分類討論的數(shù)學思想方法精選(九篇)
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第1篇：分類討論的數(shù)學思想方法范文
目前，初中數(shù)學教學內容、教學過程存在較多的問題：如過分重視按照邏輯體系編排，重知識傳授，輕實際應用；重結果，輕過程；強調統(tǒng)一性，忽視差異性；教材內容偏窄偏深?，F(xiàn)有課堂教學也存在著許多弊病，例如教學程式化、教學缺乏變通性和靈活性、教條化、單一化、靜態(tài)化等問題導致學生學習興趣索然，學習被動，產生厭學心理，造成數(shù)學差生面大。另一方面，教師總想提高差生的成績，給學生布置大量的作業(yè)，加重了學生的負擔，效果卻并不理想。
當今社會科學技術高速發(fā)展，高科技的競爭已成為世界性和全方位的科技競爭焦點，而高科技的競爭必然導致知識密集化，技術綜合化，方法系統(tǒng)化。面對高科技對人才培養(yǎng)提出的新要求，面對初中數(shù)學的教學實際，初中數(shù)學教學如何才能提高課堂教學質量，減輕學生負擔，使學生學會數(shù)學的思考和解決問題，能把知識的學習和能力的培養(yǎng)、智力的發(fā)展有機地聯(lián)系起來呢？一方面，重視數(shù)學思想方法的培養(yǎng)，可以改善數(shù)學教學低效狀況。另一方面，重視初中數(shù)學思想方法的培養(yǎng)也符合新科技時代對人才素質的要求。
從教育的角度來看，數(shù)學思想方法比數(shù)學知識更為重要，這是因為：數(shù)學知識是定型的，靜態(tài)的，而思想方法則是發(fā)展的，動態(tài)的，知識的記憶是暫時的，思想方法的掌握是永久的，知識只能使學生受益于一時，思想方法將使學生受益于終生。增強數(shù)學思想方法的培養(yǎng)比知識的傳授更為重要，數(shù)學思想方法的掌握對任何實際問題的解決都是有利的。因此，數(shù)學教學必須重視數(shù)學思想方法的教學。
實踐證明，培養(yǎng)初中生的數(shù)學思想方法，有效地激發(fā)了學生的學習興趣，充分調動了學生學習積極性和主動性，能使學生的認知結構不斷地完善和發(fā)展，使學生將已有的思想方法運用在學習新知識的過程中，能夠把復雜問題轉化為簡單問題來解決，提高學習效益，提高學生分析問題和解決問題的能力。目前，數(shù)形結合思想、分類討論思想、方程與函數(shù)思想是各地試卷考查的重點，因此，也應注重初中生數(shù)學思想方法的培養(yǎng)，考查學生的數(shù)學思想方法是考查學生能力的必由之路。
二、怎樣培養(yǎng)初中生的數(shù)學思想方法
（一）數(shù)學思想方法的培養(yǎng)應遵循的原則
1. 滲透性原則
九年制義務教育教材的編排是按知識的邏輯縱向展開的。大量的數(shù)學思想方法是蘊涵在數(shù)學知識之中，因此，在具體知識的教學中，精心設計學習情境與教學過程，著意引導學生領會蘊含在其中的數(shù)學思想和方法，使它們在潛移默化中達到理解和掌握。
2 . 層次性原則
要使學生把握數(shù)學方法，首先教師要準確、清晰地把握好初中數(shù)學教材中的數(shù)學思想方法的水平層次。一要把握好學生認知數(shù)學思想方法的水平層次；對初中數(shù)學方法可分為了解、理解、掌握三個層次。了解：對數(shù)學思想方法的含義有感性的初步的認識，能在有關的問題中識別它們。理解：對數(shù)學思想方法達到了理性認識，不僅能夠說出它們是什么，而且能夠知道它們的基本觀點，有什么用途。掌握：在理解的基礎上，通過訓練掌握其實質，能用它去解決一些問題。二要把握好某一數(shù)學方法在不同教材、不同階段的水平層次。同一種數(shù)學思想方法在不同的年級（或不同的章節(jié)）中，要求的層次也不相同。
3. 反復性原則
從一個較長的學習過程看，學生對各種數(shù)學思想方法的認識都是在反復理解和運用中形成的，其間有一個低級到高級的螺旋上升過程，如對同一數(shù)學思想方法，應該注意在不同知識階段的再現(xiàn)，加強對數(shù)學思想方法的認識。
學生接觸較多的數(shù)學問題后，數(shù)學思想方法的學習逐漸過渡到初步應用階段，開始理解解題過程中所使用的探索方法和策略，也能夠概括總結出來。
（二）在知識的傳授過程中，注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思想
數(shù)學思想是形成數(shù)學能力、數(shù)學意識的橋梁，是靈活運用數(shù)學知識的技能、方法的靈魂，因此，在運用知識的全過程中，從分析探求思路，到優(yōu)化實施解答，最后反思驗證結論都要重視應用數(shù)學思想。
1. 對概念掌握過程和公式定理證明中滲透數(shù)學思想
中學數(shù)學教材中處處滲透著基本數(shù)學思想方法，數(shù)學概念、公式、法則等知識寫在教材中，是有“形”的，而基本的數(shù)學思想方法在教材中是無“形”的。它以隱藏的形式存在于字里行間，并且不成體系散見于教材各章節(jié)之中，需要通過教師的指點，學生才能領會、掌握。通過對公式定理證明，把掌握的概念運用的實踐當中，這個過程中滲透數(shù)學思想也加深了概念的理解。
2. 在例題教學中滲透數(shù)學思想
分類思想的培養(yǎng)要通過學生對具體數(shù)學問題的處理，因此，在例題教學中，要引導學生應用分類思想探索某些問題的解題方法，訓練學生的分類技能，同時安排相應的題型進行訓練。初中課本中有不少定理、法則、公式、習題，都需要分類討論，在教授這些內容時，應不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學中，通過分類討論還有利于幫助學生概括，總結出規(guī)律性的東西，從而加強學生思維的條理性，縝密性。
一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。在平時的練習過程中滲透數(shù)學思想，在鞏固練習過程中，進一步滲透分類思想。
（三）培養(yǎng)學生自覺應用數(shù)學思想方法解決實際問題的能力
第2篇：分類討論的數(shù)學思想方法范文
【關鍵詞】數(shù)學；分類思想方法；教學
數(shù)學思想方法與其他的數(shù)學思想方法一樣，是探究、解決問題的重要的思想方法。在探究、解決問題中正確地運用數(shù)學分類思想方法能化繁為簡，化難為易；能使思維有序、全面、縝密；對于提升學生的思維品質和提高學生分析問題和解決的題的能力起到積極的促進作用。下面就分類思想方法的意義、原則、作用和步驟；初中數(shù)學教材中運用分類思想方法進行教學的主要內容；初中數(shù)學分類思想方法教學的三個階段等三個方面談談個人的看法。
一、分類思想方法的意義、原則、作用和步驟
1、分類思想方法的意義。 將研究對象按照一定的標準，劃分成幾個部分，逐一進行研究和解決的方法叫做分類討論。其實質：“化整為零，各個擊破，再積零為整”的策略。
2、分類的原則。劃分后的各個子項應當互不相容（不重）；劃分后的子項應當窮盡母項（不漏）；每次劃分都應按同一標準。
