計(jì)算機(jī)離散數(shù)學(xué)課程改革思考

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摘要：“離散數(shù)學(xué)”是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、軟件工程、通信工程、網(wǎng)絡(luò)空間安全等信息類本科專業(yè)的核心基礎(chǔ)課之一，在計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)等專業(yè)課程體系結(jié)構(gòu)中起到非常重要的理論支撐作用。本文分析了計(jì)算機(jī)專業(yè)開設(shè)“離散數(shù)學(xué)”課程中存在的一些問題，從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式等方面，建議在教學(xué)時(shí)結(jié)合計(jì)算機(jī)相關(guān)領(lǐng)域中的實(shí)際例子，深入淺出地傳授“離散數(shù)學(xué)”中的理論知識(shí)點(diǎn)，并采用理論教學(xué)結(jié)合編程練習(xí)，激發(fā)學(xué)生的興趣，提高教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；課程改革；問題驅(qū)動(dòng)；編程實(shí)現(xiàn)；結(jié)合應(yīng)用

一、引言

離散數(shù)學(xué)（DiscreteMathematics）是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、軟件工程、通信工程、網(wǎng)絡(luò)空間安全、信息與計(jì)算科學(xué)等信息類本科專業(yè)的核心基礎(chǔ)課之一，在計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)等專業(yè)課程體系結(jié)構(gòu)中起到非常重要的理論支撐作用[1]。因此，離散數(shù)學(xué)早在1977年就已被美國電子電氣工程師協(xié)會(huì)（IEEE）確定為計(jì)算機(jī)專業(yè)的核心課程。2001年又被IEEE協(xié)會(huì)和美國計(jì)算機(jī)協(xié)會(huì)（ACM）聯(lián)合認(rèn)定為計(jì)算機(jī)專業(yè)的第一核心主干課程[2]。由于電子計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間與計(jì)算能力的限制，計(jì)算機(jī)相關(guān)的很多領(lǐng)域都使用到了離散結(jié)構(gòu)的概念。如計(jì)算機(jī)中的任何一個(gè)變量都是離散變量，計(jì)算機(jī)中的圖片都是以離散像素的形式存在。所有的存儲(chǔ)和通信的數(shù)據(jù)本質(zhì)上都是0和1構(gòu)成的。因此，“離散數(shù)學(xué)”的教學(xué)內(nèi)容與計(jì)算機(jī)硬件和軟件都有著密切的關(guān)系。“離散數(shù)學(xué)”采用嚴(yán)格形式化的數(shù)學(xué)語言來描述離散系統(tǒng)的狀態(tài)、關(guān)系和變化過程，是進(jìn)行定性定量分析和邏輯推理的工具，可以為計(jì)算機(jī)系統(tǒng)處理離散對象的狀態(tài)及變換提供有效的描述[3]。離散數(shù)學(xué)不僅是計(jì)算機(jī)專業(yè)的核心課程，更是“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”、“算法設(shè)計(jì)與分析”、“數(shù)據(jù)庫原理”、“數(shù)字邏輯（數(shù)字電路）”、“編譯原理”、“信息安全”、“操作系統(tǒng)”、“并行計(jì)算”等一系列課程的先導(dǎo)課程。如圖1所示，離散數(shù)學(xué)中核心的六個(gè)部分：數(shù)理邏輯、關(guān)系集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論、初等數(shù)論和有限自動(dòng)機(jī)，分別衍生出計(jì)算機(jī)的學(xué)科體系架構(gòu)。通過離散數(shù)學(xué)的教學(xué)，使學(xué)生掌握課程的基本概念和基本原理，采用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力，為從事計(jì)算機(jī)的科研與應(yīng)用提供必要的描述工具和理論基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)分析問題、解決問題的能力。根據(jù)教育部“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)建議，目前國內(nèi)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)大致可以分為三個(gè)層次：科學(xué)型、工程型、應(yīng)用型[4]，對應(yīng)的學(xué)時(shí)分別為108、90、72?？茖W(xué)型人才培養(yǎng)的目標(biāo)要求學(xué)生有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，較強(qiáng)的抽象思維能力，形式化描述能力和推理、分析能力；工程型人才的目標(biāo)是要求學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能綜合運(yùn)用離散數(shù)學(xué)中的理論和模型去分析問題和解決問題，兼顧計(jì)算機(jī)科學(xué)和計(jì)算機(jī)應(yīng)用，內(nèi)容較為寬廣深入；應(yīng)用型人才目標(biāo)則要求學(xué)生能夠運(yùn)用典型的離散模型，進(jìn)行系統(tǒng)建模與軟件集成[5]。針對不同的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)要求，需要采用“因材施教，分流培養(yǎng)”的教學(xué)理念與策略。然而，在實(shí)際的教學(xué)過程中，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)課時(shí)量常常被壓縮，一般正式授課時(shí)間約為48學(xué)時(shí)。如何在有限的時(shí)間里充分地把知識(shí)傳授給學(xué)生，將能力傳播給學(xué)生，給離散數(shù)學(xué)的教學(xué)提出了新的挑戰(zhàn)。一些高校采用減少學(xué)時(shí)數(shù)量、降低考試難度，這樣會(huì)造成學(xué)生無法認(rèn)識(shí)到“離散數(shù)學(xué)”在計(jì)算機(jī)專業(yè)的課程架構(gòu)中的重要地位，導(dǎo)致“離散數(shù)學(xué)”的教與學(xué)越來越邊緣化[3]。為此，筆者在對“離散數(shù)學(xué)”多年的觀察與教學(xué)的基礎(chǔ)上，對本科階段計(jì)算機(jī)專業(yè)的“離散數(shù)學(xué)”課程存在問題進(jìn)行了深入剖析，并給出了一些初步的建議。

