常見的建立數(shù)學模型的方法精選(九篇)

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第1篇：常見的建立數(shù)學模型的方法范文

一、構(gòu)造方程（組）模型：

生活中廣泛存在著數(shù)量間的相等關(guān)系。“方程（組）”模型是研究生活中數(shù)量關(guān)系最基本的數(shù)學模型之一，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更準確、更清晰的認識、把握現(xiàn)實世界。如分期付款、打折銷售、增長率、儲蓄利息、工程問題、行程問題、濃度配比等問題，常可以抽象成“方程（組）”模型，通過列方程（組）加以解決。

問題情境：商店在一定時間以每件60元的價格賣出倆件衣服，其中一件盈利25%，一件虧損25%，買這倆件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

建立模型：

1售價與進價之間具有怎樣的關(guān)系時是盈利？售價>進價

2售價與進價之間具有怎樣的關(guān)系時是虧損？售價

3售價與進價之間具有怎樣的關(guān)系時不盈不虧？售價=進價

4利潤、售價、進價具有怎樣的關(guān)系？利潤=售價-進價

5利潤、進價、利潤率具有怎樣的關(guān)系？利潤=進價*利潤率

6售價、進價、利潤率具有怎樣的關(guān)系？售價-進價=進價*利潤率

四、構(gòu)造幾何模型

生活中如測量高度、測量距離、邊角余料加工、航海、建筑、測量、工程定位、裁剪方案、修復(fù)殘破輪片、道路拱橋設(shè)計等問題，以及一些幾何圖形的性質(zhì)時需建立幾何模型，用幾何知識加以解決.

第2篇：常見的建立數(shù)學模型的方法范文

關(guān)鍵詞：數(shù)學建模；數(shù)學模型思想；小學數(shù)學教學；實現(xiàn)策略

數(shù)學可以培養(yǎng)和鍛煉學生的思維能力，幫助人們更好地探索客觀世界的規(guī)律。數(shù)學模型是對現(xiàn)實世界事物之間關(guān)系的體現(xiàn)，通過數(shù)學模型，人們可以以數(shù)學的方式認識客觀世界，也可以以數(shù)學的方式來描述客觀現(xiàn)象?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準》中新增了“發(fā)展學生的模型思想”這一內(nèi)容，指出“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。究竟什么是數(shù)學模型和數(shù)學模型思想呢？數(shù)學模型思想在小學數(shù)學教學中的作用體現(xiàn)在哪些方面呢？實踐中如何培養(yǎng)數(shù)學模型思想呢？本文將就以上問題的思考與理解來進行探討。

一、數(shù)學模型與數(shù)學思想

數(shù)學模型針對研究對象的數(shù)字特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用形式化的數(shù)學符號和語言，概括或近似地表示出的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學中的各種基本概念和基本算法及公式都可以稱為數(shù)學模型。小學數(shù)學中常見的數(shù)學模型有：公式模型、方程模型、集合模型、函數(shù)模型等。

數(shù)學模型思想是指針對問題構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學模型，再通過對數(shù)學模型的研究來解決實際問題的一種數(shù)學思想。數(shù)學的本質(zhì)是將實際問題符號化、公式化。就小學數(shù)學而言，更多的是用數(shù)學建模思想來指導數(shù)學教學，從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋和運用的過程，促進學生思維能力的綜合發(fā)展，提高學生學習數(shù)學的興趣和數(shù)學應(yīng)用的意識。

二、數(shù)學模型思想在小學數(shù)學教學中的作用

1.數(shù)學模型思想在小學數(shù)學教學中的應(yīng)用能夠培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力

現(xiàn)代教育注重素質(zhì)教育，如何能利用所學知識解決實際問題是素質(zhì)教育的實際體現(xiàn)。通過數(shù)學模型理念的認識和理解，可以在小學數(shù)學教學中，讓學生從實際問題情景中學會應(yīng)用理論知識的能力和創(chuàng)新能力。

2.數(shù)學建模思想的培養(yǎng)可以提高學生的數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)學素養(yǎng)是指學生通過學習和應(yīng)用數(shù)學獲得的數(shù)學知識、能力，技能和觀念的素養(yǎng)。數(shù)學模型建立的過程可以使學生的多方面數(shù)學素養(yǎng)得以培養(yǎng)，包括基本技能和一些基本思想方法的掌握，得到一些經(jīng)驗積累，從而全面提高數(shù)學素養(yǎng)。

3.數(shù)學建模思想能夠提高學生的學習興趣

興趣是最好的老師，小學數(shù)學的教學，是培養(yǎng)學生思維能力的開始階段，學習興趣的培養(yǎng)顯得尤為關(guān)鍵。結(jié)合學生熟悉的實際問題，利用數(shù)學建模過程得以解決，可以激發(fā)學生學習的興趣，提高學生的自信心，進而提高課堂效率。

三、在小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生數(shù)學模型思想的實現(xiàn)策略

1.將實際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學模型

實際問題和生活原型是構(gòu)建模型的基礎(chǔ)。教學過程中教師應(yīng)根據(jù)數(shù)學問題巧妙地構(gòu)建現(xiàn)實情境，通過現(xiàn)實的生活原型引導學生以數(shù)學建模的方式解決問題。如，通過購物的支出和找回，來理解加減法和小數(shù)等。

2.數(shù)學模型的擴展應(yīng)用

以舊模型為基礎(chǔ)進行擴展應(yīng)用是數(shù)學建模的精髓，也是數(shù)學素養(yǎng)的基本體現(xiàn)。數(shù)學的概念、法則、關(guān)系都是數(shù)學模型，建立在對其他數(shù)學模型的應(yīng)用上，體現(xiàn)在對新知識的逐級構(gòu)建上。教師要將復(fù)雜的問題引導學生進行分析和探究，調(diào)用已有的模型，從而把復(fù)雜模型轉(zhuǎn)換為簡單模型，是對簡單模型的擴展調(diào)用，使學生用原有認知模型以不變應(yīng)萬變。如，工程問題、用量問題、相遇問題三者看似不同，實則用模型：工作總量/工作效率=工作時間。

3.讓學生體驗建立模型的全過程

如何將生活原型抽象為數(shù)學模型呢？設(shè)置實際問題情境，只是數(shù)學建模的開始。在后面的教學過程中，還要準確把握從具體到抽象的過程，并能夠有效組織實施，否則就不能實現(xiàn)成功的建模。如，直線栽樹問題（兩端要栽），可以組織學生實施該過程，找出問題解決的關(guān)鍵，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律幫助解決問題。發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，實質(zhì)是學生推理的過程。體驗建模過程是由簡單的問題逐步過渡到復(fù)雜的問題，運用歸納的思想，再從復(fù)雜問題中找到規(guī)律，使學生自主完成對解題策略的構(gòu)建，從而使他們加深對解題方法的理解。

綜上所述，在小學數(shù)學教學中引入數(shù)學建模思想是可行且必要的，而且對小學數(shù)學教學有重要的作用。數(shù)學模型的建立和應(yīng)用已成為數(shù)學教學過程的重要內(nèi)容。因此，教師在小學數(shù)學實踐中，應(yīng)注重加強對數(shù)學模型思想的培養(yǎng)。

參考文獻：

第3篇：常見的建立數(shù)學模型的方法范文

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學 課堂教學

模型思想 滲透

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）06A-0110-01

所謂“模型思想”就是指對于特定對象，借助生活原型，通過觀察、操作、對比、分析、歸納等形式，把具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的一種方法。在小學數(shù)學教學中，教師要善于根據(jù)教學需要，幫助學生建構(gòu)數(shù)學模型，然后再鼓勵學生運用數(shù)學模型解決具體問題，促使模型思想在教學中不斷得以滲透，提高課堂教學效果。那么，如何進行模型思想的滲透才更為合理、有效呢？