3、分類的作用。可化繁為簡，化難為易；可使思維有序，有條理；可使思維全面、縝密。
4、分類討論的步驟。確定同一分類的標準；恰當?shù)陌褜ο笳w進行分類；分類要做到“不重、不漏”；討論要按一定的層次逐類逐級進行，最后概括小結、歸納，得出問題的結論。確定分類標準是分類討論的重要一環(huán)。
二、初中數(shù)學教材中運用分類思想方法進行教學的主要內容
1、運用分類思想方法進行數(shù)、式教學的內容有理數(shù)的分類，相反數(shù)，絕對值，大小的比較，運法則；數(shù)的分類，平方根，立方根，無理數(shù)的形式；式的分類，式加減，二次根式的化簡等。
2、運用分類思想方法進行方程與不等式（組）教學的內容方程的分類，不等式的性質，不等式（組）的解集，一元二次方程的解法等。
3、運用分類思想方法進行函數(shù)教學的內容。特殊點的坐標，分段函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質等。
4、運用分類思想方法進行圖形認識教學的內容。線的分類，面的分類，垂線性質，三線八角，三角形按邊（角）的分類，三角形高的位置，三角形外心的位置，三角形全等的條件，等腰三角形邊與角的計算，勾股定理的應用，四邊形的分類，弧的分類，點與圓的位置關系，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，圓周角定理等。
5、運用分類思想方法進行圖形與變換教學的內容。相似三角形的對應關系、三角形相似的條件，相似多邊形的性質，相似三角形性的質，位似中心的位置等。
三、初中數(shù)學分類思想方法教學的三個階段
1、抓住時機，滲透分類思想。
（1）在概念教學中，滲透分類的思想。有些數(shù)學概念是由分類給出的，一般按概念的分類形式進行分類。例如，有理數(shù)意義教學：整數(shù)、分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)或正數(shù)、負數(shù)、零統(tǒng)稱為有理數(shù)。
（2）在法則探究中，滲透分類思想方法。例如，有理數(shù)的加法法則的探究，可分為：同號兩數(shù)相加；異號兩數(shù)相加；一個數(shù)同零相加三種情形：
①（+2）+（+1）=+（2+1）=+3， （-2）+（-1）=-（2+1）=-3；
②（+2）+（-1）=+（2-1）=+1， （-2）+（+1）=-（2-1）=-1；
（+2）+（-2）=0；
③（+2）+0=+2， （-2）+0=-2，0+0=0.
最后歸納出有理數(shù)的加法法則。
（3）在圖形求解中，滲透分類思想方法。例如，等腰三角形的兩邊分別是3、4，求它的周長。分析：根據(jù)等腰三角形的腰可分為：當3為腰時，則4就是底邊；當4為腰時，則3就是底邊二種情形：
①當3為腰時，則4就是底邊，此時等腰三角形的周長為10；
②當4為腰時，則3就是底邊，等腰三角形的此時等腰三角形的周長為11。
2、啟發(fā)誘導，揭示分類思想方法的本質。
（1）根據(jù)問題的需要，進行分類。
例如，解關于x的不等式：mx>-1
分析：據(jù)不等式的性質可分為m>0，m=0和m
①當m>0時，不等式的解為x>-1/ m；
②當m=0時，不等式左邊=0，右邊=-1，因為0乘任何數(shù)得0，0>-1，此不等式解集為一切實數(shù)；
③當m
（2）分類要求明確的標準。例如，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的探究，可按根的情況分為：兩個不相等的實數(shù)根；兩個相等的實數(shù)根；沒有實數(shù)根等三種情況來討論。
3、深化探究，運用分類的思想方法研究問題。
（1）根據(jù)字母的取值范圍進行分類。例如，已知函數(shù)y=kx2+（k-1）x-1（k是實數(shù)），如果函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，求k的值。
分析：這里可從函數(shù)分類的角度討論，分k=0和k≠0兩種情況解決問題。
解：①當k=0時，函數(shù)就是一個一次函數(shù)，y=-x-1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。
②當k≠1時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)，y=kx2+（k-1）x-1，當=（k-1）2-4×k×（-1）=0，得k=-1，拋物線y=-x2-2x-1的頂點（-1，0）在x軸上。
第3篇：分類討論的數(shù)學思想方法范文
關鍵詞：數(shù)學新課程；分類討論；再認識
中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1009-010X（2012）04-0055-03
全日制義務教育數(shù)學課程標準要求，“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”。分類討論作為最基本的數(shù)學思想方法之一，它既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種重要的解題方法。在新課程實施中，教師根據(jù)學生的年齡特征、認知規(guī)律和知識積累，在遵循科學性前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則，向學生適時滲透分類討論的數(shù)學思想，對于發(fā)展學生的思維能力、養(yǎng)成良好的數(shù)學思維習慣有著重要的意義。
一、什么是分類討論思想
分類討論是指當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，需要對研究對象按某個標準進行分類，然后逐類討論，最后綜合各類結果得到整個問題的答案。像這種先分類再討論，把問題“分而治之，各個擊破”的解決問題的思想就是分類討論思想。
二、分類討論思想在新課程實施中的地位和作用
數(shù)學課程標準指出：“數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如歸納、演繹、抽象、轉化、分類、模型、數(shù)形結合、隨機等。學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步積累數(shù)學活動經(jīng)驗、感悟數(shù)學思想”。分類討論思想作為一種基本的數(shù)學思想，在學生基礎知識的獲得，基本技能的形成，數(shù)學素養(yǎng)的提高，思維能力的發(fā)展，創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)方面占有非常重要的地位。按照數(shù)學課程標準的要求，在學生學習活動中，積極引導學生通過實踐、思考、探索、交流等方式，讓學生在獲得知識、形成技能、發(fā)展思維的同時，借助數(shù)學知識的載體功能，將分類討論思想向學生逐級滲透，螺旋上升，逐步積累，不斷完善，對于培養(yǎng)學生思維的條理性、嚴謹性和完整性，養(yǎng)成縝密思考的良好品質，提高和發(fā)展學生的思維能力有著舉足輕重的作用。