二、存在的問題

筆者在近幾年的“離散數(shù)學(xué)”授課過程中，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在課程學(xué)習(xí)與能力培養(yǎng)方面容易存在以下三個(gè)問題。

（一）課程學(xué)時(shí)少，理論難度大

絕大多數(shù)的高校開設(shè)“離散數(shù)學(xué)”的學(xué)時(shí)有限，往往比“教指委”給出的時(shí)間少，一般在48學(xué)時(shí)，難以完整地開展包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論、初等數(shù)論和形式語言與自動(dòng)機(jī)等內(nèi)容的教學(xué)，往往僅對前四部分（甚至更少）的內(nèi)容展開教學(xué)，初等數(shù)論和形式語言與自動(dòng)機(jī)部分由于難度較大，將作為選學(xué)內(nèi)容。

（二）課程輻射不夠，相互割裂，學(xué)生畏難情緒嚴(yán)重

在實(shí)際教學(xué)中，很多高校把“離散數(shù)學(xué)”作為一門數(shù)學(xué)課，由數(shù)學(xué)系教師作為主講教師，采用純數(shù)學(xué)經(jīng)典的“定義—定理—證明—習(xí)題”的教學(xué)模式[6]，忽視了“離散數(shù)學(xué)”在計(jì)算機(jī)中的應(yīng)用背景，讓學(xué)生感到恐懼與反感，因其未能從“高等數(shù)學(xué)”與“線性代數(shù)”等課程的學(xué)習(xí)思路和模式中走出來，從而降低了學(xué)習(xí)興趣，最終影響教學(xué)質(zhì)量。

（三）理論學(xué)習(xí)與計(jì)算機(jī)實(shí)踐相互割裂

對于計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生，需要將所學(xué)的理論知識(shí)與計(jì)算機(jī)編程相互關(guān)聯(lián)起來，不能將計(jì)算機(jī)工具與“離散數(shù)學(xué)”的知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)行割裂，如果將理論學(xué)習(xí)與計(jì)算機(jī)實(shí)踐相互割裂，只會(huì)使學(xué)生紙上談兵，實(shí)際操作能力不能得到有效提高。

