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一、邏輯推理與實際應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機
數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史包括兩種典型的數(shù)學(xué)文化:一種是重視邏輯推理的希臘數(shù)學(xué)文化,一種是重視實際應(yīng)用的中國數(shù)學(xué)文化.
數(shù)學(xué)史家將古希臘數(shù)學(xué)按時間分期:第一期從公元前600年到前323年;第二期從公元前323年到前30年,也稱亞歷山大前期;第三期從公元前30年到公元600年,也稱亞歷山大后期[3].前兩個時期,希臘數(shù)學(xué)文化認為,數(shù)學(xué)命題只有通過幾何形式的邏輯推理論證才能說明其正確性,論證數(shù)學(xué)成為數(shù)學(xué)研究的主流,幾何形式的邏輯推理證明成為數(shù)學(xué)成果正確與否的衡量標準.這個標準逐漸發(fā)展成為對數(shù)學(xué)研究的期望或理想,即期望數(shù)學(xué)成果能夠通過幾何形式的邏輯推理來論證.在“亞歷山大后期”,古希臘數(shù)學(xué)突破了之前以幾何為中心的傳統(tǒng),算術(shù)、數(shù)論和代數(shù)逐漸脫離了幾何的束縛.這一時期受羅馬實用思想的影響,論證數(shù)學(xué)不再盛行,如海倫的《量度》中有不少命題沒有證明.但論證數(shù)學(xué)中的邏輯推理在數(shù)學(xué)研究中仍占有重要位置,如丟番圖《算術(shù)》書中采用純分析的途徑處理數(shù)論與代數(shù)問題[4].邏輯推理從幾何論證中脫離出來,邏輯推理解決問題的思想發(fā)展成為數(shù)學(xué)研究的新理想,即希望數(shù)學(xué)問題可以通過純邏輯推理的方法解決.縱觀整個希臘數(shù)學(xué)文化,數(shù)學(xué)研究成為滿足上述兩種理想而付出的勞動,成為實現(xiàn)個人價值、滿足求知欲的社會需求而付出的勞動.究其本質(zhì),邏輯推理思想是幾何論證與分析法解決問題的根本,是上述兩種理想中最本質(zhì)的思想,并且滿足動機的定義.因此它是古希臘數(shù)學(xué)研究的一個動機,也是人類進行數(shù)學(xué)研究的一個動機.
中國古代數(shù)學(xué)在整體發(fā)展上表現(xiàn)為算法的建構(gòu)和改進[5].所謂“算法”不只是單純的計算,而是為了解決一整類實際或科學(xué)問題而概括出來的、帶有一般性的計算方法[4].算學(xué)的目的在于解決實際問題,而實際問題是層出不窮的,因此中國古代數(shù)學(xué)不僅經(jīng)受住了統(tǒng)治者廢除“明算”科的考驗,甚至還有所發(fā)展,如元末明初珠算的普及.隨著中國數(shù)學(xué)文化的形成,用數(shù)學(xué)知識解決實際問題成為算學(xué)的理想,即期望數(shù)學(xué)成果能夠被實際應(yīng)用.中國古代數(shù)學(xué)研究成為受這個理想而支配的勞動,成為實現(xiàn)個人價值、滿足求知欲的社會需求而付出的勞動.實際應(yīng)用滿足動機的定義,因此它是中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個動機,也是人類進行數(shù)學(xué)研究的一個動機.
所以邏輯推理與實際應(yīng)用是人類進行數(shù)學(xué)研究的兩個動機,按動機的分類它們屬于驅(qū)力,是從生理需要出發(fā)的內(nèi)在動機.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以認為是有方向性的對已有數(shù)學(xué)成果的再次研究過程,可以看作是數(shù)學(xué)研究的特例形式.依據(jù)歷史發(fā)生原理綜合分析得出:人類進行數(shù)學(xué)研究的內(nèi)在動機一定會在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來,即激勵人類研究數(shù)學(xué)的內(nèi)在動機與激勵學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動機是一致的.
從實際情況出發(fā),邏輯推理可以作為生活中一種娛樂形式,如邏輯推理游戲、邏輯推理小說、邏輯推理電影等都深受公眾喜歡;而實際應(yīng)用也是大家十分感興趣的,如通過應(yīng)用基本的空氣動力學(xué)知識制作航模.
綜上所述,邏輯推理與實際應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機,且這兩個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機是學(xué)生共有的、內(nèi)在的,也是在實際教學(xué)中易于對學(xué)生進行培養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機.
古希臘數(shù)學(xué)中的公理化思想是希臘數(shù)學(xué)文化的重要特點之一.公理化思想出現(xiàn)的標志是歐幾里得的《幾何原本》.在數(shù)學(xué)中引入邏輯因素,對命題加以證明,一般認為是從伊奧尼亞學(xué)派開始的,但畢達哥拉斯學(xué)派在這一方面作了重大的推進,他們的工作可以說是歐幾里得公理化體系的前驅(qū)[3].因此公理化思想的提出要晚于邏輯推理思想,公理化思想是邏輯推理思想的發(fā)展.
算法程序化思想是中國數(shù)學(xué)文化的另一個重要特點.算法程序化思想出現(xiàn)的標志是成書于公元前后的《九章算術(shù)》.實際應(yīng)用思想雖沒有明確的出現(xiàn)標志,但在《九章算術(shù)》成書前的《周髀算經(jīng)》、《算數(shù)書》等書中涉及的數(shù)學(xué)知識都蘊含著明確的實際應(yīng)用思想.算法的提出是為了解決一類實際問題,算法程序化為了使算法嚴謹、簡明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于實際應(yīng)用思想,且算法程序化思想是實際應(yīng)用思想的發(fā)展.
隨著數(shù)學(xué)發(fā)展,公理化思想與算法程序化思想已應(yīng)用到現(xiàn)代數(shù)學(xué)中,成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特點.但它們不是貫穿整個古希臘數(shù)學(xué)與中國古代數(shù)學(xué)研究的內(nèi)在因素,而是邏輯推理與實際應(yīng)用數(shù)學(xué)思想發(fā)展的衍生物.公理化思想與算法程序化思想也可作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動機,但適宜群體明顯要少得多.數(shù)學(xué)發(fā)展至今,數(shù)學(xué)本身的文化區(qū)域性特點淡薄了,希臘數(shù)學(xué)文化與中國數(shù)學(xué)文化背后的驅(qū)力——邏輯推理與實際應(yīng)用思想,早已相互融合.近代微積分的應(yīng)用及理論的嚴密化過程就是一例.
二、比較古今數(shù)學(xué)教材以研究初中教材兩個學(xué)習(xí)動機的培養(yǎng)
教材是教學(xué)中最重要的用書之一,是教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù).《幾何原本》、《九章算術(shù)》作為西方與中國的數(shù)學(xué)教科書都有千年之久.兩本著作都反映了當(dāng)時的數(shù)學(xué)文化背景.重視邏輯推理與重視實際應(yīng)用分別成為教學(xué)思想包含在這兩本書中.
因為《九章算術(shù)》作為教材多將劉徽注釋加入其中,所以將現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材與《幾何原本》、《九章算術(shù)及劉徽注》進行比較研究.為增加3者的可比性,選擇它們共有的內(nèi)容,且知識體系完備,預(yù)備知識基本一致,學(xué)生認知水平大抵相同的勾股定理部分作為比較對象.這種比較雖不能以點代面,但仍有較強的代表性與啟發(fā)性.現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材采用經(jīng)全國中小學(xué)教材審定委員會2004年初審?fù)ㄟ^的義務(wù)教育課程標準實驗教科書八年級數(shù)學(xué)下冊[6],以第18章第1節(jié)勾股定理內(nèi)容為標準,選擇《幾何原本》、《九章算術(shù)及劉徽注》部分內(nèi)容進行比較.因《幾何原本》的成書結(jié)構(gòu)是公理化體系,利用已知命題證明未知命題,且命題后沒有輔助理解該命題的習(xí)題,所以選擇其中與勾股定理有關(guān)或利用勾股定理證明的命題作為比較對象.由于初中教材在講解勾股定理時,預(yù)備知識中未包含圓、無理量及立體幾何內(nèi)容,故選擇《幾何原本》[7]第Ⅰ卷命題47、48,第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13作為比較對象.《九章算術(shù)及劉徽注》的勾股章是利用直角三角形性質(zhì)求高深廣遠,因初中教材勾股定理的預(yù)備知識中沒有相似三角形及勾股數(shù)組的內(nèi)容,所以選擇《九章算術(shù)及劉徽注》[8]勾股章[一]至[一四]題及[一六]題作為比較對象.
1.各種教材中勾股定理的內(nèi)容
(1)編寫目的
《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(修改稿)》(下簡稱為《標準》)中勾股定理的教學(xué)要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能運用它們解決一些簡單的實際問題[9].《幾何原本》與《九章算術(shù)及劉徽注》雖沒有類似的編寫標準,但可以從它們的內(nèi)容及成書體系分析得出.《幾何原本》利用勾股定理轉(zhuǎn)換面積間關(guān)系證明幾何問題,即在直角三角形中,兩直角邊上正方形面積和與斜邊上正方形面積可以相互轉(zhuǎn)換.如第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13都是利用這種思想.《九章算術(shù)及劉徽注》利用勾股定理數(shù)量關(guān)系求得高深廣遠,解決實際生活的問題.
(2)知識框架
初中教材通過生活發(fā)現(xiàn)與幾何直觀探索,建立從實際到理論再到實際的知識體系,并運用定理解決簡單問題.《幾何原本》通過已知命題推導(dǎo)勾股定理,建立從理論到理論純幾何形式的知識體系,重在證明未知命題.《九章算術(shù)及劉徽注》通過給出3個簡單幾何問題“術(shù)”,建立從理論到實際的應(yīng)用知識體系,旨在解決實際問題.3者建構(gòu)的知識框架各不相同.
(3)定理引入
初中教材的導(dǎo)入分為兩部分,分析畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的定理特例與探究定理的一般形式.《幾何原本》受公理化體系的影響,它的導(dǎo)入可以認為是定義、公理、公設(shè)及已知命題.《九章算術(shù)及劉徽注》的導(dǎo)入是3個已知兩邊求第三邊的簡單幾何問題.