三、分類討論的基本原則
分類討論思想的核心是對問題進行合理分類，要做到合理分類，需遵循分類討論的四個基本原則：
（一）同一性原則
分類必須按確定的同一標準進行，不能同時使用幾個不同的分類標準，否則會導致分類的混亂。
例如：三角形 銳角三角形等腰直角三角形等邊三角形鈍角三角形
顯然，以上對三角形分類時，既按邊又按角同時使用了兩個標準進行分類，造成了分類的混亂。
（二）完備性原則
分類應當完整，即分類后子項的外延之和應等于母項的外延，而不能出現(xiàn)分類后母項外延的遺漏。
例如：若a為實數(shù)，則a＝ a（a＞0）a（a0）
很明顯，分類后丟掉了a=0的情況，造成分類后子項的外延出現(xiàn)了遺漏，導致分類不完整。
（三）互斥性原則
分類后的每個子項都應當互不相容，相互排斥，不能出現(xiàn)分類后一些事物既屬于這個子項又屬于那個子項，造成子項外延的重疊。
例如：若a為實數(shù)，則a＝ a（a≥0）a（a≤0）
這里，分類后兩個子項就出現(xiàn)了a=0在外延上的重疊，違背了子項外延互斥性原則。
（四）逐級性原則
有些數(shù)學問題只需一次性分類，有些數(shù)學問題則需多次分類。多次分類是由于被討論對象比較復雜，需把首次分類后的子項作為新的母項再進行分類，直至滿足需要為止，進而達到解決整個問題的目的。
例如:論證方程（a-1）x2+2x-6=0的實數(shù)根的情況。
解：當a-1=0即a=1時，方程為一元一次方程，其實數(shù)根為x=3
當a-1≠0即a≠1時，方程為一元二次方程，其實數(shù)根為
當＞0即a＞■時，方程有兩個不相等的實數(shù)根當= 0 即a=■時， 方程有兩個相等的實數(shù)根當＜0即a＜■時， 方程沒有實數(shù)根
綜上所述，當a=1時，方程有唯一一個實數(shù)根。
當a＞■且a≠1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。
當a=■時，方程有兩個相等的實數(shù)根。
當 a＜■時，方程沒有實數(shù)根。
四、分類討論的一般步驟和結論歸納形式
分類討論的一般步驟是：①確定分類討論的對象及被討論對象的全域；②確定分界點，統(tǒng)一分類標準，合理進行分類，并做到不重不漏，分層而不越級；③逐類討論，分級進行；④綜合歸納，得出結論。
分類討論的結論歸納形式一般有三種:
①并列形式。格式為：當……時，有……；
當……時，有……。
②并集形式。格式為：……或……。
③交集形式。格式為：……且……。
五、分類討論的常見類型
引起分類討論的因素較多，但常見的類型主要有以下幾種：
1.根據(jù)定義、性質、法則、公式、定理進行分類討論；
2.根據(jù)運算的要求進行分類討論；
3.根據(jù)圖形的形狀或位置變化進行分類討論；
4.當條件或結論開放時進行分類討論；
5.當問題中條件較少，需通過分類來補充條件時進行分類討論。
六、學生在分類討論中存在的問題
（一）在分析問題時，缺乏分類討論的意識
例如：已知等腰三角形的兩邊長為8和6，求這個三角形的周長。
錯解：等腰三角形的周長為8+8+6=22
分析：學生初解該類型題時，常因缺乏分類討論的意識，僅考慮腰為8或腰為6中的某一種情況，而得出周長為22或20的單一性答案，造成問題丟解。
正解：當腰長為8時，等腰三角形周長為8+8+6=22
當腰長為6時，等腰三角形周長為6+6+8=20
所以，等腰三角形的周長是22或20.
（二）有分類討論的意識，但在分類時存在盲目性
分類討論的關鍵是確定分類標準，學生分類時常因不能準確找到分類標準的分界點，導致對問題盲目分類，出現(xiàn)求解上的失誤。
例如：如圖，一個等邊三角形的邊長和與它一邊相切的圓的周長相等，當這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊做無滑動旋轉，直到回到原出發(fā)位置時，該圓自轉了（ ）圈。
（A）2 （B）3 （C）4（D）5
錯解：選（B） 正解：選（C）
分析：因為圓與等邊三角形相切且做無滑動旋轉，很多學生盲目認為按圓在AB邊、BC邊、CA邊上分類討論即可，因為邊長等于圓的周長，所以經(jīng)過一條邊剛好轉了1圈，在三條邊旋轉當然轉了3圈，故選（B）。然而卻忽略了圓在頂點B、C、A處旋轉的情況，由圖（2）不難分析，圓經(jīng)過一個頂點時旋轉了120°，經(jīng)過三個頂點共轉了
120°×3=360°恰好為一圈，所以應選（C）。
（三）在分類討論時存在主觀臆斷性
在分析數(shù)學問題時，一般當遇到數(shù)量的大小或符號不能確定以及圖形位置或形狀不確定時考慮分類討論，但分類討論絕不能憑主觀臆斷，一開始就分類討論，而是在計算或推理的過程中逢時而生，自然展開。
七、教師在新課程實施中滲透分類討論思想的對策
在初中數(shù)學課程改革中，教師對分類討論思想的滲透還存在一些不到位的地方，表現(xiàn)為：①在思想意識上，對分類討論思想的重要性認識不足；②在教材運用上，對分類討論思想挖掘不深，如對分類討論思想在教材中的設置把脈不清，對分類討論思想在教材中的層次缺少深度思考，對分類討論思想的滲透缺乏整體規(guī)劃與設計；③在教學過程中，對分類討論思想滲透不強，教師往往關注知識的生成多，思想方法的滲透少，側重就題論題多，思想方法的提煉少，注重知識系統(tǒng)多，思想方法的歸納少；④在實踐應用上，對分類討論思想提升不夠，教師將分類討論過多的停留在簡單訓練的層面上或訓練模式的創(chuàng)新上，而忽視對思想方法的抽象與概括。那么，如何將分類討論思想在新課程實施中有效地滲透呢？我覺得不妨從以下二個方面著手：
（一）加強對數(shù)學課程標準的學習，充分挖掘教材中蘊藏的分類討論思想，明確分類討論思想在不同階段的目標要求
數(shù)學課程標準把讓學生獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學思想方法作為教學的總體目標。人教版教材第一章《有理數(shù)》在學習了正負數(shù)后，以有理數(shù)的分類及絕對值的意義為載體最先拉開了分類討論思想滲透的序幕。在以后的學習活動中，隨著學習的深入，分類討論思想由“隱性”向“顯性”、由“方法”向“思想”逐步滲透，不斷提升，最終實現(xiàn)由“思想”指導“方法”，達到水到渠成的功效。因此，教師在新課程實施中必須站在全局的高度統(tǒng)攬教學，對分類討論思想的滲透既有整體規(guī)劃和設計，又有明確而具體的目標和要求。
（二）在新課程實施中遵循逐級遞進、螺旋上升的原則，將分類討論思想有機滲透到每個階段的教學之中
1.滲透“分類方法”，感知“分類思想”。由于初中生的數(shù)學知識比較貧乏，抽象思維能力較為薄弱，對數(shù)學思想方法還缺乏足夠的了解，因此，在新課程實施中必須以知識的學習為載體，注重數(shù)學概念的生成過程、知識的發(fā)展過程和問題的解決過程，通過教師的啟發(fā)引領，向學生逐步滲透“分類方法”，讓學生在展開思維獲取知識的同時初步感知分類思想。
