分形理論下時間序列音樂識別探析

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摘要:將分形理論和時間序列(混沌序)運(yùn)用與音樂信號識別，為音樂領(lǐng)域的智能發(fā)展提供實驗依據(jù)．首先對分形理論進(jìn)行質(zhì)性分析，并且提出關(guān)聯(lián)維數(shù)算法，判斷音樂分形程度．接著提出音樂中混沌現(xiàn)象的特征．最后進(jìn)行實際音樂的實驗分析，以鋼琴曲目《致愛麗絲》、流行音樂《Disco-theque》和哀樂為例，對3種曲目進(jìn)行材料性質(zhì)分析，分析不同曲目的Lyapunov指數(shù)(判斷時間序列)和關(guān)聯(lián)維數(shù)(判斷分形程度)．結(jié)果表明:3種曲目在不同階數(shù)下的關(guān)聯(lián)維數(shù)基本沒有改變，說明不同曲目信號內(nèi)的分形程度具有穩(wěn)定性．

關(guān)鍵詞:分形理論;時間序列;音樂;Lyapunov指數(shù);關(guān)聯(lián)維數(shù)

音樂存在于人們生活中的各個地方，人們可以用音樂表達(dá)內(nèi)心的情感，同時也可以用音樂進(jìn)行人與人之間的溝通交流［1］．音樂以及其它語言類學(xué)科，都屬于具有顯著代表性的認(rèn)知模式．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對于音樂的研究不僅僅局限于對音樂的欣賞和分類，更多則是傾向與音樂信號的識別，當(dāng)前關(guān)于音樂信號識別的研究包括很多方向，如音樂搜索查詢、音樂生理學(xué)和自動生成曲目等［2］．音樂信號的識別不僅可以運(yùn)用于心理學(xué)和生理學(xué)［3］，也可以運(yùn)用于音樂數(shù)據(jù)庫的搜索查詢以及自動作曲．互聯(lián)網(wǎng)信息時代的飛速發(fā)展，音樂信號的信息量非常大，音樂的搜索和數(shù)據(jù)信息的分類非常復(fù)雜且困難，要對音樂搜索系統(tǒng)進(jìn)行智能化升級和高效管理，就需要對音樂信號的特征進(jìn)行研究，從而對音樂進(jìn)行正確的分類［4］．當(dāng)前比較通用的歌曲檢索方式就是在網(wǎng)站內(nèi)輸入歌曲的名字或者歌詞的內(nèi)容，但是在實際情況中，人們總是會忘記歌曲的名字或者歌詞，但是不會忘記曲目的旋律，因此在該種情形下就要對自己能哼出的音樂旋律進(jìn)行特征分析，從而得到信號特征進(jìn)而在系統(tǒng)庫內(nèi)進(jìn)行目標(biāo)匹配．基于此，本研究基于分形理論和混沌特性，分析不同音樂曲目的Lyapunov指數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)，從而判斷不同音樂信號的時間序列特征和分形程度，為音樂信號識別的智能化發(fā)展提供現(xiàn)實依據(jù)．

1分形理論

1.1分形理論的質(zhì)性分析

分形指的是在規(guī)定的意義下部分與整體自相似的部分［5］．而在相關(guān)文獻(xiàn)中定義“分形”屬于M維空間內(nèi)的某個點(diǎn)集的集合，在不一樣的方向上含有自相似性，而且含有一個不完整位數(shù)(小于M)［6］．也有學(xué)者表明“自相似性”跟“分形”的結(jié)構(gòu)相似，指的是整體同部分的相似之處，在直觀方向存在一種構(gòu)造圖，前后2部分僅僅是標(biāo)度不一樣，其余部分的構(gòu)造方式都相同．觀察的部位不管是近處還是遠(yuǎn)處，得到的結(jié)果都一致，學(xué)者們就把這種圖稱作含有自相似的框架．如果在改變圖形的尺寸過程中，其余部分的結(jié)構(gòu)并沒有改變，此時該圖形就叫做分形［7］．整體上來說，分形的特性包含3個部分:部分和整體具有相似特質(zhì)、構(gòu)造細(xì)致和非整數(shù)性(關(guān)聯(lián)維數(shù))．音樂則可以在空間序列上產(chǎn)生整體同部分的自相似性，而且逐漸地發(fā)展成為細(xì)致精確的結(jié)構(gòu)，該種含有自相似性構(gòu)造的現(xiàn)象就叫音樂分形．關(guān)聯(lián)維數(shù)算法把一維序列中的數(shù)據(jù)組合成為相空間內(nèi)的n維向量a=(a1，a2，…，An)，把向量往后挪動h(h為整數(shù)而且是取樣間隔)，從而形成n維空間內(nèi)的不同向量a'=(a1，a2，…，An+h)［8］．根據(jù)穩(wěn)定的間隔h向右依次挪動就能夠獲得相空間內(nèi)的點(diǎn)集合{ax}x=1，2，…，K，而集合內(nèi)點(diǎn)的個數(shù)可以由K=k－h(huán)+1計算得來．于點(diǎn)集合內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn)當(dāng)作參考點(diǎn)，以這個點(diǎn)為中心畫圓(半徑為r)，再統(tǒng)計該圓內(nèi)除了中心點(diǎn)以外點(diǎn)集合內(nèi)的其他點(diǎn)數(shù)，從而獲得關(guān)聯(lián)函數(shù)F，如下式所示:F=1K2∑x≠yGr－Ax－A()y．(1)其中G代表Heaviside函數(shù)．如果K趨近于無窮大，那么關(guān)聯(lián)函數(shù)W是集合內(nèi)點(diǎn)間距離的概率函數(shù)，設(shè)此時吸引子伸展量的最大值為D，此時W的表示公式為:W=r()DL2(n，r)，r≤D．(2)其中，L2(n，r)屬于根n和r相關(guān)的常數(shù)，L2屬于關(guān)聯(lián)函數(shù)曲線的斜率．如果r1和r2之間的相對距離非常小，則L2(n，r)的計算方法如下式所示:L2(n，r)=dlnDdlnr．(3)其中，d為吸引子中的伸展量，如果r非常小，就可以計算出關(guān)聯(lián)維數(shù)．若曲線的斜率隨著嵌入維數(shù)的增大而增大，則說明沒有分形的特征．如果曲線的斜率隨著嵌入維數(shù)的增加而慢慢形成一個穩(wěn)定值，則表明含有分形的特征．時間延遲h的規(guī)定條件有2個:一個是與數(shù)據(jù)采集時間間隔成倍數(shù)關(guān)系;另一個是取值要適當(dāng)，過小會導(dǎo)致獲取信息會很困難，過大會導(dǎo)致測量存在較大誤差，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)，h的取值在接近15時，獲得的關(guān)聯(lián)維數(shù)最合適．