(4)定理表述
初中教材用特例猜想定理的一般形式給出勾股定理[6]:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b,斜邊為c,那么《幾何原本》的勾股定理以命題形式給出:在直角三角形中,直角所對邊上的正方形等于夾直角兩邊上的正方形[10].《九章算術(shù)及劉徽注》中的勾股定理以3個簡單幾何問題術(shù)的形式給出:勾股各自乘,并,而開方除之,即弦[8].3者對比,初中教材體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的勾股定理且形體現(xiàn)在邊長上;《幾何原本》中體現(xiàn)形的勾股定理且形體現(xiàn)在面積上;而《九章算術(shù)及劉徽注》體現(xiàn)數(shù)的勾股定理.各自的表述為其內(nèi)容服務(wù),它們之間存在一定差異.
(5)定理證明
初中教材利用我國古代趙爽的弦圖(如圖1、圖2、圖3),通過圖形旋轉(zhuǎn)證明定理猜想.這種證明方法是近年來學(xué)者們傾向于“古證復(fù)原”思想提出的.初中教材對定理證明如下[6]:
趙爽注釋的《周髀算經(jīng)》對勾股定理的證明如下:案弦圖又可以勾、股相乘為朱實二,倍之為朱實四.以勾股之差自相乘為中黃實.加差實一亦成弦實[8].
兩種解釋代表兩種證明思想,趙爽弦圖及其證明方法未成最終定論.初中教材選擇歷史上的數(shù)學(xué)作為定理證明既應(yīng)符合歷史,又應(yīng)符合學(xué)生認知習(xí)慣.圖形旋轉(zhuǎn)是否是趙爽的弦圖思想,是否符合學(xué)生對一般幾何問題證明的思維形式,仍需再斟酌.
關(guān)鍵詞:因果關(guān)系原因和條件內(nèi)外因關(guān)系邏輯
破壞分子發(fā)現(xiàn)炸藥倉庫的守護衛(wèi)兵在后半夜兩次交接班時警惕性較差,遂利用這一疏漏,接近倉庫點燃引爆物引發(fā)倉庫爆炸,使國家財產(chǎn)遭受重大損失。
破壞分子“點燃”引爆物的行為無疑是倉庫“爆炸”的原因。有人認為,保衛(wèi)工作的“疏漏”也是“爆炸”事件發(fā)生的重要原因。還有人根據(jù)內(nèi)外因原理認為,“炸藥能夠爆炸”(具有爆炸的性能)是內(nèi)因,破壞分子“點燃”引爆物是外因。內(nèi)因是根本的、決定性的原因。如果倉庫內(nèi)存放的只是一堆石子而沒有炸藥,就不會出現(xiàn)爆炸的結(jié)果。這一說法看似可笑,但與所說的“溫度不能使石頭變成小雞”的例子是頗為類似的。
人們普遍認識到,現(xiàn)實中的因果關(guān)系是復(fù)雜的,存在“一因一果、一因多果、多因一果、多因多果”等情況。人們還從不同的角度把原因分為“直接—間接、主要—次要、重要—一般、偶然—必然”等等。但由于這些劃分標準沒有給予嚴格界定,這就引起許多不必要的爭議。本文試圖通過對概念進行嚴格定義,建立起“基本因果關(guān)系模型”,并以此為基礎(chǔ)對復(fù)雜因果關(guān)系作出解釋。
一、基本因果關(guān)系模型
哲學(xué)上把現(xiàn)象和現(xiàn)象之間那種“引起和被引起”的關(guān)系,叫做因果關(guān)系,其中引起某種現(xiàn)象產(chǎn)生的現(xiàn)象叫做原因,被某種現(xiàn)象引起的現(xiàn)象叫做結(jié)果。但在現(xiàn)實生活中,人們對“引起”和“被引起”卻有大不相同的看法,結(jié)果出現(xiàn)了許多復(fù)雜的因果關(guān)系表述形式。但是表述越是復(fù)雜,越容易出現(xiàn)模糊和混亂,給地認識因果關(guān)系造成困難。所以對因果關(guān)系,學(xué)界至今還沒有建構(gòu)起比較完整的框架。
筆者以為,要想在因果關(guān)系上有所突破,應(yīng)當(dāng)借用數(shù)理邏輯的思想,從基本假設(shè)和定義出發(fā),建構(gòu)起“基本因果關(guān)系模型”(理論),以此為基礎(chǔ)對復(fù)雜因果關(guān)系給予解釋。
作為建構(gòu)模型基礎(chǔ)的基本假設(shè)和定義,都必須從現(xiàn)實世界中歸納出來。模型本身,也應(yīng)當(dāng)反映日常生活中最基本的因果關(guān)系。學(xué)研究的主體(基本單位)是個人,研究的是人的活動(體現(xiàn)了與外界的關(guān)系)。筆者從經(jīng)濟學(xué)得到啟發(fā),把通常所說的“事物”分解為動態(tài)的“事”和靜態(tài)“物”兩類。“物”是哲學(xué)研究的主體,“事”則是“物”的動態(tài)變化過程,它體現(xiàn)了主體“物”之間的關(guān)系。所以,“事”是由“物”參與產(chǎn)生的,而靜態(tài)的“物”則可以獨立存在。
但是為了利用人們熟知的哲學(xué)術(shù)語,我們做如下定義:
靜態(tài)的“物”叫做“事物”,是哲學(xué)研究的主體,用A、B、C等表示;“事物”的變化叫做“現(xiàn)象”,是哲學(xué)研究的內(nèi)容,用A、B等表示;“引起”用“”表示;A現(xiàn)象“引起”B現(xiàn)象,即現(xiàn)象A是結(jié)果B的原因,用“AB”表示。
日常生活中最基本的因果關(guān)系可以用開關(guān)的“開、關(guān)”與燈泡的“亮、滅”來表示。我們用導(dǎo)線把電池、開關(guān)、燈泡三個元件串聯(lián)起來,構(gòu)成一個簡單電路,靜態(tài)的開關(guān)、燈泡、電池、導(dǎo)線就是“事物”,開關(guān)狀態(tài)的變化(開和關(guān)互變)與燈泡狀態(tài)的變化(滅和亮互變)就是“現(xiàn)象”?!伴_關(guān)由關(guān)到開”與“燈泡由滅到亮”兩個現(xiàn)象之間就具有“因果關(guān)系”。
“開關(guān)開”與“燈泡亮”(或“開關(guān)關(guān)與燈泡滅”)就存在“引起”和“被引起”的關(guān)系,可以用符號“AB”。我們把它作為“基本因果關(guān)系”的模型。下面就以“基本因果關(guān)系”為基礎(chǔ),討論現(xiàn)實世界中復(fù)雜的因果關(guān)系。
二、區(qū)分原因和條件
我們把與結(jié)果發(fā)生有關(guān)的所有先前情況統(tǒng)稱為“先前因素”,探索因果關(guān)系就是要確定哪些(個)先前因素是原因,哪些先前因素是條件。
與因果現(xiàn)象實際發(fā)生的過程正好相反,人們在探討因果關(guān)系時往往是先知道結(jié)果,而后才去探討其原因,這一過程稱為“執(zhí)果索因”。“執(zhí)果索因”中必須利用“邏輯推理”,推斷哪些現(xiàn)象可能引起結(jié)果的出現(xiàn)。
如果幾個現(xiàn)象必須全部出現(xiàn),結(jié)果才出現(xiàn),即對于結(jié)果來說(注意,是對于特定結(jié)果來說的),這些現(xiàn)象缺一不可,那么這些現(xiàn)象就稱為“串聯(lián)現(xiàn)象”;如果幾個現(xiàn)象中只要有一個出現(xiàn),結(jié)果就必然出現(xiàn),那么這些現(xiàn)象就稱為“并聯(lián)現(xiàn)象”?!按?lián)現(xiàn)象”和“并聯(lián)現(xiàn)象”是相關(guān)現(xiàn)象的兩類基本關(guān)系。串聯(lián)和并聯(lián)“混合”的現(xiàn)象,可在此基礎(chǔ)上,本文從略)。在一個電路中,串聯(lián)開關(guān)的每一個都必須“由關(guān)到開”,才會出現(xiàn)燈泡“由滅到亮”的結(jié)果,所以對于燈泡“由滅到亮”來說,每一個串聯(lián)開關(guān)“由關(guān)到開”的現(xiàn)象就屬于“串聯(lián)現(xiàn)象”;類似地,并聯(lián)開關(guān)只要有一個“由關(guān)到開”,即可出現(xiàn)燈泡“由滅到亮”的結(jié)果,所以對于燈泡“由滅到亮”的結(jié)果來說,并聯(lián)開關(guān)的每一個“由關(guān)到開”的現(xiàn)象,就屬于并聯(lián)現(xiàn)象。
我們之所以強調(diào)“對于特定的結(jié)果來說……”,是由于對于不同的結(jié)果來說,現(xiàn)象之間的關(guān)系就根本不同。例如對于燈泡“由亮到滅”來說,任何一個串聯(lián)開關(guān)“由開到關(guān)”都可以引起這一結(jié)果,所以對于燈泡“由亮到滅”來說,每一個串聯(lián)開關(guān)“由開到關(guān)”的現(xiàn)象,正好屬于“并聯(lián)現(xiàn)象”。同理還可以得出,對于燈泡“由亮到滅”來說,每一個并聯(lián)開關(guān)“由開到關(guān)”的現(xiàn)象,正好屬于“串聯(lián)現(xiàn)象”。