2.訓練“分類方法”，領悟“分類思想”。教師在新課程實施中要充分挖掘教材中體現(xiàn)分類討論思想方法的各種元素，根據(jù)學生年級的不同、知識的不同和認知能力的不同，對“分類方法”展開由淺入深、由易到難、由隱到顯的層次性訓練，使分類討論思想在訓練過程中多次孕育，不斷領悟，初步形成。
3.掌握“分類方法”，運用“分類思想”。學生對于“分類方法”的掌握需經(jīng)歷一個學習、思考、訓練、鞏固的體驗過程。同樣，“分類思想”的形成也是在“分類方法”的漸進生成過程中逐步領悟、不斷完善建立起來的。在新課程實施中，只有把分類方法提升到分類思想的高度加以認識，才能變知識的生成過程為數(shù)學思想方法的形成過程，從而把分類討論思想進行有效遷移和靈活運用。
第4篇：分類討論的數(shù)學思想方法范文
一、知識要點概述
1.分類討論的思想方法的原理及作用
在研究與解決數(shù)學問題時，將數(shù)學對象劃分為若干既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分，然后逐類進行討論，再把這幾類的結論匯總，從而得出問題的答案，這種研究解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法.分類討論的思想方法是中學數(shù)學的基本方法之一，在近幾年的高考試題中都把分類討論思想方法列為重要的思想方法來考查，體現(xiàn)出其重要的位置.
2.引起分類討論的原因主要是以下幾個方面
①問題所涉及到的數(shù)學概念是分類進行定義的.如|a|的定義分a>0，a=0，a
②問題中涉及到的數(shù)學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的.如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況.這種分類討論題型可以稱為性質型.
③解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論.如解不等式ax>3時分a>0，a=0，a
另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性.
二、解題方法指導
1.分類討論的思想方法的步驟
（1）確定標準；（2）合理分類；（3）逐類討論；（4）歸納總結.
2.簡化分類討論的策略
（1）消去參數(shù)；（2）整體換元；（3）變更主元；（4）考慮反面；（5）整體變形；（6）數(shù)形結合；（7）縮小范圍等.
3.進行分類討論時，我們要遵循的原則是
分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論.其中最重要的一條是“不漏不重”.
4.解題時把好“四關”
（1）要深刻理解基本知識與基本原理，把好“基礎關”；
（2）要找準劃分標準，把好“分類關”；
（3）要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關”；
（4）要注意對照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗關”.
三、分類討論基本題型
友情提示：解決由概念、法則、公式引起的分類討論問題一般分四個步驟：
第一步：確定需分類的目標與對象.即確定需要分類的目標，一般把需要用到公式、定理解決問題的對象作為分類目標.
第二步：根據(jù)公式、定理確定分類標準.運用公式、定理對分類對象進行區(qū)分.
第三步：分類解決“分目標”問題.對分類出來的“分目標”分別進行處理.
第四步：匯總“分目標”.將“分目標”問題進行匯總，并作進一步處理.
2.由參數(shù)變化而引起的分類討論
友情提示：一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結合參數(shù)的意義及對結果的影響進行分類討論.這類問題有兩種情形：（1）由于所求的變量或參數(shù)的取值不同會導致結果不同，所以要對某些問題中所求的變量進行討論；（2）有的問題中雖然不需要對變量討論，但卻要對參數(shù)討論.在求解時要注意討論的對象，同時應理順討論的目的.
3.根據(jù)圖形位置或形狀分類討論
第5篇：分類討論的數(shù)學思想方法范文
關鍵詞：數(shù)學思想方法；靈魂；金鑰匙
初中階段是中學生打基礎的階段，而初一則是啟蒙階段，這
個階段數(shù)學學習的好壞將直接影響今后的學習。數(shù)學思想方法是數(shù)學中的理性認識，是數(shù)學知識的本質，它可以提高學生的解題技巧和方法，啟迪智慧，發(fā)揮潛力，培養(yǎng)學生的自主學習和創(chuàng)新精神。依據(jù)教材的特點和學生的年齡特征，我認為初一數(shù)學教學時要滲透如下幾種數(shù)學思想方法：
一、數(shù)形結合的思想方法
數(shù)形結合思想是指將代數(shù)與幾何結合起來，即將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維相結合。所以，我們研究數(shù)學問題時要善于由形思數(shù)、由數(shù)思形，通過數(shù)與形的轉化把一個數(shù)的問題用圖形直觀地表達出來，從而找到解題思路。利用數(shù)形結合，可以使所要研究的問題化難為易、化繁為簡。數(shù)形結合是中學數(shù)學中重要的數(shù)學思想方法，在每年的中考試卷中均有一定數(shù)量的試題可采用此方法解答。因此，教師有意識地、靈活地培養(yǎng)學生使用數(shù)形結合的思想方法，是數(shù)學教學的一個重要內容，不僅能提高學生的審美能力，更能培養(yǎng)學生的形象思維能力和創(chuàng)新能力。例如：不等式x+2>5的解集，可以表示成x>3，也可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，如下圖所示：
用數(shù)軸來表示不等式的解集，不僅形象而且簡單、直觀、明
了，培養(yǎng)了學生的思維能力和創(chuàng)造性。
二、分類討論的思想方法
分類討論就是根據(jù)一定的標準，對問題進行分類求解，然后歸納綜合出問題的答案。當被研究的問題含多種解答，不能一概而論時，必須按照可能出現(xiàn)的各種情況分別討論，得出各種情況下相應的結論。分類討論思想是中學數(shù)學最常用的思想方法之一，也是中考常見的數(shù)學思想。分類思想在初一數(shù)學中應用很廣，如三角形按角分類、按邊分類等等。教學時，加強滲透分類討論的思想方法，大膽鼓勵學生開展討論、交流、合作的學習方法，可以提高學生的解題技巧，培養(yǎng)學生的思維能力、主動學習的精神和辯證的觀點。應用時必須注意以下兩點：
一是每次分類要按照同一標準進行，分類常用的依據(jù)有概
念、法則，圖形的性質、形狀等。二是不重復、不遺漏。
例：解下列方程：x-3=2
解：（1）當x-3>0時，原方程可化為：x-3=2，解得x=5
（2）當x-3
所以，原方程的解為x=5或x=1.
