算，等等. 這里以比的基本性質(zhì)為例.

出示■ = （ ），要求是：盡量多填，并能說出根據(jù)；選出你認(rèn)為最有創(chuàng)意的答案.

反饋，經(jīng)老師歸納后如下：

第3篇：討論根的個(gè)數(shù)的方法范文

【關(guān)鍵詞】 單調(diào)性； 次數(shù)； 儒歇定理

中圖分類號(hào)：O174.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2016）01（a）-0000-00

高等數(shù)學(xué)是本科生的公共基礎(chǔ)課程，既為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，也有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力、邏輯推理能力。為了提高學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的效率，教師需要在以后的教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與主觀能動(dòng)性，開闊學(xué)生的思維與視野。下面用一些例子來說明一點(diǎn)這方面的體會(huì)。在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中，我們知道大家經(jīng)常利用介值定理判斷實(shí)函數(shù)在某些區(qū)間有沒有實(shí)根，但是通常比較難以確定根的個(gè)數(shù)。本文根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及實(shí)函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合自己的長(zhǎng)期的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，給出三種簡(jiǎn)單實(shí)用的方法來確定解的個(gè)數(shù)或方程根的個(gè)數(shù)。

一 利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

定理1 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 連續(xù)單調(diào)且 ，則 在 內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。

證明（略）。

根據(jù)上述討論得知 至少有四個(gè)零點(diǎn)，由于 是五次多項(xiàng)式，則 是四次多項(xiàng)式，因此 最多有四個(gè)零點(diǎn)，于是由定理 3知 有且僅有四個(gè)零。

三 利用儒歇定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

定理 3 假設(shè)

（1） 與 在簡(jiǎn)單閉圍道 上及其內(nèi)部均是解析的；

（2） 在圍道 上每點(diǎn)均有 ，

則函數(shù) 與 在圍道 內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同（零點(diǎn)按重?cái)?shù)計(jì)）。

證明（見[4，5，6]）。

由儒歇定理可知， 利用一些簡(jiǎn)單的解析函數(shù)可以判斷比較復(fù)雜的解析函數(shù)在某區(qū)域的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

由儒歇定理， 與 在 內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是相同的。由于 在單位圓內(nèi)顯然有一個(gè)零點(diǎn)，所以 在單位圓內(nèi)也有一個(gè)零點(diǎn)。因此原方程有一個(gè)根。

我們根據(jù)實(shí)函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系與性質(zhì). 也可以利用儒歇定理來考慮某些實(shí)函數(shù)根的個(gè)數(shù)問題。

由儒歇定理， 與 在 內(nèi)部的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是相同的。由于 在單位圓內(nèi)內(nèi)按重?cái)?shù)計(jì)算有2 個(gè)零點(diǎn)，所以 在單位圓內(nèi)也有兩個(gè)零點(diǎn)。因此 在 內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)。

說明： 對(duì)于某些實(shí)變函數(shù)， 由介值定理可判斷在給定的區(qū)間根的最少個(gè)數(shù). 再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、微分中值定理與系數(shù)以及復(fù)變函數(shù)中的儒歇定理， 可以確定在給定區(qū)間根的具體個(gè)數(shù)。每一門學(xué)科都有規(guī)律，這種規(guī)律需要總結(jié)與歸納。找到這些規(guī)律與學(xué)習(xí)方法，發(fā)揮主觀能動(dòng)性，學(xué)好高等數(shù)學(xué)就不難了。

參 考 文 獻(xiàn)

[ 1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)[M]， 北京： 高等教育出版社， 2007.

[ 2] 陳紀(jì)修， 淤崇華， 金路. 數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M]， 北京： 高等教育出版社， 1999..

[ 3] 劉玉璉， 傅沛仁， 等. 數(shù)學(xué)分析講義[M] 4 版， 北京： 高等教育出版社， 2003.

[ 4] 譚小江， 伍勝健， 復(fù)變函數(shù)簡(jiǎn)明教程[M]，北京： 北京大學(xué)出版社， 2006.

[ 5] 張錦豪， 邱維元， 復(fù)變函數(shù)論[M]， 北京： 高等教育出版社， 2001.

[ 6] 龔晟， 簡(jiǎn)明復(fù)分析[M]， 北京： 北京大學(xué)出版社， 1996.

On the zeros of real function

three discriminant method

Department of Applied Mathematics， College of Science，

Hunan Agricultural University， ChangSha 410128， China

第4篇：討論根的個(gè)數(shù)的方法范文

一、引言

近年來，移動(dòng)通信技術(shù)可謂是發(fā)展迅猛，然而通訊信號(hào)的發(fā)出與接收需要基站的接力中轉(zhuǎn). 不僅如此，雷達(dá)、衛(wèi)星等等的通訊工具都有一本文由收集整理定的信號(hào)接收范圍，而其昂貴的造價(jià)容不得其過多的采用. 如何用最少數(shù)量的中轉(zhuǎn)基站保證信號(hào)質(zhì)量和覆蓋率是值得研究的問題.

上述實(shí)際問題可通過解決下述數(shù)學(xué)問題來解決，即：設(shè)ω是一半徑為r的大圓，用n個(gè)半徑為r的小圓ω1，ω2，…，ωn（n是正整數(shù)）完全覆蓋大圓ω，即 .對(duì)于不同的r和確定的r試確定n的最小值（即小圓的最小個(gè)數(shù)）.

1.基站選址的理論分析

（1）基于抽屜原理的等分圓周法（適用于n=2，3，4）

小圓個(gè)數(shù)較少時(shí)，情況相對(duì)簡(jiǎn)單，我們可以用根據(jù)抽屜原理來解決這個(gè)問題。為方便起見，我們令大圓ω的半徑為1，先討論在n一定的情況，r的最小值.