一、借助學具操作滲透模型思想

學具操作是小學數(shù)學教學中常用的一種教學手段。在小學數(shù)學教學中借助學具操作，可以把抽象的問題直觀化、形象化，把復(fù)雜的問題簡單化、具體化。鑒于這種優(yōu)勢，教師如能把模型思想滲透其中，就能讓學生感受到數(shù)學學習簡單、有趣，有利于學生數(shù)學模型思想的形成與發(fā)展。

如在教W人教版一年級上冊《8加幾》時，為了幫助學生靈活地運用所學知識進行計算，教師主要把引導學生總結(jié)出8加幾的算法算理作為教學的重點，并通過建立數(shù)學模型，使學生在口算時能夠有據(jù)可依。于是，教師讓學生拿出手中的小棒，以“8+5”為例，引導學生想一想：假如一捆小棒是10根，能不能把它們湊成一個整捆數(shù)？如何操作？在教師的鼓勵下，學生從5根小棒中取出2根，于是就有了如下數(shù)學模型：先把5分成2和3，8和2湊成10，10加3等于13。此時，教師又以8+3，8+4，8+6，8+7，8+8，8+9為例，讓學生運用上面的數(shù)學模型，對8加幾的各類習題進行口述，如此一來，不僅深化了學生對數(shù)學模型的認識，還收到了顯著的教學效果。

二、借助數(shù)學情境滲透模型思想

情境教學是小學數(shù)學課堂常用的一種教學方式，問題情境因其目的性強、與學生所學知識比較接近等特點，能有效地激發(fā)學生的探究興趣。結(jié)合這個特點，教師如能根據(jù)學生的學習需要，注重模型思想在課堂教學中的滲透，那么學生就會對所學知識產(chǎn)生深刻的印象，進而有利于學生形成數(shù)學思想方法。

如在教學三年級上冊《長方形和正方形的周長》時，筆者采用了借助問題情境幫助學生建構(gòu)模型的教學方法：“張大爺想用鋼絲來圍一個長方形柵欄，這個柵欄的長是5米、寬是3米，請問需要準備多長的鋼絲？”經(jīng)過思考后，有學生說是5+3+5+3=16（米）；有學生說長方形的兩條對邊相等，可以這樣算：5×2+3×2=16（米）；還有的學生說可以先算出長方形一條長與寬的和是多少，然后再乘以2，即（5+3）×2。此時，教師趁機說道：“如果我們用a，b分別表示長方形的長與寬，你能總結(jié)出此類問題的計算方法嗎？”這樣教學，學生很容易就總結(jié)出了（a+b）×2這樣的計算模型。

這個案例教師主要從創(chuàng)設(shè)問題情境開始，通過一系列問題的提出，并通過學生的思考探究，逐漸幫助學生建構(gòu)出了計算長方形周長的數(shù)學模型，并在這種數(shù)學模型思想下舉一反三、觸類旁通，讓學生獲得更多類似的數(shù)學知識，這樣教學，簡單輕松、事半功倍，深受學生喜愛。

三、借助解決問題滲透模型思想

解決問題是小學數(shù)學教學中常見的手段，在數(shù)學模型思想的滲透上，教師如能以解決問題為原型，讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學模型產(chǎn)生的具體過程，那么，可以極大地豐富學生的儲存信息，讓學生在頭腦中形成一幅完整的知識建構(gòu)圖，提高學生的解題能力。

如在教學《路程問題》時，教師出示習題：一輛汽車3小時行駛了270千米，如果它一直保持這樣的速度，5小時可以行駛多少千米？教師先讓學生回顧已有知識，找出解決此類問題的數(shù)學模型“速度=路程÷時間”，然后在學生將此種數(shù)學模型應(yīng)用到解決數(shù)學問題之后，教師要鼓勵學生靈活對數(shù)學模型進行變通，以達到求出所求問題的目的。于是，在教師的鼓勵下，學生通過數(shù)學模型的變式得到“路程=速度×時間”，從建構(gòu)數(shù)學模型到利用數(shù)學模型再到模型變式，學生真正經(jīng)歷了模型思想的產(chǎn)生、應(yīng)用及變化過程，深化了自身的思想認識。

第4篇：常見的建立數(shù)學模型的方法范文

一、滲透建模思想的意義和現(xiàn)狀

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出數(shù)學教學應(yīng)注重發(fā)展學生的模型思想，強調(diào)“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！编嵷剐沤淌谠凇缎抡n標》的解讀中也說到，《新課標》提倡數(shù)學基本思想的真正新意，在于“數(shù)學模型的思想”等的突出強調(diào)。[1]因此，教學中應(yīng)鼓勵學生認識并掌握建模的思想方法，嘗試從簡單的常見的現(xiàn)象中，抽象出數(shù)學模型，建立數(shù)學模型并學以致用。

就建模而言，當前在小學數(shù)學教學中存在以下問題：

1.目標定位偏頗。由于應(yīng)試教育思想的殘留，不少教師在設(shè)計教學時，“基礎(chǔ)知識與基本技能”仍是教學的重要著眼點，學生往往只是機械接受知識，或是簡單形式上的探究活動，鮮有真正意義上探究數(shù)學內(nèi)在規(guī)律的體驗，對于數(shù)學思想方法的理解也只是接受為主。對課堂短時效率的過分關(guān)注，導致缺乏對學生進行建模意識的培養(yǎng)。

2.形式重于實質(zhì)。教學中不少一線教師存在盲從現(xiàn)象，注意了數(shù)學與生活的聯(lián)系，但只是為聯(lián)系而聯(lián)系，淡化了“數(shù)學化”的過程；注重于算法多樣化等操作，往往缺少分析優(yōu)化的過程，不能形成一般的算法模型；為了形成技能，機械訓練，忽視“建模”和“用?！钡倪^程；強調(diào)了探究活動的形式，往往鮮有思維層面的指導，與建模相去甚遠。

3.評價方式單一。目前的小學教育中，評價多以解題為主，優(yōu)劣取決于得分，對于學生建模意識、建模能力的檢測顯得蒼白無力。顯然，這樣的評價方式和內(nèi)容，對教師的教學觀念以及教學行為存在嚴重的錯誤導向，忽略對學生進行建模等數(shù)學思想方法的培養(yǎng)也就不足為奇。

二、滲透建模思想的實施策略

1.感知積累表象。建模，前提是充分感知模型關(guān)注的對象，由許多具有共同特性的一類事物中，抽象出這類事物的特征或內(nèi)在關(guān)系，積累豐富的表象經(jīng)驗。教師應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)情境，為學生提供豐富的感性材料，通過多種形式全面感知這類事物的特征或相互關(guān)系，為準確建模提供可能。如在分數(shù)的初步認識教學中，為幫助學生建立分數(shù)模型，筆者設(shè)計引導學生觀察多種不同事物：孫悟空伸縮變化的金箍棒，摔碎的月餅，平均分的不同形狀的紙，不同水杯中的水等，鼓勵學生從不同角度觀察，不只局限于從長度方面去考慮，還可以從個數(shù)、質(zhì)量、面積、體積等角度去分析部分與整體的關(guān)系，積累表象，形成豐富而感性的認識，幫助學生完成分數(shù)這一數(shù)學模型的建構(gòu)。