解絕對值方程關鍵是按絕對值的意義進行分類討論，并注意對所有的分類情況進行總結。
三、化歸的思想方法
所謂“化歸”即“轉化”和“歸結”，也就是把要解決的問題轉化歸結為另一個較容易的問題或已解決的問題，是把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化為“已知”；把復雜問題轉化為簡單問題。它是解決數(shù)學問題的基本方法，也是初一教材中的“二元一次方程組和它的解”的基本思想。教師教學時，要注意把“新知識”通過觀察、分析、討論、總結遷移到“舊知識中”。通過知識的遷移應用，提高學生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。
例：已知m、n滿足下面等式
（3m-4n-14）2+5m+4n-2=0，求m、n的值。
解：依題意得：3m-4n-14=0
5m+4n-2=0
將這個方程組化為：
3m-4n=14 ①
5m+4n=2 ②
由①+②得：3m-4n+5m+4n=14+2
解得m=2
把m=2帶入①式，得n=2
所以，m=2，n=2。
這個題目運用了兩次化歸的思想方法，即先將問題化歸為解二元一次方程組，又把解二元一次方程組化為解一元一次方程，使解題思路清晰化、問題簡單化。
四、畫圖表的思想方法
利用圖形、表格來解決數(shù)學問題的方法稱為圖表法。這種方法可根據(jù)題中的條件，使數(shù)量關系和圖形、表格巧妙和諧地結合起來，并充分利用這種結合，使問題的邏輯結構直觀地顯現(xiàn)出來，并提供程序性操作的機會，使問題得到解決。在用圖表法解決問題時，要善于把題中已知條件歸納或統(tǒng)計成圖形、表格。另外，還要能充分分解圖形、表格，從中獲得更多的信息。
總之，解決初中數(shù)學問題的思想方法很多，如：整體思想方法、比較思想方法、統(tǒng)計思想方法等等。初中數(shù)學教材的各部分內容都有自己常見的思想方法?！笆谌艘贼~，不如授人以漁?！苯處熢诮虒W時，要依據(jù)教材內容，加強數(shù)學思想方法的指導，使學生掌握一些常用的思想方法，提高解題的技能和智能，激發(fā)學習興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，讓學生在數(shù)學世界中遨游。
參考文獻：
第6篇：分類討論的數(shù)學思想方法范文
一、數(shù)學思想方法的分類
1.函數(shù)與方程的思想方法。函數(shù)思想指的是提到問題的數(shù)學特征，用聯(lián)系變化的觀點提出數(shù)學，抽象其數(shù)學特征，建立函數(shù)關系。很明顯 ，只有在對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思想過程中，具備有標新立異、獨創(chuàng)性思維，才能構造出函數(shù)原型，化歸為方程的問題，實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉化接軌，達到解決問題的目的。
2.數(shù)形結合的思想方法
數(shù)形結合的思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維形象思維結合，通過對圖形的認識，數(shù)形結合的轉化，可以培養(yǎng)思維的靈活性，使問題化難為易，化抽象為具體。
3.分類討論的思想方法
分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想，這種思想在人的思維發(fā)展中有著重要作用。如“參數(shù)問題”對中學生來說并不十分陌生，它實際上是對具體的個別的問題的概括。從絕對值、算術根以及在一般情況下討論字母系數(shù)的方程、不等式、函數(shù)，到曲線方程等，無不包含著討論的思想。
4.等價轉化思想
等價轉化思想是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題，是一種重要數(shù)學思想方法，轉化包括等價轉化和非等價轉化，等價轉化要求轉化中前因后果應是充分必要的，這樣的轉化后的結果仍為原問題所需的結果：而非等價轉化其過程是充分或必要的，這樣的轉化能給人帶來思維的閃光點，看到解決問題的突破口，是分析問題中思維過程的主要組成部分。轉化思想貫穿于整個高中數(shù)學之中，每個問題的解題過程實質就是不斷轉化的過程。
二、數(shù)學思想方法教學的主要途徑
數(shù)學思想方法是數(shù)學概念、理論的相互聯(lián)系和本質所在，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識和本質體現(xiàn)。初、高中的銜接不僅僅是知識點的銜接，更是思想方法、思維習慣、學習習慣、學習方法的銜接。因此，要培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，就必須重視數(shù)學思想方法的教學。學生在數(shù)學學習中掌握了數(shù)學思想方法，既可以提高理論水平，又可以用它指導做題實踐，而在做題反思中，學生的數(shù)學思想方法又得以不斷充實、豐富和完善。
為了使學生掌握必要的數(shù)學思想方法，需要從教材和教法兩方面有機結合進行，在教材中要滲透數(shù)學思想方法，在教法中要應用數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法的教學要結合教學內容進行，不能脫離教學內容只傳授形式。脫離了數(shù)學思想方法指導的教學和脫離了內容的數(shù)學思想方法的教學都是不全面的教學。數(shù)學思想方法蘊含在數(shù)學基礎知識和基本方法之中，正是有了數(shù)學思想方法，才使得數(shù)學知識不再是零散的、孤立的片斷。學生如果掌握了基本的數(shù)學思想方法，數(shù)學將變得更加容易理解和記憶，他們駕馭知識的能力也更強了，而且會使其它學科更容易學了。
高中數(shù)學中所用的數(shù)學思想方法有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想、或然與必然思想、整體思想、對稱思想、換元思想、極限思想、參數(shù)思想、建模思想等。數(shù)學思想方法的掌握要靠平時的積累，臨時抱佛腳是行不通的。
1.用數(shù)學思想指導基礎復習，在基礎學習中培養(yǎng)思想方法
