分類討論的思想方法精選(九篇)

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第1篇：分類討論的思想方法范文

高中階段常見的有數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)和方程、建模等思想方法.正確運用這些思想方法，對提高學生的解題能力起非常關(guān)鍵的作用.因此，在教學中應(yīng)重視培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法.我現(xiàn)結(jié)合數(shù)學教學實踐探討其中所蘊含的數(shù)學思想方法.

一、數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形相結(jié)合、抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”兩個方面，可使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合.巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象數(shù)學問題，可收到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果.數(shù)形結(jié)合的重點是“以形助數(shù)”，但以數(shù)解形在近年高考試題中也得到了加強，其發(fā)展趨勢不容忽視.

數(shù)形結(jié)合常用于函數(shù)與函數(shù)的圖像、解不等式、曲線與方程，參數(shù)本身的幾何意義，代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，求函數(shù)的值域、向量問題等常?？梢杂脭?shù)形結(jié)合思想尋找解題思路.

（一）由數(shù)化形、以形為手段，以數(shù)為目的，通過建立坐標系由條件繪制相應(yīng)圖形，使圖形充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，從而解決問題.

（二）由形化數(shù)，借助于圖形，通過觀察揭示出圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系，反映出事物本質(zhì)特征.

（三）數(shù)形轉(zhuǎn)換，“數(shù)”和“形”可以互相轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀，化直觀為精確，化難為易，從而使問題得到解決.

評注：數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學思想方法，在解選擇題、填空題中應(yīng)用廣泛，在解答題中一般可用數(shù)形結(jié)合法尋找解題思路，解答過程如用數(shù)形結(jié)合，敘述要嚴謹，防止只畫個圖形而解題過程不規(guī)范現(xiàn)象的發(fā)生.著名數(shù)學家華羅庚對“數(shù)形結(jié)合”的重要性，精辟地概括為“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微”，形象地道出了數(shù)形結(jié)合的特征和重要性.

二、分類討論的思想方法

在解某些數(shù)學題時，它的結(jié)果可能不唯一，對可能的情況要一一加以分類討論.它是一種重要的數(shù)學思想方法，在高考中占有十分重要的地位，分類討論試題具有明顯的邏輯性、探索性的特點，試題難度屬中高檔.

（一）引起分類討論的原因大致可分為如下幾種：

1.涉及的數(shù)學概念是分類定義的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.

2.運用的定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的，如等比數(shù)列的求和.

3.由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形的類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限，點、線、面的位置關(guān)系等.

4.數(shù)學問題中含有參數(shù)變量，如參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法.

5.對較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學問題，需要采取分類討論的解題策略來解決.

（二）分類的原則：分類的標準要統(tǒng)一；層次要分明，分類要做到不重不漏；能不分類的要盡量回避，或盡量推遲，決不無原則地討論.

（三）分類方法：①明確討論對象；②確定分類標準；③逐步詳細討論；④歸納小結(jié).

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是研究問題最基本、最重要的思想方法，它無處不在.比如：處理幾何問題時，將空間問題轉(zhuǎn)化到一個平面上解決；在解析幾何中，通過建立坐標系將幾何問題化歸為代數(shù)問題；復(fù)數(shù)問題化歸為實數(shù)問題等.

第2篇：分類討論的思想方法范文

關(guān)鍵詞： 中學數(shù)學教學教學 數(shù)學思想方法 教學方法

一、全面認識數(shù)學思想方法

數(shù)學思想方法包括數(shù)學思想和數(shù)學方法兩個方面.所謂數(shù)學思想是指“從某些具體的數(shù)學認識過程中提升的觀點，是對數(shù)學概念、方法和理論的本質(zhì)認識.”所謂數(shù)學方法是指人們在數(shù)學活動中為達到預(yù)期目的而采取的各種手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式.方法是實現(xiàn)思想的手段，任何方法的實施，無不體現(xiàn)某種或多種數(shù)學思想；而數(shù)學思想往往是通過數(shù)學方法的實施才得以體現(xiàn)的，它們在一定范圍內(nèi)有通用性（如：“消元”既是方法又是思想），二者關(guān)系密切，有時不易區(qū)分，人們常把數(shù)學思想與數(shù)學方法合為一體，稱之為“數(shù)學思想方法”.

二、中學數(shù)學中某些思想方法的教學

1.函數(shù)和方程思想.

（1）函數(shù)描述了客觀世界中相互關(guān)聯(lián)的量之間的依存關(guān)系，是對問題本身的數(shù)量特征及制約關(guān)系的一種刻畫.因此函數(shù)思想的實質(zhì)是用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象之間的數(shù)量關(guān)系，并用映射給予嚴格的形式，它幾乎成為貫穿中學數(shù)學的一條主線.中學的函數(shù)思想，應(yīng)包括建立函數(shù)模型解決問題的意識、函數(shù)概念和性質(zhì)的廣泛運用、函數(shù)圖像的應(yīng)用.

例1：按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，試算5期后的本利和是多少？

在實際問題中，常常遇到有關(guān)平均增長率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，則對于時間x的總產(chǎn)值y，可以用下面的公式y(tǒng)=N（1+p）■表示.解決平均增長率的問題，要用到這個函數(shù)式.

培養(yǎng)學生函數(shù)思想，會用變量和函數(shù)思考數(shù)學問題，學會建立函數(shù)模型解決問題的意識，前提是應(yīng)該理解函數(shù)的概念，將概念通俗化，就是兩個變量之間的變化關(guān)系，反應(yīng)到坐標系中就是y對x的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上通過簡單實例學習歸納出中學數(shù)學中常見的幾種基本函數(shù)的解析式，牢固掌握它們的圖像和性質(zhì)后將其應(yīng)用于實際問題中.

（2）方程的內(nèi)容在中學階段也同樣經(jīng)歷了由淺入深的歷程.其中最重要的變化是從具有確定解的方程，發(fā)展到解連續(xù)變化的方程；從注重解的數(shù)值特征，轉(zhuǎn)向方程的幾何意義，另外還有方程與多方面因素的相互聯(lián)系.方程的思想是在這樣的過程中逐步培養(yǎng)起來的.其中當然包含通過設(shè)立未知量建立相等關(guān)系，即把未知看做已知的意識，還有如何用方程（方程組）的知識解決問題，等等.

在等差與等比數(shù)列中，常常需要研究之間的關(guān)系，我們可以以方程思想為指導(dǎo)，尋找求知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)間的關(guān)系，根據(jù)題意逐個列出方程，等等，都要用到方程思想方法，根據(jù)題意列出所需要的方程.

2.分類討論的思想.

所謂分類思想，就是根據(jù)數(shù)學對象本質(zhì)屬性的共同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同種類的思想方法.例如“直線在平面外”常要分為線面平行，線面相交討論；qn的極限需要按q所取值的范圍討論；三角函數(shù)值的正負要按角所在象限討論，等等.根據(jù)分類思想，人們把這些對象全體組成的集合劃分成若干個子集（類），使得具有共性的對象屬于同一個子集，而不具有這種共性的對象屬于別的子集.分類是以比較為基礎(chǔ)，將研究對象進行比較整理.同樣一些東西構(gòu)成的集合可依不同法則（標準）分類.如：三角形按角分類，也可按邊分類，解決實際問題時，根據(jù)實際情況確定分類方法.

在教學中要注意分析分類的原因、時機與分類的標準、方法，此例是類中有類，正是因絕對值概念引起分類討論再而由二次函數(shù)對稱軸的變化即圖形位置的不定引起分類討論，（二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸的變化關(guān)系或開口與二次項次數(shù)的符號的關(guān)系），引發(fā)討論的原因還有很多，如指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的影響，圓錐曲線方程中，分母的符號、大小對曲線類型，曲線位置不同的影響，排列、組合中經(jīng)常遇到的分類問題等，要能準確分類，必須加強基礎(chǔ)知識的教學，在平時各相關(guān)知識點的教學中，在知識的形成過程中，讓學生明確分類的意義與必要性，重復(fù)出現(xiàn)，逐漸強化.分類討論的方法在數(shù)學中占有重要地位，通過分類，可以化整為零，各個擊破，變一般為特殊，變模糊為清晰，變抽象為具體.