2.關(guān)注模型本質(zhì)。建模思想的滲透，并不是游離于數(shù)學學習之外的獨立活動，而是與數(shù)學知識的本質(zhì)屬性緊密結(jié)合，相互依存的有機整體。因此，教學中既要利用學生已有的認知基礎(chǔ)，更要幫助學生進一步理解模型的本質(zhì)，把生活數(shù)學提升到學科數(shù)學的層面，幫助學生完成數(shù)學模型的建構(gòu)。如根據(jù)學生的生活經(jīng)驗，常見的設(shè)計都是由“半塊蛋糕如何表示”這一問題，引發(fā)學生的認知沖突，鼓勵學生用一個新的數(shù)來表示事物的“一半”。這樣的設(shè)計，看起來水到渠成，其實是混淆了概念。生活中，學生往往對“一半”和“半個”兩個詞含混不清，教學中也將“一塊的一半”和“半塊”這兩個概念輕描淡寫地一帶而過，是導致分數(shù)建模不清的癥結(jié)所在。顯然，“一塊的 ”和“ 塊”本質(zhì)上是不同的，前者中的 表示部分和整體的關(guān)系，是一個數(shù)，而后者中的 則是一個量，表示某一物體的大小。只有當單位“1”是一個物體時，二者恰好表示同樣大小的部分，而當單位“1”是一個整體時，二者就相差甚遠了。如何有效解決數(shù)和量的區(qū)別與聯(lián)系的問題，是學生建構(gòu)分數(shù)模型的本質(zhì)所在。因為它既是一個最簡單的分數(shù)，也是學生學習的第一個分數(shù)，通過對它的深入研究，能夠幫助學生了解分數(shù)的產(chǎn)生過程、把握分數(shù)的本質(zhì)屬性，建立起準確的分數(shù)的概念，為學習其他分數(shù)奠定堅實的思維基礎(chǔ)，完成分數(shù)模型的建構(gòu)。

3.充分運用聯(lián)想。生搬硬套，機械模仿，是滲透建模思想的大忌。教學中，應(yīng)引導學生從看似雜亂的眾多實際問題中，抽絲剝繭，充分發(fā)揮想象、聯(lián)想，從數(shù)學的本質(zhì)屬性上抽象出相同或相似之處，和已有的知識體系鏈接起來，從而形成模型建構(gòu)。如在分數(shù)的初步認識教學中，要構(gòu)建 這一模型，需要經(jīng)過多種表象抽象理解，一塊蛋糕，一根小棒，一張紙，這些具體事物的 是可以通過感官直接獲得，但一些虛擬的，或是不可見的事物的 ，就需要教師多創(chuàng)造機會，給予學生聯(lián)想的時間和空間。經(jīng)過反復(fù)訓練，學生就會迅速把握事物的主要特征，實現(xiàn)思維的跳躍，從而完成構(gòu)建分數(shù)這一模型。

4.提升應(yīng)用價值。滲透建模思想是一個循序漸進，螺旋上升的過程，應(yīng)貫穿于整個學習活動中。教學中，不僅在學習新知時需要建模，在整理復(fù)習和實際運用中，也需要教師不斷引導學生回顧建模的過程與方法，反思自己的思維活動，及時進行概括與提煉，形成內(nèi)在的數(shù)學學習方法，并拓展運用于不同學科的學習中，提升建模思想的應(yīng)用價值。

實踐表明，所謂策略是密切聯(lián)系的有機整體，它們之間相互影響，相互促進。教師應(yīng)注重知識的前期把握，關(guān)注學生數(shù)學知識的形成過程，在滲透建模思想中不斷揣摩和感受數(shù)學思想方法，形成自身的數(shù)學思考方法，感受數(shù)學學習的價值。

參考文獻：

第5篇：常見的建立數(shù)學模型的方法范文

1問題內(nèi)容豐富

問題背景包含構(gòu)成生活事實和科技實例必不可少的背景信息，也包含構(gòu)成新情景問題的條件和關(guān)系等信息，問題內(nèi)容充實豐富.

2試題具有濃厚的生活氣息和人文精神

應(yīng)用題的性質(zhì)決定了學生的解題具有實用性、實踐性，可以有效地縮短課本知識和實際生活的距離，使學生感到所學的知識與實際生活是緊密相關(guān)的，體現(xiàn)了人與社會、人與自然的關(guān)系，熏陶了學生的科學精神和人文精神.

3試題的內(nèi)容回歸學生的生活世界

學生生活在現(xiàn)實的生活世界之中，教育要對學生的生活產(chǎn)生影響，就需要關(guān)注現(xiàn)實生活，應(yīng)用題使學生具有強烈的現(xiàn)實感和生活感.

4應(yīng)用題以材料新、情景新、問題新的特點凸顯對數(shù)學能力的考查

應(yīng)用題的選材廣泛，情境多樣，對學生數(shù)學能力的考查超越了課本的知識架構(gòu)，更突出其對應(yīng)用意識的關(guān)注.

5試題背景設(shè)置體現(xiàn)公平性

應(yīng)用題背景的設(shè)置要求與學生的閱讀理解水平相一致，注重學生理解問題層面的公平性.命題時充分考慮城鄉(xiāng)差異、地區(qū)差異等.

二、應(yīng)用型試題常見類型及模型解決策略

我們通常把來源于客觀世界的實際且具有實際意義或?qū)嶋H背景的、要求通過數(shù)學建模方法將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學形式表示，從而獲得解決的一類數(shù)學問題稱為數(shù)學應(yīng)用題.數(shù)學應(yīng)用題與純數(shù)學題的區(qū)別在于其問題情境，數(shù)學應(yīng)用題一般是通過語言文字（必要時附帶圖表信息）來向解題者呈現(xiàn)其問題情境的，而且這樣的問題情境不僅可以包含數(shù)學概念、方法或結(jié)果，更直觀的是包含了非數(shù)學領(lǐng)域中的各種對象、事件及其關(guān)系，即所謂應(yīng)用背景，應(yīng)用背景是應(yīng)用題賴于存在的“土壤”，也是應(yīng)用題特征的直接反映.應(yīng)用背景一般來自于非數(shù)學領(lǐng)域，一般是實際背景或真實背景，也可以指非數(shù)學學科的問題背景.

應(yīng)用題建模的基本過程包括：(1)模型準備：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息，用數(shù)學語言來描述問題.(2)模型假設(shè)：根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當?shù)募僭O(shè).(3)模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當?shù)臄?shù)學工具來刻畫各變量之間的數(shù)學關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學結(jié)構(gòu).（盡量用簡單的數(shù)學工具）(4)模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計算（估計）.(5)模型分析：對所得的結(jié)果進行數(shù)學上的分析.(6)模型檢驗：將模型分析結(jié)果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性.如果模型與實際較吻合，則要對計算結(jié)果給出其實際含義，并進行解釋.如果模型與實際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過程.(7)模型應(yīng)用：應(yīng)用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異.

簡單地說，其步驟是：實際問題――抽象概括――數(shù)學模型――解模――還原說明――實際問題的解決――實際問題.

近幾年高考中應(yīng)用題所占分值越來越多，考試比重也在不斷增加.應(yīng)用型試題以立意新、情景熱、情景實、考查點豐富、設(shè)問巧的特點出現(xiàn)在高考試卷中，雖然整體難度不大，但考生得分率較低，究其原因，是對應(yīng)用問題的實際背景數(shù)學化的能力不夠，不會轉(zhuǎn)化應(yīng)用問題，建立相應(yīng)的數(shù)學模型.這與新課改強化數(shù)學應(yīng)用意識，突出數(shù)學建模能力的要求不符，隨著新課改對高中生數(shù)學應(yīng)用意識要求的提高，應(yīng)用題將會在今后的高考中占有不可忽視的地位.

