有理數(shù)的乘法教學案例精選(九篇)

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第1篇：有理數(shù)的乘法教學案例范文

關(guān)鍵詞：過程生成；基克問題解決模式；有理系數(shù)多項式；可約性；教學設(shè)計

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）05-015-03

培養(yǎng)學生的問題解決能力，已是各國教育改革中倍受關(guān)注的問題，然而我國的實際教學卻不盡如人意，尤其是高等數(shù)學課堂，大都沉浸在“定義性質(zhì)定理例題”的注入教學中，無益于數(shù)學素質(zhì)的提高與創(chuàng)造型人才的培養(yǎng)。為何如此？一是遺傳多年的傳統(tǒng)觀念的冥頑不化，二是教育研究重理論而不重實踐。筆者倡導“過程生成”教學理念，本文給出基于“過程生成”理念的基克問題解決模式教學設(shè)計實例。

一、過程生成理念

基于過程哲學思想，參照基礎(chǔ)教育新課改的三維目標，筆者提出“過程生成”教學理念：

教學是動態(tài)的知識生成過程。該過程始于某種背景，在思想、情操的層層支配下，激發(fā)對學習目標的步步追求，從而誘導已有知識、技能、方法的循循攝入，形成流變與合生：在流變中創(chuàng)造新知識、練就新技能、獲得新方法、增長新智慧、形成價值觀、積聚創(chuàng)造能量。

過程生成不是過程與生成的簡單疊加，而是強調(diào)在過程中生成(因為對教學而言，有教學過程未必有生成，有生成未必有良好的過程),其中過程是基礎(chǔ)，生成是創(chuàng)造，二者缺一不可，相輔相成。

過程生成教學以過程哲學為世界觀，以意會哲學為認知論，以知識在過程中生成為基本策略，以動態(tài)性、整體性、連續(xù)性、攝入性、生成性為基本原則。

二、基克問題解決模式

20世紀初以來，人們對問題解決及其相關(guān)思維技能作了大量的研究，尤其是自皮業(yè)杰的認知理論面世和認知心理學產(chǎn)生以后，人們更熱衷于從認知的角度來解釋人類解決問題的過程，更真實地描述了人類解決問題的動態(tài)過程，基克問題解決模式(圖1所示)就是其中之一。

三、基于“過程生成”理念的基克問題解決教學模式

遵循“過程生成”理念，參照基克問題解決模式，提出基于“過程生成”理念的基克問題解決教學模式如下：

1、提出問題

2、理解表征問題

找出相關(guān)信息，忽略無關(guān)細節(jié)，分析詞句含義，理解表征問題。許多問題中，運用圖形表征可能更有助于理解整個問題。在理解表征問題過程中，若問題的解析與頭腦中已有的的解題系統(tǒng)產(chǎn)生某種匹配(即“圖式激活”)，則直接進入嘗試解答階段，否則需要尋求解答的路線。

3、尋求解答路線

尋求解答路線的一般方法可能有算法式和啟發(fā)式，常用的啟發(fā)式有目的分析法、逆向反推法、爬山法、類比思維法等。如果尋求失敗即退回到№2。

4、嘗試解決方案

亦即是執(zhí)行解答計劃，此時要保證每一個步驟的正確。

5、評價總結(jié)

當完成某個解決方案后，要對結(jié)果進行評價總結(jié)。如果成功且滿意就停止，那么就要對求解過程予以完善且建構(gòu)；否則就退回到前面幾個階段，重新求解。

需要注意的是，如此分步只是一種表述形式，實際的問題解決過程并非為如此線性，可能是跳來跳去的、跨步的。

基于“過程生成”理念的基克問題解決教學重在體現(xiàn)具有動態(tài)性、整體性、連續(xù)性、攝入性和生成性的問題解決過程。

四、案例設(shè)計

在高等代數(shù)教材或教學中，關(guān)于有理系數(shù)多項式的可約性都是直接定義本原多項式，直接給出高斯引理，直接給出愛森斯坦判別法，無益于數(shù)學素質(zhì)和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。本文使用基于“過程生成”理念的基克問題解決模式，給出有理系數(shù)多項式的可約性問題的教學設(shè)計，意在拋磚引玉，達到棄絕注入式教學模式的目的。

1、問題提出

我們知道，在上只有一次多項式不可約多項式，在上只有一次或二次不可約多項式，但在上卻有任意次不可約多項式．那么就存在問題：如何判斷有理系數(shù)多項式在上的可約性？