1.2音樂中混沌現(xiàn)象的特征

音樂屬于非線性動態(tài)系統(tǒng)［9］，其非線性動態(tài)特性內(nèi)部存在著一定的深層次規(guī)律，對其內(nèi)部規(guī)律進(jìn)行研究可以分成2種序列:時間序列和空間序列．在時間序列上，音樂表現(xiàn)出的形式是由有序慢慢轉(zhuǎn)變成無序，由有序轉(zhuǎn)變成無序的運(yùn)動序列叫做混沌序［10］．關(guān)于音樂的非線性解釋，一般都是音樂線條的非旋律化，而分形理論的核心特征是:無序性、不平衡性以及不確定性．在創(chuàng)作音樂作品時，多種音樂現(xiàn)象能組成某種確定的比例關(guān)系，如果把某個主題當(dāng)作作品的起始條件，那么在時間序列以及空間序列軌跡上都會產(chǎn)生一定程度的改變，比如:某段旋律不斷重復(fù)、逆行和倒影等，接著以特定比例進(jìn)行擴(kuò)大和縮小，這些音樂現(xiàn)象都包括在音樂線性過程內(nèi)．音樂的存在形式很多，包括音樂的基本屬性、音樂的一般變現(xiàn)方式、音樂的制作以及演奏，這些都有著復(fù)雜的時間序列和空間序列，其時空痕跡的擴(kuò)散也非常復(fù)雜．所以，利用非線性的思維和方式進(jìn)行音樂的特性分析，能夠反應(yīng)音樂最本質(zhì)的特征［11］．時間序列(混沌序)的特征包括:1)邊界性混沌含有吸引域，它的活動范圍一般情況下都是特定的，且不會因為混沌內(nèi)部結(jié)構(gòu)的改變而改變．2)普遍性不同的非線性系統(tǒng)內(nèi)，混沌序都會含有相同的特質(zhì)，而且不會因為外界環(huán)境的的改變而改變，這就是混沌的基本屬性．3)分形維度在同一個空間里的混沌序，其運(yùn)動軌跡的重合可以表示成分形維度，該分形維度能夠分為數(shù)個種類，本文使用的分形維度是關(guān)聯(lián)維數(shù)［12］．4)量化特質(zhì)對于混沌序，能夠運(yùn)用Lyapunov指數(shù)［13］研究其穩(wěn)定性，如果該指數(shù)比零大，就表明該混沌序不穩(wěn)定，運(yùn)動軌跡會根據(jù)指數(shù)產(chǎn)生分離．該指數(shù)的絕對值可以表明序列的混沌程度，距離靠近的點(diǎn)之間，點(diǎn)內(nèi)部的信息丟失量會因為該指數(shù)絕對值的增大而提高，序列或者系統(tǒng)的混沌特性就能夠易于被發(fā)現(xiàn)．