應(yīng)用型問題的求解關(guān)鍵要注意兩個方面：其一，是學生對試題的閱讀理解能力（這里就涉及數(shù)學閱讀能力、數(shù)學抽象能力、轉(zhuǎn)化能力）.其二，是從實際問題中通過抽象、概括和必要的邏輯推理建立模型的能力.

三、小結(jié)

高中數(shù)學應(yīng)用題強調(diào)數(shù)學跟外界的聯(lián)系.數(shù)學建模解應(yīng)用題的關(guān)鍵是：正確閱讀、理解題意，建立數(shù)學模型，解模并回答.而建模能力是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，因而必須讓學生多接觸社會，多了解一些與數(shù)學有關(guān)的社會現(xiàn)象.這就要求學生用數(shù)學的眼光去發(fā)現(xiàn)生活，不失時機地把課堂上的數(shù)學知識延伸到實際生活中.針對數(shù)學應(yīng)用題，張景中先生指出，“數(shù)學家不喜歡含含糊糊的問題.先要把問題理清楚，把現(xiàn)實的問題化為純數(shù)學的問題.這叫做數(shù)學建模.”這就是說要將問題進行“數(shù)學化”，或者說進行“量化”.對于遇到的應(yīng)用題，要根據(jù)具體的背景知識，對實際問題進行轉(zhuǎn)化，借助常見的數(shù)學模型，將問題轉(zhuǎn)化為用數(shù)學可解的模型.另外，這種類型的試題使學生充分認識到：數(shù)學與我有關(guān)，與實際生活有關(guān)，數(shù)學是有用的，我要用數(shù)學，我能用數(shù)學，讓這種意識融入學生的頭腦中，化為信念，成為學生學習數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學的動力.

【參考文獻】

第6篇：常見的建立數(shù)學模型的方法范文

關(guān)鍵詞：數(shù)學模型；數(shù)學方法；物理問題

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2007)8(S)-0044-3

物理學是應(yīng)用數(shù)學思想與方法最充分、最成功的一門科學?？梢赃@樣說，離開了數(shù)學思想與方法，就沒有真正意義上的物理學。但是，在相當多的學生中，存在著將學習數(shù)學和學習物理兩者截然分開的現(xiàn)象：他們學習了一定的數(shù)學思想與方法，并能解決一些比較復(fù)雜的數(shù)學問題；但是在需要運用這些數(shù)學思想與方法來解決物理問題時，卻表現(xiàn)出滯后和吃力?；诖耍P者經(jīng)過對高中物理中應(yīng)用數(shù)學思想與方法的多年研究，認為構(gòu)建數(shù)學模型，應(yīng)用數(shù)學方法，注重數(shù)學的解與物理的解的統(tǒng)一是解決物理問題的有效途徑。

1 注重數(shù)學模型、數(shù)學方法教學的必要性

2006年《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱(理綜物理)》對應(yīng)用數(shù)學處理物理問題的能力的要求是：能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進行推導和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時能運用幾何圖形、函數(shù)圖像進行表達、分析。可見數(shù)學是解決物理問題一個不可缺少的工具。

2 構(gòu)建數(shù)學模型的基本途徑

所謂數(shù)學模型，就是用符號、字母和數(shù)字等數(shù)學語言表示的，反映問題中各要素之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學表達式。構(gòu)建數(shù)學模型(即數(shù)學建模)解決物理問題，就是用數(shù)學語言形式表達所研究的物理問題的特征及有關(guān)量之間的關(guān)系，然后應(yīng)用數(shù)學方法尋求問題答案。它是解決物理問題的一種方法，一般要經(jīng)過以下兩步：

2.1 物理問題向物理模型的轉(zhuǎn)化

實際的物理問題往往錯綜復(fù)雜，影響問題的因素很多，但在諸多的因素中，總有些因素占主導的位置，而另一些因素處于次要的位置。在眾多因素中突出主要因素和主要關(guān)系，進行科學抽象，把復(fù)雜的研究對象簡化，即構(gòu)建物理模型。如研究地球公轉(zhuǎn)，求日地間距等，就可以忽略地球的自轉(zhuǎn)以及地球、太陽的線度，將地球、太陽都抽象為質(zhì)點。這樣，地球繞日運動就可以抽象為一質(zhì)點在萬有引力作用下繞另一質(zhì)點的運動。

2．2 物理模型向數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化

建立物理模型后，分析與主要因素有關(guān)的基本物理量中，哪些是常量，哪些是變量；哪些是矢量，哪些是標量；哪些是過程量，哪些是狀態(tài)量；哪些是已知量，哪些是待求量。再根據(jù)物理規(guī)律找出各物理量之間的關(guān)系式，抽象出研究對象的數(shù)學模型。如上例中，地球繞太陽運動，若太陽的質(zhì)量M、地球的運動周期T是已知量，地球到太陽的間距r為待求量，而G是常量。根據(jù)日地間的萬有引力

3 數(shù)學方法的具體運用

數(shù)學模型建立起來后，就要應(yīng)用數(shù)學方法來求解。高中物理學中的數(shù)學方法，是指運用數(shù)學工具分析及闡明物理理論、解決物理問題的方法。常見的數(shù)學方法有：三角函數(shù)法、圖象求解法、數(shù)學比例法、指數(shù)對數(shù)法、幾何圖形法、數(shù)學極值法、數(shù)列極限法、導數(shù)微元法等。在這里僅例舉三角函數(shù)法、數(shù)列極限法加以說明。

例1 質(zhì)量為m的物體放在地面上，它們間的滑動摩擦系數(shù)為μ，用力F斜向上拉物體，使物體在水平面上作勻速直線運動，求力與水平方向的夾角α為多大時最省力。

析與解 由于物體在水平面上做勻速直線運動，隨著α角的不同，物體與水平面間的彈力不同，因而滑動摩擦力也不一樣。而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等。以物體為研究對象，受力分析如圖1所示。因為物體處于平衡狀態(tài)，根據(jù)∑F=0得

4 數(shù)學的解與物理的解的統(tǒng)一

從實際問題提煉出數(shù)學模型后，必須根據(jù)問題的目標和條件，尋找切實可行的數(shù)學方法，求出數(shù)學的解。但獲得了數(shù)學的解，并不意味著解題工作的終結(jié)，還應(yīng)將它還原成物理的解，這種還原工作主要包括以下兩個方面：

4．1 解釋數(shù)學解的物理意義，并結(jié)合實際對數(shù)學解作出取舍

對數(shù)學的解應(yīng)該充分挖掘其內(nèi)含的物理意義，并給予解釋，以便自身得到認同和接受。如在運動學問題中求得的速度為負值，說明所求得的速度方向與原規(guī)定正方向相反。通過數(shù)學方程解得數(shù)學的解，有時往往不止一個，這些數(shù)學的解，有可能都具有物理意義，也可能并不是都具有物理意義，并不能全部都能在現(xiàn)實中客觀存在，或并不具有同等的地位和價值。這時，就需要結(jié)合物理實際進行討論，舍去不符合實際的解。

4．2 根據(jù)數(shù)學的解對解題過程作必要的修正

如果由建立的數(shù)學模型，應(yīng)用數(shù)學方法解出的數(shù)學的解都不符合物理實際意義，并不能只是簡單下個無解的結(jié)論，而是應(yīng)該對原數(shù)學模型作仔細的分析與反思，找到其潛在的問題，并對原數(shù)學模型進行修正。

例3 在平直公路上以20m/s勻速行駛的汽車，剎車后獲得8m/s2大小的加速度，問經(jīng)過5秒鐘，汽車發(fā)生的位移是多少?