2、理解和表征問題

（1）分析聯(lián)想：激活基本圖式

有理數(shù)，即整數(shù)之比，聯(lián)想到解分式方程去分母，頓悟出：有理系數(shù)整系數(shù)。如，顯然與在上有相同的可約性，此例具有一般性。于是有理系數(shù)多項式在上可約性的研究可歸結(jié)為整系數(shù)多項式在上的可約性來研究。

（2）奇思異想：初擬求解路線

設(shè)，討論的可約性。因為整系數(shù)容易處理，并且“在上可約在上也可約”，所以如果能證明“在上可約在上可約”，那么有理系數(shù)多項式在有理數(shù)域上可約性問題即可以轉(zhuǎn)化為整系數(shù)多項式在整數(shù)環(huán)上來研究，倘若如此豈不快哉！因此我們大膽地確定問題解決路線：

嘗試證明以上“期望”：在上可約在上可約；

當“期望”成立時，尋求整系數(shù)多項式在整數(shù)環(huán)上可約性的判別方法。

3、尋求解答

探究：設(shè)且在上可約，為簡明起見，簡寫為，探究過程見圖2。

圖2說明：只要證明的系數(shù)互素，我們的期望就能夠?qū)崿F(xiàn)。注意到，其中是系數(shù)的最大公因數(shù)，所以的系數(shù)互素。于是所要證明的問題即是“由、的系數(shù)互素推出的系數(shù)互素。為了表述方便，稱系數(shù)互素的整系數(shù)多項式為“本原多項式”。這樣所證問題即可表為：

猜想I：本原多項式的乘積是本原多項式。

4、嘗試解決方案

（1）試證猜想I

設(shè)、都是本原多項式，且，，要證是本原多項式，即需證明。但因為的系數(shù)是抽象的而無法直接推演，故考慮反證法。

假如，為爭取更好的可用條件，取的素因子而代替。分析已知條件與的關(guān)系：因為、都是本原多項式，所以的系數(shù)中存在著不能被整除的數(shù)，的系數(shù)中也存在著不能被整除的數(shù)，于是應(yīng)抓住這些不能被整除的系數(shù)來“做文章”。不過因為或者中不能被整除的系數(shù)并不確定，所以如何“抓”就成了問題。然而“槍打出頭鳥”卻隱喻著深刻的數(shù)學哲理：第一個、最大的、最小的等等都是很好的數(shù)學方法！所以不妨設(shè)、…、但，、…、但，依此假設(shè)及素數(shù)的性質(zhì)即可推得，獲得矛盾，所以猜想成立，亦即是得到了高斯引理。

至此我們得到結(jié)論“若，則在上可約在上可約”。于是可進入。

第2篇：有理數(shù)的乘法教學案例范文

一、精心設(shè)計教學，充分暴露過程

教師要設(shè)計出科學、清晰的教學思路，暴露出數(shù)學家、教材編寫者、教師、學生的思維過程。教學思路不等于教師的思路，也不等于學生和教材的思路，更不等于數(shù)學家的思路，而是在協(xié)調(diào)上述4個思維過程（思路）相互關(guān)系上形成的一條以學生思維為核心、教與學協(xié)同發(fā)展的整體思路，這樣才能真正做到以思維過程為中心來組織教學。例如數(shù)學概念是整個數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，是構(gòu)成數(shù)學知識體系的“細胞”。現(xiàn)行九年義務(wù)教學教材中許多內(nèi)容都簡化了概念的提出過程，省略了暴露概念提出的豐富知識背景及發(fā)展、探索過程，而這些概念是如何抽象、概括的，解決問題的方法是如何構(gòu)想的，學生都甚感茫然。因此教師不應(yīng)急于把概念全盤托出、一言了之，而應(yīng)精心探究，重新組織教學內(nèi)容，設(shè)計合理而完美的教學流程，展現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)展過程，充分暴露知識的背景，為學生創(chuàng)設(shè)問題情景，以順應(yīng)學生的心理需求和思維發(fā)展規(guī)律。例如在教學有理數(shù)乘方概念時，可通過設(shè)計環(huán)環(huán)相扣的提問，引入概念：（1）棱長是5厘米的正方體的體積如何表示?（2）4個負6相乘，用式子如何表示?4個字母a相乘呢?（3）上述幾個式子都是什么運算?（4）乘法運算的結(jié)果是什么?（5）上述各式的因數(shù)有何關(guān)系?（6）提出乘方概念。然后安排一些坡度適宜的題以使學生初步形成乘方概念。這樣的概念教學不僅能充分暴露問題的提出、發(fā)展過程，而且能使學生在整個過程中始終處于積極的思維狀態(tài)，達到思有源泉、思有方向、思有順序、思有所獲。