3.數(shù)形結(jié)合的思想.

所謂數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的關(guān)系，認識研究對象的數(shù)學特征、尋找解決問題的方法的一種數(shù)學思想方法.數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量的科學，因而數(shù)學研究總是圍繞著數(shù)與形進行的.數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微.在數(shù)學教學中，運用聯(lián)想的思維，以數(shù)構(gòu)形，以形思數(shù)，滲透并強化數(shù)形結(jié)合的思想方法，使抽象的問題變得直觀、易理解，同時有利于激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生思維的形象性和廣闊性.中學數(shù)學教材中處處蘊涵數(shù)形結(jié)合的思想.

數(shù)形結(jié)合的解題思想方法的特點是：具有直觀性、靈活性、深刻性，并跨越各章節(jié)界線，有較強的綜合性，不等式、方程、函數(shù)之間，方程與二次曲線之間，三角方程與三角曲線之間，不等式與線性規(guī)劃之間都有著密切聯(lián)系等，平時教學必須加強這方面的訓練，讓學生學會以數(shù)構(gòu)形，以形思數(shù)，反過來進一步鞏固數(shù)學知識，打好基礎(chǔ)，提高能力.

4.轉(zhuǎn)化（化歸）的思想方法.

所謂轉(zhuǎn)化（化歸）的思想是指在研究數(shù)學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而使問題得到解決的一種解題策略.一般情況下，都要將未解決的問題化歸轉(zhuǎn)化為已解決的問題.它是數(shù)學中基本的思想方法，同時也是在解決數(shù)學問題過程中常用的基本思想方法.數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，因此以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，各種變換的方法及分析法、反證法、特定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段.

高考中十分重視對化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查，要求考生熟悉各種化歸與轉(zhuǎn)化的變換方法，并有意識地運用變換方法解決有關(guān)的數(shù)學問題.化歸需明確三個問題：（1）明確化歸對象；（2）明確化歸的目標；（3）明確化歸的方法.

以上化歸方法在求函數(shù)最值問題時經(jīng)常用到，如三角函數(shù)最值問題常常要轉(zhuǎn)化為一些我們所熟知的函數(shù)（如二次函數(shù)）最值問題等.教師在平時的教學中應(yīng)有意識地結(jié)合例題讓學生體會轉(zhuǎn)化方法，轉(zhuǎn)化思想，盡可能在做完題后認真反思，從中提煉方法.學生學會轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是必須具備扎實的基礎(chǔ)知識和基本理論，并且能對課程內(nèi)容融會貫通，系統(tǒng)掌握課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系.教師必須注重各章節(jié)知識交匯處的教學，加強知識間的橫向聯(lián)系.

三、如何在數(shù)學教學中滲透數(shù)學思想方法

數(shù)學思想方法教學所采用的主要方法是滲透，所謂滲透，就是有機地結(jié)合數(shù)學知識的教學，反復(fù)向?qū)W生講解，通過逐步積累，讓學生對數(shù)學思想方法的認識由淺入深，由表及里，漸進地達到一定的認識高度，從而自覺地運用之.

1.鉆研教材，充分挖掘教材中蘊涵的數(shù)學思想方法.

數(shù)學定義、法則、公式、定理等知識都明顯地寫在教材中，而數(shù)學思想方法卻隱含在數(shù)學知識體系里，并且分散于各冊教材的各章節(jié)中.我們在備課時要認真鉆研教材，充分發(fā)掘提煉在教材中的數(shù)學思想和方法，并弄清每一章節(jié)主要體現(xiàn)了哪些數(shù)學思想，運用了什么數(shù)學方法，研究大綱，吃透教材，揣摩教材編寫的意圖，挖掘教材中蘊涵的數(shù)學思想方法.例如通過實數(shù)、整式概念的教學，可以滲透分類的思想.

2.把掌握數(shù)學思想方法納入教學目標.

數(shù)學教育的根本目的在于培養(yǎng)數(shù)學能力，即運用數(shù)學解決實際問題和進行發(fā)明創(chuàng)造的本領(lǐng).而這種能力，不僅表現(xiàn)在對數(shù)學知識的記憶，更主要地依賴于對數(shù)學思想方法的掌握和發(fā)揮.把要滲透的思想方法精心設(shè)計到教案中，在備課時要考慮如何結(jié)合教材內(nèi)容進行數(shù)學思想方法滲透，滲透什么數(shù)學思想方法，滲透到什么程度，例如一般三角形通過作高可以轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用勾股定理和三角函數(shù)和知識易求解，這當中滲透了由一般到特殊轉(zhuǎn)化的思想方法；求二元一次方程組的解，可以轉(zhuǎn)化為兩個一次函數(shù)的圖像的交點問題，這樣抽象的問題就轉(zhuǎn)化為直觀形象的問題，當中滲透了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的思想；教師只有這樣把握教材的思想體系，才能在教學中不失時機地滲透數(shù)學思想方法.

3.反復(fù)再現(xiàn)，逐漸強化.

數(shù)學思想方法不可能經(jīng)歷一次就能正確認識并遷移，需要在長期的教學中，不斷地再現(xiàn)，反復(fù)地引導(dǎo)與強化，才有可能使學生達到掌握的程度.首先是從模仿開始的.學生按照例題示范的格式解答與例題相同類型的習題，實際上是數(shù)學思想方法的機械運用.此時，并不能肯定學生領(lǐng)會了所用的數(shù)學思想方法，只有當學生將它用于新的情境、已經(jīng)解決其他有關(guān)問題時，才能肯定學生對這一數(shù)學本質(zhì)、數(shù)學規(guī)律有了深刻的認識.

數(shù)學思想方法是培養(yǎng)數(shù)學能力與數(shù)學人才的需要，因為數(shù)學教育的根本目的在于培養(yǎng)數(shù)學能力，而這種能力不僅表現(xiàn)在對數(shù)學知識的記憶，更主要地依賴于對數(shù)學思想方法的掌握和發(fā)揮.它使學生學會用數(shù)學的思想思考和解決問題，把知識的學習和培養(yǎng)能力、發(fā)展智力有機地聯(lián)系起來.所以加強數(shù)學思想方法的教學，不僅關(guān)系到人的數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)和提高，而且關(guān)系到人的素質(zhì)的培養(yǎng)和提高.數(shù)學教師要更新觀念，重視數(shù)學思想方法的教學，深入鉆研教材，努力挖掘教材中所蘊涵的思想方法.

參考文獻：

第3篇：分類討論的思想方法范文

關(guān)鍵詞：策略與方法；高中數(shù)學；課堂教學；滲透數(shù)學方法

基礎(chǔ)的教學課程體系中，數(shù)學是很重要的一門應(yīng)用型的基礎(chǔ)學科。在高中的數(shù)學教學的實踐中，一般有兩條主線貫穿著：數(shù)學思想方法和數(shù)學基礎(chǔ)知識。通常情況下高中數(shù)學老師教授給學生的都是數(shù)學的基礎(chǔ)知識，這些基礎(chǔ)知識就是數(shù)學教材中的各個數(shù)學知識點，它是直接由文字或者數(shù)學公式表達出來的，這是一條明線，很多老師和學生都很重視這條明線，但是很多時候卻忽視了數(shù)學思想方法這條暗線，而在教學過程中除了教授方法外，更重要的是數(shù)學思想方法，它是高中數(shù)學知識的靈魂和精髓，它包含在高中數(shù)學教學的整個過程，是高中數(shù)學的重要內(nèi)容。［1］