錯解 根據(jù)勻變速直線運動的位移公式

討論 汽車剎車后，沒有向前移動，這是不可能的。為什么會出現(xiàn)這樣的結(jié)果呢?進一步分析可以發(fā)現(xiàn)，汽車從開始剎車到停止需要的時間

如果以t=2.5s代入上式求得s=50m才是正確的結(jié)果。

由此可見，求得數(shù)學的解后，再從物理的角度進行討論分析，把數(shù)學的解還原成符合實際的物理的解這一過程，是十分重要的，這也是解題過程中最容易疏漏的地方。

在物理教學過程中對學生進行數(shù)學建模思想和數(shù)學方法應(yīng)用的滲透，不僅可以使學生體會到物理并非只是一門以實驗為基礎(chǔ)的自然科學，而且還可以使學生感覺到利用數(shù)學的思想和方法能很好的解決一些物理實際問題。

參考文獻

［1］陳宗造，邵曉明．高中物理中的數(shù)學思想與方法［M］．北京：中國科學技術(shù)出版社，2005．2

［2］張憲魁．物理科學方法教育［M］．青島：青島海洋大學出版社，2000．3

［3］張遙．中學物理方法［N］．黑龍江：黑龍江科學技術(shù)出版社，2002．8

第7篇：常見的建立數(shù)學模型的方法范文

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學；數(shù)學建模；教學策略探究

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）17-139-01

數(shù)學教育是引導學生形成具有縝密邏輯性的思想方式。建立和解析數(shù)學模型能夠有效提高學生的數(shù)學學習熱情，降低數(shù)學學習的難度，使學生運用數(shù)學知識更加輕松自然。然而，在小學的數(shù)學教育內(nèi)容中，就已經(jīng)包含許多初級的數(shù)學模型。所以，在研究“數(shù)學建模”的過程中，教育界的學者們認為，小學的“數(shù)學建?！毙枰⒁馊齻€方面：小學“數(shù)學建?！钡囊饬x與目標；小學“數(shù)學建模”的定位；小學“數(shù)學建?！钡慕虒W演繹。

一、小學“數(shù)學建?！钡囊饬x與目標

1、小學“數(shù)學建?！钡囊饬x

小學的“數(shù)學建模”活動早已經(jīng)有學校展開研究。從目前研究資料來分析，小學數(shù)學建模是指：學生在教師設(shè)計的生活情景之中，通過一定的數(shù)學活動建立能夠解讀的數(shù)學模型并以此為學習數(shù)學的基本載體，進行學習相關(guān)的數(shù)學知識。

小學數(shù)學建模在建模目的、活動方式、背景知識三方面，與傳統(tǒng)數(shù)學模型存在較大差異。（1）建模目的方面：小學的數(shù)學建模目的是讓學生了解數(shù)學知識，通過數(shù)學模型掌握新吸收的數(shù)學知識和爭強對數(shù)學知識的正確應(yīng)用，使學生在潛移默化中形成數(shù)學思考能力。（2）活動方式方面：小學的數(shù)學建模是為了培養(yǎng)學生的學習數(shù)學興趣和更好掌握數(shù)學知識的教學方式，所以在教學活動方式上需要教師精心設(shè)計活動內(nèi)容，由教師引導逐漸參與和體會數(shù)學世界的豐富和與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。（3）知識背景方面：小學的數(shù)學建模，是在小學生毫無數(shù)學基礎(chǔ)的情況下進行構(gòu)建數(shù)學模型，所以在小學的數(shù)學建模中，需要簡單的數(shù)學知識，以此為學生的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)打下良好基礎(chǔ)。

通過上述三個方面的分析，小學“數(shù)學建?！钡囊饬x，在于通過數(shù)學教育方式的改進，引導小學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，提高小學生對數(shù)學知識的興趣，培養(yǎng)小學生數(shù)學思維能力和學習能力，為日后的數(shù)學學習打下結(jié)實基礎(chǔ)。

2、小學“數(shù)學建?！钡哪繕藢?/p>

小學的數(shù)學建模，其目標導向是培養(yǎng)小學生的建模意識。通過培養(yǎng)建模意識來提升數(shù)學思維能力，積累數(shù)學知識，提升數(shù)學素養(yǎng)。建模意識的培養(yǎng)需要通過挖掘教學內(nèi)容中蘊涵的建模元素，采用教師引導、學生尋找、以生活內(nèi)容加強記憶的方式，使學生掌握數(shù)學建模的過程和通過數(shù)學模型解決生活問題的能力，在不斷反復(fù)的學習和鍛煉中組建使學生提升數(shù)學建模的意識。

二、小學“數(shù)學建模”的定位

數(shù)學建模，是建立數(shù)學模型并且通過使用數(shù)學模型，解決生活中存在的數(shù)學問題，整體過程的簡稱。

如果通過大學或高中的教學視角審視數(shù)學建模，無疑會對學生日后學習和工作產(chǎn)生積極的影響。不過，從小學生的視角考慮數(shù)學建模，就需要特別注意建模的合理性定位，既不能失去數(shù)學建模的意義，又不能過于拔苗助長，導致教學效果的反向反彈。所以“數(shù)學建?！钡亩ㄎ灰m合小學生的生活經(jīng)驗和環(huán)境，同時適合小學生的思維模式。

1、定位于兒童的生活經(jīng)驗

在小學對小學生的數(shù)學教學過程中，提供學生探討研究的數(shù)學問題，其難易程度和復(fù)雜程度需要盡量貼近小學生的日常生活。在設(shè)計教學內(nèi)容的時候，需要多設(shè)計小學生常見的生活數(shù)學問題，使學生因為好奇心而對學習產(chǎn)生動力，通過思考探索，體會數(shù)學模型的存在。

同時，在教學的過程中需要循序漸進，隨著學生的年齡爭長，認知度的加強，生活關(guān)注內(nèi)容的變化，適時地增加數(shù)學問題的難度。在此過程中，既需要照顧學生們的學習差異性，又要尊重學生的學習興趣和個性。

2、定位于兒童的思維模式

小學生的思維模式比較簡單。在小學數(shù)學的建模過程中，需要根據(jù)學生的具體學習程度循序漸進，通過由簡入深的學習過程，讓學生具有充分的適應(yīng)過程。只有適應(yīng)學生思維模式的教學定位，才能使學生的數(shù)學意識得到提高，并且通過循序漸進的學習過程掌握運用數(shù)學模型解決實際問題的能力。

舉例：在小學二年級，關(guān)于認知乘法和除法的過程中，將時間、路程、速度引入教學場景之中。學生跟隨教師引導，逐漸發(fā)現(xiàn)時間與路程的關(guān)系，并且結(jié)合所學的數(shù)學知識，乘法與除法，找到了“一乘兩除”的數(shù)學原型。從而使學生通過“數(shù)量關(guān)系”中，認知到生活與數(shù)學的關(guān)系。

三、小學“數(shù)學建?！钡慕虒W演繹

小學“數(shù)學建?！钡慕虒W演繹，主要分析以下兩個方面。

1、在小學“數(shù)學建?！敝写龠M結(jié)構(gòu)性生長

因為小學生的邏輯思維能力還處于發(fā)展構(gòu)成階段，所以必須在數(shù)學建模教學過程中從學生的“邏輯結(jié)構(gòu)圖式”出發(fā)，充分考慮小學生的知識結(jié)構(gòu)和認知規(guī)律，通過整合實際問題，從數(shù)學問題角度為學生整合抽象的、具有清晰結(jié)構(gòu)認知性的，數(shù)學教育模型，從而使小學生能夠直接清晰地對數(shù)學模型擁有直觀深刻的認知。