在強調(diào)一遍,“串聯(lián)現(xiàn)象”和“并聯(lián)現(xiàn)象”的劃分,是在“執(zhí)果索因”過程中對“可能引起”結(jié)果的現(xiàn)象從上進行的劃分,而現(xiàn)實中究竟是哪個現(xiàn)象“引起”了結(jié)果的發(fā)生,則必須從其它方面入手解決。為此,我們必須引入時間因素(參數(shù))。
我們先研究“串聯(lián)現(xiàn)象”。假設(shè)有n個“串聯(lián)現(xiàn)象”,我們對它們發(fā)生(成就)的時間次序進行排列,分別為第1、2、3……n個現(xiàn)象。由于對結(jié)果現(xiàn)象來說,它們中的每一個都是必要的,缺一不可。而直到第n-1個現(xiàn)象出現(xiàn),結(jié)果都沒有發(fā)生,即它們都沒有“引起”結(jié)果發(fā)生,所以都不是結(jié)果發(fā)生的原因。而第n個現(xiàn)象一出現(xiàn),結(jié)果就發(fā)生了,根據(jù)“因果關(guān)系定義”,它就應(yīng)當(dāng)是結(jié)果發(fā)生的“原因”,其它n-1個現(xiàn)象則只是因果關(guān)系發(fā)生的相關(guān)“條件”。同理,“并聯(lián)現(xiàn)象”中任何一個現(xiàn)象的出現(xiàn)都足以引起結(jié)果的出現(xiàn),所以并聯(lián)現(xiàn)象中最先出現(xiàn)的那個現(xiàn)象就“引起”了結(jié)果現(xiàn)象的出現(xiàn),所以它就是結(jié)果發(fā)生的“原因”。
可見,時間因素對于因果關(guān)系具有重要意義??梢哉J為,從邏輯上說,原因和條件并無區(qū)別(因為邏輯不考慮時間因素)。只是由于它們出現(xiàn)的時間次序不同,才區(qū)分出“原因”和“條件”。
三、邏輯推理與因果關(guān)系的區(qū)別
邏輯推理與因果關(guān)系的區(qū)別主要有以下幾點:
1、如前所述,邏輯推理與因果關(guān)系的最根本的區(qū)別是,邏輯推理不考慮時間因素,而因果關(guān)系卻必須考慮時間因素。例如“父母結(jié)合”后“生出兒子”,在因果關(guān)系中,“父母結(jié)合”是原因,“生出兒子”是結(jié)果,二者不能顛倒。但從邏輯推理上說,男女結(jié)合卻不一定能夠生出兒子;反過來說,只要有“兒子出生”這一“條件”,則必然能夠推出“父母結(jié)合”這一結(jié)論。寫成邏輯推理形式,就是“因為兒子,所以父母”。由于有人把“因為……所以……”框架下的邏輯推理都看做“因果關(guān)系”,結(jié)果兒子倒成了父母的原因,鬧出大笑話。從這一情況可以看出,用“因為……所以……”形式表述的關(guān)系,也可能不是因果關(guān)系。
2、邏輯推理的條件是有限的,而在任何一個因果關(guān)系中,“條件”實際上是無限的。在邏輯推理中,有時一個條件即可推出一個結(jié)論,有時多個條件才能推出一個結(jié)論。但即使多個條件推出一個結(jié)論,這些條件的個數(shù)也都是有限的。但現(xiàn)實中的因果關(guān)系卻大不相同,與結(jié)果現(xiàn)象有關(guān)的條件實際上是無限(多)的,無法把它們窮舉出來。例如在我們的簡單電路中,導(dǎo)線的性能,元件的材料,以及是誰拉動了開關(guān),他為什么要拉動等等,都是因果關(guān)系發(fā)生的相關(guān)情況。在研究中,我們只能夠限定范圍,對那些“不言而喻”的條件也只能“略而不提”,對那些超出界限的情況也不再研究??傊?,現(xiàn)實中“原因和結(jié)果的關(guān)系”,要比邏輯推理中的“條件和結(jié)論的關(guān)系”復(fù)雜許多倍。
3、邏輯推理中(主要指演義推理),條件必然蘊涵結(jié)論;但在因果關(guān)系中,原因并不必然蘊涵結(jié)論,而只有在“條件”都已經(jīng)具備的情況下,原因的出現(xiàn)才引起了結(jié)果的發(fā)生。例如在電路中,n個串聯(lián)開關(guān)中,只有在前n-1個開關(guān)都發(fā)生了“由關(guān)到開”的變化之后,即在特定條件都已經(jīng)“成就”之后,第n個開關(guān)“由關(guān)到開”才能夠成為燈泡由滅變亮的“原因”。如果我們預(yù)先把n個開關(guān)進行編號,或者設(shè)想它們的顏色各不相同但功能完全相同,最后一個發(fā)生“由關(guān)到開”變化的那個開關(guān)是紅色的,那么只要前面n-1個開關(guān)中只要有一個沒有發(fā)生“由關(guān)到開”的變化,那么紅色開關(guān)“由關(guān)到開”的變化就并不能“引起”燈泡由滅變亮的結(jié)果。所以現(xiàn)實生活中發(fā)生的每一個因果關(guān)系都是具體的,都是特定的原因引起了特定的結(jié)果。也許只有在實驗室條件下(在實驗室中可以嚴格限定條件),原因和結(jié)果的關(guān)系才是確定不變的:相同的原因必然引起相同的結(jié)果,不同的原因引起不同的結(jié)果,就象人們在白開水中加入砂糖則必然使白開水變甜,而加入食鹽則會使白開水變咸一樣起清楚明確。通常人們認為,“同果必然有同因”,“異果必然有異因”,這一原理也只有在實驗室條件下才是有效的。
4、因果關(guān)系是“現(xiàn)實”關(guān)系,只有在原因現(xiàn)象和結(jié)果現(xiàn)象已經(jīng)發(fā)生之后,我們才說,原因A和結(jié)果B之間存在“因果關(guān)系”。而“邏輯推理”是一種“理論”推導(dǎo),它不需要任何現(xiàn)實性做支撐,條件就必然蘊涵結(jié)論。演繹推理的邏輯結(jié)構(gòu)是:
若A包含于B,并且B包含于C,則A包含于C。就象初等數(shù)學(xué)中A<B并且B<C,那么A<C一樣。
但是因果關(guān)系卻不具有這種傳遞性。即A是B的原因,并且B是C的原因,卻不能得出A是C的原因。即結(jié)果原因的原因,不是結(jié)果的原因,就象西歐封建中的等級關(guān)系那樣:我的附庸的附庸,不是我的附庸。
當(dāng)然,也有人把原因的原因看作結(jié)果的原因,就象我的祖先的祖先,也是我的祖先一樣。但如果這樣理解因果關(guān)系,那么秦始皇統(tǒng)一也許就是兩千多年來一切社會事件的原因,一切事物的最終原因就都是界本身。這樣理解因果關(guān)系,就喪失了研究的意義。如果嚴格套用因果關(guān)系定義,可以看到這些理解并不符合因果關(guān)系定義。
不過,從另一個角度看,正是由于理論必須符合現(xiàn)實,它才能夠解釋和預(yù)測現(xiàn)實。邏輯推理盡管是理論上的,也許正是由于它是理論上的,所以可以用于推測因果關(guān)系的可能性,并由現(xiàn)實予以證實和證偽。實際上人們也正是這樣利用邏輯推理來探索因果關(guān)系的。結(jié)果在日常生活中,人們往往經(jīng)常把因果關(guān)系中的“結(jié)果”與邏輯推理中的“結(jié)論”相混淆,例如有人把公安機關(guān)偵破刑事案件的結(jié)論稱為“結(jié)果”。問“殺人案有結(jié)果了嗎?”答曰“有,是張三謀財殺人!”這里的所謂“結(jié)果”,實際上是指找到了“殺人結(jié)果”的“原因”,它應(yīng)當(dāng)屬于邏輯推理的“結(jié)論”而不是現(xiàn)實中因果關(guān)系的“結(jié)果”。再如我看到李四到就診,由于就診人都是因為有病,所以我就可以根據(jù)李四就診推斷他患了病,既由“就診”這一條件得出了“有病”這一結(jié)論。但在平時,我們會說“因為我看見李四就診,所以李四有病”。這樣的表述,“就診”好象成了“有病”的原因,正好顛倒了其中的因果關(guān)系。所以我們在分析“因為……所以……”這樣的表述時,一定要搞清它是邏輯推理,還是因果關(guān)系。
四、復(fù)雜因果關(guān)系
現(xiàn)實生活中人們往往會說,有時出現(xiàn)“多因一果”,有時出現(xiàn)“一因多果”,還有時出現(xiàn)“多因多果”。我們應(yīng)如何看待這些情況呢?