根據(jù)文獻(xiàn)《用小圓覆蓋大圓》，加以作圖1、圖2說明，我們?nèi)菀椎玫剑涸趎=2，3，4時(shí)，最小半徑分別為r2=1，

現(xiàn)已求出給定一大圓半徑，分別用2，3，4個(gè)小圓覆蓋大圓時(shí)的最小小圓半徑. 這與我們一開始提出的求給定一大圓半徑，用已知半徑的小圓覆蓋大圓時(shí)的小圓的最小個(gè)數(shù)等價(jià). 不妨設(shè)小圓的半徑為1，大圓的半徑為r，記此時(shí)所需要小圓的最小個(gè)數(shù)是f（r）（它是r的函數(shù)）. 則根據(jù)上面的討論，我們有：

但是此方法不能推廣到n≥5時(shí)，原因是當(dāng)n≥5時(shí)，按照上述方法求出的半徑為 的小圓不能覆蓋大圓的全部，例如n=5，時(shí)，有圖3所示的結(jié)果，而其最優(yōu)方案應(yīng)該如圖4，它的最優(yōu)性也在1983年時(shí)被károly bezdek證明. 其證明過程繁雜，并且小圓的半徑r很難求出，但是我們可以知道它的半徑范圍為：

對(duì)于n≥5的情形一般很難討論，于是我們下面提出用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)法來確定小圓的最小半徑。

2.基于monte carlo法的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)法

首先我們研究覆蓋面積的統(tǒng)計(jì)分布，令大圓

小圓的圓心o1，…，om，相互獨(dú)立且服從二維正態(tài)分布：

式（3）中的σ12，…，σm2為方差，i2為r2的單位矩陣. 令s表示大圓ω被m個(gè)隨機(jī)小圓覆蓋的陰影面積. 這個(gè)陰影部分的面積s就是我們要研究的對(duì)象. 當(dāng)?shù)臄?shù)目在增加時(shí)，利用統(tǒng)計(jì)中的monte carlo方法，可得s的近似分布。

接下來，我們用數(shù)論的方法來進(jìn)行這一問題的隨機(jī)模擬。

首先在大圓ω上構(gòu)造一個(gè)nt網(wǎng)，并假設(shè)該網(wǎng)由n個(gè)點(diǎn)組成，且這些點(diǎn)在大圓上均勻分布. 若其中有m個(gè)點(diǎn)被小圓隨機(jī)圓覆蓋，則s的面積可以用：

來估計(jì).

最后我們參考汪文俊等人的基于monte carlo法的思想求小圓最小半徑的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)法。

理論上，用5000次隨機(jī)模擬就包含所有的情況似乎不夠嚴(yán)謹(jǐn). 故我們?cè)谶@里引入 的置信區(qū)間. 這里假設(shè)顯著性水平α=0.05，即置信度為95%.

假設(shè)樣本yk代表模擬計(jì)算得到的一系列可靠度值，將yk從小到大排得：

與第一部分類似地，當(dāng)小圓的半徑為1，大圓的半徑為r時(shí)，此時(shí)所需要小圓的最小個(gè)數(shù)：

第5篇：討論根的個(gè)數(shù)的方法范文

現(xiàn)以“四川省2013年小學(xué)數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)質(zhì)課觀摩活動(dòng)”榮獲一等獎(jiǎng)的自流井區(qū)塘坎上小學(xué)黃際老師執(zhí)教的“長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算”一課為例進(jìn)行分析。

一、問題引入時(shí)感悟“再創(chuàng)造”的思想

【片段一】

師：同學(xué)們，喜歡玩積木嗎？

生：喜歡。

教師課件出示：1cm3的正方體積木搭成的2個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)不規(guī)則的立體圖形。

師：老師用這種體積為1cm3的正方體積木搭成的圖形，你知道它們的體積是多少嗎？

教師和學(xué)生一起回顧舊知：要想知道一個(gè)物體的體積是多少，就看它含有多少個(gè)單位體積。

師：要知道這個(gè)長(zhǎng)方體橡皮泥的體積（課件出示一個(gè)長(zhǎng)方體橡皮泥），你有什么辦法？

生1：將橡皮泥切成1cm3的正方體，數(shù)數(shù)有幾個(gè)正方體就知道它的體積了。

生2：把長(zhǎng)方體沉入裝有水的燒杯里，水上漲的體積就是它的體積。

師：如果要知道一個(gè)長(zhǎng)方體粉筆盒或一摞作業(yè)本的體積，怎么辦？

生：可以用算的方法。

師：為什么？

生：因?yàn)榉酃P盒和作業(yè)本切碎或者到浸沒到水中以后就弄壞了，用計(jì)算的方法就不會(huì)弄壞，而且還更簡(jiǎn)便，不用去切或浸沒。

師：很好，你真不錯(cuò)！知道解決問題要契合實(shí)際，找簡(jiǎn)便，適用的好方法。你們也會(huì)這樣嗎？

師：看來用“切”和“浸沒”這兩種方法求長(zhǎng)方體的體積都有一定的局限。這里我們得用一種既不損壞長(zhǎng)方體，還能簡(jiǎn)便求出長(zhǎng)方體體積的方法――計(jì)算。可怎樣算呢？

【導(dǎo)引一】在問題引入中，我們不難看出老師在從學(xué)生熟悉的搭積木出發(fā)，喚起學(xué)生已有知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，溝通新舊知識(shí)的鏈接點(diǎn)，在放手讓學(xué)生想辦法求長(zhǎng)方體的體積。橡皮泥是一個(gè)可切，可浸沒的長(zhǎng)方體，學(xué)生利用已有的認(rèn)知基礎(chǔ)“要想知道一個(gè)物體的體積是多少，就看它里面含有多少個(gè)單位體積”易于解決，但不能切、不能浸沒于水中的粉筆盒和作業(yè)本，怎樣求出其體積？

這種情形對(duì)學(xué)生來講是一種挑戰(zhàn)，能很好地激發(fā)學(xué)生探索新方法的欲望。同時(shí)，我們應(yīng)該看到教師在這個(gè)過程中，讓學(xué)生充分體驗(yàn)和感悟了解決問題要聯(lián)系實(shí)際，要在已有經(jīng)驗(yàn)和方法的基礎(chǔ)上改進(jìn)和研究新方法的“再創(chuàng)造”的基本數(shù)學(xué)思想。

二、探究過程中感悟“建?！钡乃枷?/p>

【片段二】

師：現(xiàn)在一起來探究長(zhǎng)方體體積計(jì)算方法。同桌合作，用12個(gè)1cm3的正方體擺出一個(gè)長(zhǎng)方體，并把相關(guān)數(shù)據(jù)記錄于下表中。

學(xué)生交流分享了6種不同的擺法，教師根據(jù)學(xué)生交流的情況將相應(yīng)的數(shù)據(jù)記錄于上表中。

師：現(xiàn)在仔細(xì)觀察這個(gè)表，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)每排的排數(shù)、個(gè)數(shù)和層數(shù)有不同的擺法，但是擺出的長(zhǎng)方體體積都是12cm3。

