感知數(shù)學學科中的語言文化
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摘要：描述了數(shù)學語言與自然語言的聯(lián)系與區(qū)別，闡述其概念、特點、發(fā)展階段，并探討了數(shù)學語言與數(shù)學思維之間的聯(lián)系。
關(guān)鍵詞：數(shù)學語言；數(shù)學思維
一、自然語言與數(shù)學語言的聯(lián)系與區(qū)別
自然語言（以下簡稱語言）是人類最重要的交際工具。它同思維有密切的聯(lián)系，是思維的工具，是思想的直接現(xiàn)實，是人區(qū)別于其他動物的本質(zhì)特征之一。任何一門學科都是建立在自然語言的基礎(chǔ)之上的。我們的自然語言之中也包括了一部分非形式的數(shù)學語言，如“圓”“數(shù)”“加”“0”“1”“等于”“小于”“元素”“無限”等等，有的可以直接運用于我們的現(xiàn)實生活中，在自然語言中也包含了如何運用這些術(shù)語的規(guī)則。譬如，兒童在沒有學習數(shù)學中有關(guān)概念時，他就可能知道：“天上有1個太陽”“太陽和月亮都是圓的”……其中“1”“圓”都是屬于數(shù)學語言的范疇。通過運用這些術(shù)語，即可將世界上的事物和對象進行分類和量化。然而，在解釋這些非形式的數(shù)學術(shù)語時，利用的是自然語言的語義。自然語言的規(guī)則和約定確定了這些術(shù)語間的內(nèi)在關(guān)系，如“1小于2”以及“無限集合含有兩個以上的元素”等。如果沒有自然語言中對“1”“小于”“2”“無限”“集合”“元素”等詞的解釋和規(guī)定，就無法理解以上兩句話。這些非形式的數(shù)學語言為數(shù)學思維提供了必要的概念框架和理論基礎(chǔ)，為數(shù)學的發(fā)展提供了可能。在其基礎(chǔ)上又發(fā)展了數(shù)學特有的形式語言（如微積分、矩陣、向量等），從而構(gòu)建起整個數(shù)學知識的藍圖。相應(yīng)地，學生在學習數(shù)學語言時，也是按照這個程序，以自然語言中的這些非形式的數(shù)學語言為基礎(chǔ)，逐漸建立起自己獨特的數(shù)學語言。根據(jù)語言學的研究可以知道，自然語言具有符號性和社會性兩大特點。但是常常又會有“數(shù)學語言叫作符號語言”這一說法。[1]這兩處所指的“符號”看似相同，其實含義并不相同。自然語言中提到的符號是廣義上的符號，包括字和詞：由音和義結(jié)合成最小的單位語素（字），由語素生成詞，詞是語言運用最基本的單位。而數(shù)學中的符號僅僅指數(shù)字、字母、運算符號或關(guān)系符號。數(shù)學符號很少能夠進行組合，一般只有一個含義；而語言符號則不同，可以是多義的并進行相同組合。將這兩者區(qū)別，對于理解數(shù)學中不同的語言劃分是大有裨益的。例如，可將數(shù)學語言按其外表特征劃分為文字語言、符號語言、圖形語言及圖表語言等等。這里就將文字符號與數(shù)學符號這兩種符號區(qū)別開來了。從自然語言與數(shù)學語言的關(guān)系可以看出，在自然語言中包含著部分數(shù)學語言，但是兩者又有不同之處。自然語言與數(shù)學語言有一個共同的子集———部分非形式的數(shù)學語言。在人們?yōu)榱藴蚀_、清晰和簡便地表述數(shù)學理論的需要下，數(shù)學語言產(chǎn)生和發(fā)展了。它是在以下三個方面對自然語言改進的結(jié)果：防止煩瑣，克服同音現(xiàn)象（一詞多義），擴充詞能達意的可能性。狹義地說，數(shù)學語言是數(shù)學知識的載體，是進行數(shù)學思考和交流的工具，是數(shù)學思想的表現(xiàn)形式，是數(shù)學思維的最佳載體。
二、數(shù)學語言的概念、特點及重要發(fā)展階段
