小學(xué)數(shù)學(xué)教材集合思想挖掘應(yīng)用研究

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摘要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教材內(nèi)容體系的靈魂，也是教學(xué)的重點。集合思想作為小學(xué)階段的一個重要數(shù)學(xué)思想方法，一方面有利于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能，另一方面能促進(jìn)知識的銜接與整合，提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。鑒于集合思想的教育價值，有必要深入挖掘小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的集合思想，為教師分析教材和開展數(shù)學(xué)教學(xué)工作提供指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：集合思想；數(shù)學(xué)教材；內(nèi)容；應(yīng)用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出“四基”理念，強調(diào)學(xué)生通過數(shù)學(xué)教育認(rèn)識和掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會利用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題或生活中的實際問題。集合思想作為一個重要的數(shù)學(xué)思想，滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教材之中。它有助于小學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1]，同時在一定程度上能幫助教師高效、有序地開展教學(xué)活動。因此，教師應(yīng)立足數(shù)學(xué)教材，深度挖掘集合思想，對教材中的集合思想進(jìn)行分析、整理，并將其應(yīng)用于教學(xué)活動中。

一、集合思想認(rèn)識

（一）數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中提煉、上升的數(shù)學(xué)觀點，它是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想[2]。數(shù)學(xué)思想貫穿在教學(xué)活動的全過程，是指導(dǎo)教師教學(xué)的重要思想方法。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想外顯化的具體表現(xiàn)形式，它是教師在教學(xué)實踐中，運用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題的可操作手段，具有操作性、形象化和程序性的特點。在教育教學(xué)活動中，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法沒有本質(zhì)區(qū)別，都是教學(xué)的重點。因此被統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。

（二）集合思想集合是一個基本的數(shù)學(xué)概念，指在數(shù)學(xué)意義上，確定一個特定的性質(zhì)，例如性質(zhì)“P”,把所有具有性質(zhì)“P”的對象看作一個整體，這個整體就是一個“集合”，而構(gòu)成這個集合的對象稱“元素”。比如：X市人的集合，它的元素就是每一個X市人。集合思想是對集合的概念、運算、圖形等的概括性升華，是對集合理論本質(zhì)的認(rèn)識，它是用來解決數(shù)學(xué)內(nèi)部問題或?qū)嶋H問題的一種重要思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊含的集合思想有：子集思想、一一對應(yīng)思想、并集思想等[3]。子集指某個集合中的部分集合，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中多處都滲透著子集思想，如：簡易方程、角的初步認(rèn)識、三角形的分類等內(nèi)容。教師在教學(xué)過程中運用子集思想講解數(shù)學(xué)知識，有利于學(xué)生準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。一一對應(yīng)思想更多體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，如：1～100各數(shù)的認(rèn)識、倍的認(rèn)識、有余數(shù)的除法等內(nèi)容。教材利用集合圖或物體代表數(shù)，有利于加深學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識，幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)的比較、運算等數(shù)學(xué)活動。并集思想大多用來表示加法的意義，如：20以內(nèi)的進(jìn)位加法、100以內(nèi)的加法等。教師利用并集思想進(jìn)行教學(xué)活動，有助于學(xué)生體會加法的意義及特點，攻破加法運算難題。

二、集合思想的教育價值

（一）有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念基于小學(xué)生的思維發(fā)展特點，他們很難理解某些專業(yè)、抽象的數(shù)學(xué)概念，需要教師利用直觀手段幫助其理解數(shù)學(xué)定義。例如，教師在講授“單位1”概念時，學(xué)生很難形成直觀表象。這時，教師通過集合圖和方框圖的引用，使學(xué)生清楚感受到整體的概念，知道一個整體能用自然數(shù)1表示，通常稱作單位“1”。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有出現(xiàn)過集合的定義、分類、符號等內(nèi)容，因此在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師主要是利用集合圖和語言描述等方式，讓學(xué)生初步感知集合，體會集合思想，從而清楚地把握數(shù)學(xué)概念。

（二）有助于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)教師依據(jù)教材的內(nèi)容和要求，在教學(xué)活動中滲透集合思想，一方面有利于學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)知識與技能，促使教師達(dá)成教學(xué)目標(biāo)；另一方面使學(xué)生掌握一定的集合思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。例如，在五年級下冊（人教版）“最大公因數(shù)”內(nèi)容中，學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了因數(shù)的定義及表示方法，因此，教材直接呈現(xiàn)了兩個集合圖用來表示8和12的因數(shù)。學(xué)生通過觀察集合圖，可以發(fā)現(xiàn)1、2、4是8和12的公因數(shù)。同時，教材還展示了另一個集合圖，以更簡便的方式呈現(xiàn)8和12的公因數(shù)，這個集合圖體現(xiàn)了交集思想。教師通過滲透交集思想進(jìn)行“最大公因數(shù)”的概念教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生利用集合圖歸納、整理兩個數(shù)的公因數(shù)，從而找出最大公因數(shù)。如教材的例2和做一做，都需要教師鼓勵學(xué)生嘗試用自己的方法找出兩個數(shù)的最大公因數(shù)。學(xué)生通過多次實踐練習(xí)，進(jìn)一步加深對最大公因數(shù)的認(rèn)識，潛移默化中感悟交集思想的同時，提高了自身的數(shù)學(xué)思維能力。