2音樂分形實驗及分析

2.1實驗準(zhǔn)備

1)實驗設(shè)備本研究運(yùn)用Matlab構(gòu)建一個快速數(shù)字化樂音仿真模型，該模型基于1組正弦波，經(jīng)過音色修飾后合成音樂進(jìn)行播放，其中音色修飾分為音強(qiáng)隨時間的自然衰減包絡(luò)和各諧波成分的能量分配兩個部分．運(yùn)用格式工廠把將MP3格式的音頻轉(zhuǎn)換成Matlab可以直接讀取的WAV格式，同時利用其截取的功能對音樂片段進(jìn)行時長截取．2)音樂材料選擇3種不同類型的音樂進(jìn)行分析，分別是鋼琴曲、流行樂和哀樂，如下表1所示:3)音樂信號提取第1，運(yùn)用格式工廠把MP3格式的音樂轉(zhuǎn)換成WAV格式，接著進(jìn)行小節(jié)劃分和A/D轉(zhuǎn)換．第2，分析混沌特性，根據(jù)Lyapunov指數(shù)的大小判斷信號是不是含有混沌特性，也就是時間序列．第3，基于關(guān)聯(lián)維數(shù)算法判斷關(guān)聯(lián)維數(shù)，從而分析音樂分形的復(fù)雜程度．

2.2音樂信號劃分本研究選擇

3首不同的音樂信號進(jìn)行劃分，結(jié)果如圖1所示．由圖1可以看出，鋼琴曲《致愛麗絲》的總時長是190s，分成106個小節(jié)，每節(jié)1.79s．流行音樂《Discotheque》的總時長是74s，分成35個小節(jié)，每節(jié)2.11s．哀樂的總時長是70s，分成32個小節(jié)，每節(jié)2.19s．

2.3混沌特性和分形程度分析結(jié)果

首先，對鋼琴曲《致愛麗絲》的混沌特性和分形程度進(jìn)行分析，結(jié)果如圖2所示．由圖2可以看出，鋼琴曲《致愛麗絲》的Lya-punov指數(shù)上下浮動區(qū)間是在［0.02，0.25］之間，而關(guān)聯(lián)維數(shù)在［13，17.8］之間．經(jīng)典鋼琴曲的維數(shù)起伏非常顯著，表明其分形程度比較強(qiáng)烈．鋼琴曲的創(chuàng)作難度非常大，同時其創(chuàng)作的過程非常繁瑣，這就表示作曲家的能力要很強(qiáng)，特別是針對是經(jīng)典的鋼琴曲．其次，對《Discotheque》的混沌特性和分形程度進(jìn)行分析，結(jié)果如圖3所示．由圖3可以看出，《Discotheque》的Lyapunov指數(shù)上下浮動區(qū)間是在［0.006，0.0081］之間，而關(guān)聯(lián)維數(shù)在［9.901，15.001］之間．《Discotheque》屬于流行曲風(fēng)，其創(chuàng)作過程相對來說比較簡單，但是該曲種的節(jié)拍非常強(qiáng)烈，也由非常強(qiáng)的動感，在演奏時音符的改變會充滿了隨機(jī)性，這就導(dǎo)致《Discotheque》的關(guān)聯(lián)維數(shù)改變不及鋼琴曲顯著．最后，對哀樂的混沌特性和分形程度進(jìn)行分析，結(jié)果如圖4所示．由圖4可以看出，哀樂的Lyapunov指數(shù)上下浮動區(qū)間是在［0.052，0.159］之間，而關(guān)聯(lián)維數(shù)在［9.997，16.987］之間．哀樂一般是表示對逝者的思念和沉痛心情，其節(jié)奏的改變都是在相應(yīng)的范圍之內(nèi)，主題的表達(dá)非常簡單，主要就是為哀痛和不舍，所以哀樂的關(guān)聯(lián)維數(shù)改變程度最低．

2.4不同差分后的關(guān)聯(lián)維數(shù)

為了保證關(guān)聯(lián)維數(shù)的穩(wěn)定性，對3種曲目的音樂信號進(jìn)行差分求解，結(jié)果如圖5所示．由圖5可以看出，在進(jìn)行不同階數(shù)的差分以后，不同曲目信號的關(guān)聯(lián)維數(shù)都在不同階數(shù)下的波動非常微弱，因為試驗過程存在一定的誤差，因此可以認(rèn)為，不同階數(shù)下關(guān)聯(lián)維數(shù)基本沒有改變，說明不同曲目信號內(nèi)的分形程度具有穩(wěn)定性．

3結(jié)語

本研究為了對不同性質(zhì)的曲目音樂分形的復(fù)雜程度進(jìn)行分析，通過對鋼琴曲、流行樂和哀樂進(jìn)行音樂信號分析，根據(jù)Lyapunov指數(shù)的大小判斷信號是不是含有混沌特性(時間序列)，并根據(jù)關(guān)聯(lián)維數(shù)算法判斷關(guān)聯(lián)維數(shù)，從而分析音樂分形的復(fù)雜程度．從結(jié)果來看，鋼琴曲的分形程度最高，流行樂次之，哀樂的分形程度最低，而不同曲目內(nèi)的信號分形程度具有穩(wěn)定性．本研究也存在一定的不足之處，選擇曲目的種類比較少，這會對文章結(jié)果的普適性產(chǎn)生一定的影響，這也是文章下一步研究需要改進(jìn)的地方．

作者:高莉 單位:湖北仙桃職業(yè)學(xué)院教育學(xué)院