一、高中數(shù)學課堂教學中滲透數(shù)學思想的方法

高中數(shù)學課堂教學中的滲透數(shù)學思想是在高中的數(shù)學課堂教學過程中對數(shù)學的規(guī)律、方法、知識的本質(zhì)的一般規(guī)律的認識；高中的數(shù)學學習方法主要是解決數(shù)學問題的程序和策略，實質(zhì)反映的是一種具體的數(shù)學思想，因此數(shù)學知識就是數(shù)學滲透思想方法的具體載體，在高中數(shù)學中應(yīng)滲透的幾種重要的數(shù)學方法有：1．分類討論的數(shù)學滲透思想方法在高中的數(shù)學學習過程中，分類討論是一個重要的數(shù)學方法，主要是通過對數(shù)學對象的本質(zhì)屬性進行異同比較，然后根據(jù)比較進行分類，并根據(jù)不同的類別應(yīng)用不同的思想方法。分類討論的數(shù)學滲透方法有利于避免解答數(shù)學問題的思維片面性，可以通過具體的分類具體分析問題，達到全面解決問題，防止漏解的結(jié)果的出現(xiàn)。數(shù)學對象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類討論既是一個重要的數(shù)學思想，又是一個重要的數(shù)學方法，能克服思維的片面性。［2］2．類比的數(shù)學滲透思想方法在高中的數(shù)學學習過程中，通過對不同種類的數(shù)學對象的屬性進行類比，并把相同的屬性的對象按照相同的方式進行推理，類比的數(shù)學滲透思想方法是具有創(chuàng)造性的一種數(shù)學滲透思想方法。3．數(shù)形結(jié)合的數(shù)學滲透的思想方法主要指的是將數(shù)學中的圖形和數(shù)量進行對比研究、分析和找到解答思路的一種思想方法。4．化歸的數(shù)學滲透思想方法主要指的是將要解答的問題轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為比較簡單的或者是已經(jīng)解決了的問題，從而很輕松地得到問題的答案。5．方程與函數(shù)的數(shù)學滲透思想方法指的是通過數(shù)學的公式和函數(shù)方程等來解答相關(guān)的數(shù)學問題。6．整體的數(shù)學滲透思想方法指的是在解答數(shù)學問題的時候從數(shù)學的整體結(jié)構(gòu)進行全面的思考和觀察，從宏觀整體上全面地解答問題。

二、高中數(shù)學課堂教學中滲透數(shù)學思想的策略方法

1．數(shù)學知識學習過程中數(shù)學思想的滲透在高中的數(shù)學教學過程中，學生需要掌握的數(shù)學知識包括兩方面：一方面是：數(shù)學公式、數(shù)學概念等數(shù)學基礎(chǔ)知識；另一方面是數(shù)學的解題方法和解題思路等數(shù)學思想。在數(shù)學的學習過程中，通常需要先掌握基本的數(shù)學公式和概念才能運用方法和解答思路來解答數(shù)學問題，但是只懂公式和概念，不會用方法和沒有解答思路，也是解答不對問題的，因此，在學生學習數(shù)學的知識體系過程中，老師應(yīng)該引導(dǎo)學生利用數(shù)學滲透思想方法來掌握數(shù)學知識。比如在學習“函數(shù)”的過程中，可以利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學滲透的思想方法，通過圖形等比較來加深學生對“函數(shù)”的學習。［2］2．數(shù)學問題解決過程中數(shù)學思想的滲透在解決數(shù)學題的過程中，需要把相關(guān)的數(shù)學思想運用到具體的數(shù)學題的解答中，比如做“函數(shù)的最值”方面的題目時，比如在“求函數(shù)y＝x2－4mx＋4在區(qū)間［2，4］上的最小值與最大值”這一例題，老師可以通過引導(dǎo)學生用分類討論的數(shù)學滲透思想方法，將相關(guān)的題目的函數(shù)圖表畫出來進行討論，并在討論過程中運用類比的數(shù)學滲透思想方法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學滲透思想方法、方程與函數(shù)的數(shù)學滲透思想方法等相關(guān)的數(shù)學滲透方法來分析和解答題目。3．數(shù)學復(fù)習小結(jié)過程中數(shù)學思想的滲透在對高中數(shù)學的學習小結(jié)復(fù)習過程中，更需要相關(guān)的數(shù)學思想滲透，運用整體的數(shù)學滲透思想方法對相關(guān)知識進行總結(jié)歸納，樹立整體的數(shù)學思維來全面應(yīng)用和滲透，使學生能夠從感性的具體數(shù)學題目中提煉出對數(shù)學學科的理性認識。例如，在總結(jié)“數(shù)列”這個知識體系時，可以利用分類討論的數(shù)學滲透思想方法、類比的數(shù)學滲透思想方法、化歸的數(shù)學滲透思想方法、整體的數(shù)學滲透思想方法等開展總結(jié)復(fù)習。［3］

三、結(jié)語

總而言之，數(shù)學思想是數(shù)學教學過程中的數(shù)學方法和數(shù)學基礎(chǔ)知識的更高層次，對高中數(shù)學的方法和基層知識的學習起到了指導(dǎo)的作用，是解決數(shù)學方法感性到理性的不斷升級和飛躍，數(shù)學思想的形成能有效地幫助學生們形成對數(shù)學的整體概念，有利于學生構(gòu)建自身的數(shù)學知識體系，提高自身的數(shù)學學習能力和形成數(shù)學思維能力。

參考文獻：

［1］林靜．如何在高中數(shù)學課堂教學中滲透數(shù)學思想方法［J］．時代教育，2014，7（1）：73．

［2］許桂蘭．高中數(shù)學教學中數(shù)學思想方法的滲透：以函數(shù)奇偶性教學為例［J］．學周刊，2015，9（6）：82．

第4篇：分類討論的思想方法范文

關(guān)鍵詞：數(shù)學思想方法；地理教學；符號思想

數(shù)學思想方法的種類和分類方式，各家說法不一。本文主要選取了中學數(shù)學中常用的五種一般數(shù)學思想方法，分別探究了這五種不同數(shù)學思想方法在高中地理教學中的應(yīng)用。符號是描述數(shù)學研究對象的語言，集合是數(shù)學研究對象的形式表述，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學兩種基本研究對象之間的轉(zhuǎn)換，分類體現(xiàn)了具體研究對象之間的異同與關(guān)系，邏輯推理是數(shù)學論證的基本方法。

一、符號思想

符號思想的實質(zhì)是通過建立某種對應(yīng)，實現(xiàn)從感性到理性的轉(zhuǎn)換。符號的抽象程度和創(chuàng)造水平的高低差異直觀影響學科的發(fā)展方向與速度；表達符號的不同也是對一門學科水平的反映。在地理學科中，我們可以借鑒數(shù)學學科的基本語言和符號思想，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

首先，我們可以直接使用這些數(shù)學語言和符號，使地理學科的“理”性表達得更為簡潔、科學，例如：正午太陽高度的公式：H=90°δ-？漬。滿足了地理學，從定性的分析到定量的計算，公式的總結(jié)性表述，可以揭示地理事物的普遍規(guī)律，讓學生可以更精確、概括性地認識地理現(xiàn)象。

其次，也可以借鑒數(shù)學語言和符號思想，發(fā)揚地理學科語言和符號，從而確立地理學科的獨特地位。地理符號主要運用于地圖教學。地圖符號的建立需要嚴格的定義，要注重符號的科學性和合理性。地圖上的符號大致可分為顏色符號、事物標志符號、文字符號和線柱符號。這些各種不同的符號，就是我們地理學科的形式化語言。在教學中，教師應(yīng)該廣泛地使用學科語言，給學生以潛移默化的熏陶，增強其對地理學科的歸屬感。

最后，素質(zhì)教育的教學目標有三個維度，在知識的傳遞過程中，主要是對學生能力的培養(yǎng)和價值觀的建立，這些目標可以通過地理學科符號來實現(xiàn)。地理符號除了教學中的狹義地圖符號外，更包括人類長期以來的活動作用于環(huán)境的地理印記。在漫長的歷史進程中，我們的祖先以其頑強的生命力和堅韌的毅力，不斷同周圍的地理環(huán)境相適應(yīng)，并且改造地理環(huán)境，留下了人類活動的偉大印記，如天壇、長城、故宮、泰山等。這些改造自然的活動，不僅對地理環(huán)境進行了和諧的改造，而且將中華民族的文化精神和文化意識深深地浸染于其作用的地理印記之中，也就創(chuàng)造了具有豐富民族文化精神的地理符號。在地理教學中，對這些地理符號進行講解時，一方面要讓學生明白它們作為一些地理分界線或是特殊城市地理布局的知識含義；另一方面要讓學生明白，地理符號是作為一種民族文化的載體，成為一種文化象征和文化精神。