（三）提高學(xué)生解決問題的能力集合思想是具備高度概括性且具有指導(dǎo)意義的數(shù)學(xué)觀點。學(xué)生學(xué)習(xí)集合思想，不僅有助于鞏固學(xué)生已有的知識經(jīng)驗與技能，而且能指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并解決數(shù)學(xué)難題，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力與實踐能力。例如：學(xué)生在學(xué)會利用點子圖計算“15-9”算式后，對于“11-9”“13-9”等算式的計算，也能夠輕松解決。在算式運算的過程中，學(xué)生逐漸掌握20以內(nèi)退位減法的運算定律，學(xué)生的運算能力也得到一定程度的提高，同時，為學(xué)生之后學(xué)習(xí)100以內(nèi)加減法提供了方法參考。

（四）有利于知識的銜接應(yīng)用集合思想有利于知識銜接，主要體現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識銜接和教育階段銜接?；趯W(xué)生學(xué)習(xí)特點與身心發(fā)展規(guī)律，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的集合思想是依據(jù)知識難易程度，由淺入深的逐漸滲透過程。如在“圖形與幾何”領(lǐng)域，集合思想依次在“認(rèn)識圖形”“長方形和正方形”等單元內(nèi)容中出現(xiàn)，并且教材還對三角形、四邊形等圖形的內(nèi)部關(guān)系進(jìn)行分析，并用集合圖呈現(xiàn)出來。因此，教材滲透集合思想，密切了數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，使數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)更加完整、系統(tǒng)。通過小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握了一些初級集合思想，這有助于他們在初、高中階段學(xué)習(xí)更系統(tǒng)、高級的集合知識。學(xué)生進(jìn)入初中會接觸到像數(shù)的劃分、函數(shù)等知識，這對于學(xué)生來說是陌生且有難度的。學(xué)生可以回顧已學(xué)的集合思想方法，找到新舊知識之間的聯(lián)系，自然過渡到初中學(xué)習(xí)。通過知識的遷移，學(xué)生對高中階段集合的概念、分類、運算等知識也可以輕松掌握。

三、集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的內(nèi)容分布及特點

集合思想蘊藏著巨大的教育價值，教師應(yīng)充分重視數(shù)學(xué)教材，對教材中滲透的集合思想進(jìn)行挖掘和分析，以便利用集合思想開展教學(xué)活動。下面以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，對其蘊含的集合思想進(jìn)行歸納整理，以探討如何運用集合思想進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，如表1所示。觀察表1，我們可以發(fā)現(xiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的集合思想呈現(xiàn)以下分布特點。

（一）顯性和隱性相結(jié)合教材中一部分集合思想以形象生動的主題圖（情境圖）和平直明了的語言呈現(xiàn)，并通過習(xí)題的練習(xí)，加強學(xué)生對集合思想的理解與掌握。例如在一年級上冊“準(zhǔn)備課”內(nèi)容中，教材利用主題圖，讓學(xué)生觀察圖片中的事物，并對事物進(jìn)行分類，將同一性質(zhì)的事物看作一個整體，即“一個集合”，這個集合中元素的個數(shù)對應(yīng)著相應(yīng)的自然數(shù)，即“一、二、三.....”，使學(xué)生直觀感受數(shù)的概念。部分集合思想是通過隱形的方式呈現(xiàn)，如五年級上冊“方程的意義”中，經(jīng)過反復(fù)實踐總結(jié)出一個結(jié)論——“含有未知數(shù)的等式即是方程”。其實，這里隱含著子集思想，即方程一定是等式，等式不一定是方程。這個集合思想需要教師在教學(xué)中向?qū)W生滲透，可以通過展示集合圖（圖1），使學(xué)生清楚理解方程的含義。同時，加減法中蘊含的并集、差集和一一對應(yīng)等思想也是以隱形的方式體現(xiàn)，要求教師善于發(fā)現(xiàn)教材中滲透的集合思想，并將其應(yīng)用于教學(xué)活動中。