2、在小學“數(shù)學建?！敝写龠M學生自主性建構(gòu)

在小學“數(shù)學建模”中教師需要引導和幫助學生，運用已學習的數(shù)學知識，構(gòu)建具有應(yīng)用性的數(shù)學模型。在教學過程中，教師需要對學生們習以為常的事物進行剖析，使事物露出具有吸引性的數(shù)學問題，通過激發(fā)學生的好奇心，引導學生探索生活中存在的數(shù)學問題，幫助學生發(fā)現(xiàn)生活中隱藏的數(shù)學問題和解決問題，最終促使學生能夠獨立自主地根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型。

小學數(shù)學的“數(shù)學建?！笔墙虒W方式中新的嘗試，它作為一種學習數(shù)學的方式、方法、策略和將生活與數(shù)學緊密聯(lián)系的紐帶，對引導學生更好的認識數(shù)學、學習數(shù)學、運用數(shù)學、具有十分積極的作用。小學生學習建模過程，實際就是鍛煉邏輯思維能力的過程，對學生日后學習學習知識和興趣愛好都有顯著的幫助。

參考文獻：

[1] 陳進春.基于數(shù)學建模視角的教學演繹[J].江蘇教育，2013（4）.

第8篇：常見的建立數(shù)學模型的方法范文

【關(guān)鍵詞】 機械 優(yōu)化設(shè)計 理論 方法

1 機械優(yōu)化設(shè)計理論概述

1.1 機械優(yōu)化設(shè)計的概念

機械優(yōu)化設(shè)計是指最優(yōu)化技術(shù)在機械設(shè)計領(lǐng)域的移植和應(yīng)用，是以最低成本獲得最高效益。其根據(jù)機械設(shè)計理論、方法與標準規(guī)范等建立能夠正確反映實際工程設(shè)計的數(shù)學模型，利用數(shù)學手段和計算機計算技術(shù)，在眾多的方法中快速找出最優(yōu)方案。機械優(yōu)化設(shè)計通過把機械問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，加以計算機輔助設(shè)計，優(yōu)選設(shè)計參數(shù)，在滿足眾多設(shè)計目的和約束條件的情況下，獲得最令人滿意、經(jīng)濟效益最高的方案。目前，機械優(yōu)化設(shè)計已成為解決機械設(shè)計問題的有效方法。

1.2 機械優(yōu)化設(shè)計研究的內(nèi)容

機械優(yōu)化設(shè)計主要研究的是其建模和求解兩部分內(nèi)容。 如何選擇設(shè)計變量、列出約束條件、確定目標函數(shù)。其中，設(shè)計變量是指在設(shè)計過程中經(jīng)過逐步調(diào)整，最后達到最優(yōu)值的獨立參數(shù)。設(shè)計變量的數(shù)目確定優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，維數(shù)越大，優(yōu)化設(shè)計工作越復(fù)雜，但效益越高，所以選取適當?shù)脑O(shè)計變量顯得尤為重要。約束條件即是對約束變量的限制條件，起著降低設(shè)計變量自由度的作用。目標函數(shù)即是指各個設(shè)計變量的函數(shù)表達式，工程中的優(yōu)化過程即是指找出目標函數(shù)的最小值（最大值）的過程。一般而言，目標函數(shù)的確定相對容易，但約束條件的選取顯得比較困難。

2 機械優(yōu)化設(shè)計的一般思路與常見方法

2.1 機械優(yōu)化設(shè)計的一般思路

2.1.1 分析問題，建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型

在機械優(yōu)化設(shè)計的過程中，首先需要通過對實際問題的分析，選取適當?shù)脑O(shè)計變量，確定優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件，從而建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型。

2.1.2 選擇優(yōu)化設(shè)計方法，編寫程序

在設(shè)計變量、約束條件和目標函數(shù)三大要素已經(jīng)確定，構(gòu)建好數(shù)學模型的情況下，編寫計算機語言程序。

2.1.3 分析結(jié)果，找到最優(yōu)方案

準備必須的初始化數(shù)據(jù)，通過計算機數(shù)值計算，對比計算結(jié)果，在眾多的設(shè)計方案中選擇最完善或者最適宜的設(shè)計方案，使其期望的經(jīng)濟指標達到最高。

2.2 機械優(yōu)化設(shè)計中的常見方法

2.2.1 傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計理論方法

傳統(tǒng)機械優(yōu)化設(shè)計方法的種類有很多，按求解方法的特點可分為準則優(yōu)化法、線性規(guī)劃法和非線性規(guī)劃法。準則優(yōu)化法是指不應(yīng)用數(shù)學極值原理而是采用力學、物理中的一些手段來謀求最優(yōu)解的方法。常見的準則優(yōu)化法有迭代法中的滿應(yīng)力準則法等，其主要特點是直接簡單效率高，缺點是只能處理簡單的工程問題。線性規(guī)劃法是指應(yīng)用數(shù)學極值原理，選取適當?shù)脑O(shè)計變量和約束條件，求解目標函數(shù)的一種方法。常見的有單純形法、序列線性規(guī)劃法。其優(yōu)點是通過把實際工程問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學極值問題的求解，使其直接、有效、精度系數(shù)高，缺點是工作量大。非線性規(guī)劃法同樣根據(jù)數(shù)學極值原理求最優(yōu)問題，可分為無約束直接法、無約束間接法。有約束直接法和有約束間接法。其優(yōu)點是應(yīng)用范圍廣，可應(yīng)用于大、中、小型工程問題，且都相對簡單方便、可靠性高、穩(wěn)定性強、精度高。

2.2.2 現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計理論方法

現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計方法不同于傳統(tǒng)優(yōu)化方法，其無需通過選取設(shè)計變量、約束條件、目標函數(shù)等因素，便可獲得全局最優(yōu)解，大大地減少了傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計方法花費的人力與財力，在日今復(fù)雜的工程問題中，提出了全新的思路與方法。常見的現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計方法有遺傳方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、模擬退火法、粒子群算法等。

3 機械優(yōu)化設(shè)計的現(xiàn)狀與前景

機械優(yōu)化設(shè)計是最優(yōu)化理論、電子計算機技術(shù)和機械工程相結(jié)合的一門學科，包括機械優(yōu)化設(shè)計、機械零部件優(yōu)化設(shè)計、機械結(jié)構(gòu)參數(shù)和形狀優(yōu)化設(shè)計等。二十世紀五十年代以前，用于解決最優(yōu)問題的數(shù)學方法僅限于古典的微分法與變分法，在處理現(xiàn)實問題時，計算量非常大。直到四十年代前后，大型線性規(guī)劃技術(shù)的提出，數(shù)學方法首次被運用到結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，使得計算過程不再復(fù)雜，有效的解決了數(shù)值最優(yōu)化計算。近年來，隨著數(shù)學規(guī)劃理論與計算機技術(shù)的飛速發(fā)展及廣泛應(yīng)用，許多新興優(yōu)化算法，如遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等相繼被提出，機械優(yōu)化設(shè)計廣泛地被應(yīng)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、航天航空等諸多領(lǐng)域并取得飛速發(fā)展。機械優(yōu)化設(shè)計具有廣闊的發(fā)展前景。

機械優(yōu)化設(shè)計給機械工程界帶來的巨大經(jīng)濟效益是顯而易見的，但其工程效應(yīng)比起預(yù)期遠遠小得多。歸結(jié)其原因，主要有以下兩點：（1）建模難度大。（2）最優(yōu)方法的選取難度大。