綜上可見地理符號在地理教學中的重要意義，因而在實際教學中，教師需要滲透地理學科的符號思想，讓學生可以通過一種符號，認識一門學科，學會使用地理學科語言，并在這一過程中培養(yǎng)學生的綜合素質(zhì)。

二、集合論思想方法

人類關(guān)于集合的認識，一直都有一個很樸素的觀念：把某類對象按照一定標準放在一起作為討論范圍。集合論思想方法就是指，運用集合論的語言和符號描述研究對象以及對象之間的關(guān)系，然后分析并解決問題的方法。集合論作為數(shù)學語言十分簡單，數(shù)學概念都可以看做是集合，可以用集合論的語言來表述數(shù)學概念。

在地理教學中，集合論思想的應(yīng)用對地理學科整體性把握更具優(yōu)勢；集合論的語言也可對地理概念進行簡化；對于地理試題的解題方面，集合論的思想也將起到指導(dǎo)作用。

1.從集合論的高度概括中學地理內(nèi)容，能更好地從整體上把握中學地理的研究對象

地理學起到的作用主要就是溝通自然科學和社會科學的橋梁作用，高中地理中必修一主要是自然地理學，必修二為人文地理學；自然地理中主要是根據(jù)地球的圈層結(jié)構(gòu)，對課本進行編排；人文地理中主要是研究人口、人類的聚居地（城市）、人類生產(chǎn)生活（工業(yè)、農(nóng)業(yè)）、對人類活動最重要的影響因素（交通）等。通過集合可以很好地表示高中地理的研究對象，讓學生從整體上把握高中地理知識。

例如：

2.用集合論的語言表述有關(guān)概念更為簡潔

地理中的專業(yè)概念較為繁多，很多概念在內(nèi)涵上存在包含與被包含的關(guān)系，也有需要按照一定準則進行分類劃分，借助集合的思想來表達地理中的概念，使抽象繁瑣的語言表達顯得更直觀、形象，也更具有科學性。

例如：天體系統(tǒng)層次，用語言表達為地球所處的天體系統(tǒng)，按從低到高的級別，依次為地月系、太陽系、銀河星和總星系?？雌饋砗芊爆?，借助集合知識表述為： 3.集合論的思想方法對解題的指導(dǎo)作用

運用集合論的思想對地理試題中的很多數(shù)學問題有著指導(dǎo)作用，以集合為工具，可將地理中涉及的幾何、代數(shù)、三角等綜合問題用幾何形式表示出來，并提出解題思路。

案例一：地理概念

（1）從屬關(guān)系：如，能源、一次能源、常規(guī)能源；土地資源、土壤資源、耕地資源。

（2）包含并列關(guān)系：如，降水、降雨、降雪；鋒、暖鋒、冷鋒、準靜止鋒；淡水與各種陸地淡水資源。

（3）交叉關(guān)系：如，可再生能源、新能源、二次能源；自然資源、礦產(chǎn)資源、能源。

（4）排斥關(guān)系的概念：如，可再生資源和不可再生資源；巖漿巖、沉積巖、變質(zhì)巖。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法

地理學科最初的含義就是地圖學，因此地理學科對圖形的使用是普遍存在的，很多地理事物、地理現(xiàn)象和地理規(guī)律都是可以通過“數(shù)”與“形”歸納其本質(zhì)屬性的；其次，地理學科內(nèi)容具有系統(tǒng)性，知識具有較強的邏輯性。在中學地理教學中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以培養(yǎng)學生的空間思維能力，結(jié)合地理學科特色，可以發(fā)展地理空間思維能力；數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用也可以使學生的形象思維與抽象思維能力得到提高，多種思維的互相促進，對培養(yǎng)學生靈活運用所掌握知識的能力有很大提高，對學生的綜合能力有較大提高，還能為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力奠定堅實的基礎(chǔ)。

數(shù)形結(jié)合思想方法在地理學中應(yīng)用的主要內(nèi)容有：

（1）通過給出的圖表，建立適當?shù)拇鷶?shù)模型；例如高中地理必修一中給出了太陽黑子數(shù)隨時間的變化，通過圖可以得出太陽黑子與時間的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)太陽黑子活動的周期性。

（2）運用幾何模型解答有關(guān)代數(shù)問題；例如時區(qū)和區(qū)時的計算，通過圖形可以直觀地看出世界不同地區(qū)所在的時區(qū)。

（3）與函數(shù)有關(guān)的幾何、代數(shù)綜合性問題；例如太陽高度角的計算，畫出太陽直射點所在位置，結(jié)合幾何與代數(shù)知識，可以很便捷地得出結(jié)果。

（4）以圖像形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問題；例如自然界的水循環(huán)示意圖。

案例二：關(guān)于地球自轉(zhuǎn)的線速度，課本上只是說明了：地球自轉(zhuǎn)的線速度，因緯度的不同而有差異，那么學生該如何理解這種差異，即地球自轉(zhuǎn)的線速度隨緯度變化規(guī)律。

解：如圖所示，設(shè)地球赤道半徑為R，緯度為δ處自轉(zhuǎn)軌跡半徑為r。

線速度（v）=■

赤道處線速度為：v赤道=■；

緯度δ處線速度為：vδ=■

又r=R?cosδ

vδ=v赤道?cosδ

δ∈0°，90°，vδ隨δ的增大而減小，因而地球自轉(zhuǎn)的線速度隨緯度的增大而減??；且當δ=60°時，v60°=■v赤道，也就是緯度為60°時，其線速度為赤道地區(qū)的一半。

四、分類討論思想方法

分類討論是指當問題中所給出的對象不能進行綜合研究時，需要研究問題的對象按某個標準進行分類，然后每一類分別討論，最后根據(jù)各類結(jié)果進行綜合得到整個問題的答案，這種先進行分類再討論，把復(fù)雜問題“分而治之，逐個擊破”的解決問題的思想方法就是分類討論思想。這種思想體現(xiàn)了化整為零、逐個擊破，再積零為整的數(shù)學思想，反映了研究對象之間的內(nèi)在規(guī)律，可以幫助學生總結(jié)歸納知識，提高學生思維的條理性和概括性。分類討論時需要注意的是：每次分類時必須按照統(tǒng)一標準；分類討論中的每一個部分要相互獨立；分類討論要注意層次，逐級進行分類，做到不重復(fù)、不遺漏。

地理作為綜合性學科，地理事物導(dǎo)致的地理現(xiàn)象成因復(fù)雜，一個地理現(xiàn)象往往是多方面因素綜合影響形成的結(jié)果，在分析地理現(xiàn)象時往往需要考慮多方面的因素，這會給我們的思維增加難度，因而可以通過分類討論的思想，把復(fù)雜問題分化成多個簡單的小問題。

引起分類討論的因素較多，但常見的類型主要有以下幾種：

（1）根據(jù)概念、公式、定理進行分類討論；

（2）根據(jù)計算的要求進行分類討論；

（3）根據(jù)地圖的形狀或位置變化進行分類討論；

（4）當條件或結(jié)論開放時進行分類討論；

（5）當問題中條件較少，需通過分類來補充條件時進行分類討論。

例如，在講解三圈環(huán)流：

第一步：假設(shè)下墊面性質(zhì)均一，地球不自轉(zhuǎn)、不公轉(zhuǎn)；地球的大氣環(huán)流形式為單圈環(huán)流。

第二步：去掉地球不自轉(zhuǎn)的假設(shè)；形成了基本的三圈環(huán)流模型。

第三步：去掉地球不公轉(zhuǎn)的假設(shè)；推導(dǎo)出了氣壓帶和風帶的季節(jié)移動。

第四步：去掉地球下墊面性質(zhì)均一的條件；出現(xiàn)了氣壓中心。

案例三：“地球表面有適宜生命過程發(fā)生和發(fā)展的溫度條件。”