1、“多因一果”關(guān)系分析:
從邏輯上說,多個條件得出一個結(jié)論的情況很多,但只要引入時間因素“降到”現(xiàn)實中來,可以看到所謂“多因”,實際上只有一個是原因,而其它因素都是條件,就象串聯(lián)開關(guān)和并聯(lián)開關(guān)中只有一個的變化是原因,而其它都是條件一樣。還有一個簡單例子是有人認為“父和母都是兒子的原因,并且不分先后次序”,即兩個原因“引起”一個結(jié)果。但這是由于沒有正確概念產(chǎn)生的缺陷。嚴格說來,原因現(xiàn)象和結(jié)果現(xiàn)象都應(yīng)當(dāng)是動態(tài)的,而父、母及兒子都是靜態(tài)的“物”,不符合“原因”和“結(jié)果”的要求。父母的“結(jié)合”與兒子的“出生”才是動態(tài)“現(xiàn)象”,它們才符合因果關(guān)系定義的要求。所以正確的因果關(guān)系表述應(yīng)當(dāng)是,“父母結(jié)合是兒子出生的原因”,原因和結(jié)果之間仍然是“一因一果”關(guān)系。
另外,籠統(tǒng)地看待結(jié)果卻具體地探索原因,也會出現(xiàn)所謂的多因一果。例如,籠統(tǒng)地認識,會得出“社會秩序混亂”這一結(jié)果,應(yīng)當(dāng)說這是一個非常宏觀的“現(xiàn)象”。如果在同一層次上分析原因,應(yīng)當(dāng)有一個宏觀的術(shù)語表示“原因”。但實際上,到現(xiàn)在人們甚至還沒有試圖用一個宏觀術(shù)語來表述這一宏觀原因,于是只好談?wù)摚ㄔS多)具體原因,由于具體原因很多,實際上無法統(tǒng)計,人們注意到這一情況,所以認為“多因一果”情況大量存在。但如果在同一層次上認識,就可以認為“社會秩序混亂是人的活動造成的”。只要在同一層次認識問題,就仍然是一果一因。
還有一種復(fù)雜的因果關(guān)系“鏈條”(一連串的因果關(guān)系),人們往往把中間環(huán)節(jié)中出現(xiàn)的“結(jié)果”都作為最后結(jié)果的“原因”,于是就出現(xiàn)所謂的“多因一果情況”。例如,人們往往把一個人所有的“直系祖先”都看作產(chǎn)生這個人的“原因”。但是如前所述,把一個人的“出生”作為結(jié)果,父母的“結(jié)合”應(yīng)當(dāng)是原因,而祖父母的結(jié)合則是“父親”出生的原因,外祖父母的結(jié)合則是“母親”出生的原因……
有人認為2004年美國總統(tǒng)大選時,布什戰(zhàn)勝克里而連任總統(tǒng),是億萬選民投票的結(jié)果,其中每一個投布什選票的選民都是布什當(dāng)選為總統(tǒng)這一結(jié)果的“原因”。所以是億萬原因引起了一個結(jié)果。但如果我們引入時間因素,設(shè)想每個選民在不同的時刻投票,那么決定選舉結(jié)果的是其中某一個選民的選票,他的票使克里的支持者再沒有反敗為勝的可能,他的投票才是布什當(dāng)選總統(tǒng)的“原因”,而此前投票的其他選民則只是這一結(jié)果出現(xiàn)的條件(盡管也是非常必要的條件),此后投布什選票的選民,實際上在“布什當(dāng)選總統(tǒng)”這一結(jié)果現(xiàn)象中沒有起到作用(如果把選票總數(shù)作為“結(jié)果”,當(dāng)然每個選民都起了作用)。但在這一事件中,原因和條件的區(qū)分沒有多大實際意義,所以也沒人進行這一分析。
2、“一因多果”關(guān)系分析
“一因多果”的情況與“多因一果”的情況正好相反。首先,現(xiàn)實世界中存在連續(xù)因果關(guān)系,人們往往把最初因果關(guān)系之后,結(jié)果作為原因又引起的結(jié)果都看做最初原因的結(jié)果。例如一個(對)祖先可能有許多直系后裔,如果把每個后裔都作為“結(jié)果”,就出現(xiàn)“一因多果”的情況。
其次,宏觀地認識原因而微觀地認識結(jié)果,則是“一因多果”的更為普遍的情況。例如把世界上“人口太多”看作原因,它當(dāng)然會引起許多具體結(jié)果。因為人口有幾十億,每個人都要活動,都會引起相應(yīng)的結(jié)果,于是也出現(xiàn)一因多果的情況。一因多果可以用宏觀模型“總電閘斷開”與“每個用電器停電”之間的關(guān)系表示。這顯然是在不同層次上認識問題造成的。如果我們限定在同一層次上分析問題,就可以說,“總電閘斷開”是原因,“全局停電”是結(jié)果,仍然是一因一果的關(guān)系。
3、“多因多果”關(guān)系分析
“多因多果”的現(xiàn)象,實際上是一因一果關(guān)系的復(fù)合。只要從結(jié)果中分解出單一結(jié)果,則不難在原因中分解出對應(yīng)的單一原因。例如,廚師在做湯時使用了很多作料,湯的味道鮮美可口。鮮美可口的味道是由許多單一的“味道”組合而成的,我們可以把它分解為單一味道分別加以。我們假定該湯的味道有苦、辣、酸、甜、咸五種,再分別探討,這五種味道是如何產(chǎn)生的。也許我們發(fā)現(xiàn)做湯前只加入了兩種調(diào)味品,即食鹽和五香粉。食鹽是單一調(diào)味品,它產(chǎn)生了“咸味”;但五香粉是一種混合物,它由幾種調(diào)料混合而成,只要再繼續(xù)分解,就可以找出是哪種物質(zhì)產(chǎn)生了苦味,哪種物質(zhì)產(chǎn)生了辣味等等。于是在“物質(zhì)”和“味道”之間就建立了一一對應(yīng)關(guān)系。
五、不同學(xué)科對因果關(guān)系的不同認識和定義
我們前面是從上對因果關(guān)系進行定義的分析的,但是不同學(xué)科對因果關(guān)系往往有不同的定義和認識。最典型的就是“上的因果關(guān)系”和“現(xiàn)實中的因果關(guān)系”就大不相同。
例如,果園主人為了防止有人偷果子,故意噴灑了巨毒農(nóng)藥,導(dǎo)致偷果子的人中毒死亡。按照我們的嚴格分析,對“死亡”來說,“噴灑農(nóng)藥”、“偷果子”、“誤食”是“串聯(lián)現(xiàn)象”,最后一個現(xiàn)象“誤食”,應(yīng)當(dāng)是死亡的“原因”,而“噴灑農(nóng)藥”、“偷果子”則是因果關(guān)系發(fā)生的相關(guān)條件。但在法律上,追查責(zé)任的標準是相關(guān)當(dāng)事人的“過錯”大小,由于果園主人違反了農(nóng)藥使用規(guī)定,主觀上有過錯(民事上不分故意和過失),所以就認為果園主人“噴灑農(nóng)藥”的行為與偷果人中毒“死亡”的結(jié)果之間“具有法律上的因果關(guān)系”,于是判決果園主人承擔(dān)主要民事責(zé)任,甚至還可能承擔(dān)刑事責(zé)任。
在現(xiàn)實生活中,為了對付老鼠,我們可以從市場上購買一個鼠夾子,放置在老鼠經(jīng)常出沒的地方,最后確實逮住了老鼠。對于這一結(jié)果來說,我們往往說,“安放”鼠夾子的行為是原因,“逮住”老鼠是結(jié)果。但這樣說并不嚴格符合“因果關(guān)系定義”。根據(jù)我們的分析,“安放”鼠夾子時,結(jié)果并沒有發(fā)生,所以不應(yīng)該是引起結(jié)果的原因。最后的因素是老鼠“接觸”到了夾子鼠,它才是引起結(jié)果現(xiàn)象發(fā)生的原因。
在法律上把有可能導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生的情況都稱為“原因”。例如在公路邊挖溝修管道,沒有作出明顯標記,致使晚上騎自行車經(jīng)過此處的行人摔倒。如果行人是正常行使無過錯,就認為挖溝人應(yīng)承擔(dān)全部責(zé)任,盡管按照因果關(guān)系定義,行人的行為是原因,而挖溝只是引起結(jié)果發(fā)生的有關(guān)“條件”。
六、回到問題
利用因果關(guān)系基本模型,可以對日常生活中與因果關(guān)系有關(guān)的情況作出分析和解釋。例如所謂的主要原因,是把“條件”都作為原因,根據(jù)它的重要程度所作的區(qū)分;間接原因,則是原因的原因或條件的原因而已;偶然原因是考察原因(或條件)的來源,把來源“偶然”的原因稱為“偶然原因”;根本原因是探討原因的原因,直到在特定范圍內(nèi)無法再繼續(xù)探討為止。有人把根本原因稱為“終極原因”,但是如前所述,如果不限定范圍,任何事物的終極原因都是界本身。所以脫離一定范圍,終極原因的探討就毫無意義。
學(xué)家總想探討社會的終極原因,這一想法是值得贊賞的。但是既然要探討終極原因,就應(yīng)當(dāng)限定范圍,確定探討到什么程度為止。美國學(xué)家諾思就探討到“人口的自然增長”。應(yīng)當(dāng)說,在社會的界限內(nèi),這一原因確實可以稱為“終極原因”,因為再往前探討“人口自然增長”的原因,就是人的生物屬性,這就超出了社會科學(xué)的范圍。筆者認為,古代社會的長期停滯根源于特定的地理條件,也是歸結(jié)到在社會科學(xué)范圍無法解釋的界限為止……
還是回到我們的炸藥倉庫爆炸的問題上來吧!在炸藥倉庫爆炸事件中,根據(jù)我們已經(jīng)闡述的原理,破壞分子“點燃”導(dǎo)火線的行為應(yīng)當(dāng)是原因;“炸藥能夠爆炸”是“不言而喻”的前提條件。保衛(wèi)工作的“疏漏”,是一個持續(xù)存在的因素,所以可以分兩個階段進行分析。首先,它被破壞分子發(fā)現(xiàn),使他產(chǎn)生了引發(fā)爆炸的特定目的;其后,在破壞分子具體實施爆炸時,又被其直接利用接近倉庫。從激發(fā)了破壞分子的犯罪目的看,保衛(wèi)工作疏漏是條件的原因,也可以稱為“間接原因”;從被破壞分子利用接近倉庫的角度看,保衛(wèi)工作疏漏又是倉庫爆炸的直接“條件”。
“內(nèi)因外因”則是以某一事物作為界限,把界限內(nèi)的各種因素(條件)都稱為內(nèi)因,把界限外的事物都稱為外因。筆者以為,把內(nèi)因看成主要的、第一位的原因,也許在人們發(fā)揮主觀努力上具有作用,但卻難以對其進行嚴格的科學(xué)分析。用所謂“內(nèi)外因關(guān)系原理”解釋現(xiàn)實生活,則往往鬧出大笑話。例如用石頭去砸雞蛋,結(jié)果當(dāng)然是“雞蛋破碎”。在“用石頭砸”和“雞蛋破碎”這兩個現(xiàn)象中無疑存在因果關(guān)系,甚至可以說“砸”是“碎”的最直接、最主要、最重要、最根本……的原因,而沒有人把“雞蛋本身不夠堅硬”作為“雞蛋破碎”原因。
【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);概念;教學(xué);學(xué)習(xí)方法
《線性代數(shù)》是普通高校的一門基礎(chǔ)理論課程,通過本課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握線性代數(shù)的基本概念和基本定理.線性代數(shù)有著重要應(yīng)用,計算機圖形學(xué)、計算機輔助設(shè)計、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分.線性代數(shù)具有高度的抽象性和嚴密邏輯性,但是缺乏直觀的數(shù)學(xué)模型.線性代數(shù)課時短、內(nèi)容多、理論多,例題少,它經(jīng)常開設(shè)在大一.這些令學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)線性代數(shù)困難.除了上述的原因外,它也與教師的教學(xué)經(jīng)驗、教學(xué)方式、教學(xué)策略、對教材的處理方法等因素有密切關(guān)系.為了解決這個問題,筆者認為,可以從以下幾方面入手.