（1）基礎知識的復習中要充分展現(xiàn)知識形成發(fā)展過程，揭示其中蘊涵的豐富的數(shù)學思想方法。如討論直線和圓錐曲線的位置關系時的兩種基本方法：一是把直線方程圓錐曲線方程聯(lián)立，討論方程組解的情況；二是從幾何圖形上考慮直線和圓錐交點的情況，利用數(shù)形結合的思想方法，使問題清晰明了。
（2）注重各知識點在教學整體結構中的內在聯(lián)系，揭示思想方法在知識互相聯(lián)系、互相溝通中的紐帶作用。如函數(shù)、方程、不等式的關系，當函數(shù)值等于、大于或小于一常數(shù)時，分別可得方程、不等式，聯(lián)想函數(shù)圖象可提供方程、不等式的解的幾何意義，運用轉化、數(shù)形結合，這三塊知識可相互為用。
2.用數(shù)學思想方法指導解題練習，在問題解決中運用思想方法，提高學生自覺運用數(shù)學思想方法的意識
（1）注意分析探求解題思路運用
解題的過程中就是在數(shù)學思想的指導下，合理聯(lián)想提取相關知識，調用一定數(shù)學方法加工、處理題設條件及知識，逐步縮小題設與題斷間的差異的過程。也可以說是運用化歸思想的過程。解題思想的尋求就自然是運用思想方法分析解決問題的過程。
（2）注意數(shù)學思想方法在解決典型問題中的運用
例如選擇題中的求解不等式 ，雖然可以通過代數(shù)方法求解，但若用數(shù)形結合，轉化為直線與半圓的位置關系，問題變得非常簡單。
（3）以數(shù)學思想方法為指導，進行一題多解的練習
第7篇：分類討論的數(shù)學思想方法范文
摘要：開展數(shù)學思想方法教育是新課標提出的重要教學要求 ，數(shù)學思想方法是從數(shù)學內容中提煉出來的數(shù)學學科的精髓，是將數(shù)學知識轉化為數(shù)學能力的橋梁。初中數(shù)學思想方法教育，是培養(yǎng)和提高學生素質的重要內容。因此，開展數(shù)學思想方法教育應作為新課改中所必須把握的教學要求。
關鍵詞：數(shù)學思想；方法；教學；思考
一、關于對“初中數(shù)學教材進行數(shù)學思想方法”的教學研究
首先，要通過對教材完整的分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡，統(tǒng)攬教材全局，高屋建瓴。然后，建立各類概念、知識點或知識單元之間的界面關系，歸納和揭示其特殊性質和內在的一般規(guī)律。例如，在“因式分解”這一章中，我們接觸到許多數(shù)學方法―提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法等。這是學習這一章知識的重點，只要我們學會了這些方法，按知識――方法――思想的順序提煉數(shù)學思想方法，就能運用它們去解決成千上萬分解多項式因式的問題。又如：結合初中代數(shù)的消元、降次、配方、換元方法，以及分類、變換、歸納、抽象和數(shù)形結合等方法性思想，進一步確定數(shù)學知識與其思想方法之間的結合點，建立一整套豐富的教學范例或模型，最終形成一個活動的知識與思想互聯(lián)網(wǎng)絡。
二、關于對“將數(shù)學思想方法有機地滲透入教學計劃和教案內容之中”的研究
教學計劃的制訂應體現(xiàn)數(shù)學思想方法教學的綜合考慮，要明確每一階段的載體內容、教學目標、展開步驟、教學程序和操作要點。數(shù)學教案則要就每一節(jié)課的概念、命題、公式、法則以至單元結構等教學過程進行滲透思想方法的具體設計。要求通過目標設計、創(chuàng)設情境、程序演化、歸納總結等關鍵環(huán)節(jié)，在知識的發(fā)生和運用過程中貫徹數(shù)學思想方法，形成數(shù)學知識、方法和思想的一體化。
應充分利用數(shù)學的現(xiàn)實原型作為反映數(shù)學思想方法的基礎。數(shù)學思想方法是對數(shù)學問題解決或構建所做的整體性考慮，它來源于現(xiàn)實原型又高于現(xiàn)實原型，往往借助現(xiàn)實原型使數(shù)學思想方法得以生動地表現(xiàn)，有利于對其深人理解和把握。例如：分類討論的思想方法始終貫穿于整個數(shù)學教學中。在教學中要引導學生對所討論的對象進行合理分類（分類時要做到不重復、不遺漏、標準統(tǒng)一、分層不越級），然后逐類討論（即對各類問題詳細討論、逐步解決），最后歸納總結。教師要幫助學生掌握好分類的方法原則，形成分類思想。
數(shù)學思想方法的滲透應根據(jù)教學計劃有步驟地進行。一般在知識的概念形成階段導入概念型數(shù)學思想，如方程思想、相似思想、已知與未知互相轉化的思想、特殊與一般互相轉化的思想等等。在知識的結論、公式、法則等規(guī)律的推導階段，要強調和灌輸思維方法，如解方程的如何消元降次、函數(shù)的數(shù)與形的轉化、判定兩個三角形相似有哪些常用思路等。在知識的總結階段或新舊知識結合部分，要選配結構型的數(shù)學思想，如函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉化，分數(shù)討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉化。在所有數(shù)學建構及問題的處理方面，注意體現(xiàn)其根本思想，如運用同解原理解一元一次方程，應注意為簡便而采取的移項法則。
三、關于對“在知識的引進、消化和應用過程中促使學生領悟和提煉數(shù)學思想方法”的研究
數(shù)學知識發(fā)生的過程也是其思想方法產生的過程。在此過程中，要向學生提供豐富的、典型的以及正確的直觀背景材料，創(chuàng)設使認知主體與客體之間激發(fā)作用的環(huán)境和條件，通過對知識發(fā)生過程的展示，使學生的思維和經(jīng)驗全部投人到接受問題、分析問題和感悟思想方法的挑戰(zhàn)之中，從而主動構建科學的認知結構，將數(shù)學思想方法與數(shù)學知識融匯成一體，最終形成獨立探索分析、解決問題的能力。
概念既是思維的基礎，又是思維的結果。恰當?shù)卣故酒湫纬傻倪^程，拉長被壓縮了的“知識鏈”，是對數(shù)學抽象與數(shù)學模型方法進行點悟的極好素材和契機。在概念的引進過程中，應注意：①解釋概念產生的背景，讓學生了解定義的合理性和必要性；②揭示概念的形成過程，讓學生綜合概念定義的本質屬性；③鞏固和加深概念理解，讓學生在變式和比較中活化思維。
