機(jī)械臂軌跡跟蹤優(yōu)化控制

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1引言

滑模變結(jié)構(gòu)控制方法比較適合于機(jī)械臂的控制。這主要是因?yàn)榛Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制對(duì)一類有外界干擾和參數(shù)變化具備某種不變性，或稱完全魯棒性，這對(duì)于機(jī)械臂的控制非常有利，它可以削弱由于負(fù)載變化或隨機(jī)干擾對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響。但是，滑?？刂谱鳛橐环N不連續(xù)的控制方法，不可避免地會(huì)引起系統(tǒng)的“抖振”問題。抖振及其削弱問題是研究變結(jié)構(gòu)控制的主要內(nèi)容之一，因?yàn)橐环矫嫠鼘⒁鸱€(wěn)態(tài)誤差，從而大大影響變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的品質(zhì);另一方面它不停地消耗系統(tǒng)的能量，并可能激發(fā)系統(tǒng)的振蕩［1］。趨近律方法是消除抖振最為有效的方法。采用趨近律設(shè)計(jì)方法能夠有效地減弱滑?？刂浦械亩墩駟栴}［2］。本文在對(duì)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性和常用的指數(shù)趨近律的優(yōu)點(diǎn)及缺點(diǎn)進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，利用飽和函數(shù)連續(xù)變化的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種新型改進(jìn)趨近律，并給出了基于改進(jìn)趨近律的機(jī)械臂滑模控制策略，以克服指數(shù)趨近律造成的系統(tǒng)在由切換帶向原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能趨近于原點(diǎn)而是趨近于原點(diǎn)附近抖振的缺點(diǎn)，同時(shí)保證了機(jī)械臂控制的快速跟蹤性能。通過仿真比較表明:新的趨近律具備更好的趨近特性和收斂特性。

2機(jī)械臂的數(shù)學(xué)模型

建立機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，通常采用以下兩種方法［3］:①牛頓一歐拉方程，對(duì)于多關(guān)節(jié)的機(jī)械臂來講，利用這種方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是處理好各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和各關(guān)節(jié)連桿位移之間的相互耦合關(guān)系，但是關(guān)節(jié)較多時(shí)，處理這種關(guān)系非常不容易。②拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，該方程為能量的平衡方程，其更適合于分析相互約束下的多個(gè)連桿運(yùn)動(dòng)?；诶窭嗜者\(yùn)動(dòng)學(xué)建立的n關(guān)節(jié)機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)方程為［4］:M(q)¨q+C(q，q)q+G(q)=u(t)+f(t)(1)式中q，q，¨q∈Rn分別為位置矢量、速度矢量和加速度矢量;M(q)∈Rn×n為正定慣性矩陣;C(q，q)∈Rn×n為離心力和哥氏力矩陣;G(q)∈Rn為作用在關(guān)節(jié)上的重力項(xiàng)矢量;u∈Rn為關(guān)節(jié)控制力矩;f∈Rn是外部擾動(dòng)信號(hào)，具體包括建模誤差，參數(shù)變化以及其他不確定因素。上述機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程具有以下兩個(gè)特性:1)M(q)為對(duì)稱正定矩陣;2)M－2V為斜對(duì)稱矩陣;此兩個(gè)特性保證了機(jī)械臂系統(tǒng)的可控性和漸近穩(wěn)定性。

3趨近律設(shè)計(jì)