生2：因?yàn)橛玫?cm3的正方體總個(gè)數(shù)都是12個(gè)，所以無論怎么擺，擺出的長(zhǎng)方體體積都是12cm3。

生3：我發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高。

生4：我發(fā)現(xiàn)每個(gè)長(zhǎng)方體每排個(gè)數(shù)、排數(shù)、層數(shù)相乘，都等于長(zhǎng)方體的體積。

師：是嗎？（課件出示用1cm3的正方體擺出的3×2×2形狀的長(zhǎng)方體）以這個(gè)長(zhǎng)方體為例，請(qǐng)你說給大家聽聽。

生：這個(gè)長(zhǎng)方體每排個(gè)數(shù)是3，2排，2層。一層3乘2，用了6個(gè)小正方體；兩層，6乘2，用了12小正方體。所以正方體的總個(gè)數(shù)是12，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積就是12立方厘米。因此，每排的個(gè)數(shù)乘排數(shù)再乘層數(shù)，等于長(zhǎng)方體的體積。

師：前面有同學(xué)說“長(zhǎng)方體的體積等于長(zhǎng)乘寬乘高”，怎樣想的？請(qǐng)說一說。

生：每排的個(gè)數(shù)乘排數(shù)再乘層數(shù)，等于正方體的總個(gè)數(shù)，正方體的總個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方體的體積。這里，每排個(gè)數(shù)相當(dāng)于擺出的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，排數(shù)相當(dāng)于寬，層數(shù)相當(dāng)于高。所以，長(zhǎng)乘寬乘高等于長(zhǎng)方體的體積。

師：我還不太明白，誰(shuí)能結(jié)合這個(gè)長(zhǎng)方體再說一說。

生：這個(gè)長(zhǎng)方體每排個(gè)數(shù)相當(dāng)于它的長(zhǎng)，排數(shù)相當(dāng)于寬，層數(shù)相當(dāng)于高，每排個(gè)數(shù)、排數(shù)、層數(shù)相乘等于正方體的總個(gè)數(shù)，也就是長(zhǎng)方體的體積。所以長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高。

師：這個(gè)每排個(gè)數(shù)是3個(gè)，排數(shù)是2排，層數(shù)是2層的長(zhǎng)方體，它的長(zhǎng)、寬、高各是多少？

生：長(zhǎng)是3cm，寬是2cm，高是2cm。

師：為什么？。

生：因一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是1cm，每排3個(gè)，長(zhǎng)就是3個(gè)1cm，也就是3cm。排數(shù)是2排，寬就是兩個(gè)1cm，也就是2cm，層數(shù)是2層，高就是2cm。

師：那么它的長(zhǎng)乘寬乘高等于？

生：3乘2乘2等于12cm3。

師：與這個(gè)長(zhǎng)方體體積――？

生：相等。

師：這么說你們都發(fā)現(xiàn)了：長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高？

【導(dǎo)引二】在這個(gè)探究過程中，學(xué)生通過同桌合作產(chǎn)生多種擺法，并借助實(shí)物和多媒體課件，交流、觀察、比較、分析，活躍了思維，達(dá)到了對(duì)每排個(gè)數(shù)、排數(shù)、層數(shù)與正方體總個(gè)數(shù)的直觀理解；溝通了每排個(gè)數(shù)、排數(shù)、層數(shù)、正方體總個(gè)數(shù)與擺出的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高、長(zhǎng)方體體積之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

這個(gè)過程在數(shù)學(xué)上稱為建模過程。學(xué)生通過拼擺和對(duì)比，將拼擺中的每排數(shù)、排數(shù)和層數(shù)與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高進(jìn)行對(duì)應(yīng)比較，將信息整理與思維聚焦融合起來，使學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)成果逐步歸納提煉為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，即“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高”。

【片段三】

師：同學(xué)們通過對(duì)“用12個(gè)1cm3的正方體擺出一個(gè)長(zhǎng)方體”進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)這些長(zhǎng)方體的體積等于長(zhǎng)乘寬乘高的積。其它長(zhǎng)方體的體積也等于長(zhǎng)乘寬乘高的積嗎？猜一猜。

生：我猜想其它長(zhǎng)方體的體積也等于長(zhǎng)乘寬乘高的積。

師：猜想的結(jié)果是否正確，是需要驗(yàn)證的。你們能驗(yàn)證嗎？誰(shuí)知道怎么驗(yàn)證？

生：我們用不同個(gè)數(shù)的正方體任意擺出一個(gè)長(zhǎng)方體，看它的體積與長(zhǎng)乘寬乘高的積是否相等來驗(yàn)證。

師：好主意。那就分小組合作驗(yàn)證吧。

師：用若干個(gè)1cm3的正方體任意擺出一個(gè)長(zhǎng)方體，看它的體積與長(zhǎng)乘寬乘高的積是否相等。把你們驗(yàn)證過程中的相關(guān)數(shù)據(jù)記錄于下表中。

學(xué)生小組合作驗(yàn)證，然后向全班匯報(bào)。最后得出結(jié)論：長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高。

師：你們中有擺出的長(zhǎng)方體體積與長(zhǎng)乘寬乘高的積不相等的嗎？

生：沒有。

師：這下我們是用不同個(gè)數(shù)的1cm3的正方體任意擺出一個(gè)長(zhǎng)方體，它的體積都等于長(zhǎng)乘寬乘高的積了，那我們是不是可以說所有長(zhǎng)方體的體積都等于長(zhǎng)乘寬乘高的積呢？

生：可以。

【導(dǎo)引三】通過學(xué)生對(duì)“其它長(zhǎng)方體的體積也等于長(zhǎng)乘寬乘高的積嗎”這個(gè)問題的研究，放飛了學(xué)生的思維。學(xué)生大膽猜想，分組探究，舉例驗(yàn)證了“長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高”。

這個(gè)研究過程就叫做數(shù)學(xué)模型的推廣。因?yàn)槲覀兺ㄟ^一個(gè)或幾個(gè)例子得到的結(jié)論，在數(shù)學(xué)上叫做不完全歸納法。這樣得出的數(shù)學(xué)模型的可靠性值得懷疑。因此，教師通過組織學(xué)生進(jìn)行任意舉例驗(yàn)證，再度實(shí)施研究，進(jìn)一步解釋了本數(shù)學(xué)模型的正確性和合理性。雖然我們現(xiàn)在的解釋還是處于低級(jí)階段，但是給學(xué)生提供了深入進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的思路，就是不斷地將已經(jīng)形成的初步數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推廣驗(yàn)證的思想方法。