數(shù)學語言是隨著數(shù)學學科的誕生而產(chǎn)生的。數(shù)學知識體系是用數(shù)學語言表達的。對于數(shù)學語言這一概念，目前并沒有統(tǒng)一定義。有學者認為，數(shù)學語言是表達數(shù)學對象之間的關(guān)系和形式的符號系統(tǒng)。有的學者認為，數(shù)學語言，狹義地說是指數(shù)學符號語言；廣義地說，一切用以反映數(shù)量關(guān)系和空間形式的語言都是數(shù)學語言，包括借用的部分自然語言（含口頭的、文字的日常用語）、符號語言和圖像語言。有的學者認為，數(shù)學語言就是簡化自然語言，抽象出來的體現(xiàn)數(shù)學思維特點的特殊語言。[2]盡管這些定義各有側(cè)重，但都在一定程度上反映了數(shù)學語言的實質(zhì)是描述數(shù)學這一知識體系的。它是建立在數(shù)學這門學科的基礎(chǔ)之上的。數(shù)學語言并不等于簡化了的自然語言，而是自然語言的一種衍生物。數(shù)學語言是一種人工語言，或符號語言、形式語言，它的符號、規(guī)則，都是人工加以規(guī)定的，是先有規(guī)則，后有語句的。[3]例如，數(shù)理邏輯中的命題演算是一個形式系統(tǒng)，它先規(guī)定初始符號和形式規(guī)則，然后引出一系列命題。它是在自然語言的基礎(chǔ)之上建立起來的一種人工語言。數(shù)學語言主要有以下幾個特點：簡潔性、精確性、抽象性和嚴謹性。1.簡潔性。簡潔和精煉是數(shù)學語言顯著特點之一，人們總是試圖用較少的詞匯來刻畫所描述的數(shù)學對象。例如7個12相乘，我們固然可以寫成12×12×12×12×12×12×12，但是熟練運用數(shù)學語言的人會將其寫成127，這種表達方法就簡潔得多，而且明白無誤。簡潔、精煉的數(shù)學語言有利于我們對數(shù)學事實進行歸納和概括，有利于我們進行邏輯推理。它不僅是普通語言無法替代的，而且構(gòu)成了科學語言的基礎(chǔ)。越來越多的學科用數(shù)學語言表述自己，這不僅是因為數(shù)學語言的簡潔，而且是因為數(shù)學語言的精煉及其思想的普遍性與深刻性。2.精確性。自然語言的語音、詞匯和語法都會隨著語言環(huán)境的不同而有多種解釋。在數(shù)學語言中，每一個符號，每一個由符號組成的式子，每一個概念和命題都只有一個意思。雖然它們的表達方式有可能不同，但其含義是一致的，沒有任何歧義。比如，點和直線的位置關(guān)系“點在直線l上”，可以說成“點A在直線l上”“點A屬于l”“直線l過點A”等等。它們都可以表示為圖1，僅僅表示了點A與直線l的一種位置關(guān)系，而沒有其他含義。精確的數(shù)學語言無疑是思維得以順利進行的前提條件。語言是思維的“外殼”，思維是語言的“內(nèi)涵”，兩者相依相存。從這一角度來看，數(shù)學語言的精確性體現(xiàn)了數(shù)學思維的周密性。3.抽象性。數(shù)學的對象是量與空間形式，而量與空間形式本身就不是具體的某個事物，是事物的數(shù)量與空間關(guān)系的抽象。數(shù)學發(fā)展到一定階段時，用形式化語言來表達這一對象，使其成為形式化、邏輯化的思維材料。反過來，這種抽象的語言使得數(shù)學抽象———舍棄了具體對象及現(xiàn)實關(guān)系中的特殊內(nèi)容，而單單保留它們“純粹”的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)關(guān)系。數(shù)學的抽象性體現(xiàn)在概念的抽象性，數(shù)學語言的抽象性，解決問題方法的抽象性等諸多方面。也正是由于數(shù)學語言有抽象性這個特點，使它具有通用性，從而成為其他學科的通用語言。4.嚴謹性。數(shù)學語言具有嚴謹性，主要體現(xiàn)在它具有嚴謹?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。無論用數(shù)學語言來描述數(shù)學概念、數(shù)學命題，還是用數(shù)學語言描述數(shù)學推理或數(shù)學問題，無不具有嚴謹?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。這是數(shù)學這門基礎(chǔ)學科嚴謹性的保證，也是人們進行嚴謹?shù)倪壿嬐评?、論證的保證。反之，正是數(shù)學這門學科的特點，要求數(shù)學語言具有嚴謹?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。如關(guān)于極限的定義，極限的思想可追溯到古代，但直到牛頓時代，人們還沒有建立嚴格的極限定義。那時牛頓所運用的極限概念還只是直觀性的語言描述。