在規(guī)律（定理、公式、法則等）的揭示過程中，教師應注意灌輸數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的探索性思維能力，并引導學生通過感性的直觀背景材料或已有的知識發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不過早地給結論，講清抽象、概括或證明的過程，充分地向學生展現(xiàn)自己是如何思考的，使學生領悟蘊含其中的思想方法。
數(shù)學問題的化解是數(shù)學教學的核心，其最終目的要學會運用數(shù)學知識和思想方法分析和解決實際問題。例如“平行四邊形的面積求法”的問題，通過探求解決問題的思想和策略，得到以化歸思想指導將思維定向轉化成求已知矩形的面積。這樣以問題的變式教學，使學生認識到求解該問題的實質是等積變換，即要在保持面積不變的情形下實現(xiàn)化歸目標，而化歸的手段是“三角形位移”，由此揭示了解決問題的思維過程及其所包含的數(shù)學思想，同時提高了學生探索性思維能力。在數(shù)學知識的引進、消化和運用的過程中，要利用單元復習和階段性總結的時間，以適當集中的方式，從縱橫兩方面整理、概括和提煉出數(shù)學思想方法綱要和系統(tǒng)。以分散方式的滲透性教學為基礎，集中強化數(shù)學思想方法教育的形式，促使學生對數(shù)學思想方法由個別的具體感悟上升到一般的理性認識，這有利于提高教學效果。
第8篇：分類討論的數(shù)學思想方法范文
一、初中數(shù)學思想方法教學的重要性
長期以來，傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，只注重知識的傳授，卻忽視知識形成過程中的數(shù)學思想方法的現(xiàn)象非常普遍，它嚴重影響了學生的思維發(fā)展和能力培養(yǎng)。隨著教育改革的不斷深入，越來越多的教育工作者，特別是一線的教師們充分認識到:中學數(shù)學教學，一方面要傳授數(shù)學知識，使學生掌握必備數(shù)學基礎知識;另一方面，更要通過數(shù)學知識這個載體，挖掘其中蘊含的數(shù)學思想方法，更好地理解數(shù)學，掌握數(shù)學，形成正確的數(shù)學觀和一定的數(shù)學意識[1]。事實上，單純的知識教學，只顯見于學生知識的積累，是會遺忘甚至于消失的，而方法的掌握，思想的形成，才能使學生受益終生，正所謂“授之以魚，不如授之以漁”。不管他們將來從事什么職業(yè)和工作，數(shù)學思想方法，作為一種解決問題的思維策略，都將隨時隨地有意無意地發(fā)揮作用。
二、初中數(shù)學思想方法的主要內容
初中數(shù)學中蘊含的數(shù)學思想方法很多，最基本最主要的有:轉化的思想方法，數(shù)形結合的思想方法，分類討論的思想方法，函數(shù)與方程的思想方法等。
(一)轉化的思想方法
轉化的思想方法就是人們將需要解決的問題，通過某種轉化手段，歸結為另一種相對容易解決的或已經(jīng)有解決方法的問題，從而使原來的問題得到解決。初中數(shù)學處處都體現(xiàn)出轉化的思想方法。如化繁為簡、化難為易，化未知為已知等，它是解決問題的一種最基本的思想方法。具體說來，代數(shù)式中加法與減法的轉化，乘法與除法的轉化，換元法解方程，幾何中添加輔助線等等，都體現(xiàn)出轉化的思想方法。
(二)數(shù)形結合的思想方法
數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的科學，因而研究總是圍繞著數(shù)與形進行的?！皵?shù)”就是代數(shù)式、函數(shù)、不等式等表達式，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結合就是抓住數(shù)與形之間的本質上的聯(lián)系，以形直觀地表達數(shù)，以數(shù)精確地研究形。“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微?！睌?shù)形結合是研究數(shù)學問題的重要思想方法[2]。初中數(shù)學中，通過數(shù)軸，將數(shù)與點對應，通過直角坐標系，將函數(shù)與圖象對應，用數(shù)形結合的思想方法學習了相反數(shù)的概念、絕對值的概念，有理數(shù)大小比較的法則，研究了函數(shù)的性質等，通過形象思維過渡到抽象思維，大大減輕了學習的難度。
(三)分類討論的思想方法
分類討論的思想方法就是根據(jù)數(shù)學對象本質屬性的共同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類是以比較為基礎的，它能揭示數(shù)學對象之間的內在規(guī)律，有助于學生總結歸納數(shù)學知識，解決數(shù)學問題。初中數(shù)學從整體上看分為代數(shù)、幾何兩大類，采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現(xiàn)。具體來說，實數(shù)的分類，方程的分類、三角形的分類，函數(shù)的分類等，都是分類思想的具體體現(xiàn)。
三、初中數(shù)學思想方法的教學規(guī)律
數(shù)學思想方法蘊含于數(shù)學知識之中，又相對超脫于某一個具體的數(shù)學知識之外。數(shù)學思想方法的教學比單純的數(shù)學知識教學困難得多。因為數(shù)學思想方法是具體數(shù)學知識的本質和內在聯(lián)系的反映，具有一定的抽象性和概括性，它強調的是一種意識和觀念。對于初中學生來說，這個年齡段正是由形象思維向抽象的邏輯思維過渡的階段，雖然初步具有了簡單的邏輯思維能力，但是還缺乏主動性和能動性。因此，在數(shù)學教學活動中，必須注意數(shù)學思想方法的教學規(guī)律。
(一)深入鉆研教材，將數(shù)學思想方法化隱為顯
首先，教師在備課時，要從數(shù)學思想方法的高度深入鉆研教材，數(shù)學思想方法既是數(shù)學教學設計的核心，同時又是數(shù)學教材組織的基礎和起點。通過對概念、公式、定理的研究，對例題、練習的探討，挖掘有關的數(shù)學思想方法，了然于胸，將它們由深層次的潛形態(tài)轉變?yōu)轱@形態(tài)，由對它們的朦朧感受轉變?yōu)槊魑?、理解和掌握。一方面要明確在每一個具體的數(shù)學知識的教學中可以進行哪些思想方法的教學;另一方面，又要明確每一個數(shù)學思想方法，可以在哪些知識點中進行滲透。只有在這種前提下，才能加強針對性，有意識地引導學生領悟數(shù)學思想方法。