總之，講解概念要求構(gòu)建情境，提供素材，揭示概念的形成過程；講解定理（公式）要求模擬定理（公式）的發(fā)現(xiàn)過程；例題、習題的教學要求探索變式，拓廣成果，對解題思路進行內(nèi)化、深化探索，總結(jié)升華，也就是說，應(yīng)注意數(shù)學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發(fā)展過程，解題思路的探索過程，解題方法和規(guī)律的概括過程，使學生在這些“過程”中展開思維，發(fā)展能力。

二、反思學生所想，倒攝暴露思維

學生解題往往只注重結(jié)論的正確與否，而很少關(guān)注這個結(jié)論的思維過程，并從中總結(jié)經(jīng)驗，深化知識。因此，教師看到學生的正確答案時，不能就此滿足，而應(yīng)該啟發(fā)如何發(fā)現(xiàn)、選擇與調(diào)控解題思路，引導學生（根據(jù)需要和可能）去反思思維過程，倒攝結(jié)論的形成路線，達到暴露思維的目的。例如在一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系應(yīng)用的一節(jié)習題課教學中，我叫一名學生板演習題：已知兩數(shù)a、b滿足ab≠1，且2a+8a+3=0，3b+8b+2=0，則有=（）。這個學生觀察片刻，便添上了正確答案1.5。如此神速，令一些同學目瞪口呆。我抓住契機，誘導學生自我倒攝思維過程，既優(yōu)化了該生自身的思維品質(zhì)，又啟迪了其他學生的思維。

計算是七年級數(shù)學的教學重點也是難點，如何把握這一重點，突破這一難點呢?例如在上完有關(guān)冪的性質(zhì)后，進入下一階段――單項式的乘除法時，我設(shè)計了如下兩個例題：

（1）請分別指出（-2）×2，-2×2，-2-2，2-2的意義。

（2）請判斷下列各式：

①a+a=a

②a÷a=a=a

③-ag（-a）=（-a）+2=-a

④（-a）÷a=0

⑤（a-2）?a=a+3+1=a

解后我便引導學生進行回顧小結(jié)：（1）計算常出現(xiàn)哪些錯誤?（2）出現(xiàn)這些錯誤的原因有哪些?（3）怎樣克服這些錯誤呢?同學們各抒己見，針對各種“病因”開出了有效的“方子”。實踐證明，這樣的例題教學是成功的，學生在計算的準確率、計算的速度兩方面都有了極大的提高。

三、實施小題大做，顯微暴露思維

數(shù)學中的許多細小部分往往蘊涵著十分豐富的思想內(nèi)含，存在著很大的訓練價值。在這些地方教師要善于化隱為顯，“小題大做”，挖掘其精髓，促使學生在顯微中充分暴露思維過程，發(fā)揮其應(yīng)有的潛在功能。這樣不僅能活躍學生思維，拓寬思路，而且能激發(fā)學生的求知欲望，培養(yǎng)探索能力，長期堅持下去，形成良性循環(huán)，十分有利于學生智力的發(fā)展和數(shù)學能力的提高。例如絕對值概念：

|a|=a（a>0）0（a=0）-a（a

教師教會學生這一代數(shù)定義固然重要，但更重要的是引導學生清晰地領(lǐng)會利用分類思想解決問題的方法。所以在講授時應(yīng)采用慢鏡頭式的思維剖析，暴露分類思想的思維過程，為后面的廣泛應(yīng)用奠定堅實的基礎(chǔ)。

例如學生在解“ax+b＝cx+d”類型的一元一次方程時，很容易在符號上出錯，從而導致答案的錯誤。教師可以對學生進行“小題大做”，顯微暴露。

解方程6x-7=4x-5，學生板練如下：

解：6x+4x=7-5 10x=2 x=0.2 （1）

我在教學過程中并沒有隨口問：“同學們，這個同學做得對嗎？”而是問：“同學們，還有其它不同的解答嗎？”學生陷入了沉思，經(jīng)過演算，又有許多同學舉手了，其他解答如下：

解：6x-4x=-5-7 2x=-12x=-6 （2）

解：6x-4x=-5+72x=2 x=1（3）

“那么這個一元一次方程到底還有沒有其它的解呢？如果有的話，一共有多少個解呢？”