以數(shù)列為例，關(guān)于數(shù)列{an}，如果當n無限增大時，an無限地接近于常數(shù)A，那么就說{an}以A為極限。人們很容易理解這種描述性語言，但它沒有定量給出兩個“無限過程”之間的聯(lián)系，不能作為科學論證的邏輯基礎(chǔ)，正因為當時缺少嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑和攻擊。直到柯西與魏爾斯特拉斯建立了嚴格的極限定義，才定量、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系，至今仍可使用。數(shù)學語言發(fā)展的重要階段主要有：①建立自然數(shù)和分數(shù)的符號體系，特別是引入進位計數(shù)制和0這個特殊記號。由此人類可以簡便地寫出算術(shù)運算的算法。②代數(shù)符號的發(fā)展，用代數(shù)符號可以明顯地表示出代數(shù)變形與解方程的法則。③與微積分學的產(chǎn)生有關(guān)的符號語言的發(fā)展。（用f＇（x）與dxdy表示導數(shù)，用表示積分等等）④集合論與邏輯語言在現(xiàn)代數(shù)學中的普遍使用。⑤電子計算機的出現(xiàn)大大影響了數(shù)學語言的發(fā)展———數(shù)學語言應(yīng)該便于在計算機中輸入。“數(shù)學的歷史在一定意義上就可說是概念發(fā)展與演變的歷史”，而概念又是與語言分不開的。從以上幾個階段可以看出，語言的發(fā)展尤其是符號的發(fā)展對數(shù)學這門學科的發(fā)展起到了不可估量的推動作用。萊布尼茲曾經(jīng)寫道：“記號是為了便于發(fā)現(xiàn)，它多半是在記號簡潔地表示并能反映事物的內(nèi)在本質(zhì)的時候，這時思維活動以驚人的方式得到簡化”。正是由于思維方式的簡化，人們才有可能進一步深化數(shù)學思想與方法。事實上，按照不少數(shù)學教育學家的意見，對于某些數(shù)學語言的掌握就可被看成數(shù)學水平提高的一個主要標志。例如，對代數(shù)語言的掌握就標志著由小學數(shù)學水平到中學數(shù)學水平的過渡；對極限語言（ε－δ語言）的掌握則標志著由初等數(shù)學水平上升到了變量數(shù)學的水平。
三、數(shù)學語言與數(shù)學思維的聯(lián)系
學習數(shù)學時，無論是聽課、回答問題、討論、閱讀數(shù)學書籍，還是解決問題，都是以數(shù)學語言作為中介的，數(shù)學語言是數(shù)學內(nèi)容和數(shù)學方法的載體。許多學生因為運用數(shù)學語言的能力較差，造成了閱讀、理解、思維和表達上的障礙，導致了數(shù)學學習上的困難。馬克思認為，語言是思維本身的要素……是思想的直接現(xiàn)實。數(shù)學語言同樣與數(shù)學思維有著密切的聯(lián)系，它不僅是數(shù)學思維的工具和載體，還可以促進、深化數(shù)學思維；反之，數(shù)學思維又可以創(chuàng)造數(shù)學語言。數(shù)學思維的特性之一是具有獨特的形式化的符號語言。這種形式化的符號語言正是數(shù)學語言的特征之一。正是由于數(shù)學語言的嚴謹性和簡潔性保證了數(shù)學思維的簡潔性，數(shù)學家們才可以更加方便、流暢地表達和研究數(shù)學思想和數(shù)學方法，認識數(shù)學世界的奧秘，并把數(shù)學成果應(yīng)用于人類各種實際問題。國際教育署和國際教育學會聯(lián)合出版的教育實踐系列叢書中的《有效的數(shù)學教學》提出了數(shù)學有效教學的十條標準之一是數(shù)學語言，認為教師應(yīng)該把數(shù)學語言和日常語言聯(lián)系起來，通過直接講解或示范的方式幫助學生學習數(shù)學語言，培養(yǎng)學生理解和使用數(shù)學語言，能夠區(qū)別數(shù)學語言和日常語言中的不同含義。無疑，這也是我們目前數(shù)學教學和學習中需要做到的。
參考文獻：
[1]孫維張，劉富華.語言學概論[M].長春：吉林大學出版社，1991.
[2]張乃達.數(shù)學思維教育學[M].南京：江蘇教育出版社，1990.
[3]鄭毓信.數(shù)學方法論[M].桂林：廣西教育出版社，1999.
作者：趙文靜 單位：江蘇鳳凰教育出版社