（二）反復(fù)滲透性集合思想的滲透需要反復(fù)多次進(jìn)行，例如在二年級上冊“角的初步認(rèn)識”中滲透了子集思想，在四年級上冊“角的分類”中又再次滲透子集思想。這說明，集合思想需要在知識點的反復(fù)教學(xué)實踐中得以充分體現(xiàn)，使學(xué)生逐步清晰認(rèn)識到集合思想，學(xué)會利用集合思想理解抽象的數(shù)學(xué)知識。

（三）交叉滲透教材中經(jīng)常滲透著多個集合思想，例如，在三年級上冊“倍的認(rèn)識”內(nèi)容中，體現(xiàn)了子集思想和一一對應(yīng)思想。其次，有些教材內(nèi)容滲透著多種數(shù)學(xué)思想。如：四年級上冊“角的度量”內(nèi)容中，既蘊含集合思想，又包括分類思想和符號化思想，多種思想方法的相互滲透，使學(xué)生更加清晰直觀地認(rèn)識角，學(xué)會度量角和畫角，為他們學(xué)習(xí)三角形奠定了知識基礎(chǔ)。

四、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用集合思想的原則和策略

（一）應(yīng)用原則1.針對性原則通過表1可以得知，集合思想在教材中的滲透面廣且種類豐富，需要教師有意識地剖析教材中所蘊藏的集合思想，思考哪部分教學(xué)內(nèi)容滲透了集合思想，應(yīng)采用何種教學(xué)方法植入集合思想。教師在制定教學(xué)目標(biāo)時，要有針對性地將集合思想加入到教學(xué)目標(biāo)中。例如，在三年級上冊數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容中，教師要在教學(xué)目標(biāo)中突出交集思想和子集思想，幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)問題中各要素之間的關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生畫集合圖解決數(shù)學(xué)問題。同時，小學(xué)數(shù)學(xué)教材按照螺旋式的方式編排，教師應(yīng)了解學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點，運用學(xué)生能理解和接受的方法滲透集合思想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。2.漸進(jìn)性原則小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的集合思想呈現(xiàn)循序漸進(jìn)的分布特點。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師首先要依托教材內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，有目的、有計劃地滲透集合思想，使學(xué)生在理解新知識的同時，初步感知集合思想。同時，教師要加強實踐練習(xí)，促使學(xué)生將外在的思想方法內(nèi)化為自己的思維模式。其次，學(xué)生集合思想方法的習(xí)得不可能一蹴而就，需要教師在長期教學(xué)活動中進(jìn)行集合思想的反復(fù)滲透，鞏固學(xué)生對集合思想的掌握。為此，教師在教學(xué)設(shè)計中，要注重引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)舊知與新知之間的聯(lián)系，以便順利開展新知識的教學(xué)。通過這樣一個漸進(jìn)過程，提高學(xué)生的知識層次，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)技能。3.參與性原則教師將教材中內(nèi)隱的集合思想通過課堂教學(xué)滲透給學(xué)生，學(xué)生通過教師的教和自主的學(xué)逐漸認(rèn)識和掌握集合思想方法。在此過程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，集合思想經(jīng)過學(xué)生個體思維的加工，最終內(nèi)化為學(xué)生自身的思維模式。因此，教師在課堂教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生積極思考，主動探索，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識、領(lǐng)會集合思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（二）應(yīng)用策略1.立足集合思想，深度挖掘教材教材是蘊含集合思想的載體，是學(xué)生學(xué)習(xí)集合思想的媒介。小學(xué)數(shù)學(xué)中的集合思想并非像定義、運算法則那樣具體的呈現(xiàn)，而是利用情境圖、集合圖、語言描述等方式進(jìn)行潛移默化地滲透。因此，教師應(yīng)充分研究教材，分析教材中的集合思想，并以恰當(dāng)?shù)姆绞较驅(qū)W生傳遞集合思想。首先，教師應(yīng)充分認(rèn)識到集合思想的教育價值，將集合思想內(nèi)化為自己內(nèi)心的要求，自覺主動地將集合思想滲透于教學(xué)的全過程。其次，教師挖掘教材的前提是：教師要加強對集合思想理論的學(xué)習(xí)，將集合思想融入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中。只有這樣，教師才能更好地分析和把握教材中的集合思想，有針對性地開展教學(xué)活動。同時，教師還要挖掘?qū)W生生活中與集合思想有關(guān)的素材，擅于利用這些素材開展教學(xué)，以便于學(xué)生更好地理解集合思想。2.借助集合圖，在新知識教學(xué)中滲透小學(xué)數(shù)學(xué)中體現(xiàn)的集合思想比較單一和淺顯，教材中沒有出現(xiàn)過有關(guān)集合的概念、分類、運算等明確性定義解釋。因此，教師在教學(xué)活動中，主要借助集合圖這一教學(xué)策略滲透集合思想，讓學(xué)生初步感知集合思想，學(xué)會運用集合思想解決一些數(shù)學(xué)難題。（1）借助集合圖，在概念教學(xué)中滲透小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念都滲透著集合思想，如：倍的概念、單位“1”的概念、數(shù)的概念等[4]?？紤]到學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維特點，教師要利用集合圖開展概念教學(xué)，幫助學(xué)生理解抽象概念。例如，教師在講解“倍”的概念時，由于“倍”概念中兩個事物之間的數(shù)量關(guān)系比較抽象難懂，因此，教師要利用集合圖教學(xué)。首先，教師呈現(xiàn)教材中的集合圖（圖2），即胡蘿卜和白蘿卜的數(shù)量對比圖，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“第一行有幾個，第二行有多少個同樣多的幾個，那么第二行就是第一行的多少倍”，使學(xué)生初步感知“倍”的含義。接下來，學(xué)生自己動手圈一圈、擺一擺，發(fā)現(xiàn)兩個事物之間的倍數(shù)關(guān)系，據(jù)此逐步建立起“倍”的表象，并體會子集思想和一一對應(yīng)思想。（2）借助集合圖，在關(guān)系教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的滲透加強了教材中概念、關(guān)系、問題等各要素之間的聯(lián)系，使得小學(xué)數(shù)學(xué)教材成為一個完整系統(tǒng)的體系。因此，教師在備課環(huán)節(jié)要注意厘清數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，以增進(jìn)學(xué)生對概念的認(rèn)識，促使學(xué)生靈活運用概念知識解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。例如，在人教版四年級上冊“平行四邊形和梯形”單元中，這是學(xué)生在小學(xué)階段最后一次學(xué)習(xí)“四邊形”內(nèi)容。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回憶已學(xué)過四邊形，并讓學(xué)生思考它們之間存在什么關(guān)系，進(jìn)而利用集合圖（圖3）體現(xiàn)四邊形之間的關(guān)系。在這一過程中，教師向?qū)W生隱性傳達(dá)了子集思想，在一定程度上激發(fā)了學(xué)生的抽象思維和推理能力，同時有利于學(xué)生之后學(xué)習(xí)、推導(dǎo)多邊形的面積公式，進(jìn)一步完善其認(rèn)知結(jié)構(gòu)。3.注重學(xué)生學(xué)習(xí)體驗，深化認(rèn)知結(jié)構(gòu)鑒于有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，教師在滲透集合思想的教學(xué)過程中，要注重學(xué)生個體的思考過程和實踐探索，使學(xué)生在感知集合思想的同時，經(jīng)歷知識建構(gòu)的過程。