討論結(jié)果是：這個一元一次方程的解只有一個，解法（3）才是正確的。

學生在學習一元一次方程“ax+b=cx+d”的解法時，逐步體會到了化歸思想（使方程逐步轉(zhuǎn)化為“x＝a”形式），而在這個過程中出現(xiàn)各種錯誤（主要是忽略了方程的項是連同前面的符號）是學生（特別是基礎(chǔ)不夠扎實的同學）的共性，我根據(jù)其數(shù)學思維過程的呈現(xiàn)，引導他們積極探索，使他們經(jīng)歷了“觀察、實驗、比較、歸納、猜想、推理、反思”等理性思維活動的基本過程，優(yōu)化了學生的思維品質(zhì)，提高了數(shù)學思維能力，培養(yǎng)了創(chuàng)新精神和實踐能力。

我曾經(jīng)聽過《多邊形的內(nèi)角和》的教學的一堂優(yōu)質(zhì)課：執(zhí)教老師這樣安排學生探究，逐步暴露學生的思維過程，讓學生在過程學習中掌握數(shù)學思想方法：

探索一：老師拿出一張四邊形紙片，請同學們回答這四邊形的內(nèi)角和為多少度？

學生用多種方法得出結(jié)果：1.直接量出每個內(nèi)角度數(shù)，然后相加；2.把四邊形分成三角形，計算內(nèi)角和；3.利用已經(jīng)知道的結(jié)果；……

引導學生思考：在方法2中有幾種不同的分法？

探索二：再拿出一張五邊形紙片，要求學生用分割成三角形的方法，求五邊形的內(nèi)角和。如果是六邊形、七邊形呢？

當學生經(jīng)歷、體驗了不同的探索方案后，再引導學生思考：從剛才的探究中，你又發(fā)現(xiàn)了什么？你是怎么推導出來的？這種思考方法對自己今后學習有什么啟發(fā)？

通過親身體驗、反思，學生獲得了一種重要的數(shù)學思想方法，學會了從多角度去思考體會探索的方法、策略，并在探究中不斷地展現(xiàn)自己的思維過程，加強了數(shù)學知識和能力的相互溝通，提高了問題解決的能力。

四、了解學生難惑，鋪墊暴露思維

數(shù)學解題過程是思維的過程，解題方法的優(yōu)劣、速度的快慢都取決于思維能力的高低。而思維的提高與發(fā)展又依賴于解題過程中所創(chuàng)設(shè)的問題情景，所以解題訓練是培養(yǎng)思維能力的良田沃土。一般來說，綜合性能愈強，知識跨度愈大的數(shù)學題，要求解題的思維層次愈高、方法的技巧性愈熟練，學生就愈難以理解，思維的訓練價值愈大。這就要求教師精心設(shè)計，作必要的鋪墊，以減少坡度，順利地從未知引渡到已知。這種鋪墊引渡，實質(zhì)上就是把架橋鋪路的思維過程暴露出來，化作切實可行的小步子。例如學過二次函數(shù)的頂點式內(nèi)容之后，讓學生解答這樣一道題目：（如圖1）在一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米，設(shè)籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米，問此球能否投中？

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學生紛紛建立平面直角坐標系（如圖2），點（4，4）是圖中這段拋物線的頂點，由頂點式解得這段拋物線對應(yīng)的函數(shù)為：y=-（x-4）+4（0≤x≤8）

當x=8時，y=

籃圈中心距離地面3米

此球不能投中

個別學生運用拋物線的對稱性，觀察出該拋物線經(jīng)過了（8，）點，得出了同樣的結(jié)論。

學生一般做完題就萬事大吉，很少有人能夠深入地反思，因此錯過了研究探索的契機。我不失時機地發(fā)揮指導作用，引導學生思索。

師：若假設(shè)出手的角度和力度都不變，則如何才能使此球命中?

生：跳得高一點；向前平移一點。

師：在出手角度和力度都不變的情況下，小明的出手高度為多少時能將籃球投入籃圈?（如圖3）

師：在出手角度、力度及高度都不變的情況下，則小明朝著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃，也能將籃球投入籃圈？（如圖4）

這是一個以學生日常生活為背景，適合初中學生探究的問題，學生可以初步學會從數(shù)學角度去解決實際問題，掌握數(shù)學的思維方法，將探究、創(chuàng)新活動貫穿于課堂教學，使學生的學習由被動灌裝變?yōu)橹鲃拥奶剿?，學生的自主性、能動性和創(chuàng)造性得到培養(yǎng)?？梢婁亯|思維暴露，實質(zhì)是給學生架設(shè)“梯子”，促使學生思維躍上“臺階”。