一、加強基本概念的教學(xué)
在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中,定義、定理及其推論等基本概念是我們做題的基礎(chǔ),只有深刻地理解定義、定理隱藏的知識,才能更好地把握定理及其推論的應(yīng)用.我們在教學(xué)中,不能要求學(xué)生死記硬背公式,要想辦法讓學(xué)生理解這些概念、公式.怎么做呢? 就是盡量將概念具體化,如何具體化呢?盡量給予事例說明.如矩陣、線性變換、特征值與特征向量,讓學(xué)生記住具體事例,使之認識深入化.在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)某些有具體幾何背景(向量的模)的概念時,讓學(xué)生多加聯(lián)想,指導(dǎo)學(xué)生按圖索驥.
為了讓學(xué)生吃透概念,授課時應(yīng)該提醒學(xué)生注意兩方面的問題:1.對概念、定理的陳述如果是嚴謹?shù)?,那么就要一字一句的摳,一個字都不能動,改動個別字就會導(dǎo)致題意發(fā)生根本變化(線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念);2.對于有些概念、定理,自己能夠簡明扼要用自己地語言來描述它們.另外,在教學(xué)中還可適當(dāng)?shù)臉?gòu)造反例,使學(xué)生加深對概念的理解,例如數(shù)的乘法運算滿換律和消去律,但矩陣的乘法運算不滿換律和消去律,這樣的反例,直觀性強,淺顯易懂,能給學(xué)生留下深刻的印象,使學(xué)生掌握概念的本質(zhì).既提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,又加深了學(xué)生對基本基本知識點的理解,為學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ).
二、強化邏輯推理能力訓(xùn)練
邏輯推理是數(shù)學(xué)的一個基本功能,它也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.邏輯推理能力是學(xué)好線性代數(shù)必須具備的能力,只有具備了良好的推理能力,才能做到既合理猜想又大膽猜想,敢于突破常規(guī)思維定式,但是邏輯推理能力的形成和提高是一個緩慢的過程,短時間內(nèi)很難見效果,我們要創(chuàng)設(shè)概念、定理、方法等問題的活動情境,將抽象的理論想辦法具體化,讓學(xué)生自己探究知識、形成結(jié)論.這樣我們既鍛煉了他們的推理能力又培養(yǎng)了他們的學(xué)習(xí)興趣,不再覺得學(xué)習(xí)線性代數(shù)是乏味、無趣.推理能力的培養(yǎng),要考慮學(xué)生的自身特點、層次性,思維方式也存在著一定的差異,我們要因人施教,因材施教,這樣使學(xué)生的邏輯推理能力不斷躍上新臺階.線性代數(shù)的知識點較多,很多重要概念之間的內(nèi)在聯(lián)系并沒在課本中充分反映出來.學(xué)生只有具備良好的合情推理和演繹推理能力,才能掌握知識點的核心.例如,向量的線性組合與線性方程組的解、向量的線性相關(guān)與齊次線性方程組的非零解均關(guān)系密切,但教材中把它們放在不同的章節(jié),很少有學(xué)生考慮這些概念之間的聯(lián)系,在這些教學(xué)內(nèi)容完成后,我讓學(xué)生自己推理出這些概念之間的關(guān)系,結(jié)果許多學(xué)生自己找到了正確的答案.
另外,還要讓學(xué)生注意新舊知識的聯(lián)系,最后把同類知識歸納、總結(jié)、列表,把容易混淆的概念進行對比,以加強學(xué)生的想象力、理解力、記憶力.對于有些習(xí)題,還要注意一提多解及同類題的共性,培養(yǎng)舉一反三和推理能力.
三、注意學(xué)習(xí)方法的總結(jié)
線性代數(shù)的概念很多,重要的有:逆矩陣,初等變換與初等矩陣,正交變換與正交矩陣,特征值與特征向量.運算法則也很多,重要的有:矩陣乘法,求矩陣的秩,求非齊次線性方程組的通解,基本運算與基本方法要過關(guān).這些知識點從內(nèi)容上看環(huán)環(huán)相扣,相互交錯.要使知識點銜接、成網(wǎng),歸納總結(jié)是不可缺少的步驟.我們對問題的表述要富有邏輯性,解題方法靈活多樣性.在復(fù)習(xí)時常問自己做得對不對?再問做得好不好?只有不斷地歸納總結(jié),努力搞清內(nèi)在聯(lián)系,使所學(xué)知識才能融會貫通,解題思路自然就開闊了.
【關(guān)鍵詞】形式證明 命題 邏輯推理 序列
【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810(2014)04-0141-02
在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,幾何知識是許多學(xué)生都倍感頭痛的問題,尤其是幾何證明。這是一個較為普遍的現(xiàn)象,其成因頗多,既有主觀因素也不乏客觀因素。不少同學(xué)在聽老師講課時基本能懂能接受,但要其證明時就出現(xiàn)了這樣那樣的問題,不是不會寫證明過程,就是說不清理由;不是東扯西拉,就是前后銜接不上……還有就是想當(dāng)然者——“我覺得就是這樣的”;更有甚者,將舉例說明和證明混為一談,真可謂是“百花齊放”,諸如此,林林總總,本文不在此一一列舉。
何謂證明?“一個命題的正確性需要經(jīng)過推理,才能做出判斷,這個推理過程叫做證明?!比私贪?,七年級下冊21頁,如是說。誠然,這不能說其不對,但也確實不夠清楚。什么是“推理過程”?具體問題又該如何“推理”?從課本的這段話中,我們恐怕不易弄清以上問題。許多初學(xué)幾何的初中生雖能朗朗上口地背誦定理,但卻不能真正理解其含義,更談不上對其的運用。那么,為何初中生都普遍覺得幾何難學(xué)呢?問題究竟出在哪里?這些問題本文將稍后逐步探討。
幾何學(xué)是一門非常古老的學(xué)科,早在古希臘時期幾何學(xué)就已經(jīng)非常繁榮,比如歐式幾何。時至今日,我們所學(xué)的初等幾何基本上都是建立在經(jīng)歷了兩千多年的歐式幾何的基礎(chǔ)之上的,由此可見其古老性之一斑。雖然幾何學(xué)由來已久,并經(jīng)過了數(shù)千年的積淀和研究,然而它仍然令一代又一代的學(xué)習(xí)者為之困惑,緣何?筆者認為,幾何學(xué)之難(尤其是幾何證明)關(guān)鍵在于其形式化的公理、定理、性質(zhì)以及演繹推理等。所謂形式化,即是用一系列約定的符號(如邏輯符號)來表示概念、符號化命題以及推理,并將一定范圍內(nèi)的所有正確的推理形式(邏輯規(guī)律)都匯集在一個整體中。在此基礎(chǔ)之上,由幾條公理及公設(shè)出發(fā),并規(guī)定一些初始符號和規(guī)則,經(jīng)過有效的邏輯推理,得出若干新的、正確的、可靠的結(jié)論(即命題),這些命題的集合就形成一個公理系統(tǒng),這就是形式化幾何。初中幾何主要研究的是平面幾何的圖形性質(zhì)及其數(shù)量關(guān)系,在歐式幾何的公理體系和框架下,早已經(jīng)形成了許多有關(guān)平面幾何的命題,但是教師在教學(xué)的過程中絕不能只告訴學(xué)生們一個結(jié)果,更多時候教師需要引導(dǎo)他們?nèi)ヌ剿鞑l(fā)現(xiàn)規(guī)律,總結(jié)和證明他們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,要證明就必然要弄清形式化的推理。
下面,本文就從數(shù)理邏輯的角度來探討何謂推理?何謂證明?為此,需要介紹一些有關(guān)的數(shù)理邏輯概念和符號。
一 命題與邏輯運算符
定義1:具有確定真假性的陳述句稱為命題。
凡是命題都有真值,命題的真值只有兩種情況,即取自集合{0,1},具體情況是:真命題的真值為1,假命題的真值為0。
定義2:具有唯一確定真值的陳述句稱為命題。
要判斷一個語句是不是命題,需要注意兩點:一是先判斷其是否為陳述句;其次是看其真值是否唯一確定,這兩個條件缺一不可。例如,“x>5,x∈R”,該語句雖然是陳述句,但卻無法判斷真假。因為x是可變的,當(dāng)x取3時,其為假命題;當(dāng)x取7時,其為真命題。這類語句可稱之為命題變元或稱之為命題變量,值得注意的是命題變元不是命題,原因是其真值是可變的,時真時假。此外,還要特別注意像“我正在說謊話”這樣的陳述句,這個語句無論你假設(shè)其真值為“1”還是“0”都會推出矛盾,這樣的語句稱之為悖論。在數(shù)學(xué)中比較著名的有“羅素悖論”。
通常命題可分為簡單命題和復(fù)合命題,簡單命題就是不能分解成更簡單的陳述句的命題,簡單命題也稱為原子命題。復(fù)合命題就是除簡單命題外的命題,復(fù)合命題也可以理解為是由邏輯運算符聯(lián)結(jié)簡單命題而成的。為了便于后面的討論,本文約定用小寫的英文字母p、q、r…表示命題或命題變元。
比較常用的邏輯運算符有5種:(1)“”稱為否定運算符,讀為“非”。(2)“”稱為合取運算符,讀為“且”或“與”。(3)“”稱為合取運算符,讀為“或”。(4)“”稱為蘊含運算符,讀為“蘊含”。(5)“”稱為等價運算符,讀為“等價”。
以上5種邏輯運算有其優(yōu)先級,規(guī)定其優(yōu)先順序為:()、、、、、,其中“()”的意思是有()的就先算,然后再按照、、、、的順序來做運算,對于同一優(yōu)先級的運算符,先出現(xiàn)者先算。
二 推理和證明
定義3:命題公式遞歸定義如下:(1)單個的命題常量或命題變量是命題公式;(歸納基)。(2)若A、B是公式,那么A、AB、AB、AB和AB也是命題公式;(歸納步)。(3)所有的命題公式都是有限次使用(1)和(2)得到的符號串;(最小化)。
在這里可以使用大小寫英文字母表示命題公式,英文字母還可帶下標。以后在沒有二義的情況下,將命題公式簡稱為公式。命題邏輯的推理理論就是利用命題邏輯公式研究什么是有效的推理。