在滑?？刂葡到y(tǒng)中，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可分為兩個(gè)階段，分別為趨近運(yùn)動(dòng)階段和滑模運(yùn)動(dòng)階段。系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)趨向切換面，直到到達(dá)切換面的運(yùn)動(dòng)稱為趨近運(yùn)動(dòng)，即趨近運(yùn)動(dòng)為s→0的過程［5］。根據(jù)滑?？刂圃?，滑模可達(dá)性條件僅保證由狀態(tài)空間任意位置運(yùn)動(dòng)點(diǎn)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面的要求，而對(duì)于趨近運(yùn)動(dòng)的具體軌跡未作任何限制，采用趨近律的方法可以改善趨近運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。指數(shù)趨近律是一種常用的趨近律，表示如下［6］:s=－εsgn(s)－ksε＞0，k＞0(2)采用指數(shù)趨近律一方面可以縮短趨近時(shí)間，另一方面可使運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)切換面時(shí)的速度很小，改善系統(tǒng)正常運(yùn)動(dòng)階段的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，但是指數(shù)趨近律的切換帶為帶狀，系統(tǒng)在切換帶中向原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能趨近于原點(diǎn)，而是趨近于原點(diǎn)附近的一個(gè)抖振，此高頻抖振增加了控制器的負(fù)擔(dān)，為此本文考慮對(duì)指數(shù)趨近律進(jìn)行如下改進(jìn):s=－εs2sgn(s)－ks(3)引入s2的原因具體分析如下，當(dāng)在開始階段，由于誤差比較大，所以s2也比較大，此時(shí)的趨近速度較快，隨著控制器對(duì)系統(tǒng)誤差的調(diào)節(jié)，系統(tǒng)的誤差將會(huì)逐漸變小，此時(shí)系統(tǒng)逐漸趨于平衡，則s2變小，在平衡位置系統(tǒng)的抖動(dòng)也將變小。但是式(3)對(duì)系統(tǒng)抖振的改善有限，只要控制器中含有符號(hào)函數(shù)sgn(s)，控制輸出就不可避免地會(huì)產(chǎn)生抖振現(xiàn)象。飽和函數(shù)可有效抑制抖振，使輸出平滑有界。因此本文考慮采用飽和函數(shù)中的雙曲正切函數(shù)來代替符號(hào)函數(shù)進(jìn)行趨近律的設(shè)計(jì)，雙曲正切函數(shù)具體表達(dá)式如下:飽和函數(shù)法實(shí)質(zhì)上是用飽和特性取代原有的繼電特性［7］，目的是緩解切換的不連續(xù)性。圖1是符號(hào)函數(shù)和雙曲正切函數(shù)的比較曲線，從圖中可以看出，雙曲正切函數(shù)使得切換過程變得連續(xù)而又平滑，這對(duì)于抑制趨近運(yùn)動(dòng)過程的抖振具有重要作用。在趨近律的設(shè)計(jì)中引入雙曲正切函數(shù)，具體表示為:s=－εs2tanh(s)－ksε＞0，k＞0ss=－εss2tanh(s)－ks2＜0(5)式(5)滿足滑模到達(dá)條件。雙曲正切函數(shù)的引入在抑制抖震的同時(shí)，會(huì)降低系統(tǒng)的跟蹤性能，為了盡可能地保證系統(tǒng)的快速跟蹤性，可以在系統(tǒng)滿足一定條件的前提下，增大式(5)趨近律中的k并相應(yīng)地減小ε。該趨近律既克服了指數(shù)趨近律方法中滑模運(yùn)動(dòng)切換帶為帶狀的缺點(diǎn)，又保證了趨近過程的快速性，并且當(dāng)接近滑模面時(shí)，該趨近律速度接近為零，有效地減小了進(jìn)入滑模面的初始系統(tǒng)抖振。此時(shí)趨近律讓狀態(tài)變量不斷趨向原點(diǎn)，穿越滑模面的幅度不斷變化，抖振幅值不斷減小，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，穩(wěn)定于原點(diǎn)，抖振現(xiàn)象消失，解決了滑?？刂乒逃械亩墩駟栴}。

4控制律設(shè)計(jì)

機(jī)械臂滑?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如下圖2所示。

4．1滑模面設(shè)計(jì)

取機(jī)械臂關(guān)節(jié)角位置的期望值qd為指令，e=qd－q為誤差信號(hào)，設(shè)計(jì)滑模面為［8］:s=e+Ce，C=diag(c1，…，cn)，ci＞0(6)對(duì)于式(6)，當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，對(duì)給定的任意初始狀態(tài)e(0)，系統(tǒng)將穩(wěn)定并在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)。此外，通過設(shè)計(jì)常數(shù)矩陣C，可使控制系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)［9］。

4．2控制律設(shè)計(jì)

以n關(guān)節(jié)機(jī)械臂為控制對(duì)象，不考慮建模誤差和外部擾動(dòng)，則系統(tǒng)的名義模型為［10］:

5系統(tǒng)仿真

為了驗(yàn)證控制算法的正確性和性能，本文選取了某二關(guān)節(jié)機(jī)械臂作為控制對(duì)象，進(jìn)行了相關(guān)仿真研究。仿真利用Matlab7．1中的Simulink進(jìn)行。由于機(jī)械臂的數(shù)學(xué)模型及控制律較為復(fù)雜，因此在仿真中使用了S－函數(shù)，分別對(duì)其動(dòng)力學(xué)模型模塊和控制律模塊進(jìn)行設(shè)計(jì)。其仿真流程如圖3所示。本文提出的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法的控制效果又與滑模面的設(shè)計(jì)及趨近律的參數(shù)選擇密切相關(guān)。為解決這個(gè)問題，可以考慮引入模糊規(guī)則、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)等算法等工具來進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，以進(jìn)一步提高滑?？刂频男Ч?。

6結(jié)束語

本文在傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制趨近律的基礎(chǔ)上，利用飽和函數(shù)連續(xù)變化的特點(diǎn)，提出一種改進(jìn)的趨近律，基于改進(jìn)趨近律設(shè)計(jì)了相應(yīng)的機(jī)械臂滑?？刂撇呗?，并進(jìn)行了仿真比較，對(duì)其控制效果進(jìn)行了相關(guān)的驗(yàn)證?；？刂朴捎谄鋵?duì)有界干擾和參數(shù)變化具有不敏感性，使得其可以應(yīng)用到機(jī)械臂的控制系統(tǒng)中。仿真結(jié)果表明:根據(jù)改進(jìn)的趨近律設(shè)計(jì)的滑?？刂撇呗跃哂泻芎玫氖諗啃院涂垢蓴_性能，該方法具有一定的使用價(jià)值。