對于這句話的理解我們可以引導(dǎo)學生從兩個方面去考慮：

（1）如果地球表面溫度過高，由于熱擾動太強，原子根本不能結(jié)合在一起，也就無法形成分子，更不用說復(fù)雜的生命物質(zhì)。

（2）如果地表溫度太低，分子只能以晶體存在，生命物質(zhì)也就無法形成。

五、邏輯推理思想方法

邏輯推理是根據(jù)已知的條件作出合乎邏輯的推斷，推出未知的判斷的一種思維方式。邏輯推理方式一般有三種：演繹、歸納和溯因。演繹推理主要是由前提得出必然的結(jié)論，由“前提”和“規(guī)則”推導(dǎo)出“結(jié)論”；歸納推理是從特殊到一般，借由大量的“前提”和“結(jié)論”所組成的例子來學習“規(guī)則”；溯因推理與演繹的過程相反，由“結(jié)論”和“規(guī)則”來支援“前提”，數(shù)學中常用的推理方式是演繹。在研究中，有學者發(fā)現(xiàn)中學生常用的證明和推理方法有：間接證明法和直接證明法；分析法和綜合法；對比法和類比法；歸納法和演繹法。

在地理教學中，地理邏輯推理思想就是借助地理知識的相關(guān)概念，依照邏輯的規(guī)律推斷出新的地理知識的思維活動。簡單來說，是指借助地理概念，通過推理和判斷，反映和揭示地理事物的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)屬性，從而獲得對地理現(xiàn)象的規(guī)律性認識。地理學主要研究各種地理事物的空間分布及其成因和變化，而地理事物是相互依賴、相互聯(lián)系、相互作用的，因而在中學地理學習過程中，可結(jié)合學生已具備的地理知識基礎(chǔ)，運用邏輯推理的數(shù)學思想方法來研究諸多地理現(xiàn)象。

例如，高中地理必修一中，在探討黃赤交角的變化對地球上五帶的變化，教師可用邏輯推理的思想方法來講解：

{目前黃赤交角：23°26′；南北回歸線緯度：23°26′；極圈緯度：66°34′}

？圯{南北回歸線緯度=黃赤交角，極圈的緯度=90°-黃赤交角}

？圯{黃赤交角變大}

？圯{回歸線緯度變高，極圈的緯度變低}

？圯{溫帶將縮小，熱帶和寒帶將擴大}

數(shù)學與地理起源相同，隨著兩個學科的發(fā)展日益壯大，學科之間可以相互借鑒、相互促進。地理學科橫跨自然與人文兩大領(lǐng)域，具有很強的綜合性。在教學中，教師可以適當借鑒其他學科的思想方法，其中數(shù)學作為科學的工具性學科，對所有自然科學學科都有促進意義，因而在地理教學中應(yīng)用數(shù)學思想方法，一方面可以解決僅用地理知識難以處理的問題，對學生學習地理知識、發(fā)現(xiàn)地理現(xiàn)象、探究地理規(guī)律，都能起到很好的促進作用；另一方面可以培養(yǎng)學生發(fā)散性思維和創(chuàng)新性精神，從而培養(yǎng)符合素質(zhì)教育要求和適應(yīng)社會發(fā)展需要的綜合型人才與創(chuàng)新型人才。

本文舉例主要涉及高中地理的自然地理，有關(guān)人文地理中的很多問題也是可以用數(shù)學思想方法解決。當然，數(shù)學思想方法并非唯一的一種方式，也并非是最有效的方式。在學科教學中，還有其他學科的思想方法，教師也可以在地理教學中適當應(yīng)用。各個學科的思想方法都是學科的精髓，學科間的相互借鑒、融會貫通，學科的綜合化是一種必然的趨勢，教師在這方面需要有敏銳的判斷力，為學生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]吳炯圻，林培榕.數(shù)學思想方法：創(chuàng)新及應(yīng)用的培養(yǎng)[M].廈門大學出版社，2009.

第5篇：分類討論的思想方法范文

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；解題教學；數(shù)學思想

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)07-0138

數(shù)學思想是數(shù)學理論和內(nèi)容經(jīng)過人腦思維活動而產(chǎn)生并存在于人腦中的一種意識，它是對數(shù)學事實與理論內(nèi)容的最根本認識；數(shù)學方法是數(shù)學思想在研究數(shù)學問題過程中的具體表現(xiàn)形式，實際上它們的本質(zhì)是相同的，差別只是數(shù)學方法站在解決問題的角度看問題，而數(shù)學思想是站在問題最本源的角度去思索問題。通常統(tǒng)稱為“數(shù)學思想方法”。常見的數(shù)學思想有：函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等。

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學特有的語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型(方程、不等式、或方程與數(shù)學思想方法不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解；有時，還能實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，達到解決問題的目的。例如，數(shù)列是特殊的函數(shù)，函數(shù)有解析法、列表法、圖像法三種表示方法，相應(yīng)的數(shù)列就有通項公式、遞推公式、列表、圖像等表示方法，用函數(shù)的單調(diào)性、最值等性質(zhì)解決數(shù)列問題非?？旖?。

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是把生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題、復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題、抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，學生可以把未知解的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為在已知范圍內(nèi)可解的簡單問題。我們教師要不斷培養(yǎng)和訓練學生自覺的轉(zhuǎn)化與化歸意識，這將有利于訓練學生思維能力，使學生更聰明、更靈活、更敏捷；也有助于我們提高教學水平。

三、分類討論思想

在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，對此，我們必須對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。以下是來自教材的命題：

例1. 若loga3/40且a≠1)，求實數(shù)a的取值范圍。

解：因為loga3/4

當a>1時, 函數(shù)y= logax在其定義域上遞增,則有a>3/4,故有a>1 成立。

當0

綜上所述，a>1或0

例2. 已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}若BA，求實數(shù)a的值。

解：顯然集合A={-1，1}，對于集合B={x|ax=1}，

當a=0時，集合B=滿足BA，即a=0；

當a≠0時，集合B={}，而BA，則，=1或=-1，

得a=-1，或a=1，

綜上所述，實數(shù)a的值為-1，0，或1。

在教學中，教師要和學生一起分析總結(jié)引起分類討論的原因主要有以下幾個方面：

①題目所涉及的數(shù)學概念是分類進行定義的。如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義中對底數(shù)a的要求是a>0且a≠1。這種分類討論題型可以稱為概念型。如例1。

②題目中涉及到的數(shù)學定理、公式和運算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。

③解含有參數(shù)的題目時，學生必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論。例如解不等式mx>2時分m>0、m=0和m

④某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都需要通過分類討論，以保證其完整性與確定性。

在解答分類討論問題時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的；標準是統(tǒng)一的；不重不漏的科學劃分；分清主次；不越級討論；其中最重要的一條是“不重不漏”。我們的基本步驟是：首先，要確定討論對象及所討論對象的全體范圍；其次，確定分類標準并進行正確合理的分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重；再次，對所分類別逐類進行討論，獲取階段性結(jié)果；最后，歸納總結(jié)得出結(jié)論。

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段、數(shù)為目的，比如運用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段、形作為目的，如解析幾何中運用橢圓、雙曲線、拋物線的方程來精確地闡明這三種曲線的幾何性質(zhì)。

例3. 方程sin((πX)/2)=logaX，(a>0且a≠1)，恰有3個不相等實數(shù)根，則a的取值范圍()

A. 空集B. (5，9) C. (1/7，1/3)D. (5，9)∪(1/7，1/3)

解：因為方程sin((πX)/2)=logaX，(a>0且a≠1)，恰有3個不相等實數(shù)根，所以函數(shù)y=sin((πX)/2)和函數(shù)y=logaX的圖像有3個交點。

做出函數(shù)y=sin((πX)/2)在區(qū)間[0，10]的圖像，(周期為4)

當a>1時，作出函數(shù)y=logaX的圖像，(單調(diào)遞增)因為有3個交點，

所以loga51,

解得5

當0

所以-1

解得1/7a

綜上所述，a的取值范圍是(5，9)∪(1/7，1/3)

師生共同觀察黑板上畫的圖象，很明顯地能看出a的取值范圍。

師：同學們反思一下自己的解題過程，用兩句話概括出解決本題的關(guān)鍵是什么？

生：利用函數(shù)與方程思想方法解題，關(guān)鍵是找到函數(shù)。

生：利用數(shù)形結(jié)合思想方法，找到圖像的交點。

師：很好。本題運用函數(shù)思想的前提是把求方程的實根轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)的圖像交點。此題，我們可以體會到函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想。希望在以后的解題中，同學們能敞開思路，實現(xiàn)數(shù)學思想方法在解題中的應(yīng)用。