雖然有以上不足之處，但是機械優(yōu)化設(shè)計的發(fā)現(xiàn)前景仍是非常廣大的，且各領(lǐng)域也在積極做出相關(guān)的研究探索，并已取得一定的成就。

4 結(jié)語

機械優(yōu)化設(shè)計即是指從眾多設(shè)計方案中需找最優(yōu)方案的過程，一般包括建立數(shù)學模型、選擇優(yōu)化方法、分析計算結(jié)果選擇出最優(yōu)方案三個過程。根據(jù)不同的分類方式，機械優(yōu)化設(shè)計的方法有很多，從傳統(tǒng)角度，最常用到的有線性規(guī)則法中的序列線性規(guī)則法等等，由于現(xiàn)在各技術(shù)領(lǐng)域的發(fā)展以及工程問題對優(yōu)化設(shè)計的需求，衍生了很多與傳統(tǒng)方法原理完全不同的新興方法，最常見到的有遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等?？v觀幾十年來機械優(yōu)化設(shè)計的發(fā)展歷程，其發(fā)展是非常迅速且令人可喜的，雖然仍存在建模困難、優(yōu)化方法選取等等方面的一些挑戰(zhàn)，但是其前景仍舊是非常廣闊的。研究機械優(yōu)化設(shè)計的理論與方法無論是學術(shù)領(lǐng)域還是實際經(jīng)濟效益方面都具有研究意義。

參考文獻：

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第9篇：常見的建立數(shù)學模型的方法范文

【關(guān)鍵詞】新課改 數(shù)學模型 中學數(shù)學建模教學

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）02-0118-03

一 中學數(shù)學建模概述

1.數(shù)學模型的定義及分類

根據(jù)全國科學技術(shù)名詞審定委員會的審定公布，我們把數(shù)學模型定義為：數(shù)學模型是把對研究對象觀察到的一系列結(jié)果和實踐經(jīng)驗，總結(jié)成一套能反映其內(nèi)部因素數(shù)量關(guān)系的數(shù)學公式、邏輯準則和相關(guān)算法。這些公式、準則和算法是拿來描述和研究客觀現(xiàn)象的規(guī)律。

我們根據(jù)不同的分類方式，把數(shù)學模型分成很多種，常見的一些種類有：（1）數(shù)學模型根據(jù)模型應(yīng)用的領(lǐng)域不同，可以劃分為人口模型、交通模型、污染模型等。（2）數(shù)學模型根據(jù)建立模型的數(shù)學方法不同，可以劃分為數(shù)學模型、幾何模型、微分方程模型等。目前，我國大多數(shù)的教學用書中提到的數(shù)學建模的分類編排都是按照上面的標準來進行的。（3）數(shù)學模型根據(jù)表現(xiàn)特性的不同，考慮到數(shù)學模型中是否受到隨機變量的影響，把數(shù)學模型分為確定性模型和隨機性模型。進入21世紀以后，由于數(shù)學研究和數(shù)學模型在廣度和深度的不斷發(fā)展，近幾年來還出現(xiàn)了突變性模型和模糊性模型、靜態(tài)模型和動態(tài)模型、線性模型及非線性模型等。（4）根據(jù)數(shù)學模型建模目的的不同，分為描述模型、預(yù)報模型、優(yōu)化模型、控制模型等。

2.中學數(shù)學建模教學概述

數(shù)學建模教學主要是針對過去中學數(shù)學教育內(nèi)容過于抽象化，對數(shù)學知識和學生實際日常生活的聯(lián)系不緊密問題而提出的。數(shù)學建模要求學生對日常生活和社會中遇到的實際問題先進行抽象化，然后建立數(shù)學模型，最后求解得出最優(yōu)模型。即建模、解模的過程，如圖1所示。

圖1

二 中學數(shù)學建模教學

1.建模問題的合理性

考慮到中學階段學生的知識水平有限和中學數(shù)學的教學大綱規(guī)定，我們把中學數(shù)學建模教學的主要內(nèi)容進行恰當?shù)恼{(diào)整。首先，應(yīng)當適當縮小中學數(shù)學建模教學的選題范圍，通常我們考慮的是函數(shù)（構(gòu)建函數(shù)關(guān)系）、不等式組、數(shù)列、幾何和求最值等幾個方面。其次，在教學方法上也力求通過計算機技術(shù)輔助教學，增強其新穎性和趣味性。

2.中學數(shù)學建模教學常用的方法

第一，理論分析法。這是一種在中學數(shù)學建模教學中經(jīng)常用到的方法。它具體是指：（1）對所要建立模型的問題各種變量與常量進行分析和界定范圍；（2）運用我們已經(jīng)公認的，如數(shù)學、物理等學科中被普遍證明的原理、定理和推論，建立合理的數(shù)學模型；（3）利用數(shù)學理論推導問題的解決方法。

第二，模擬法。這是一種在現(xiàn)實中通過對模擬的數(shù)學模型進行反復(fù)試驗，從而達到解決問題的目的。構(gòu)建模擬的數(shù)學模型，就是要運用數(shù)學知識找到一種結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與建模問題主要結(jié)構(gòu)和性質(zhì)相同的模型。如報童賣報問題就可以用隨機模擬思想解決。

第三，函數(shù)擬合法。這是一種在處理離散型數(shù)據(jù)時使用最多的方法。（1）我們依據(jù)題目所給出的初始數(shù)據(jù)，在直角坐標系上描出相對應(yīng)的各個點；（2）依據(jù)各個點的分布情況，用圓滑的曲線描繪出大致圖形；（3）根據(jù)圖像大致擬合成相應(yīng)的直線或圓錐曲線，并通過相應(yīng)的關(guān)鍵點求解出此圖像的函數(shù)關(guān)系式，這就是所要建立起來的數(shù)學模型。如我們通過一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)擬合某個工廠產(chǎn)量、某件產(chǎn)品的銷量、人口增長率等，解決日常生產(chǎn)生活中的問題。

三 中學數(shù)學建模教學的教學方式

1.立足教材基本知識點，培養(yǎng)學生的趣味

由于我國的數(shù)學教材普遍存在知識理論性強，但缺乏在實際生活中的可運用性。很多學生甚至家長認為只要不是想成為數(shù)學家，離開校園工作后，數(shù)學僅僅拿來會上街買菜算賬就夠了。于是，大多數(shù)學生都是為了成績而學數(shù)學，根本不知道數(shù)學可以提高自己日后的管理能力和問題的解決能力。

在提倡素質(zhì)教育的今天，我們可以通過多種方式提高學生對數(shù)學問題的興趣。如改變設(shè)問方式、變換題設(shè)條件，把教材中出現(xiàn)的應(yīng)用問題拓寬成新的數(shù)學建模應(yīng)用問題。對于教材中的一些純理論數(shù)學問題，我們可以從科學性、現(xiàn)實性、新穎性、趣味性、可行性等原則出發(fā)，編制出一套有一定實際背景或應(yīng)用價值的數(shù)學建模問題。按照以上的方式組織教學活動，能大大地培養(yǎng)起學生對數(shù)學知識的應(yīng)用能力。

如在講授高中數(shù)學必修5第一章等比數(shù)列，等比數(shù)列求和公式及應(yīng)用這一節(jié)課時，教師向?qū)W生講述這樣一個實例。

教師：傳說在古代印度有這樣一個國王很喜歡下象棋。某天，一位棋藝很高超的棋手和國王對弈，國王得意洋洋地說：“如果你贏了我，你的任何要求我都會滿足。”經(jīng)過一番搏殺，國王輸了。棋手慢慢地說道：“陛下只需要派人用麥粒填滿象棋棋盤上的空格，第1格1粒，第2格2粒……以后每格是前一格粒數(shù)的2倍。”國王笑著說道：“這個獎勵太容易辦到了。”于是，他立即命令下面的官員辦理。過了數(shù)天，官員慌張地報告國王：“大事不好了，如果這樣下去，印度近幾十年生產(chǎn)的所有麥子加起來都還不夠。”