(二)學生主動參與教學，循序漸進形成數(shù)學思想方法課堂教學活動中，倡導學生主動參與，重視知識形成的過程，在過程中滲透數(shù)學思想方法。
概念教學中，不要簡單地給出定義，要盡可能完整地再現(xiàn)形成定義之前的分析、綜合、比較和概括等思維過程，揭示隱藏其中的思想方法。
定理公式教學中，不要過早地給出結論。要引導學生親自體驗結論的探索、發(fā)現(xiàn)和推導過程，弄清每個結論的因果關系，體會其中的思想方法。
在掌握重點，突破難點的教學活動中，要反復向學生滲透數(shù)學思想方法。數(shù)學教學中的重點，往往就是需要有意識地揭示或運用數(shù)學思想方法之處;數(shù)學教材中的難點，往往與數(shù)學思想方法的更新交替、綜合運用，或跳躍性大等有關。因此，在教學活動中，要適度點撥或明確歸納出所涉及到的數(shù)學思想方法。
第9篇：分類討論的數(shù)學思想方法范文
一、初中數(shù)學教學內容的層次
初中數(shù)學教學內容從總體上可以分為兩個層次:一個為表層知識,另一個為深層知識。表層知識包括概念、性質、法則、公式、公理、定理等數(shù)學的基本知識和基本技能,深層知識主要指數(shù)學思想和數(shù)學方法。
表層知識是深層知識的基礎,是教學大綱中明確規(guī)定的、教材中明確給出的、具有較強操作性的知識。學生只有通過對教材的學習,在掌握和理解了一定的表層知識后,才能進一步地學習和領悟相關的深層知識。
深層知識蘊含于表層知識之中,是數(shù)學的精髓,教師必須在講授表層知識的過程中不斷地滲透相關的深層知識,讓學生在掌握表層知識的同時領悟到深層知識,這樣才能使學生的表層知識達到一個質的“飛躍”,從而使學生脫離“題?！敝?更富有創(chuàng)造性。
二、初中數(shù)學蘊含的主要數(shù)學思想
初中數(shù)學中蘊含的數(shù)學思想方法很多,最基本的數(shù)學思想方法有化歸的思想、數(shù)形結合的思想、分類討論的思想、方程的思想、函數(shù)的思想等,突出了這些基本思想方法,就相當于抓住了初中數(shù)學知識的精髓。
1.化歸的思想方法
“化歸”就是轉化和歸結,它是解決數(shù)學問題的基本方法。在解決數(shù)學問題時,人們常常是將需要解決的問題通過某種轉化手段歸結為另一個相對較容易解決或者已經(jīng)有解決程式的問題,以求得問題的解答。
初中數(shù)學處處都體現(xiàn)出化歸的思想,如化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化高次為低次等,它是解決問題的一種最基本的思想。在具體內容上,化歸思想有加法與減法的轉化,乘法與除法的轉化,乘方與開方的轉化,添加輔助線,增設輔助元,等等。因此,在教學中教師首先要讓學生認識到,常用的很多數(shù)學方法實質上就是轉化的方法,使學生確信轉化是可能的,而且是必須的。其次要結合具體教學內容進行有意識的訓練,使學生掌握這一具有重大價值的思想方法。在具體教學過程中教師要設出問題讓學生去觀察,探索轉化的路子。例如在求解分式方程時,我引導學生運用化歸的方法,將分式方程轉化為整式方程,進而求得分式方程的解。
2.數(shù)形結合的思想方法
數(shù)形結合的思想可以使學生從不同的側面理解問題,加深對問題的認識,提供解決問題的方法,有利于培養(yǎng)學生將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力。
運用數(shù)形結合的思想方法思考問題,能把抽象的數(shù)量關系變?yōu)樾蜗蟮闹庇^幾何,也能把幾何圖形問題轉化為數(shù)量關系問題去解決。教師引導學生通過數(shù)形結合的數(shù)學思想方法來學習相反數(shù)、絕對值的定義、有理數(shù)大小比較的法則、函數(shù)等,可以大大減輕學生學習這些知識的難度。教師要將數(shù)形結合思想的教學貫穿于整個數(shù)學教學的始終。
3.分類討論的思想方法
“分類”源于生活,分類思想是自然科學乃至社會科學中的基本邏輯方法,也是研究數(shù)學問題的重要思想方法。
從整體布局上看,初中數(shù)學分代數(shù)、幾何兩大類,采用不同方法進行研究,就是分類思想的體現(xiàn);從具體內容上看,實數(shù)的分類、式的分類、三角形的分類、方程的分類、函數(shù)的分類等等,也是分類思想的具體體現(xiàn)。教師對學習內容進行分類,可以降低學習難度,增強學習的針對性。在教學過程中教師應啟發(fā)學生按不同的情況去對同一對象進行分類,幫助他們掌握好分類的方法原則,形成分類的思想。如當a取任意實數(shù)時,對|a-3|的值的分類討論:當a≥3時,|a-3|=a-3;當a≤3時,|a-3|=3-a。
4.函數(shù)的思想方法
函數(shù)思想是客觀世界中事物運動變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學中的反映。
教師要重視函數(shù)的思想方法的教學。初中代數(shù)中的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)雖然安排在初三學習,但教材中函數(shù)思想從初一就已經(jīng)開始滲透。這就要求教師在教學上要有意識、有計劃、有目的地對學生進行函數(shù)思想方法的培養(yǎng)。
例如用直角三角形邊與邊的比值定義的銳角三角函數(shù);在直角坐標系中,由角的終邊上一點引出的三個量x,y,r中任意兩個量之比定義任意角的三角函數(shù),等等。這一系列的知識體系,自始至終貫穿了函數(shù)、映射、對應的數(shù)學思想方法。
當然,初中數(shù)學學習的思想方法還有很多,像觀察與實驗、分析與綜合、歸納與類比、討論的思想方法、幾何變換的思想方法,等等。教師在教學實踐中應立足于數(shù)學思想方法的教學,充分挖掘教材中的數(shù)學思想方法,有目的、有意識、有計劃地滲透、介紹和強調數(shù)學思想方法,減少盲目性和隨意性。教師要精心設計每一個單元、每一堂課的教學目標和問題提出、情景創(chuàng)設等教學過程的各個環(huán)節(jié)。教師只有讓學生掌握了這把金鑰匙,才能使學生學好數(shù)學、提高數(shù)學素養(yǎng)、增強創(chuàng)新意識、提高創(chuàng)新能力。
三、數(shù)學思想方法的教學模式