華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合的思想，巧妙地將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來，是數(shù)的問題與圖形之間相互轉(zhuǎn)化的橋梁。

第6篇：分類討論的思想方法范文

【關(guān)鍵詞】數(shù)學數(shù)學；思想方法；生活實踐

引 言

傳統(tǒng)初中數(shù)學教學中，學生們對數(shù)學知識只是靠思想理解而體會，但若沒有相關(guān)知識指導(dǎo)，很難對抽象化的數(shù)學知識進行理解，因此使得很多學校開始注重于數(shù)學思想方法教學。初中數(shù)學思想方法有很多有利之處，不但可以把抽象化的數(shù)學知識轉(zhuǎn)換為直白的數(shù)學知識，也有利于培養(yǎng)學生們的數(shù)學思維能力。初中學生學習數(shù)學知識可以應(yīng)用于現(xiàn)實生活中，而數(shù)學思想方法則鍛煉了初中學生的思維能力，可以使學生在生活中進行更多的知識應(yīng)用。

一、數(shù)學思想方法的概述

數(shù)學思想方法主要是把現(xiàn)實中的空間形式和數(shù)量關(guān)系反饋到學生的意識之中，使得其可以經(jīng)過大腦的思維運動下產(chǎn)生一種思想結(jié)果。數(shù)學思想方法是教學中常見的處理數(shù)學問題的辦法，其涵蓋了數(shù)學的基礎(chǔ)知識和數(shù)學方法，是數(shù)學發(fā)展中的一種創(chuàng)造性指導(dǎo)方針。數(shù)學思想主要是人們對數(shù)學理論知識的一種本質(zhì)理解，而數(shù)學方法是對數(shù)學思想的一種詳細化形式，這兩者在本質(zhì)上基本相似，其差異之處主要在于看待數(shù)學問題角度不同。通常來講，數(shù)學思想方法都是有三個層次的，即低層次數(shù)學思想方法、較高層次數(shù)性方法和高層次數(shù)學思想方法，這三個層次則包含了數(shù)學的消元化、代入法、概況類比和轉(zhuǎn)化分類以及數(shù)形結(jié)合等方法，其中的高層次數(shù)學思想方法主要是概況了低層次的思想方法。

二、在初中數(shù)學中應(yīng)用數(shù)學思想方法的有利之處

在初中數(shù)學教學中應(yīng)用數(shù)學思想方法不但只是為了提高素質(zhì)教育，也是為了培養(yǎng)學生的數(shù)學思維良好認證能力。數(shù)學思想方法對于提高初中學生的數(shù)學理解能力是有很多有利之處的，其不但可以使學生在學習數(shù)學過程中掌握一定的數(shù)學思想方法能力，也可以使學生在新的數(shù)學知識中掌握更多的數(shù)學思想方法，使得其可以通過運用數(shù)學思想方法來建立一個個人的數(shù)學知識體系。運用初中數(shù)學思想方法不但有利于鞏固學生學習的數(shù)學知識，也有利于加強學生的數(shù)學知識能力。

三、初中數(shù)學的思想方法

（一）轉(zhuǎn)換思想方法

轉(zhuǎn)化思想方法是初中數(shù)學教學中常見的數(shù)學思想方法，其主要是將一種思考對象轉(zhuǎn)化為另一種思考對象，目的是為了把不理解的數(shù)學問題轉(zhuǎn)換化熟悉的數(shù)學問題。轉(zhuǎn)換思想方法是數(shù)學思想方法中的基礎(chǔ)思想方法，其對其他的數(shù)學思想方法運用是有一定的幫助的。在初中數(shù)學教學中應(yīng)用轉(zhuǎn)換思想方法主要表現(xiàn)在以下幾方面：

（1） 將新的問題轉(zhuǎn)換為原先學習過的數(shù)學問題，使得能對其進行快速的理解學習，如把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)換為加法，除法轉(zhuǎn)換為乘法等。

（2） 將難以理解的問題轉(zhuǎn)換為一步步簡單易懂的問題，比如將數(shù)轉(zhuǎn)化為形。

（3） 新的數(shù)學問題不易進行解決時，可以將其進行新的研究，如將逆算的性質(zhì)解方程轉(zhuǎn)換為等式的性質(zhì)解方程。

（二）函數(shù)方程思想方法

函數(shù)思想主要是通過利用函數(shù)的概念和性質(zhì)來去理解解決數(shù)學的問題，方程思想則是通過數(shù)學問題之間的數(shù)量關(guān)系進行解決的，函數(shù)與方程之間可以進行相互的轉(zhuǎn)換。初中數(shù)學教學中，函數(shù)思想方法解決問題主要是利用函數(shù)的性質(zhì)解決的，如F（X）的奇偶性和周期性，對此初中數(shù)學學習者可以利用函數(shù)的思想方法，來對數(shù)學問題進行等量的轉(zhuǎn)換，以使得其可以理解抽象化的數(shù)學問題。

（三）分類討論思想方法

在初中的數(shù)學問題中，有時一個數(shù)學有很多問題情況，為了解決此問題，可以對其的情況進行分類，并根據(jù)類別進行逐一解決，以獲得問題的解決，這種類別分類法即為分類討論思想方法。分類討論思想方法實際上是一種邏輯性的方法，其可以將零轉(zhuǎn)化為整，也可以將整轉(zhuǎn)化為零。初中數(shù)學中應(yīng)用分類討論思想較多，其主要對抽象化的數(shù)學問題，進行相關(guān)的分類，并在分類后對其進行思想討論，以獲得階段性的解決成果，然后再對其進行總的解決，使得其可以最終獲得的解決問題方法。分類討論思想方法的這種思路，在一定程度上鍛煉了初中學生的邏輯性思維能力，有利于提高初中學生的綜合性理解能力。

（四）數(shù)性結(jié)合思想方法

初中數(shù)學的數(shù)學知識主要分為三類，一類是實數(shù)和方程式這種的純數(shù)的知識，一類是幾何相關(guān)的形的知識，以及最后一類數(shù)性結(jié)合的數(shù)學知識。數(shù)形結(jié)合思想方法則是將抽象化的數(shù)學語言與直觀的圖形相結(jié)合起來，以使得數(shù)學知識能夠簡單直白的表現(xiàn)出來。初中數(shù)學主要是利用函數(shù)圖像的性質(zhì)，來對二次方程的數(shù)進行知識解決，使得初中學生們可以更好的理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學知識。

四、初中數(shù)學思想方法在生活中的應(yīng)用實踐分析

初中進行數(shù)學教學的目的不但只是讓學生了解數(shù)學知識，也是為了讓學生將數(shù)學知識應(yīng)用到生活中，在生活中對數(shù)學知識進行相關(guān)的實踐使用。初中數(shù)學為了使學生更好的掌握數(shù)學知識，產(chǎn)生了很多的數(shù)學思想方法，這些方法對于初中的學生數(shù)學學習有很多有利之處，其不但能夠使學生掌握數(shù)學的思維方法，也能培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，使得學生在現(xiàn)實生活中能夠熟練的應(yīng)用數(shù)學思想方法。初中數(shù)學常見的思想方法“轉(zhuǎn)換思想方法”，此方法在實際生活中應(yīng)用性比較高，初中學生可以利用轉(zhuǎn)換思想的概念，來對生活中的數(shù)學問題進行解決。

結(jié) 語

綜上所述，初中的數(shù)學思想方法有很多種，如轉(zhuǎn)換思想方法、分類討論思想方法、數(shù)性結(jié)合思想方法以及函數(shù)思想等方法，這些方法的運用在一定程度上提高了學生的數(shù)學思維能力，對學生以后的綜合性思維發(fā)展幫助也很大。初中學生熟練的掌握數(shù)學思想方法，不但有利于學習數(shù)學理論知識，也有利于生活中的數(shù)學實踐。