學生個個都露出了詫異的表情。通過這個例子，極大地調(diào)動了學生探究問題的積極性，紛紛在課堂上討論起來。老師抓住時機引導學生求1+2+4+…+271，即和學生一起推導出等比數(shù)列求和公式。學生計算出麥子的總粒數(shù)為272-1粒，這的確是一個相當大的數(shù)。

數(shù)學應(yīng)該是有趣的，也應(yīng)該是有用的，最后也必然是能有效解決實際問題的。

2.立足生活問題，強化學生的應(yīng)用意識

“學以致用”，應(yīng)用問題來源于日常生活中大大小小的事情，通過建立中學數(shù)學模型，我們可以解決現(xiàn)實生活中的很多問題。如解決上班族合理負擔出租車資、十字路口紅綠燈的設(shè)計、蟻族住房問題、鉛球投擲等問題。

如在木料加工廠，師傅們要把一根直徑為200mm的圓木加工成矩形截面的柱子，請問怎樣鋸才能使廢棄的木料最少？

思路分析：這是一個簡單的

生活實際問題，要從數(shù)學理論上

來解決。首先要把這個問題抽象

成一個純幾何問題。問題的核心

就是要使廢棄的木料最少。轉(zhuǎn)化

成數(shù)學語言就是使柱子的截面積

最大。這其實就是一個求最大值

問題。所以，問題就可抽象為求內(nèi)接于直徑為d的已知圓O的最大矩形面積（如圖2所示）。

考察圓木的橫截面可建立模型：設(shè)圓的直徑為d，這個圓的內(nèi)接矩形的面積為S，其中一條邊AB的長為x，而另一

條邊長為y，且y= ，問題轉(zhuǎn)化為求x為何值時，S

值最大。利用重要不等式或一元二次函數(shù)求得，當x= 時，

即d=100 ，廢料最少。

通過上面的例題，說明我們緊密聯(lián)系教材內(nèi)容，可以引導學生思考日常生活中的數(shù)學問題。在課堂教學中，這種方式不僅能加深基本知識的理解和運用，同時還會增強學生應(yīng)用數(shù)學的信心，讓中學生獲得必要的解決問題的能力。

3.立足社會熱點問題，介紹建模方法

隨著經(jīng)濟的發(fā)展，中學數(shù)學建模問題可以把國家發(fā)生的大事和熱點、市場經(jīng)濟中的利潤和成本、個人的儲蓄和消費、公司的投標計劃等作為材料。我們可以對這些材料進行篩選，找到與教材的合理切入點，把材料融入到課堂教學活動中。生動有趣的問題不僅可以激發(fā)學生建立模型的靈感和樹立正確的價值觀，還可以為日后積極主動地運用數(shù)學建模思維提供能力上的準備。

如1998年7月26日，廣州至重慶高速公路廣安段指揮中心接到電話預(yù)報，24小時后將有一場百年一遇的大暴雨。為了保證高速公路無險情，指揮中心決定在23小時內(nèi)筑好一道防洪堤壩。這道堤壩可以用來防止正在施工的華鎣山隧道主體工程遭到山洪的損毀。經(jīng)過防洪專家估算，這道堤壩的建造任務(wù)除了需要現(xiàn)有人員全體參戰(zhàn)外，還要調(diào)來20輛大型翻斗車同時工作23小時。由于事出突然，只有一輛車可以立即投入使用，其余的翻斗車必須從重慶各地緊急調(diào)來。經(jīng)過協(xié)調(diào)，每20分鐘能有一輛翻斗車到達工地施工。已知指揮中心最多可以調(diào)來26輛翻斗車到工地，請問23小時內(nèi)能不能完成建好防洪堤壩的任務(wù)？并說明理由。

第一步：弄清題意。必須讀懂題意，知道整道題說的是怎樣一個問題。

第二步：聯(lián)系知識點。學生需要把問題情景中的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學的符號語言，然后用數(shù)學公式最好是函數(shù)表達式來確定數(shù)量關(guān)系。同時，還要根據(jù)這道題的題眼來明確所涉及的知識點。

第三步：建好數(shù)學模型。首先，在明確好了自變量和因變量的關(guān)系后，學生對已有的數(shù)學理論知識進行分析和歸納，構(gòu)建起問題相對應(yīng)的數(shù)學模型，從而完成生活實際問題向數(shù)學關(guān)系表達式的轉(zhuǎn)化。其次，在答題過程中需要嚴謹?shù)乃季S過程和比較扎實的計算能力。這樣，才能又快又準地解決問題。

于是我們有了這樣的答題思路：首先，弄清題意。通過讀懂題意和深刻理解題意兩個方面，后者把“問題情景”轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言。于是，學生找到目標函數(shù)與約束條件的主要關(guān)系：翻斗車的工程量之和要大于或者等于要完成的工程總量20×23（車每小時）。其次，建立模型。把要完成防洪堤壩的主要關(guān)系模擬化、抽象成數(shù)學函數(shù)或不等式。即假設(shè)從第一輛翻斗車開始施工算起，各輛翻斗車的工作時間分別為a1，a2，……a25，a26小時，由題意可得，這些數(shù)組成一個公差為d=-1/12（小時）的等差數(shù)列，且a≤23。最后，求解最優(yōu)值。把完成堤壩修筑任務(wù)轉(zhuǎn)化為一般的等差數(shù)列求和問題，根據(jù)不等式來確定答案范圍。

本例題是我們在高一下學期學習了等差數(shù)列求和公式和不等式知識后，結(jié)合正在修建的廣渝高速公路重點工程和1998年的抗洪斗爭背景編寫的。這個例子不僅能使學生體會到數(shù)學建構(gòu)思維，也讓學生受到德育的熏陶，展示了數(shù)學在中學生社會化方面的影響。

4.立足實踐，培養(yǎng)應(yīng)用意識和建模能力

如隨著經(jīng)濟的發(fā)展，某人也想提高自己的生活居住水平。日前，他想在廣安市城里購買一套商品房，價格為38萬元，首次付款10萬元后，其余的款額20年按月分期付款，月利率為0.39%（公積金利率）。他希望到中國農(nóng)業(yè)銀行去了解一下，如果他辦理商業(yè)性個人住房貸款（月利率為0.62%），請你幫他算算每月應(yīng)付款多少元？用上面兩種方法算算20年總共還了多少錢？（方法省略）

中華文化博大精深，游戲中也有豐富的素材，如魔方、九連環(huán)、優(yōu)化骰子等，教師還可以結(jié)合教材內(nèi)容提出新的游戲規(guī)則，讓學生在做游戲的過程中學到知識、學會方法和理解數(shù)學思想，從中引導學生構(gòu)建數(shù)學模型。由此可見，豐富的游戲?qū)η嗌倌陻?shù)學潛力的開發(fā)影響很大。

進入21世紀以后，新課改的一個重要目標就是要在教學中不斷加強綜合性、應(yīng)用性內(nèi)容，重視聯(lián)系學生的生活實際和社會實踐，突出理論與知識相結(jié)合，引導學生關(guān)心社會，關(guān)心未來。因此，在教學中重視和加強數(shù)學建模的教學和應(yīng)用尤為重要，是數(shù)學教學的突破口和出發(fā)點。

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