五、開展誘錯悟誤，糾繆暴露思維

在學習活動中，學生的思維錯失和思維定勢偏差往往帶有很強的主觀性，常又具有普遍性。抓住它作剖析治理，有較大的訓練價值?！吨行W數(shù)學》初中（教師）版2004年第5期刊登了這樣的教學案例：一位初一的老師在講完負負得正的規(guī)則后，出了這樣一道題：“3×（-4）=?”A學生的答案是“9”。老師一看：“錯了!”于是馬上請B同學回答，這位同學的答案是“12”，老師便請他講一講算法：……下課后聽課的老師對給出錯誤的答案的學生進行訪談，那位學生說：站在-3這個點上，因為乘以“一”，所以要沿著數(shù)軸向相反方向移動四次，每次移三格，故答案為9。他的答案的確錯了，怎么錯的?為什么會有這樣的想法?又怎樣糾正呢?如果我們的例題教學能抓住這一契機，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視。因此，教師有時還應(yīng)有必要采用多種手段如相似因素的遷移、思維定勢的誘導、特殊條件的遺漏、應(yīng)具條件的欠缺、沖動心態(tài)的干擾、終極目標的誘惑等巧妙設(shè)置某種誘誤情境，讓學生充分暴露病源，然后引導他們進行自我治療，從“陷阱”中掙扎出來，走出誤區(qū)，吃塹長智。但是學生在學習中的謬誤，有時比較隱蔽，隱藏于深層次中，不充分暴露思維過程，就治不到“點”子上，挖不到“根”子上。教師在為學生糾繆救失時，要重視思維過程的展現(xiàn)，以便從深層次上作診斷和矯治。例如：已知等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則頂角等于?搖?搖?搖?搖。學生往往錯解為30°，錯誤的原因就是學生沒有認真理解“三角形的高”這個知識點。他們認為“三角形的高”都在三角形內(nèi)部。學生通過反思、討論，知道鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，從而得到另一解為150°。通過反思，學生們發(fā)現(xiàn)本題的錯誤在于對圖形的分類不全面造成漏解。

總之，面對學生的失誤，老師不要過早地點明，而應(yīng)在暴露學生思維失誤的過程中，讓學生自我發(fā)現(xiàn)，并在老師的正確思維的積極引導下自我糾偏。同時，在糾繆過程中彌補學生的知識缺陷和思維缺陷，更有力地促進思維日益縝密。

六、言盡但是意存，延伸暴露思維

教師指導學生解題，常有這種現(xiàn)象，題目解完了，但學生的思維過程并沒有就此結(jié)束，正在向縱深拓進，可謂“言盡意存”。教師若能有效地抓住這個理想的思維機會，把延伸的思維過程揭示出來，也是很有訓練價值的。譬如，解后審視解題過程，評價原認識過程、檢查解題過程是否準確，討論或論證是否嚴密，方法是否恰當，有沒有更簡潔更高明的方法，對所得到的結(jié)果能否進一步引申推廣，能否總結(jié)出規(guī)律來，等等。例如：已知一元二次方程ax+bx+c=0，兩實根的平方和為m，兩實根的和為n，試求am+bm+2c的值。對于此題，很多學生在練習時，沒有清晰的思路；有些學生考慮了根與系數(shù)的關(guān)系，雖然能解出此題，但過程較為繁瑣。于是我在點評時，鼓勵大家反思題目已知及所求目標的特征，比較所求目標am+bm+2c與方程ax+bx+c=0，就會發(fā)現(xiàn)它們中a、b、c出現(xiàn)的順序完全一致，只是目標中c的系數(shù)為2，方程中c的系數(shù)為1，而從1到2的最簡單的方法就是加法。經(jīng)過如此反思、探索，基礎(chǔ)較好的學生馬上頓悟：為什么不利用方程根的定義來解決這一問題呢？于是得到了簡捷的求法。

通過對解題思維的反思，學生重新審查題意，更正確、完整、深刻地理解了題目的條件和結(jié)論，激活了思維，開闊了思路，使思維的靈活性在變換和化歸的訓練中得到了培養(yǎng)和發(fā)展。

綜上所述，通過延伸思維引導學生自我總結(jié)和領(lǐng)悟解題中的數(shù)學思維與數(shù)學方法，積累對數(shù)學知識聯(lián)系的整體感知，這對于培養(yǎng)學生思維的評價能力、發(fā)散能力、創(chuàng)造能力，提高學生的數(shù)學素質(zhì)大有裨益。過程教學是很精彩的，但必須是科學的、合理的、自然的，否則，過程教學就只是花架子，起不到任何培養(yǎng)學生思維能力的作用。

參考文獻：

［1］張乃達.思維的基本結(jié)構(gòu)與發(fā)現(xiàn)法教學［J］.數(shù)學通報，2004，（2）.

［2］涂榮豹.談提高對數(shù)學教學的認識［J］.中學數(shù)學教學參考，2006，（1-2）.