參考文獻：

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第7篇：分類討論的思想方法范文

【關(guān)鍵詞】數(shù)學教學；分類討論；思想方法

【中圖分類號】G268【文章標識碼】B【文章編號】1326-3587（2012）06-0102-01

數(shù)學家喬治• 波利亞說過：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”。隨著課程改革的深入，應(yīng)試教育“向”素質(zhì)教育“轉(zhuǎn)變的過程中，對學生的考察，不僅考查基礎(chǔ)知識，基本技能，更為重視考查能力的培養(yǎng)。在中學數(shù)學教學中逐步滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數(shù)學素質(zhì)教育的一個切入點。

數(shù)學分類討論思想，貫穿于整個中學數(shù)學的全部內(nèi)容中，應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進學生研究問題，探索規(guī)律的能力。但是分類思想不象一般數(shù)學知識那樣，通過幾節(jié)課的教學就可掌握。它根據(jù)學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識

每個學生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學生的這一認識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學中來，在教學中進行數(shù)學分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。比如在“有理數(shù)”這一章的教學中，反復(fù)滲透，強化數(shù)學分類思想，使學生逐步形成數(shù)學學習中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標準不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標準不一的錯誤。在確定對象和標準之后，還要注意分清層次，不越級討論。

二、學習分類方法，增強思維的縝密性

在教學中滲透分類思想時，應(yīng)讓學生了解，所謂分類就是選取適當?shù)臉藴?，根?jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

1、根據(jù)某些數(shù)學概念的定義進行分類

在初中階段的教學內(nèi)容中，一些數(shù)學概念的定義，如有理數(shù)的建立，絕對值的化簡，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，兩圓的五種位置關(guān)系等等……，都滲透著分類討論的數(shù)學思想，對涉及到分類討論思想的概念，教師在講授這些概念時要準確、科學，要讓學生對分類討論思想的概念有正確的認知、理解和牢固的掌握。

例1：已知a是有理數(shù)，那么 |a| 與a的關(guān)系是（ ）

（A）|a| > a（B）|a| < a（C）|a| = a （D|a| ≥ a

分析：絕對值概念是一種需要進行簡單的分類討論的概念

（1）當a為正有理數(shù)或零時，|a| = a；

（2）當a為負有理數(shù)，即a< 0時，|a|= -a > 0，|a| =-a> a．得正確答案：D。

但我們會發(fā)現(xiàn)，總有一部分學生會選C，究其原因，是沒弄清絕對值這一概念，認為求一個數(shù)的絕對值，如：|5|=5；|-7。5|=7。5；……，只要去掉絕對值里面的負號．實際上，要講清絕對值這一概念應(yīng)從絕對值的幾何意義說起，也就是一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離，這樣學生自然而然的會得出絕對值的三種分類討論情況。

為了使學生能牢固掌握初中數(shù)學中有關(guān)涉及到分類討論思想的概念，有時可以采用讓學生操作、分組討論、師生一起加以歸納總結(jié)，同時增加變式訓練的教學方法。

2、根據(jù)運算性質(zhì)的適用范圍或運算的特殊規(guī)定而分類

例2：知：（a+b）2011=-1，（a-b）2012=1，試求 a2011+b2012的值。

分析：由（a+b）2011=-1，得a+b=-1；由（a-b）2012=1，得a-b=1或-1

因此要分兩種情況進行求解：a+b=-1，a-b=1或a+b=-1，a-b=-1，所以a2011+b2012 的值為1或-1。

3、根據(jù)字母的不同取值進行分類

對于具體問題，如函數(shù)、方程、不等式中的解、求代數(shù)式的值等，它們隨著題中所給字母的不同取值而變化，這時要對字母的取值進行討論。

例3：當m=________時，函數(shù)y=（m+5）x 2m＿1 +7x-3（x≠0）是一個一次函數(shù)。

分析：（m+5）x 2m＿1可能是一次項或常數(shù)項，也可能m+5=0，因此，分三種情況討論：

（1）2m-1=1；m=1

（2）2m-1=0；m=

（3）m+5=0； m= -5

只有抓住了分類討論的動因，把握住了分類的標準，才能做到分類時條理清楚、標準一致，在解答問題時就不會重復(fù)或遺漏，保證解題的準確率。

4、根據(jù)某些定理或公式的限制條件進行分類

例4：已知：等腰三角形的一條腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角為________。

分析：這個等腰三角形的高的位置可能在其內(nèi)部或外部，這條高等于該三角形某一條邊的長度的一半，某一條邊又可分為底邊或腰兩種情況，所以要對高在三角形的內(nèi)部或外部以及高是底邊或腰的長度的一半進行分類討論，最后得出頂角為30º、120º或150º。

正確解答此類問題要分析清楚符合條件的圖形的各種可能位置，緊扣條件，分類出各種符合條件的圖形．是正確解答此類分類討論問題的關(guān)鍵，教學中應(yīng)注意對學生畫圖能力和空間想象能力的培養(yǎng)，讓學生多操作、多思考，提高學生的數(shù)學能力，同時通過對開放性問題的討論，對條件的不確定性與結(jié)論多樣性的探索、猜想，充分拓展學生的思維空間，使他們的思維更深刻、廣闊、活躍。

5、根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

在證明圓周角定理時，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況，這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法，是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

第8篇：分類討論的思想方法范文

在初中數(shù)學教學中，其數(shù)學思想方法是多種多樣的，以下列舉出幾種典型的初中數(shù)學教學方法。

首先是符號與變元的思想方法。大多數(shù)人認為初中數(shù)學教學要做到從算術(shù)到代數(shù)的過渡，從實驗幾何到推理幾何的過渡，從常量到變量的過渡，從平面到立體的過渡，從推理幾何到分析幾何的過渡以及從有限到無限的過渡等六個大過渡。其中從算術(shù)到代數(shù)的過渡就是從具體數(shù)字到抽象符號的過渡。在初中數(shù)學教學中，掌握數(shù)學符號以及變元的思想方法既是教學的目標，也是提升符號意識的前提條件。由單個字母表示數(shù)、待定系數(shù)法等在使用過程中不斷地轉(zhuǎn)換，也是具有系統(tǒng)性的代數(shù)解題的方法。此外，字母代替數(shù)的應(yīng)用不僅僅局限于待定系數(shù)以及根與系數(shù)的關(guān)系上，還在不等式的運算、定義區(qū)間的劃分、極值等數(shù)學問題中得到運用。所以說，符號與變元的數(shù)學思想方法不僅應(yīng)用次數(shù)多而且涉及范圍廣。例如，如果a，b均為有理數(shù)，且b

其次是化歸的思想方法?；瘹w的思想方法的全稱是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的思想方法。這也是初中數(shù)學中解決問題的一種策略。這種思想方法與我們以往所接觸的不一樣，它不是盲目地解決問題，而是將復(fù)雜的問題進行變形與轉(zhuǎn)化，并將它與已經(jīng)解決的或者是容易解決的一些問題歸結(jié)到一起，最后掌握解決問題的方法。但是，在初中數(shù)學中，有些問題會比較復(fù)雜，僅僅進行一次化歸或許還是不能解決問題。這時，我們可以繼續(xù)對該問題進行轉(zhuǎn)化，直至將其轉(zhuǎn)化為一個容易解決的問題或者一個已經(jīng)解決了的問題?？梢哉f，化歸的思想方法是初中數(shù)學解決問題中的一個最基本的方法，它可以將繁瑣的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將困難的問題轉(zhuǎn)化為容易的問題，將未知的條件轉(zhuǎn)化為已知的條件等。所以，在初中教學中，教師要讓學生認識到化歸思想方法的重要性，并結(jié)合相關(guān)的教學內(nèi)容進行對應(yīng)的訓練，不斷地讓學生可以去觀察、摸索以及探究出可以轉(zhuǎn)化問題的方法。

例如，在解決分式方程的時候，就可以運用化歸的思想方法，將難以解決的分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，便可以快速地求得分式方程的正確答案。