定義4:推理就是從前提集合開始演繹出結(jié)論的思維過程,前提集合是一系列已知的命題公式,結(jié)論是從前提集合出發(fā)應(yīng)用推理規(guī)則推出的命題公式。
若前提是一系列真命題,并且推理中嚴格遵守推理規(guī)則,則推出的結(jié)論也是真命題。在命題邏輯中,主要研究推理規(guī)則。
定義5:稱蘊含式(A1A2…An)B為推理的形式結(jié)構(gòu),A1,A2,…,An為推理的前提,B為推理的結(jié)論。若(A1A2…An)B為永真式,則稱從前提A1,A2,…,An推出結(jié)論B的推理正確(或說有效),B是A1,A2,…,An的邏輯結(jié)論或稱有效結(jié)論,否則稱推理不正確。若從前提A1,A2,…,An推出結(jié)論B的推理正確,則記為(A1A2…An)B。
通俗地講(A1A2…An)B即是說,若A1,A2,…,An都正確,則B也正確。清楚了什么是推理以及推理的結(jié)構(gòu)后,下面來討論什么是證明。
定義6:證明是一個描述推理過程的命題公式序列A1,A2,…,An,其中的每個命題公式或者是已知的前提,或者是由某些前提應(yīng)用推理規(guī)則得到的結(jié)論,滿足這樣條件的公式序列A1,A2,…,An稱為結(jié)論An的證明。
在證明中常用的推理規(guī)則有3條:(1)前提引入規(guī)則:在證明的任何步驟都可以引入已知的前提;(2)結(jié)論引入規(guī)則:在證明的任何步驟都可以引入這次已經(jīng)得到的結(jié)論作為后續(xù)證明的前提;(3)置換規(guī)則:在證明的任何步驟上,命題公式中的任何子公式都可用與之等值的公式置換,得到證明的公式序列的另一公式。
以上是一些基本的邏輯推理規(guī)則,如何運用這些規(guī)則進行推理和證明呢?在定義6中可以看到,證明實質(zhì)上就是要把已知的命題公式按照一定順序排列起來,那么具體問題的證明要如何來將那些已知的條件、公理、定理、推論以及性質(zhì)等(諸如此類在邏輯上都可視為命題公式)按照怎樣的順序來排列呢?下面,通過初中幾何中的具體實例進一步體會理解證明的實質(zhì)。
例如,已知:如圖在RtABC中,∠C=90°,AC=BC,AD=DB,AE=CF。
求證:DE=DF。
分析:由ABC是等腰直角三角形可知,∠A=∠B=45°,由D是AB中點,可考慮連接CD,易得CD=AD,∠DCF=45°。從而不難發(fā)現(xiàn)DCF≌DAE。
證明:連接CD。
AC=BC;
∠A=∠B。
∠ACB=90°,AD=DB;
CD=BD=AD,∠DCB=∠B
=∠A。
AE=CF,∠A=∠DCB,AD=CD。
DCF≌DAE。
DE=DF。
上述證明的過程,實質(zhì)上就是一個命題的序列,可以如下來看:(1)等腰三角形ABC兩腰相等(AC=BC);(2)等腰三角形ABC兩底角相等(∠A=∠B);(3)已知條件(∠ACB=90°,AD=DB);(4)等腰三角形DCB兩腰及兩底角相等;(5)等量減等量得等量(AE=CF),(4)得出的結(jié)論(∠A=∠DCB,AD=CD);(6)三角形全等的判定定理SAS(DCF≌DAE);(7)全等三角形對應(yīng)邊相等(DE=DF)。
這里的(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)不就是一個序列嗎?并且序列中的(7)就是要證明的結(jié)論,其實所有的證明都是如此,只要按照邏輯的推理規(guī)則構(gòu)造出一個包含證明結(jié)論的序列即可。那么,在這七步的序列中運用了哪些推理規(guī)則呢?(1)前提引入規(guī)則;(2)前提引入規(guī)則;(3)前提引入規(guī)則;(4)假言推理規(guī)則;(5)置換規(guī)則和結(jié)論引入規(guī)則;(6)假言推理規(guī)則;(7)假言推理規(guī)則。
數(shù)學(xué)能夠非常有效地訓(xùn)練人的邏輯思維能力,它是其他學(xué)科無可替代的,而數(shù)學(xué)證明又是最為有效的途徑,正如羅增儒先生所說,數(shù)學(xué)證明有助于獲得新的體驗、發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論;有助于增進理解,只有清楚了一個命題的證明,才能真正理解該命題的內(nèi)容。對于幾何證明,首先應(yīng)該弄清題意,明確證明方向即把握好題目的已知條件和要證明的結(jié)論,然后結(jié)合圖形理清思路,把和本題有關(guān)的命題搜索出來,再來思考需要用到哪些定理,將其羅列出來,最后按照邏輯的思維方法把它們構(gòu)造成一個包含要證明結(jié)論的序列,這就完成了證明的過程。
參考文獻
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一、知識結(jié)構(gòu)、邏輯推理及相互間的關(guān)系。
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的一個重要途徑。烏辛斯基早就指出:“所謂智力發(fā)展不是別的,只是很好組織起來的知識體系。”而知識體系因為其內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)而獲得邏輯意義。數(shù)學(xué)中基本的概念、性質(zhì)、法則、公式等都是遵循科學(xué)的邏輯性構(gòu)成的。
“數(shù)學(xué)作為一種演繹系統(tǒng),它的重要特點是,除了它的基本概念以外,其余一切概念都是通過定義引入的?!边@種演繹系統(tǒng)一方面使得數(shù)學(xué)內(nèi)容以邏輯意義相關(guān)聯(lián)。另一方面從知識結(jié)構(gòu)所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法(如邏輯推理等),再去獲取更多的知識。如學(xué)習(xí)“能同時被2、5整除的數(shù)的特征”時,我們是通過演繹推理得到的:
所有能被2整除的數(shù)的末尾是0、2、4、6、8;
所有能被5整除的數(shù)的末尾是0、5;
因此,能同時被2、5整除的數(shù)的末尾是0。
數(shù)學(xué)中的這種推理形式一旦被學(xué)生所熟識,他們又會運用它在已有知識的基礎(chǔ)上作出新的判斷和推理。
學(xué)生知識的習(xí)得和構(gòu)建,主要依賴認知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)觀念,去影響和促進新的理解、掌握,溝通新上知識的互相聯(lián)系,形成新的認知結(jié)構(gòu)系統(tǒng),這是數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中的同化現(xiàn)象。它包含三方面的內(nèi)容:一是新舊知識建立下位聯(lián)系;二是新舊知識建立上位聯(lián)系;三是新舊知識建立聯(lián)合意義。這三方面與邏輯結(jié)構(gòu)中的三類推理恰好建立相應(yīng)的聯(lián)系。推理,是從一個或幾個已知的判斷得出新的判斷的過程。通常有:演繹推理(從一般性的前提推出特殊性結(jié)論的推理);歸納推理(從特殊的前提推出一般結(jié)論的推理);類比推理(從特殊的前提推出特殊結(jié)論的推理或從一般前提推出一般結(jié)論的推理)。如:教學(xué)“循環(huán)小數(shù)”時,先在黑板上出示算式1.2÷0.3=4、1÷2=0.5、4.8÷4=1.2、0.666÷2=0.333;1÷3=0.333……、70.7÷33=2.14242……、299÷37=8.081081……等。觀察各式的商學(xué)生們直觀認識到:小數(shù)有有限小數(shù)、無限小數(shù)之分。進而從一組無限小數(shù)中,發(fā)現(xiàn)了循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)屬性,得到了循環(huán)小數(shù)的定義。由兩個或幾個單稱判斷10.333…的數(shù)字3依次不斷地重復(fù)出現(xiàn),2.14242…的數(shù)字42依次不斷重復(fù)出現(xiàn)等,得出一個新的全稱判斷(循環(huán)小數(shù)的定義)是歸納推理的一種方法。
在教學(xué)的過程中,教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,有意識地把邏輯規(guī)律引入教學(xué),注意示范、點撥,顯然是有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。
二、邏輯推理在教與學(xué)過程中的應(yīng)用。
1.如果原有的認知結(jié)構(gòu)觀念極其抽象,概括性和包容性高于新知識,新舊知識建立下位聯(lián)系、新知識從屬于舊知識時,那么宜適當(dāng)運用演繹推理的規(guī)則,由一般性的前提推出特殊性的結(jié)論。
“演繹的實質(zhì)就是認為每一特殊(具體)情況應(yīng)當(dāng)看作一般情況的特例”。為了得以關(guān)于某一對象的具體知識,先要找出這一對象的類(最近的類概念),再將這一對象的類的屬性應(yīng)用于哪個對象。如:運用乘法分配律簡便運算時,學(xué)生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識為基礎(chǔ),才能得出:
999×999+999=999×(999+1)=999000
這里999×999+999=999×(999+1)是根據(jù)一般性判斷a×c+b×c=(a+b)×c推出的。當(dāng)學(xué)生理解這種推理的順序,且懂得要使演繹推理正確,首先要前提正確,并學(xué)會使用這樣的語言:
只有兩個約數(shù)(1和它本身)的數(shù)是質(zhì)數(shù);
101只有兩個約數(shù);
101是質(zhì)數(shù)。
那么,符合形式邏輯的演繹法則就初步被學(xué)生所掌握。