例如，在“1～5的加減法”教學(xué)內(nèi)容中，教材利用集合圖體現(xiàn)加減法的意義，幫助學(xué)生理解計算算式。因為學(xué)生之前沒有接觸過此類運算，很難理解解題方法。因此，課本中加入了大量形象生動的集合圖和練習(xí)題，這要求教師引導(dǎo)學(xué)生動手實踐，讓學(xué)生自己體驗解題過程。如：利用小棒擺一擺、填一填，涂一涂、劃一劃。學(xué)生通過思考與實踐，才能牢固理解和掌握解題方法，并獲得個體性的思想認(rèn)知。4.利用知識遷移，在解題中滲透教師應(yīng)用集合思想進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，不能僅局限于新知識教學(xué)，還應(yīng)將集合思想進(jìn)一步滲透于數(shù)學(xué)問題的解決過程中，以鞏固學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并促使學(xué)生將所學(xué)思想方法應(yīng)用于實際問題的解決，達(dá)到學(xué)以致用的效果。例如，在一年級下冊第六單元，教師在講解兩位數(shù)加一位數(shù)、兩位數(shù)減整十?dāng)?shù)等知識時將集合思想滲透其中，使學(xué)生初步認(rèn)識并集思想、子集思想及一一對應(yīng)思想等，并能運用一定的思想方法進(jìn)行數(shù)學(xué)運算。為了進(jìn)一步鞏固學(xué)生對集合思想的認(rèn)識與應(yīng)用，教材呈現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)問題：3個同學(xué)一起折小星星，每人折了6個，他們一共折了多少個小星星？解題的關(guān)鍵在于：利用集合圖將題中的元素一一呈現(xiàn)出來。學(xué)生依據(jù)已有的知識經(jīng)驗進(jìn)行思考會發(fā)現(xiàn)，這道數(shù)學(xué)題實際就是一道加法題，即把三個同學(xué)各自折的星星個數(shù)合起來，就是所折的星星總數(shù)。這道題隱含了并集思想和子集思想，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過此類思想，因此，教師應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識遷移，以促進(jìn)數(shù)學(xué)問題的解決，使學(xué)生在鞏固集合思想的基礎(chǔ)上，提高自身解決問題的能力。

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作者：陳語 單位：重慶師范大學(xué)