三、討論交流中感悟“演繹”的思想

【片段四】

師：每個(gè)小組舉了2個(gè)例子，全班一共才舉了10幾個(gè)例子，驗(yàn)證了“長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高”，其中還有些例子是重復(fù)的。就能說明所有長(zhǎng)方體的體積都等于長(zhǎng)乘寬乘高嗎？

生：不能，但我們還可以繼續(xù)舉出很多這樣的例子來驗(yàn)證。

師：就這樣一直舉下去？能舉完嗎？你打算怎么舉例？

學(xué)生思考交流討論形成共識(shí)：例子很多，舉不完，但為了不重復(fù)和遺漏，要按照一定的順序――從小到大的舉例驗(yàn)證。

師：這個(gè)辦法不錯(cuò)，很好！我們就用這個(gè)方法一起來驗(yàn)證：

師：就從第四組已經(jīng)驗(yàn)證的這個(gè)長(zhǎng)方體起，（課件展示長(zhǎng)是5cm、寬2cm、高1cm的長(zhǎng)方體。）由小變大依次進(jìn)行驗(yàn)證。

師：這個(gè)長(zhǎng)方體我們讓它的長(zhǎng)、寬不變，只讓它的高變化。向高的方向增加一層（課件展示相應(yīng)的長(zhǎng)方體），看看現(xiàn)在這個(gè)長(zhǎng)方體的情況。

生：這個(gè)長(zhǎng)方體中1cm3正方體總個(gè)數(shù)是20個(gè)，它的體積就是20cm3，它的長(zhǎng)、寬沒有變化，所以長(zhǎng)是5cm、寬2cm；這個(gè)長(zhǎng)方體加高了一層的，也就是高增加了1cm，所以高變?yōu)榱?cm變。這樣，長(zhǎng)乘寬乘高就是5乘2乘2等于20cm3。

師：這說明什么？

生：說明現(xiàn)在這個(gè)長(zhǎng)方體的體積也等于長(zhǎng)乘寬乘高的積。

師：好！如果長(zhǎng)、寬繼續(xù)保持不變，高再增加一層呢？

學(xué)生驗(yàn)證得出：高再增加一層得到的長(zhǎng)方體的體積也等于它的長(zhǎng)乘寬乘高的積。

師：那如果照這樣依次增加到第四層，五層、六層、七層、八層、九層、十層能驗(yàn)證嗎？試試看。

有學(xué)生通過計(jì)算驗(yàn)證，有學(xué)生借助課件，觀察計(jì)算比較發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方體增加一層，他的體積就增加10cm3，高增加1cm，長(zhǎng)乘寬乘高的積也增加10cm3于是驗(yàn)證了“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高?！?/p>

師：不錯(cuò)！居然在驗(yàn)證過程中，還找到了他們的變化規(guī)律，利用這個(gè)變化規(guī)律來驗(yàn)證，就省事多了，你們真聰明！照這樣依次增加到一百層、一千層，一萬(wàn)層……還能驗(yàn)證嗎？閉眼，想像思考一下。

生：能驗(yàn)證。只要能擺出來，就都可以驗(yàn)證。

師：那我們現(xiàn)在還有必要再一一計(jì)算驗(yàn)證下去嗎？為什么？

通過討論，大家認(rèn)為，不論那種情況我們都有驗(yàn)證，現(xiàn)在可以說所有的長(zhǎng)方體的體積都能用長(zhǎng)乘寬乘高來計(jì)算了。接著，教師和學(xué)生一起總結(jié)，并板書：“發(fā)現(xiàn)―猜想―驗(yàn)證―結(jié)果”。

【導(dǎo)引四】在這個(gè)交流討論和共同驗(yàn)證的過程中，老師用“其中還有些例子是重復(fù)的。就能說明所有長(zhǎng)方體的體積都等于長(zhǎng)乘寬乘高嗎？”“就這樣一直舉下去？能舉完嗎？”這樣的問題，讓學(xué)生在討論交流的過程中，認(rèn)識(shí)到前面的擺長(zhǎng)方體進(jìn)行的舉例驗(yàn)證，雖然打破了總體積12cm3的局限，但自己在舉例時(shí)，思維是無序的，信息是有限的。同時(shí)，老師這樣的追問，把問題步步引向深入，把學(xué)生置于不能不去、不得不去解決的問題情境中，促使學(xué)生的思考不斷深入。進(jìn)而想出了在一個(gè)長(zhǎng)方體的基礎(chǔ)上由小到大依次添加一層，也就是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬不變的情況下，高依次增加一個(gè)單位長(zhǎng)度，來驗(yàn)證所發(fā)現(xiàn)的“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高”。

第6篇：討論根的個(gè)數(shù)的方法范文

知識(shí)與技能：理解并掌握乘法分配律的意義，會(huì)用字母表示乘法分配律。

過程與方法：經(jīng)歷計(jì)算、對(duì)比、發(fā)現(xiàn)，歸納總結(jié)乘法分配律的探索過程。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)合作、勇于探索的精神。

【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】

重點(diǎn)：理解和掌握乘法分配律的意義。

難點(diǎn)：揭示乘法分配律的特點(diǎn)。

【教法與學(xué)法】

教法：引導(dǎo)——發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法。

學(xué)法：獨(dú)立思考、分組討論、團(tuán)結(jié)合作。

【教學(xué)準(zhǔn)備】

教學(xué)掛圖。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備

讓學(xué)生口頭復(fù)述乘法交換律和乘法結(jié)合律，并回答下列各題：

17×25=25×（ ）

49×35=（ ）×49

a×b=b×（ ）

39×2×35=39×（×）

40×（15×38）=（40×）×38

（a×b）×c=a×（×）

師：前面我們經(jīng)過計(jì)算、分析、比較，發(fā)現(xiàn)了乘法交換律和乘法結(jié)合律，這節(jié)課我們繼續(xù)探索乘法還有什么定律。

二、探索新知

1.設(shè)置情境，提出問題

師：每年3月12日是“植樹節(jié)”，很多同學(xué)參加了植樹活動(dòng)，讓我們看看同學(xué)們積極植樹的場(chǎng)面。

出示植樹主題圖，讓學(xué)生觀察并找出已知的條件。經(jīng)過學(xué)生仔細(xì)地觀察、尋找、整理，發(fā)現(xiàn)已知條件：一共有25個(gè)小組參加植樹活動(dòng)，每組有4名同學(xué)負(fù)責(zé)挖坑、種樹，有2名同學(xué)負(fù)責(zé)抬水、澆樹。