三、課程的建議

1.教學(xué)手段多樣化，凝練重點(diǎn)知識(shí)。首先要講清楚什么是離散的概念，為什么要引入離散的概念，重點(diǎn)介紹離散數(shù)學(xué)的思維方式和解題思路，消除學(xué)生反感、對立的情緒。針對大學(xué)生已普及手機(jī)等智能移動(dòng)設(shè)備的現(xiàn)狀，對于重要的知識(shí)點(diǎn)，建議采用微視頻、微課的形式，供學(xué)生利用點(diǎn)滴課余時(shí)間，反復(fù)理解，對課堂知識(shí)的重、難點(diǎn)進(jìn)行再現(xiàn)，充分互動(dòng)，達(dá)到知識(shí)傳遞的效果，并及時(shí)采用微學(xué)堂、微試題等形式，對教學(xué)效果進(jìn)行反饋。

2.以點(diǎn)帶線，線面結(jié)合，增加課程關(guān)聯(lián)度介紹，建議梳理計(jì)算機(jī)專業(yè)本科課程，與“離散數(shù)學(xué)”之間建立對應(yīng)聯(lián)系。比如在數(shù)字電路設(shè)計(jì)中，使用“與非”門和“或非”門設(shè)計(jì)邏輯線路，代替單一的“非”門、“與”門和“或”門的組合；利用等值演算，可大幅度優(yōu)化邏輯線路。再如利用哈密頓圖求解最短路徑問題和旅行商周游問題，利用基于最優(yōu)二叉樹的哈夫曼算法來優(yōu)化編碼并提高通信效率；等等。

3.編程實(shí)現(xiàn)。離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課，必須與學(xué)生已有的基礎(chǔ)課（如程序設(shè)計(jì)語言等）相互關(guān)聯(lián)，使得學(xué)生學(xué)以致用。開展離散數(shù)學(xué)中常見算法的編程實(shí)現(xiàn)，如利用C/C++語言實(shí)現(xiàn)公式真值表的輸出：對于給定的公式，判斷其合法性之后，給出其真值表。類似的，結(jié)合離散數(shù)學(xué)課程，筆者推薦如下算法：集合的笛卡爾積計(jì)算，歐拉圖的判定，關(guān)系的判定，自反、對稱、傳遞閉包的計(jì)算。對于Dijkstra算法、Kruskal算法、Prim算法等，在后續(xù)的“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法”課程中將有詳細(xì)的算法描述，在離散數(shù)學(xué)課程中不必要求實(shí)現(xiàn)。

四、結(jié)語

“離散數(shù)學(xué)”既作為計(jì)算機(jī)大類專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課，又在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。有人說：沒有“離散數(shù)學(xué)”就沒有計(jì)算機(jī)理論，也就沒有計(jì)算機(jī)科學(xué)[7]，足以證明它的重要性。本文針對計(jì)算機(jī)專業(yè)知識(shí)體系的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出在教學(xué)時(shí)結(jié)合計(jì)算機(jī)相關(guān)領(lǐng)域中的實(shí)際例子，深入淺出地傳授“離散數(shù)學(xué)”中的理論知識(shí)點(diǎn)，采用理論教學(xué)結(jié)合編程練習(xí)，激發(fā)學(xué)生的興趣，提高教學(xué)質(zhì)量。近幾年，筆者通過實(shí)際教學(xué)的檢驗(yàn)，該教學(xué)方法效果良好，值得借鑒與推廣。

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[4]教育部高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì).高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)核心課程教學(xué)實(shí)施方案[M].北京：高等教育出版社，2009.

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[7]離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的作用和應(yīng)用[EB/OL].

作者：魏立斐 王曉明 王春華 單位：上海海洋大學(xué)信息學(xué)院