第三個是數(shù)形結(jié)合的思想方法。在數(shù)學這門學科中，主要研究的對象就是數(shù)與形。所以，數(shù)形結(jié)合的思想方法就是對于某一特定問題，在分析其幾何意義的同時，也揭示了具體的代數(shù)意義。數(shù)形結(jié)合的思想方法就是借助代數(shù)分析圖形的問題，也可以借助圖形發(fā)現(xiàn)代數(shù)間的奧秘。這樣不但可以使得代數(shù)與圖形相互補充，還可以使得學生們在解題過程中邏輯思維與形象思維完美地結(jié)合在一起。因此，數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學教學中最重要的一種思維方法。

例如，B、C為線段AD上的兩點，AB的中點是M，CD的中點是N， 若AD=x，BC=y，則MN等于多少？

分析：在解決這類題時，一定要想出會有幾種排列方式。在這道題中，B與C的位置就有兩種不同的情況。如下圖，在這條已知線段上，字母的排列可以是A、B、C、D，M是AB的中點，N是CD的中點，也可以是A、C、B、D。

這兩種不同的情況，所得出的答案也是不相同的，所以利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以將原本抽象的數(shù)學題變得具體。不但達到了事半功倍的理想效果，也避免了在考試中出現(xiàn)一些不必要的丟分情況。與此同時，利用圖形的解題方法還可以學習數(shù)學課本中一些必須掌握的概念。例如，相反數(shù)、絕對值的定義等。從而減少了學生在學習數(shù)學知識中的難度以及增強知識的連貫性，為今后的數(shù)學學習奠定牢固的基礎(chǔ)。

第9篇：分類討論的思想方法范文

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學；思想方法；教學規(guī)律

一、初中數(shù)學思想方法教學的重要性

數(shù)學是思維的學科，重在培養(yǎng)學生的思維能力，這是數(shù)學區(qū)別于其他學科的重要之處。在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，只注重知識的傳授，卻忽視數(shù)學知識形成過程中的思想方法的現(xiàn)象非常普遍，它嚴重制約學生的思維發(fā)展和能力培養(yǎng)。隨著教育改革的不斷深入，越來越多的教育工作者，特別是一線的教師們充分認識到：初中數(shù)學教學，一方面要傳授數(shù)學知識；另一方面，更重要的是通過數(shù)學知識這個載體，挖掘其中蘊含的數(shù)學思想方法，形成正確的數(shù)學觀和一定的數(shù)學意識。正所謂“授之以魚，不如授之以漁”。不管他們將來從事什么職業(yè)和工作，數(shù)學思想方法，作為一種解決問題的思維策略，都將隨時隨地有意無意地發(fā)揮作用，指導(dǎo)他們的工作和生活。

二、初中數(shù)學思想方法的主要內(nèi)容

初中數(shù)學中蘊含的數(shù)學思想方法很多，最基本最主要的有：轉(zhuǎn)化的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，分類討論的思想方法，函數(shù)與方程的思想方法等。

（一）轉(zhuǎn)化的思想方法

轉(zhuǎn)化的思想方法就是人們將需要解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一種相對容易解決的或已經(jīng)有解決方法的問題，從而使原來的問題得到解決。初中數(shù)學處處都體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的思想方法。如化繁為簡、化難為易，化未知為已知等，所以說轉(zhuǎn)化的思想方法是解決數(shù)學問題的一種最基本的思想方法。

（二）數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學，因而研究總是圍繞著數(shù)與形進行的?！皵?shù)”就是代數(shù)式、函數(shù)、不等式、方程等表達式，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間的本質(zhì)上的聯(lián)系，以形直觀地表達數(shù)，以數(shù)精確地研究形?！皵?shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微。”數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學問題的重要思想方法。初中數(shù)學中，通過數(shù)軸，將數(shù)與點對應(yīng)，通過直角坐標系，將函數(shù)與圖象對應(yīng)，用數(shù)形結(jié)合的思想方法學習了相反數(shù)的概念、絕對值的概念，有理數(shù)大小比較的法則，研究了函數(shù)的性質(zhì)等，通過形象思維過渡到抽象思維，使學生更易理解和掌握所學的知識，大大降低了學生學習數(shù)學的難度。

（三）分類討論的思想方法

分類討論的思想方法就是根據(jù)數(shù)學對象本質(zhì)屬性的共同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同種類的思想方法。初中數(shù)學從整體上看分為代數(shù)、幾何兩大類，采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現(xiàn)。具體來說，實數(shù)的分類，方程的分類、三角形的分類，函數(shù)的分類等，都是分類思想的具體體現(xiàn)。近年的中考壓軸題都是動點問題，動點問題的解決都要用到分類討論的思想，可見分類討論的思想在初中數(shù)學中的重要地位。

（四）函數(shù)與方程的思想方法

函數(shù)思想是客觀世界中事物運動變化，相互聯(lián)系，相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學中的反映，它的本質(zhì)是變量之間的對應(yīng)。用變化的觀點，把所研究的數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)的形式表示出來，然后用函數(shù)的性質(zhì)進行研究，使問題得以解決。如果函數(shù)的形式是用解析式的方法表示出來的，那么就可以把函數(shù)解析式看作方程，通過解方程和對方程的研究，使問題得到解決，這就是方程的思想。在初中數(shù)學教材中，函數(shù)圖象的交點問題就是函數(shù)與方程思想的具體體現(xiàn)，并揭示了它們的區(qū)別與聯(lián)系，讓學生更清楚的了解和掌握了函數(shù)與方程的特點，從而增強了應(yīng)用方程與函數(shù)解決實際問題的能力。

三、初中數(shù)學思想方法的教學規(guī)律

數(shù)學思想方法蘊含于數(shù)學知識之中，又相對超脫于某一個具體的數(shù)學知識之外。對于初中學生來說，這個年齡段正是由形象思維向抽象的邏輯思維過渡的階段，雖然初步具有了簡單的邏輯思維能力，但是還缺乏學習的主動性和能動性。因此，在數(shù)學教學活動中，必須注意數(shù)學思想方法的教學規(guī)律。

（一）鉆研教材，將數(shù)學思想方法化隱為顯，滲透于日常教學

數(shù)學教學要根據(jù)學生的實踐經(jīng)驗，創(chuàng)造性的使用教材，教學要基于教材又要走出教材。這就要求教師首先在備課時，要從數(shù)學思想方法的高度深入鉆研教材，數(shù)學思想方法既是數(shù)學教學設(shè)計的核心，同時又是數(shù)學教材組織的基礎(chǔ)和起點。通過對概念、公式、定理的研究和對例題、練習的探討，挖掘有關(guān)的數(shù)學思想方法，將它們由深層次的潛形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)轱@形態(tài)，由對它們的朦朧感受轉(zhuǎn)變?yōu)槊魑?、理解和掌握。只有在這種前提下，才能加強針對性，有意識地引導(dǎo)學生領(lǐng)悟數(shù)學思想方法，并能應(yīng)用數(shù)學思想方法解決問題。

（二）學生主動參與教學，循序漸進形成數(shù)學思想方法

數(shù)學知識的連接性很強，數(shù)學學習是在學生已有知識和經(jīng)驗基礎(chǔ)上，主動積極建構(gòu)知識的過程，教學中教師要激活學生已有的知識和經(jīng)驗，讓學生自然生長出新的知識。遵循學生的學習認知規(guī)律，提高學生的學習興趣。

概念教學中，不要簡單地給出定義，而要盡可能完整地再現(xiàn)形成定義之前的分析、綜合、比較和概括等思維過程，揭示隱藏其中的思想方法。

定理公式教學中，不要過早地給出結(jié)論。要引導(dǎo)學生親自體驗結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，弄清每個結(jié)論的因果關(guān)系，體會其中的思想方法。

在掌握重點，突破難點的教學活動中，要反復(fù)向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法。數(shù)學教學中的重點，往往就是需要有意識地揭示或運用數(shù)學思想方法之處；數(shù)學教材中的難點，往往與數(shù)學思想方法的更新交替、綜合運用，或跳躍性大等有關(guān)。因此，在教學活動中，要適度點撥或明確歸納出所涉及到的數(shù)學思想方法。

（三）不斷鞏固積累，使數(shù)學思想方法在應(yīng)用中內(nèi)化為自覺意識