讓學(xué)生根據(jù)已知的條件提出一些數(shù)學(xué)問題，師生共同解決。這時(shí)，有學(xué)生提出：一共有多少名學(xué)生參加了這次植樹活動(dòng)？

（1） 教師先組織學(xué)生獨(dú)立思考，再分小組議一議：先算什么，再算什么？

經(jīng)過學(xué)生的思考、討論、分析，讓各小組選派代表匯報(bào)本組的解答方法。

方法一：先求每組的人數(shù)，再求總?cè)藬?shù)。

（4+2）×25=6×25 =150（人）。

方法二：先分別求出負(fù)責(zé)挖坑、種樹和抬水、澆樹的人數(shù)，再求總?cè)藬?shù)。

4×25+2×25 =100+50=150（人）。

（2） 教師引導(dǎo)學(xué)生比較、區(qū)別這兩種方法的異同之處。

解題思路不同、列算式不同，但是最后計(jì)算結(jié)果是相等的，所以（4+2）×25=4×25+2×25。

思考題：25×（4+2）25×4+25×2，應(yīng)該填什么符號(hào)。

（3） 歸納總結(jié)定律。

師：從上面的等式中你能判斷出是不是類似的算式都有這樣相等的關(guān)系呢？

組織學(xué)生在小組內(nèi)交流、討論、合作，并讓學(xué)生仿照上面的例子舉一些類似的算式，并算一算，再進(jìn)行檢驗(yàn)。

（15+13）×4=15×4+13×4；

（7+3）×12=7×12+3×12；

（21+37）×13=21×13+37×13。

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)乘法分配律。在（4+2）×25=4×25+2×25等式中，左邊算式的運(yùn)算順序：先求和，再求積；右邊算式的運(yùn)算順序：先求積，在求和。

師生共同歸納等式的特點(diǎn)：“先求和，再求積”=“先求積，再求和”。

小結(jié)：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加。這叫做乘法分配律。

師：如何簡(jiǎn)便地表示乘法分配律呢？a×（b+c）和a×b+a×c相等嗎？

（4）比較區(qū)別乘法分配律與結(jié)合律的不同點(diǎn)。

師：乘法分配律和結(jié)合律一樣嗎？

組織學(xué)生在小組中討論、比較，然后以小組為單位選派代表發(fā)表各小組的意見，并相互交流。學(xué)生得出結(jié)論：乘法結(jié)合律是三個(gè)數(shù)相乘，而乘法分配律是兩個(gè)數(shù)的和同一個(gè)數(shù)相乘。

三、課堂練習(xí)反饋

1.完成課本第36頁(yè)“做一做”。

下面哪個(gè)算式是正確的？正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”。

56×（19+28）=56×19+28 （ ）

32×（7×3）=32×7+32×3 （ ）

64×64+36×64=（64+36）×64 （ ）

先組織學(xué)生讀題，弄清楚題意再思考，然后在小組內(nèi)相互討論交流。

2.完成課本38頁(yè)練習(xí)第7題。

下面每組算式的得數(shù)是否相等？如果相等，選擇其中一個(gè)算出來。

（1）25×（200+4）；25×200+25×4。

（2）35×201；35×200+35。

（3）265×105-265×5；265×（105-5）。

（4）25×11×4；11×（25×4）。

組織學(xué)生在小組中討論，加深學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解。

四、課堂小節(jié)

讓學(xué)生說一說這節(jié)課的收獲。

五、課后作業(yè)

1.不計(jì)算，把下面得數(shù)相等的式子用線連起來。

59×29+59×71 48×5-18×5

57×（20-18） （28+72）×25

28×25+72×25 57×20-57×18

（48-18） ×5 59×（29+71）

2.填一填。

134×4+134×6=×（+）

4×a+a×5=（+）×

（45+55）×72=×+×

【教學(xué)反思】

第7篇：討論根的個(gè)數(shù)的方法范文

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué) 新穎 生動(dòng) 倒數(shù) 賞析

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）35-032

教學(xué)片斷一：

師：學(xué)數(shù)學(xué)就得和數(shù)打交道。通過幾年的學(xué)習(xí)，同學(xué)們已學(xué)過了很多的數(shù)，最先學(xué)習(xí)的是――

生：自然數(shù)，也就是后來的整數(shù)。

師：后來我們又一起學(xué)習(xí)了――

生：分?jǐn)?shù)、小數(shù)。

師：不錯(cuò)。今天學(xué)習(xí)的知識(shí)也跟數(shù)有關(guān)，但又有別于前面學(xué)過的數(shù)，因?yàn)樗那懊孢€有一個(gè)字――倒。今天這堂課，我們就一起來“認(rèn)識(shí)倒數(shù)”。（板書課題）

師：老師想請(qǐng)同學(xué)們先猜想一下，倒數(shù)是什么樣的？

生1：倒數(shù)會(huì)不會(huì)就是把數(shù)倒過來？

生2：倒數(shù)是不是指倒了以后的數(shù)？

生3：是不是所有的數(shù)都有倒數(shù)？

師：對(duì)于什么是倒數(shù)，同學(xué)們表達(dá)了自己真實(shí)的想法，但作為一個(gè)概念，正確的定義顯然只有一種。所以，你覺得今天這堂課我們要解決的第一個(gè)問題應(yīng)該是什么？

生4：什么是倒數(shù)？（板書：是什么？）

師：除此之外，同學(xué)們還想了解些什么？

生5：我想知道學(xué)習(xí)倒數(shù)有什么用。（板書：用在哪？）

生6：我想知道怎樣求倒數(shù)。（板書：怎樣求？）

師：好，接下來我們就一起來研究、解決同學(xué)們提出的這些問題。

……

[賞析：課始教師提出問題，既是對(duì)學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的回顧，又引導(dǎo)學(xué)生溝通了新舊知識(shí)間的聯(lián)系，并將“是什么”“怎樣求”“用在哪”這些原本高高在上的教學(xué)目標(biāo)在學(xué)習(xí)內(nèi)需的驅(qū)動(dòng)下，巧妙、無痕地轉(zhuǎn)化為學(xué)生急切想了解和解決的問題。同時(shí)，教師抓住知識(shí)的特征，站在學(xué)生的角度設(shè)計(jì)問題，整個(gè)過程層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣，給人以余味無窮之感。]

教學(xué)片斷二：

師：請(qǐng)同學(xué)們打開數(shù)學(xué)課本第36頁(yè)找到倒數(shù)的定義，并輕聲地讀一讀。（生讀略）現(xiàn)在誰(shuí)來說說什么是倒數(shù)？（生答師板書）這句話中有不明白的地方嗎？

生1：我想知道“互為”是什么意思。

師：?jiǎn)柕煤?。誰(shuí)來說說？

生2：“互為”是指相互的意思，就是指你是我的倒數(shù)，我是你的倒數(shù)。

師（多媒體出示）：誰(shuí)能結(jié)合具體的例子來說一說？（生答略）

師（多媒體出示）：請(qǐng)同桌相互說說，誰(shuí)和誰(shuí)互為倒數(shù)？誰(shuí)的倒數(shù)是誰(shuí)？（生答略）

師：學(xué)到現(xiàn)在為止，剛才同學(xué)們提出的第一個(gè)問題解決了嗎？還有其他問題嗎？

師：老師還有一個(gè)問題。倒數(shù)這個(gè)概念的成立其實(shí)是有前提條件的，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

生3：要有兩個(gè)數(shù)，且它們的乘積是1。

師：不錯(cuò)。兩個(gè)數(shù)的乘積是1，這是倒數(shù)這個(gè)概念成立的前提條件。

……

[賞析：余文森教授針對(duì)教師的講解提出了“三講三不講”原則，即“已經(jīng)會(huì)的不講，自己能學(xué)會(huì)的不講，講了也不會(huì)的不講;講易混、易錯(cuò)、易漏點(diǎn)，講想不到、想不深、想不透的，講解決不了的”。上述教學(xué)環(huán)節(jié)，教師較好地處理了講與不講的關(guān)系，如在學(xué)生通過自學(xué)對(duì)倒數(shù)的意義有了初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題、困惑進(jìn)行探討和交流，深化學(xué)生的認(rèn)識(shí)。教師于無疑處生疑，使學(xué)生深刻理解了倒數(shù)的概念。]

教學(xué)片斷三：

師：請(qǐng)打開作業(yè)紙一，接下來老師想請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)倒數(shù)的意義，自己寫幾個(gè)分?jǐn)?shù)并求出它的倒數(shù)，然后同桌兩人一起討論怎樣求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。（學(xué)生討論后交流求倒數(shù)的方法，師板書方法）

師：同學(xué)們已經(jīng)會(huì)求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)了，接下來我們進(jìn)行一個(gè)搶答比賽，即老師說一個(gè)分?jǐn)?shù)，誰(shuí)的反應(yīng)快就直接站起來響亮地說出它的倒數(shù)。（師說分?jǐn)?shù)，最后兩個(gè)分?jǐn)?shù)分別是2）

師：2的倒數(shù)，有的同學(xué)認(rèn)為是2，有的同學(xué)站起來后又坐下去了，出現(xiàn)什么問題了？

生1：2的倒數(shù)不是2，因?yàn)?×2不等于1。

師：倒數(shù)的概念掌握得很清晰?？汕笠恍┓?jǐn)?shù)的倒數(shù)只要直接把分子、分母交換位置就行了，這里怎么不行呢？

生2：因?yàn)榍懊娴姆謹(jǐn)?shù)都是真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，這里是帶分?jǐn)?shù)。

師：?jiǎn)栴}又來了。那么，帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)到底應(yīng)該怎樣求呢？還有，求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，這個(gè)數(shù)除了分?jǐn)?shù)，整數(shù)可以嗎？小數(shù)呢？那求整數(shù)、小數(shù)的倒數(shù)的方法又是什么呢？（生思考）

師：接下來，我們分組來研究。請(qǐng)同學(xué)們打開作業(yè)紙二，先試著求出幾個(gè)數(shù)的倒數(shù)，然后四人小組思考、討論作業(yè)紙中的一個(gè)問題。（學(xué)生完成后討論以下問題：通過舉例研究，我發(fā)現(xiàn)求 的倒數(shù)，只要

）

師：這一組同學(xué)研究的是求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，他們發(fā)現(xiàn)求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的方法是――

生3：先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母交換位置。

師：這一組同學(xué)求的是整數(shù)的倒數(shù)，他們發(fā)現(xiàn)求整數(shù)的倒數(shù)的方法是――

生4：求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，只要用這個(gè)數(shù)作分母，用1作分子即可。

生5：還可以把整數(shù)看作分母是1的假分?jǐn)?shù)，然后把分子、分母交換位置。

師：整數(shù)當(dāng)中有兩個(gè)數(shù)比較特殊，知道是什么數(shù)嗎？它們的倒數(shù)又分別是多少呢？請(qǐng)同時(shí)說明理由。

生6：這兩個(gè)數(shù)分別是1和0，1的倒數(shù)是1，0沒有倒數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的乘積是1，這是倒數(shù)這個(gè)概念成立的前提，而0乘任何數(shù)都得0，所以0沒有倒數(shù)。

師：由此，求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，對(duì)這個(gè)數(shù)還要增加一個(gè)說明，那就是0除外。

師：這個(gè)小組求的是小數(shù)的倒數(shù)，他們發(fā)現(xiàn)求小數(shù)的倒數(shù)的方法是――

生7：先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再把分子、分母交換位置。

生8：我們小組討論后發(fā)現(xiàn)是用1除以這個(gè)小數(shù)，也能求出這個(gè)小數(shù)的倒數(shù)。

師：比較這兩種方法，大家有什么想說的嗎？

生9：我覺得這兩種方法都行，涉及具體的題目，哪一種簡(jiǎn)便就用哪一種。

生10：我們認(rèn)為把小數(shù)先化成分?jǐn)?shù)再求出它的倒數(shù)，可能更適用于一般情況。比如求0.3的倒數(shù)，用1÷0.3的話，它的商是循環(huán)小數(shù)，表示起來就比較麻煩，而先化成分?jǐn)?shù)就是 ，它的倒數(shù)是，這樣更簡(jiǎn)便。

師：你的說明有理有據(jù)。所以，求小數(shù)的倒數(shù)，我們一般是先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。

……

[賞析：上述教學(xué)中，教師以板塊的形式組織教學(xué)：先求真、假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，再求帶分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)的倒數(shù)。這樣安排，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使教學(xué)的結(jié)構(gòu)和層次更加清晰。同時(shí)，通過搶答游戲，既鞏固了學(xué)生學(xué)習(xí)的新知，又引發(fā)了學(xué)生對(duì)新問題的聚焦，使學(xué)生在活動(dòng)中主動(dòng)建構(gòu)新知。]

第8篇：討論根的個(gè)數(shù)的方法范文

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想就是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)分析和研究現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系，通過問題所提供的數(shù)量特征及關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用有關(guān)的函數(shù)知識(shí)解決問題.如果問題中的變量關(guān)系可以用解析式表示出來，則可把關(guān)系式看作一個(gè)方程，通過對(duì)方程的分析使問題獲解.

所謂方程的思想，就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達(dá)到求值目的的解題思路和策略.它是解決各類計(jì)算問題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ).函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常用、最重要的數(shù)學(xué)思想之一.

例1 （山西卷）下圖是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規(guī)律的圖案，則第n個(gè)圖案中陰影小三角形的個(gè)數(shù)是 .

解析 由圖可知：第一個(gè)圖案有陰影小三角形2個(gè)，第二個(gè)圖案有陰影小三角形6個(gè)，第三個(gè)圖案有陰影小三角形10個(gè)……則形成數(shù)對(duì)（1，2），（2，6），（3，10）……

設(shè)陰影小三角形的個(gè)數(shù)與圖案的次序之間的關(guān)系為y=kx+b，

將（1，2），（2，6）代入，得k+b=22k+b=6，解得k=4b=-2.

y=4x-2.檢驗(yàn)知（3，10）也符合此表達(dá)式.

陰影小三角形的個(gè)數(shù)與圖案的次序之間的關(guān)系為y=4x-2. 當(dāng)x=n時(shí)，y=4n-2.

故第n個(gè)圖案中陰影小三角形的個(gè)數(shù)是4n-2.

二、分類討論思想

在數(shù)學(xué)中，我們常常需要根據(jù)研究對(duì)象性質(zhì)的差異，分各種不同情況予以討論.這種分類討論的方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也是一種解題策略.

引起分類討論的因素較多，歸納起來主要有以下幾個(gè)方面：

（1）由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論；

（2）由數(shù)學(xué)變形所需要的限制條件所引起的分類討論；

（3）由于圖形的不確定性引起的討論；

（4）由于題目含有字母而引起的討論.

分類的原則有：①分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；②一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；③分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行.

例2 （湖北襄陽(yáng)卷）如果關(guān)于x的一元二次方程kx2-■x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（ ）

A.k

解析 由題意，根據(jù)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0的定義知： k≠0；

根據(jù)二次根式被開方數(shù)非負(fù)數(shù)的條件得：2k+1≥0；

根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得■=2k+1-4k>0.

三者聯(lián)立，解得-■≤k

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法.所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并充分地利用這種結(jié)合，探求解決問題的思路，使問題得以解決的思想方法.運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想解題，要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見圖形中的代數(shù)特征.

例3 （甘肅蘭州卷）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖1所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）

A. k-3 C. k3

解析 根據(jù)題意得：y=|ax2+bx+c|的圖象如圖2，

所以，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k>3.故選D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出y=|ax2+bx+c|的圖象，然后根據(jù)圖象得出k的取值范圍.

四、整體思想

整體思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對(duì)問題進(jìn)行整體處理的解題方法.從整體上去認(rèn)識(shí)問題、思考問題，常常能化繁為簡(jiǎn)、變難為易. 整體思想的主要表現(xiàn)形式有：整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補(bǔ)形、整體改造等等.

在初中數(shù)學(xué)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)與圖象、幾何與圖形等方面，整體思想都有很好的應(yīng)用，因此，每年的中考中涌現(xiàn)了許多別具創(chuàng)意、獨(dú)特新穎的涉及整體思想的問題，尤其在考查高層次思維能力和創(chuàng)新意識(shí)方面具有獨(dú)特的作用.

例4 （湖南婁底卷）如圖3，正方形MNEF的四個(gè)頂點(diǎn)在直徑為4的大圓上，小圓與正方形各邊都相切，AB與CD是大圓的直徑，ABCD，CDMN，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A. 4π B. 3π C. 2π D. π

解析 ABCD，CDMN，

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，陰影部分的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的■.

正方形MNEF的四個(gè)頂點(diǎn)在直徑為4的大圓上， S陰影=■π×（■）2=π.故選D.

五、轉(zhuǎn)化與化歸思想

所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是將待解決的問題和未解決的問題，采取某種策略，轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)能解決的問題，或者歸結(jié)為一個(gè)熟知的具有確定解決方法和程序的問題，最終求得原問題的解.

轉(zhuǎn)化與化歸思想的原則：

（1）熟悉已知化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，以便于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和技巧來解決.

（2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，通過簡(jiǎn)單問題的解決思路和方法，獲得對(duì)復(fù)雜問題的解答啟示和思路以達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的.

（3）具體原則：化歸方向應(yīng)由抽象到具體.

（4）和諧統(tǒng)一性原則：轉(zhuǎn)化問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式；或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律.

（5）正難則反的原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，應(yīng)想到問題的反面；或問題的正面較復(fù)雜時(shí)，其反面一般是簡(jiǎn)單的；設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲得解決.

例5 （山東泰安卷）如圖4，AB∥CD，E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，若AB=5，CD=3，則EF的長(zhǎng)是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

解析 連接DE并延長(zhǎng)交AB于H，

CD∥AB， ∠C=∠A，∠CDE=∠AHE.

E是AC中點(diǎn)， DE=EH. DCE≌HAE（AAS）， DE=HE，DC=AH.

F是BD中點(diǎn)， EF是DHB的中位線， EF=BH. BH=AB-AH=AB-DC=2，

EF=1. 故選D.

點(diǎn)評(píng) 作輔助線：連接DE并延長(zhǎng)交AB于H，把EF變換成DHB的中位線，使問題易于解決，體現(xiàn)了由未知――已知、綜合――單一的化歸.

例6 （山西卷）如圖5，一次函數(shù)y=（m-1）x-3的圖象分別與x軸、y軸的負(fù)半軸相交于A、B，則m的取值范圍是（ ）

A. m>1 B. m

第9篇：討論根的個(gè)數(shù)的方法范文

一、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟迪學(xué)生的思維

興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的直接動(dòng)力，它是求知欲的外在表現(xiàn)，它能促進(jìn)學(xué)生積極思考，勇于探索。

人的思維是從具體到抽象，從形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)化的。特別是低年級(jí)小學(xué)生的思維帶有明顯的具體性、形象性的特點(diǎn)。因此在教學(xué)過程中首先要堅(jiān)持直觀形象這一原則，即用具體、形象、生動(dòng)的事物充分調(diào)動(dòng)他們的多種感官，讓他們有充分的看一看、摸一摸、聽一聽、說一說的機(jī)會(huì)，以豐富深化感知。

以認(rèn)“2”為例，老師先出示實(shí)投：2個(gè)蘋果、2只小鳥、2個(gè)小學(xué)生、2輛汽車，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)再讓學(xué)生在桌上擺2根小棒，2個(gè)三角形等具體的實(shí)物來豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。學(xué)生一邊擺圖形，教師一邊提問：“這些東西不一樣，它們的數(shù)量一樣嗎？”從中使學(xué)生得知盡管這些東西各有不同，但數(shù)量都是“2”，可以用數(shù)字“2”來表示，使他們的認(rèn)識(shí)從具體到抽象，并在實(shí)物下面寫“2”。再請(qǐng)學(xué)生講出數(shù)量是“2”的各種各樣?xùn)|西，然后老師又問：“你們看到或聽到‘2'這個(gè)數(shù)時(shí)想到了什么？”他們說，想到人有2只手，2只腳，自行車有兩個(gè)轱轆，吃飯要用2根筷子等等，從而使學(xué)生又從抽象“2”想到實(shí)物，使學(xué)生初步形成"2"的概念。

由于直觀形象的方法適應(yīng)了學(xué)生的思維特點(diǎn)，喚起了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因而比較好地解決了低年級(jí)學(xué)生理解力差與教學(xué)概念抽象的矛盾，使學(xué)生沿著實(shí)物--表象--抽象的順序加深了對(duì)概念的理解。

二、運(yùn)用類比方法，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維

1.運(yùn)用比較辨別，啟迪學(xué)生思維想象

如在教學(xué)了數(shù)的整除的知識(shí)后，我出示了這樣一道例題：“一個(gè)大于10的數(shù)，被6除余4，被8除余2，被9除余1，這個(gè)數(shù)最小是幾？”應(yīng)該說這道題是有一定的難度的，學(xué)生求解會(huì)感到無從下手，這時(shí)，我出示了這樣一題比較題：“一個(gè)數(shù)被6除余10，被8除余10，被9除余10，這個(gè)數(shù)最小是幾？”這道題學(xué)生很快能求出答案：這個(gè)數(shù)即是6、8和9的最小公倍數(shù)多10，6、8和9的最小公倍數(shù)為72，因此這個(gè)數(shù)為：72+10=82；然后我引導(dǎo)學(xué)生將上面一道例題與這道比較題進(jìn)行比較和思考，學(xué)生很快知道，上道題只要假設(shè)被6除少商1余數(shù)即為10，被8除少商1余數(shù)也為10、被9除時(shí)少商1余數(shù)也為10，因此可迅速求得這個(gè)數(shù)只要減去10，就同時(shí)能被6、8和9整除，而6、8和9的最小公倍數(shù)為72，因此這個(gè)數(shù)為：72+10=82。這樣通過讓學(xué)生展開聯(lián)想和比較，不但可以提高學(xué)生的想象能力，同時(shí)也能提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

2.通過分析歸納，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維

如在教學(xué)完了平面圖形的面積計(jì)算公式后，我要求學(xué)生歸納出一個(gè)能概括各個(gè)平面圖形面積計(jì)算的公式，我讓學(xué)生進(jìn)行討論，經(jīng)過討論，學(xué)生們歸納出，在小學(xué)階段學(xué)過的面積公式都可以用梯形的面積計(jì)算公式來進(jìn)行概括，因?yàn)樘菪蔚拿娣e計(jì)算公式是：（上底+下底）×高÷2 。而長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形的上底和下底相等，即可將這公式變成：底（長(zhǎng)、邊長(zhǎng)）×高（寬、邊長(zhǎng)）×2÷2 =底（長(zhǎng)、邊長(zhǎng)）×高（寬、邊長(zhǎng)）；又因?yàn)閷A面積公式是根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出來的，因此，梯形的面積公式對(duì)圓也同樣適用；當(dāng)梯形的上底是零時(shí)，即梯形成了一個(gè)三角形，這時(shí)梯形的面積公式成了：底×高÷2。這即成了三角形的面積公式。這樣，不僅使學(xué)生能熟練掌握已學(xué)過的平面圖形的面積公式，同時(shí)，也培養(yǎng)和提高了學(xué)生的創(chuàng)新能力。

三、巧設(shè)探索性問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維

如在教學(xué)了百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題后，我出示了這樣一題：張老師欲購(gòu)買一臺(tái)筆記本電腦，為了盡可能少花錢，他考察了a、b、c三個(gè)商場(chǎng)，他想購(gòu)買的筆記本電腦三個(gè)商場(chǎng)都有，且標(biāo)價(jià)都有是9980元，不過三個(gè)商場(chǎng)的優(yōu)惠方法各不相同，具體如下：

a商場(chǎng)：全場(chǎng)九折。

b商場(chǎng)：購(gòu)物滿1000元送100元。

c商場(chǎng)：購(gòu)物滿1000元九折，滿10000元八八折。

張老師應(yīng)該到哪個(gè)商場(chǎng)去購(gòu)買電腦？請(qǐng)說明理由。

這道題顯然不同于一般的應(yīng)用題，因此我啟發(fā)學(xué)生，應(yīng)該充分考慮如何才能做到盡可能少花錢這一個(gè)特定的條件去進(jìn)行分析與解答。學(xué)生進(jìn)行了認(rèn)真的分析和討論，最后得出如下的結(jié)論：因?yàn)槊颗_(tái)電腦的價(jià)格均為9980元，而去a商場(chǎng)是全場(chǎng)九折，因此張老師如果去a商場(chǎng)購(gòu)電腦，那么張老師應(yīng)該付：9980×90%=8982（元）。

因?yàn)閎商場(chǎng)是購(gòu)物滿1000元送100元，張老師如果只買電腦，需付：9980-900=9080（元）；張老師如果再買其它的物品湊滿10000元，需付：10000-1000=9000（元）。

因?yàn)閏商場(chǎng)是購(gòu)物滿1000元九折，滿10000元八八折，張老師在c商場(chǎng)購(gòu)買電腦時(shí)，只要再多買20元物品，即湊滿10000元，最多需付：10000×88%=8800（元）。