在知識層面中,這種類屬過程的多次進行,就導(dǎo)致知識不斷產(chǎn)生新的層次,其邏輯結(jié)構(gòu)就越加嚴密,新的知識也就會不斷分化和精確化,就可以逐漸演繹出新的類屬性的具體知識。教學(xué)中正確把握這種結(jié)構(gòu),用演繹推理的手段組織學(xué)習(xí)過程,不但能培養(yǎng)學(xué)生的思考方法,理解內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu),還能提高學(xué)生的模式辨認能力,縮短推理過程,快速找到解題途徑。
在新舊知識建立下位聯(lián)系時,整個類屬過程可分化為兩種情況。
(1)當(dāng)新知識從屬于舊知識時,新知識只是舊知識的派生物??梢詮脑姓J識結(jié)構(gòu)中直接推衍。新知識可以直接納入原有的認知結(jié)構(gòu)中。
如學(xué)生已學(xué)過兩位數(shù)的筆算,清晰而穩(wěn)固地掌握了加法的計算法則,現(xiàn)在要學(xué)三、四位數(shù)的加法,只要讓學(xué)生思考并回憶兩位數(shù)加法計算的表象結(jié)構(gòu),適當(dāng)?shù)攸c撥一下三、四位數(shù)加法與兩位數(shù)加法有相同的筆算法則,學(xué)生就能順利解決新課題。新知識很快被舊知識同化,并使原有筆算法則得到充實新的知識獲得意義。雖然這些知識的外延得到擴大,但內(nèi)涵不變。
教學(xué)中,掌握這些知識的內(nèi)涵的邏輯結(jié)構(gòu),就會有一個清晰的教學(xué)思路,就會自覺地運用演繹推理的手段,與學(xué)生一起愉快地順利地進行下位學(xué)習(xí)。就不會在講三、四位數(shù)加法時,著眼于竭力以三、四位數(shù)加法為例證,說明加法的計算法則。
(2)新知識類屬于原有較高概括性的觀念中,但不能從原有上位觀念中直接派生出來,而需要對原有知識作部分的改組,才能同化新知識。新知識納入原有知識后,原有知識得到擴展、加深、限制、修飾和精確化。新舊知識之間處于相關(guān)類屬。這時,運用演繹推理之前,先要對原有知識作部分改組,請出一個“組織者”,再步步演繹。(為新知識生長提供觀念上的“固定點”,增加新舊知識間的可辨性,充當(dāng)新舊知識聯(lián)系的“認知橋梁”,奧蘇伯爾稱它為“先行組織者”簡稱“組織者”。)
如學(xué)生已掌握了長方形面積計算公式:S=ab,現(xiàn)在要學(xué)習(xí)正方形的面積計算公式,這就要對長方形進行改組,把它的長改成與寬相等(a=b),于是“正方形面積計算”可被“長方形面積計算”同化,當(dāng)a=b時,S=ab=a·a=a[2,]。又如教圓面積之前,向?qū)W生演示或讓學(xué)生動手操作,把圓適當(dāng)分割后拼成近似長方形,由長方形面積公式導(dǎo)出圓面積計算公式。其間以直代曲,是由舊知識導(dǎo)向新知識的認知橋梁,是由演繹推理構(gòu)建新知識時,找到的觀念上固定點。找到固定點后圓面積的計算被長方形面積同化,于是面積計算規(guī)則從直線封閉圖形的計算,推廣到曲線封閉圖形的計算,擴展加深了對原有面積計算規(guī)則的認識內(nèi)容,使有關(guān)面積計算的認識結(jié)構(gòu)趨向精確化。
2.如果原有認識結(jié)構(gòu)已形成幾個觀念,要在原有的觀念上學(xué)習(xí)一個抽象、概括和包容性高于舊知識的新知識,即新舊知識建立上位聯(lián)系時,那么適當(dāng)運用歸納推理的規(guī)則,可由特殊的前提推出一般性的結(jié)論。當(dāng)需要研究某一對象集時,先要研究各個對象(情況),從中找出整個對象集所具有的性質(zhì),這就是歸納推理。歸納推理的基礎(chǔ)是觀察和試驗,是從具體的、特殊的情況過渡到一般情況(結(jié)論、推論)。
教材中關(guān)于概念的形成,運算法則和運算定律、性質(zhì)得出,一般是通過歸納推理得到的。如分數(shù)的初步認識。在學(xué)習(xí)前,學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中已有了分數(shù)的某些具體經(jīng)驗,加上教材提供的和教師列舉的生活實例和圖形。如:一個蘋果平均分成兩份,每份是它的1/2,一根鋼管平均截成三段,每段是它的1/3,一張紙平均分成4份,每份是這張紙的1/4……所有這些操作和演示都讓學(xué)生認識到幾分之一這個概念。隨后,再認識幾分之幾。這種不完全的歸納推理,是在考察了問題的若干個具體特例后,從中找出的規(guī)律。(嚴格地說,由不完全歸納法推理得到的結(jié)論還需要論證,才能判定它的正確性。)
運用歸納推理傳授知識時,要根據(jù)學(xué)生的實際經(jīng)驗,選取典型的特例,并能夠通過典型特例的推理得出一般性的結(jié)論。又要用這個“一般結(jié)論”,去解決具體特例。在教與學(xué)的進程中,歸納和演繹不是孤立地出現(xiàn)的,它們緊密交織在一起。
3.如果新舊知識間既不產(chǎn)生從屬關(guān)系,又不能產(chǎn)生上位關(guān)系,但是新知識同原有知識有某種吻合關(guān)系或類比關(guān)系,則新舊知識間可產(chǎn)生并列關(guān)系。那么可以運用類比推理。
教材中,商不變性質(zhì)和分數(shù)基本性質(zhì),乘數(shù)是整數(shù)的乘法和乘數(shù)是分數(shù)的乘法等,學(xué)習(xí)這類與舊知識處于并列結(jié)合關(guān)系的新知識時,既不能以上位演繹推理到下位,又不能以下位歸納推理到上位,只能采用類比推理。如五年級學(xué)習(xí)“一輛卡車平均每小時行40千米,0.3小時行了多少千米?”時,學(xué)生還無法根據(jù)小數(shù)乘法的意義列出此題的解答等式。所以,教學(xué)中一般用整數(shù)乘法中的數(shù)量關(guān)系相類推。
原有的認知結(jié)構(gòu)中,整數(shù)乘法與小數(shù)乘法只是一般的非特殊的并列結(jié)合關(guān)系。新知識的學(xué)習(xí),只能利用原有知識中的一般的和非特殊的有關(guān)內(nèi)容進行同化。
1、常識模塊:各省省考常識可能會更偏重于考查與本地有關(guān)的考點。
2、言語理解模塊:題目難度可能會有差別。
3、數(shù)量關(guān)系模塊:國家公務(wù)員考試自2012年開始就不再考查數(shù)字推理,但有些省份近年仍舊保留了數(shù)字推理的考查,如:江蘇、浙江、廣東等。
4、判斷推理模塊:國考與各省省份在圖形推理、類比推理、定義判斷、邏輯推理四種題型題量設(shè)置上會有差別。
1 用“比值法”定義的物理量系統(tǒng)歸類
中學(xué)物理中應(yīng)用比值法定義的物理量很多,現(xiàn)將它們收集整理成下表,供同行在教學(xué)中參考。
2 “比值法”的特點
2.1 什么是“比值法”
比值法就是應(yīng)用兩個物理量的比值來定量研究第三個物理量。它適用于物質(zhì)屬性或特征、物體運動特征的定義。由于它們在與外界接觸作用時會顯示出一些性質(zhì),這就給我們提供了利用外界因素來表示其特征的間接方式,往往借助實驗尋求一個只與物質(zhì)或物體的某種屬性特征有關(guān)的兩個或多個可以測量的物理量的比值,就能確定一個表征此種屬性特征的新物理量。應(yīng)用比值法定義物理量,往往需要一定的條件;一是客觀上需要,二是間接反映特征屬性的的兩個物理量可測,三是兩個物理量的比值必須是一個定值。
2.2 兩類比值法及特點
一類是用比值法定義物質(zhì)或物體屬性特征的物理量,如:電場強度E、磁感應(yīng)強度B、電容C、電阻R等。它們的共同特征是;屬性由本身所決定。定義時,需要選擇一個能反映某種性質(zhì)的檢驗實體來研究。比如:定義電場強度E,需要選擇檢驗電荷q,觀測其檢驗電荷在場中的電場力F,采用比值F/q就可以定義。
另一類是對一些描述物體運動狀態(tài)特征的物理量的定義,如速度v、加速度a、角速度ω等。這些物理量是通過簡單的運動引入的,比如勻速直線運動、勻變速直線運動、勻速圓周運動。這些物理量定義的共同特征是:相等時間內(nèi),某物理量的變化量相等,用變化量與所用的時間之比就可以表示變化快慢的特征。
3 “比值法”的理解
1.理解要注重物理量的來龍去脈。為什么要研究這個問題從而引入比值法來定義物理量(包括問題是怎樣提出來的),怎樣進行研究(包括有哪些主要的物理現(xiàn)象、事實,運用了什么手段和方法等),通過研究得到怎樣的結(jié)論(包括物理量是怎樣定義的,數(shù)學(xué)表達式怎樣),物理量的物理意義是什么(包括反映了怎樣的本質(zhì)屬性,適用的條件和范圍是什么)和這個物理量有什么重要的應(yīng)用。
一、根據(jù)學(xué)生的已有知識儲備,做好知識間的銜接,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
初中階段的平面幾何教學(xué),在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中起著承上啟下的作用,提高初中平面幾何的教學(xué)質(zhì)量,做好中小學(xué)的銜接工作很重要?,F(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有一部分內(nèi)容涉及幾何初步知識,其特點是通過量、拼、剪等簡單的實驗活動得出幾何圖形的概念,都是抽象性的定義,不要求推理。而初中平面幾何是把小學(xué)“數(shù)”的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)移到“形”的學(xué)習(xí)中來,要求學(xué)生從幾何的本質(zhì)屬性方面理解和掌握圖形的概念,用邏輯推理的方法把握圖形的性質(zhì),使學(xué)生學(xué)會正確使用幾何語言,獲得作圖技能,掌握論證方法。所以,為了讓學(xué)生輕松學(xué)習(xí)平面幾何,在教學(xué)中可以先通過復(fù)習(xí)小學(xué)的知識,對小學(xué)教材上提法片面或含糊不清的知識,給予糾正和完善,然后再上升到理論。
二、理解概念,掌握幾何語言,是學(xué)好平面幾何的必備條件
數(shù)學(xué)不同于其他學(xué)科,它的知識內(nèi)容是一環(huán)套一環(huán)的,逐層深入,如果基礎(chǔ)知識掌握不牢,后面的學(xué)習(xí)會更加困難,落下的知識也很難補上,因此中學(xué)教學(xué)大綱中明確指出“正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提”。幾何概念、定理、公理等幾何的基礎(chǔ)知識,是進行幾何證明的理論依據(jù),是最基礎(chǔ)的知識,只有理解、把握好每個概念、定理的本質(zhì),才能為以后的幾何學(xué)習(xí)打好根基。所以在講解概念、定理時,讓學(xué)生積極參與知識的探究,讓其感受知識產(chǎn)生、發(fā)展、歸納的過程,通過師生、生生合作,逐步加深對概念的理解。學(xué)習(xí)幾何,僅僅掌握概念是不夠的,還得掌握幾何語言。任何一門學(xué)科都有自己的學(xué)科語言,只有正確掌握了這門學(xué)科的語言,才有可能順利地進行課程的學(xué)習(xí)。幾何是一門邏輯性十分嚴謹?shù)膶W(xué)科,它的嚴謹性突出表現(xiàn)在語言的表述上。掌握幾何語言,對理解幾何概念,識別幾何圖形,學(xué)會推理論證有著重要的作用。幾何語言有三種表現(xiàn)形式:文字語言、圖形語言和符號語言,學(xué)好這三種語言是完成一個幾何證明必須具備的條件。只有理解了幾何中的文字語言,才有可能按文字要求畫出相應(yīng)的圖形并會使用符號表示。反過來,當(dāng)圖形已知時,要能用幾何中的文字語言、符號語言表達圖形的形狀、大小和位置關(guān)系。初中平面幾何研究的內(nèi)容是平面圖形的性質(zhì)及其相互之間關(guān)系的學(xué)科,幾何語言也可以說是圖形符號語言,包括圖形、符號、文字、作圖、推理語言等。所以在教學(xué)過程中,圖不離文,文不離圖,將幾何概念中那些各成體系又互相滲透的語言,用文字語言結(jié)合圖形語言轉(zhuǎn)化成符號語言,或把符號語言“翻譯”為文字語言。在教學(xué)過程中,反復(fù)將這三種語言相互轉(zhuǎn)換,以加深印象,既培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維分析能力,又提高學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣。
三、狠抓習(xí)慣養(yǎng)成,是培養(yǎng)學(xué)生幾何能力的前提
1.注重培養(yǎng)學(xué)生的讀圖、識圖、畫圖能力
識圖是今后觀察圖形、分析圖形的基礎(chǔ),它的訓(xùn)練應(yīng)從簡到繁、從易到難逐步提高。觀察圖形時,要指導(dǎo)學(xué)生對圖形進行拆分,把一個復(fù)雜的圖形分成幾個簡單的圖形來處理,從而提高識圖能力。畫圖也是幾何語言到直觀圖形的操作過程,是分析問題、解決問題的基本環(huán)節(jié)。所以在教學(xué)中,要求學(xué)生掌握基本圖形的畫法,如如何畫直線、射線、線段、角等。同時,在教學(xué)中還需充分利用教材編排特點:通過量一量、擺一擺、畫一畫、折一折、填一填等方法轉(zhuǎn)移學(xué)生的注意力,培養(yǎng)學(xué)生的動手動腦能力。
2.嚴格要求幾何語言書寫格式
結(jié)合圖形讓學(xué)生掌握基本圖形的表示方法,認真理解數(shù)學(xué)定義、定理、公理、判定、性質(zhì),用簡單的符號表述因果關(guān)系,然后用以解決綜合問題,在訓(xùn)練中逐步規(guī)范學(xué)生的書寫格式。
3.重視幾何學(xué)習(xí)的邏輯推理過程
簡單的邏輯推理是學(xué)習(xí)整個初中幾何的基礎(chǔ),教師在實踐過程中要重方法的指導(dǎo),重點介紹“執(zhí)果索因”的分析方法,讓學(xué)生從結(jié)果入手,逐層分析,尋找原因,找到源頭,明白已知條件的用處,然后再由條件到結(jié)論,把推理過程寫出來,培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)寫出推理過程的方法和技巧的能力。
4.強調(diào)與生活實際相結(jié)合
關(guān)鍵詞: 《線性代數(shù)》 課程教學(xué) 教學(xué)實踐 教學(xué)改革
《線性代數(shù)》課程的特點是概念多、結(jié)論多、內(nèi)容抽象、理論性強;計算復(fù)雜、技巧性強、邏輯性強;有明顯的幾何背景,研究方法新穎多樣。它是學(xué)生從比較具體的數(shù)學(xué)到抽象的公理化的數(shù)學(xué)的一個重要過渡,很多學(xué)生掌握不好。我院的學(xué)生多數(shù)是文科生,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較差,學(xué)起來困難更大。有的學(xué)生雖然上課聽懂了,但是做起題來卻感到特別困難,很多學(xué)生對所學(xué)知識理解不透,從而影響對后續(xù)數(shù)學(xué)課程甚至專業(yè)課程的學(xué)習(xí)。如何使這門課程易于學(xué)生理解和掌握?筆者通過多年的教學(xué)實踐,對這門課程教學(xué)進行了改革,收到了很好的效果,主要做了以下方面的努力和嘗試。
一、把概念弄清楚,理解確切并且記住。
如果概念不清楚,模模糊糊,就沒有辦法運用概念進行邏輯推理,做題時就不知如何下手。因此在學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)首先復(fù)習(xí)概念、定理、例題,然后再做作業(yè),從而使作業(yè)做得比較順利,更節(jié)約時間。更何況,如果沒有弄清楚概念,那么稍微變一下,學(xué)生可能就不會了。由于《線性代數(shù)》邏輯性強,后面的內(nèi)容需要用到前面的概念、定理、性質(zhì),如果每次課上學(xué)的內(nèi)容都沒有及時復(fù)習(xí)、消化,那么時間越長,學(xué)的概念、定理、性質(zhì)越多,腦子里就會亂成一團麻,理不清頭緒,這樣學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容就會很吃力。而如果課后都能及時復(fù)習(xí)、及時消化,就會越學(xué)越順利。那么怎樣才能把概念弄清楚呢?一般來說應(yīng)當(dāng)從以下方面著手:①首先弄清楚概念是怎么提出的?它的背景是什么?②這個概念的確切內(nèi)容是什么?③多舉一些具體的例子幫助理解抽象的概念,特別是舉一些幾何上的例子比較直觀、形象。
二、培養(yǎng)邏輯推理能力,即運用概念和已知的定理、性質(zhì)進行推理、判斷的能力。
形式邏輯的一些基本常識是應(yīng)當(dāng)熟悉的。譬如,命題有四種形式:原命題,否命題,逆命題,逆否命題。若原命題正確,則逆否命題一定正確,但否命題和逆命題不一定正確。要能進行邏輯推理,就必須熟記概念和定理、性質(zhì),否則如同沒有武器就沒有戰(zhàn)斗力,即不知道怎樣做題。
三、學(xué)習(xí)每一章、每一節(jié)時,都要明確這章、這節(jié)要研究什么問題,是如何解決的。
這樣做,就有的放矢,既知其然又知其所以然,思路就清晰明了。如果堅持這么做,就能不斷學(xué)到方法,就能提高分析問題、解決問題的能力。
四、深入淺出,使抽象內(nèi)容具體化。
線性代數(shù)課程的許多計算、結(jié)論及證明都是比較抽象的。例如n階行列式的計算,高階矩陣的運算,n個未知量的線性方程組求解等,因為其元素不可能全寫出來,因此其運算過程只能靠想象;另外一些重要概念,線性相關(guān)、線性無關(guān),向量組的最大線性無關(guān)組,齊次與非齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及矩陣的秩等,學(xué)生都難以接受。在講這些內(nèi)容時,我盡量把抽象概念具體化,把相關(guān)概念聯(lián)系起來。例如,向量組的最大線性無關(guān)組,向量空間的基,齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,雖然它們所討論的對象不同,但定義都是一樣的。我在給出定義后,講一些具體的例子加以說明,使學(xué)生加深對概念的理解,盡量把抽象的內(nèi)容講得通俗易懂。
五、有詳有略,突出重點,加強應(yīng)用。
線性代數(shù)課程內(nèi)容多且難,課時緊。我在講授該課程時,重點要求學(xué)生掌握計算問題。如行列式的計算、矩陣的有關(guān)運算、矩陣的秩、向量組的秩、線性方程組求解、求特征根、特征向量。詳細講解其意義和用法。對一些復(fù)雜的定理證明則主要講解其思路。只要求學(xué)生掌握一些簡單的理論證明。
六、教學(xué)互補,調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。
在認真?zhèn)湔n,搞好課堂教學(xué)的同時,我還調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性,對于計算問題比較多的內(nèi)容,安排一些課堂練習(xí),先讓學(xué)生自己動手做,再有針對性地講解,選一些具有典型性及綜合性的題,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,從而將前后知識連貫起來。
七、學(xué)習(xí)線性代數(shù)跟任何一門數(shù)學(xué)課一樣,必須適當(dāng)多做一些習(xí)題。
光聽課、光看書,自己不動手做,是學(xué)不好數(shù)學(xué)的。只有通過做題,才能加深對概念、定理、性質(zhì)的理解,才能學(xué)到一些方法;做題時,一定要自己動腦想,不要輕易翻書,只有實在想不出來時才能翻看一下習(xí)題解答。只有通過自己動腦想出來的東西才是自己的東西,否則很快就會忘記。做題時盡量用多種方法做,從不同的角度分析問題,從而發(fā)散思維,拓寬思路;做題時盡量算到底,不要因為算起來比較麻煩就不愿意往下算了,認為反正我方法會了。這樣是不行的,因為我們要培養(yǎng)計算能力,有些同學(xué)方法都會,就是一動筆就錯,一計算就出問題,算了很多次就是算不出答案,說明計算能力不強,而計算能力的增強要靠平時的計算訓(xùn)練。
參考文獻: