數(shù)值分析精選(九篇)

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第1篇：數(shù)值分析范文

1計(jì)算方法

1．1槳葉／機(jī)身非定常面元

1．1．1面元基本原理除物面附近及尾流區(qū)外，旋翼流場可假設(shè)為無粘、無旋、不可壓。在慣性坐標(biāo)系下，連續(xù)方程可表示成速度勢的函數(shù)［17］，即式中SB與SW分別為物面（槳葉或機(jī)身）和尾跡渦面，n為物面外法線單位矢量，r＝（x，y，z）為空間點(diǎn)位置。

1．1．2邊界條件物面邊界條件要求相對于物面的法向速度為0，遠(yuǎn)場邊界條件要求物體對流體的擾動(dòng)在無限遠(yuǎn)處為0，即假設(shè)物體表面由N個(gè)面元組成，尾跡渦面由Nw個(gè)面元組成，采用等強(qiáng)度四邊形偶極子面元，則式（2）可表示成如下：

1．1．3面元壓力旋翼流場確定之后，可根據(jù)非定常Bernoulli方程，通過速度勢和物面速度計(jì)算壓力分布。非定常項(xiàng)／t可通過求解物體表面速度勢得到。對于機(jī)身，非定項(xiàng)主要來源于槳葉和旋翼尾跡的影響。槳葉影響可通過速度勢直接求解，而尾跡影響為尾跡對面元的誘導(dǎo)速度與尾跡自身速度之積［19］。

1．2時(shí)間步進(jìn)自由尾跡為求解槳葉和機(jī)身面元強(qiáng)度分布，在解式（5）或式（8）之前需計(jì)算旋翼尾跡。本文采用時(shí)間步進(jìn)自由尾跡［12－14］。時(shí)間步進(jìn)自由尾跡基于不可壓假設(shè)，并把旋翼尾跡漩渦簡化為直線渦線。旋翼渦量場可由三維不可壓粘性Navier－Stokes方程描述，表示成速度－渦量采用有限差分近似時(shí)間和空間導(dǎo)數(shù)求解式（14）。渦線位置由時(shí)間步進(jìn)格式求解得到。文中采用二階精度的預(yù)估－修正格式（PC2B）［12－14］。

1．3旋翼槳葉運(yùn)動(dòng)方程旋翼尾跡和槳葉面元匯／偶極子分布與槳葉的揮舞運(yùn)動(dòng)方程緊密相連，因此在描述旋翼尾跡時(shí)需求解槳葉的揮舞運(yùn)動(dòng)。根據(jù)槳葉揮舞鉸力矩為零建立剛性槳葉揮舞運(yùn)動(dòng)方程。槳葉揮舞運(yùn)動(dòng)可表示成一組常微分方程，并采用四階Runge－Kutta求解［14］。

1．4槳葉面元／尾跡耦合為計(jì)算旋翼尾跡的畸變效應(yīng)，采用全展渦線代替偶極子面元尾跡。旋翼槳葉由非定常面元構(gòu)成，槳葉脫出的尾隨渦由尾隨偶極子面元構(gòu)成，旋翼尾跡則由連接于尾隨渦的全展渦線構(gòu)成，并從槳葉尾隨偶極子面元中脫出（如圖1）。基于槳葉后緣Kutta條件及尾跡偶極子面元強(qiáng)度與渦線渦量強(qiáng)度等價(jià)原則，建立槳葉面元與尾跡之間的聯(lián)系。偶極子面元與渦線等價(jià)原則可表示成如下。在各時(shí)間步，旋翼尾跡渦線強(qiáng)度由槳葉面元強(qiáng)度決定，同時(shí)槳葉面元的匯／偶極子強(qiáng)度又與旋翼尾跡渦線有關(guān)，由此確保槳葉非定常面元與旋翼尾跡的緊密耦合。

1．5旋翼尾跡／機(jī)身干擾低速前飛狀態(tài)下，機(jī)身浸潤在旋翼尾跡中，因此旋翼尾跡渦線將靠近機(jī)身表面。由于機(jī)身的阻塞效應(yīng)，旋翼尾跡渦線靠近機(jī)身表面的速度減小，而切線速度增加，此時(shí)機(jī)身非定常壓力主要來源于旋翼尾跡。由式（11）可知，非定常項(xiàng)由尾跡渦線移動(dòng)速度和尾跡誘導(dǎo)速度構(gòu)成，因此旋翼尾跡幾何特性對旋翼尾跡／機(jī)身干擾影響顯著。由于機(jī)身表面載荷與旋翼尾跡幾何密切相關(guān)，因此旋翼尾跡渦線靠近機(jī)身表面的運(yùn)動(dòng)特性就顯得非常重要［22］。為滿足機(jī)身表面無穿透條件，并模擬渦線靠近機(jī)身表面的加速現(xiàn)象，文中采用渦線鏡面法。與二維點(diǎn)渦鏡面類似［22］，尾跡渦線由兩點(diǎn)直線構(gòu)成，因此可通過渦線中點(diǎn)的矢量鏡面得到鏡像渦線，鏡像渦線渦量為?！洌剑＃ㄈ鐖D2）。在各時(shí)間步，通過槳葉和機(jī)身非定常面元同步求解，得到槳葉和機(jī)身的非定常氣動(dòng)力，而后推進(jìn)旋翼尾跡，由此計(jì)算旋翼／機(jī)身非定常氣動(dòng)干擾。

2計(jì)算結(jié)果與分析

為驗(yàn)證本文旋翼／機(jī)身非定常氣動(dòng)干擾分析方法的準(zhǔn)確性，文中將計(jì)算前飛狀態(tài)的Maryland、ROB－IN旋翼／機(jī)身干擾下的機(jī)身非定常壓力分布，并與可得到的實(shí)驗(yàn)值、CFD計(jì)算結(jié)果對比驗(yàn)證。隨后分析前飛速度、旋翼與機(jī)身高度對非定常氣動(dòng)干擾的影響。

2．1Maryland旋翼／機(jī)身干擾本算例為前飛狀態(tài)下的Maryland旋翼／機(jī)身干擾試驗(yàn)［23］，旋翼系統(tǒng)由4片直徑為1．65m的矩形槳葉鉸接構(gòu)成，槳葉線性負(fù)扭為－12°，翼型為NASARC310和RC410，弦長為0．0635m，旋翼轉(zhuǎn)速為1860rpm，機(jī)身長度為1．94m，機(jī)身最大截面直徑為0．254m，機(jī)身尾梁與機(jī)身截面直徑之比為1∶2．5。槳轂中心與機(jī)身重心高度為0．24m。機(jī)身壓力傳感器分布如圖。旋翼／機(jī)身干擾下的各傳感器非定壓力隨槳葉方位角變化歷程如圖4。從圖4中可以看出，本文計(jì)算方法計(jì)算得到Maryland旋翼／機(jī)身干擾下的非定常壓力時(shí)間變化歷程與實(shí)驗(yàn)測量值吻合較好。圖4中各傳感器非定常壓力隨方位角的變化均表現(xiàn)為4Ω周期波動(dòng)，此倍頻與旋翼槳葉片數(shù)相同，由此說明槳葉通過機(jī)身上方所產(chǎn)生的顯著非定常干擾效應(yīng)。機(jī)身頭部（傳感器1）非定常壓力呈現(xiàn)出類正弦波動(dòng)，主要原因?yàn)閭鞲衅?在旋翼下方，受槳葉通過性影響顯著。傳感器9、10在旋翼下方之外的尾梁，受到槳葉通過性影響減小，而主要受到旋翼尾跡與尾梁干擾影響，因此非定常壓力呈現(xiàn)鋸齒形狀。傳感器9比傳感器10更靠近旋翼，因此傳感器9的非定常壓力受到槳葉通過性影響更顯著，表現(xiàn)的類正弦特性更顯著。傳感器11、12在尾梁左右兩側(cè)，主要受到旋翼尾跡／機(jī)身干擾影響，表現(xiàn)出鋸齒形狀。從圖4（b）、（c）中可以看出，傳感器9的壓力峰值相位超前于傳感器10，主要原因?yàn)槲擦簜鞲衅?比傳感器10更靠前，旋翼尾跡將先靠近傳感器9。但隨著誘導(dǎo)速度的向下作用，尾跡距傳感器10的距離更小，因此負(fù)壓峰值更大，旋翼尾跡／尾梁干擾更顯著。從圖4（d）、（e）中可以看出，尾梁左側(cè)傳感12的非定常負(fù)壓峰值大于尾梁右側(cè)傳感器11，主要原因?yàn)樾碛倚?，旋翼尾跡貼近尾梁的左側(cè)，因此對傳感器12的干擾作用大于右側(cè)的傳感器11。

2．2ROBIN旋翼／機(jī)身干擾本算例為前飛狀態(tài)下的ROBIN旋翼機(jī)身干擾試驗(yàn)［24］。旋翼系統(tǒng)為2MRTS（2－MeterRotorTestSystem）縮比旋翼［25］，機(jī)身為流線型機(jī)身。2MRTS旋翼由4片矩形槳葉鉸接構(gòu)成，槳葉半徑為0．861m，弦長為0．0663m，線性負(fù)扭為－8．0°，翼型為NACA0012翼型，旋翼轉(zhuǎn)速為2000r／min，前進(jìn)比為μ＝0．151。機(jī)身長度為1．999m，槳轂與機(jī)身重心垂直距離為0．322m，旋翼周期變距由風(fēng)洞試驗(yàn)據(jù)得到［25］。各片槳葉由弦向60段和展向20段面元組成，旋翼系統(tǒng)共由4800個(gè)面元構(gòu)成，ROBIN機(jī)身由10842個(gè)面元組成。機(jī)身頭部、發(fā)動(dòng)機(jī)艙、尾梁、機(jī)身左右兩側(cè)壓力傳感器分布如圖5所示。ROBIN旋翼／機(jī)身干擾下的旋翼尾跡如圖6所示，從圖中可以看出，旋翼左右兩邊形成比較明顯的槳尖渦。由于機(jī)身的排斥作用，旋翼中間尾跡向上、左右兩側(cè)移動(dòng)，但尾梁后段仍然浸入在旋翼尾跡中，因此將產(chǎn)生顯著的旋翼／機(jī)身干擾。槳葉／機(jī)身壓力分布如圖7所示，機(jī)身頭部和發(fā)動(dòng)機(jī)艙前、后緣部分產(chǎn)生較大壓力。前飛狀態(tài)下，由于旋翼前行邊和后行邊槳葉相對來流的非對稱，因此需通過周期變距改變槳葉的槳距以保證整機(jī)左右平衡，并由此導(dǎo)致前行邊和后行邊槳葉氣動(dòng)環(huán)境、槳葉脫出渦量不一致，從而引起旋翼尾跡的非對稱。由于旋翼尾跡非對稱和槳葉位置的變化，導(dǎo)致機(jī)身前后、左右兩側(cè)壓強(qiáng)非對稱，由此產(chǎn)生時(shí)變載荷。ROBIN機(jī)頭頂部、發(fā)動(dòng)機(jī)頂部、尾梁頂部、機(jī)身兩側(cè)非定常壓力隨槳葉方位角變化如圖8。從圖8中可以看出，本文計(jì)算方法計(jì)算得到ROBIN旋翼／機(jī)身干擾下的各傳感器非定常壓力間變化歷程與實(shí)驗(yàn)值［24］和CFD計(jì)算結(jié)果［4，26］比較吻合，由此驗(yàn)證本文計(jì)算方法的可靠性。由于旋翼系統(tǒng)采用4片槳葉，因此圖8中各傳感器非定常壓力隨方位角變化歷程均呈現(xiàn)4Ω的周期特性。從圖5可以看出，各傳感器均位于旋翼下方，因此各傳感器非定常壓力主要表現(xiàn)為槳葉通過性影響。為反映機(jī)身各處壓力的變化特性，機(jī)身各傳感器非定常壓力峰值相位和幅值如表1．從表1可以看出，機(jī)身頭部傳感器6非定常壓力峰值出現(xiàn)在槳葉通過機(jī)身后，而發(fā)動(dòng)機(jī)艙傳感器22和尾梁頂部傳感器15非定常壓力峰值出現(xiàn)在槳葉未通過機(jī)身前，主要原因?yàn)闄C(jī)身頭部距離槳尖平面距離更大，阻塞效應(yīng)較小，且存在阻塞滯后，并由此導(dǎo)致機(jī)身頭部非定壓力幅值小于尾梁頂部。由于傳感器22處于槳根下方（圖5），因此受槳葉通過性的影響小于傳感器15。由于槳葉右旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致機(jī)身左側(cè)流場阻塞，機(jī)身右側(cè)流場擴(kuò)展，由此導(dǎo)致左側(cè)傳感器13的壓力幅值大于右側(cè)傳感器19，且右側(cè)峰值相位滯后與左側(cè)。由于機(jī)身頭部、尾梁、機(jī)身左、右側(cè)非定常壓力幅值與相位的差異導(dǎo)致機(jī)身力與力矩的非對稱，由此產(chǎn)生4Ω周期激勵(lì)載荷。

2．3前飛速度對旋翼／機(jī)身干擾影響以ROBIN旋翼／機(jī)身干擾為基本算例，分析前飛速度對機(jī)身非定常壓力的影響。從圖9中可以看出，隨著前飛速度的增加，旋翼載荷增加，槳葉通過性對機(jī)身非定常壓力影響增加，由此導(dǎo)致機(jī)身頭部、發(fā)動(dòng)機(jī)艙、機(jī)身右側(cè)壓力幅值均增加，且隨著前飛速度增加，壓力幅值增加速率增加。但尾梁傳感器15壓力幅值隨前飛速度的增加而先加后減小，原因?yàn)榍帮w速度較小時(shí)，尾跡／尾梁干擾顯著，速度增加導(dǎo)致尾跡對尾梁的誘導(dǎo)非定常項(xiàng)影響增加，因此壓力幅值增加，但隨前飛速度的繼續(xù)增加，尾跡距尾梁的距離增加，因此對尾梁的影響減小。機(jī)身與發(fā)動(dòng)艙連接處傳感器19的壓力幅值隨前飛速度增加而減小，原因?yàn)閭鞲衅髟谇靶袠~下方，前飛速度增加，為滿足配平條件，需減小前行槳葉槳距，前行槳葉槳根載荷減小，因此旋翼槳葉通過性影響減小。

2．4旋翼與機(jī)身距離對旋翼／機(jī)身干擾影響以ROBIN旋翼在前進(jìn)比為0．15狀態(tài)下為基本算例，旋翼與機(jī)身高度分別增加5％、10％、15％、20％、30％后機(jī)身各部分壓力幅值的變化如下。從圖11中可以看出，隨著旋翼與機(jī)身距離的增加，槳葉通過性對機(jī)身非定常壓力影響減弱，由此導(dǎo)致機(jī)身頭部、尾梁頂部、機(jī)身左右側(cè)各處壓力幅值均減小。隨著旋翼與機(jī)身距離的增加，壓力幅值減小速率逐漸減小，距離增加20％，傳感器幅值減小為參考值的80％以下。但發(fā)動(dòng)機(jī)艙頂部傳感器幅值隨旋翼與機(jī)身距離的增加而先減小后增加，主要原因?yàn)樾砼c機(jī)身距離的增加，槳葉通過性影響減小，因此壓力幅值先減?。恍砼c機(jī)身距離的繼續(xù)增加，方位角為270°處槳葉的槳尖渦將貼近發(fā)動(dòng)機(jī)艙頂部，由此導(dǎo)致壓力幅值增加。

3結(jié)論

第2篇：數(shù)值分析范文

關(guān)鍵詞：OpenSees；鋼筋混凝土橋墩；彎曲變形；縱筋拔出變形；滯回曲線

中圖分類號：U442.5文獻(xiàn)標(biāo)示碼：A

Numerical seismic analysis model for reinforced concrete bridge piers

YANG Chun-xi

Tianjincommunicationarchitecturedesigninstitute

Abstract: Bridge piers are the main component in bridges, they are the most susceptible elements under seismic effect and are important for seismic safety of bridges. Both of Si Bingjun and Lehman’s quasi-static tests are modeled by using OpenSees numerical analysis software. The nonlinear beam-column element is used to model flexural deformation, and the zero-length rotational spring element is used to model bond-slip deformation. The simulated hysteretic curves are compared with test results. The results show that the simulation results have high precision.

Key Words: OpenSees; Reinforced concrete bridge pier; flexural deformation; bond-slip deformation; hysteretic curves;

前言：國內(nèi)外歷次大地震中，大量鋼筋混凝土橋墩發(fā)生嚴(yán)重破壞，開展橋墩抗震性能的數(shù)值模擬工作，對揭示橋梁地震破壞機(jī)理，認(rèn)識橋梁抗震薄弱環(huán)節(jié)，具有重要的工程背景和科學(xué)意義。目前，基于通用有限元軟件的三維實(shí)體單元模型，集中塑性鉸模型和纖維梁柱單元模型，均在橋墩非線性數(shù)值模擬中獲得了廣泛應(yīng)用[1]。Sun Zhiguo等[2]基于ANSYS軟件中的Solid 65單元(模擬混凝土)和Link 8單元(模擬鋼筋)，對6個(gè)發(fā)生彎剪破壞的鋼筋混凝土橋墩滯回性能進(jìn)行了較為準(zhǔn)確的模擬分析，同時(shí)指出利用三維實(shí)體單元對混凝土橋墩進(jìn)行滯回性能模擬所面臨的收斂性差、計(jì)算效率不高等問題。集中塑性鉸模型[3]和基于纖維梁柱單元的纖維單元模型[4]，也在橋墩抗震的非線性數(shù)值分析中獲得了廣泛應(yīng)用，可對彎曲破壞為主橋墩試件的滯回性能進(jìn)行較為準(zhǔn)確的模擬。目前，基于OpenSees的結(jié)構(gòu)抗震分析平臺(tái)，因良好的二次開發(fā)功能、計(jì)算效率高等優(yōu)勢，獲得了國內(nèi)外的廣泛關(guān)注[5]。

注意到目前國內(nèi)外基于OpenSees進(jìn)行的鋼筋混凝土橋墩抗震數(shù)值模擬工作較少，廣大科研人員和工程師對其建模過程中涉及的材料本構(gòu)關(guān)系選擇，單元選取等認(rèn)識不統(tǒng)一。本文基于OpenSees平臺(tái)，建立了4個(gè)考慮彎曲變形與縱筋拔出變形的橋墩抗震數(shù)值分析模型，詳細(xì)介紹了建模中的本構(gòu)關(guān)系、單元選取等規(guī)則，并將模擬結(jié)果與試驗(yàn)滯回曲線進(jìn)行了對比，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，可供相關(guān)科研和工程技術(shù)人員參考。

1 司炳君及Lehman試驗(yàn)介紹

為探求基于OpenSees平臺(tái)的數(shù)值分析模型對橋墩進(jìn)行抗震性能模擬的適用性，選擇了4個(gè)橋墩抗震擬靜力試驗(yàn)結(jié)果，并以此為依據(jù)，建立了橋墩抗震數(shù)值分析模型，通過與試驗(yàn)結(jié)果的對比分析驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性。

試件選取考慮了國內(nèi)學(xué)者和國外學(xué)者兩種情況，國內(nèi)選用司炳君完成的A10、A12試件, 直徑均為400mm，高度2400mm，剪跨比為6.0，試件擬靜力試驗(yàn)在大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室完成，試驗(yàn)詳細(xì)介紹見文獻(xiàn)[6]。國外選用Lehman完成的407、415試件，試件直徑均為610mm，高度2438.4mm，剪跨比為4.0，擬靜力試驗(yàn)在美國太平洋地震工程研究中心完成，詳細(xì)情況見文獻(xiàn)[7]。所有試件均為擬靜力加載，軸力固定，施加側(cè)向的反復(fù)荷載直至試件發(fā)生嚴(yán)重破壞為止。需要強(qiáng)調(diào)，由于剪跨比較高，所有橋墩試件最終均發(fā)生彎曲破壞。

2 模型建立

2.1 混凝土本構(gòu)及鋼筋材料模型

混凝土本構(gòu)采用OpenSees中的Concrete04，該材料為基于Popovics模型發(fā)展而來的單軸混凝土本構(gòu)模型[8]?？v向鋼筋材料采用OpenSees中的Reinforcing Steel鋼筋模型，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系基于Chang-Mander模型，如圖1所示。E為彈性模量，Esh為屈服后彈性模量，fy、fu分別為縱筋屈服應(yīng)力和極限應(yīng)力，εsh、εsu分別為鋼筋應(yīng)力強(qiáng)化起點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)變和極限應(yīng)變。該模型描述了鋼筋的線彈性階段，屈服平臺(tái)階段，強(qiáng)度硬化階段和應(yīng)變軟化階段。

圖1 鋼筋應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

縱筋在底座中的拔出采用Zhao Jian提出的Bond_SP01[9]材料模擬，骨架曲線如圖2所示，其中E為鋼筋彈性模量，fy為鋼筋屈服應(yīng)力，Sy為屈服滑移量，fu 為極限應(yīng)力，Su為極限滑移量，b為剛度折減系數(shù)。Sy計(jì)算公式如下：

(1)

式中db為鋼筋直徑，α是局部粘結(jié)滑移參數(shù)，取0.4。fc’為混凝土強(qiáng)度。另根據(jù)經(jīng)驗(yàn)計(jì)算可得，Su=(30~40)Sy，b取(0.3~0.5)，R取(0.5~1.0)。

圖2 Bond_SP01鋼筋應(yīng)力-滑移骨架曲線

2.2 數(shù)值分析模型

基于OpenSees中的纖維梁柱單元和零長度轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧單元建立數(shù)值分析模型，如圖3所示。非線性梁柱單元用于模擬橋墩的非線性彎曲變形。將Bond_SP01材料賦予零長度轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧單元，用于模擬底部縱筋拔出變形。纖維梁柱單元與零長度轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧單元基于相同的纖維劃分，唯一的區(qū)別是非線性梁柱單元截面內(nèi)的鋼筋材料使用Reinforcing Steel，而零長度轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧單元截面內(nèi)的鋼筋材料使用Bond_SP01。

圖3 數(shù)值分析模型

3 滯回曲線對比

數(shù)值模型考慮了彎曲變形和底部縱筋的拔出變形，圖4為模擬A10，A12，407，415試件得到的墩頂滯回曲線以及與試驗(yàn)結(jié)果的對比情況?？梢钥闯觯囼?yàn)值和模擬值非常接近，模型的準(zhǔn)確性主要體現(xiàn)于以下幾個(gè)方面：

其一，模擬得到的橋墩極限荷載與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合。表明模型在強(qiáng)度范疇內(nèi)獲得了很好的精度，這也是工程設(shè)計(jì)人員最為關(guān)注的模擬結(jié)果。

其二，模型很好的預(yù)測了試件最終破壞階段(對應(yīng)滯回曲線下降段)的強(qiáng)度和剛度退化行為。各試件在最終破壞階段，模擬得到的滯回曲線強(qiáng)度、剛度均表現(xiàn)出顯著降低的趨勢，且與試驗(yàn)結(jié)果較好的吻合，這是三維實(shí)體單元模型很難模擬得到的結(jié)果[2]。表明模型可很好模擬鋼筋混凝土橋墩的倒塌破壞行為。

第三，模擬得到的各試件初始剛度與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好。對于彎曲破壞試件，僅依靠纖維梁柱單元模擬得到的試件初始剛度一般較試驗(yàn)結(jié)果偏大，主要是由于忽略了試件縱筋拔出變形的影響所致。本文由于基于零長度轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧單元考慮了縱筋拔出變形，因此獲得了更好的模擬精度[1,4]。

總之，本文基于OpenSees平臺(tái)建立的分析模型可對橋墩滯回性能進(jìn)行非常準(zhǔn)確的模擬分析。可供相關(guān)科研和工程技術(shù)人員參考。

需要說明，本文參考的4個(gè)橋墩試件均為彎曲破壞模式，實(shí)際橋墩中，由于受地形及場地條件限制，存在大量矮墩，且易于發(fā)生剪切或彎剪破壞，開展此類橋墩構(gòu)件抗震數(shù)值模擬工作將是橋梁抗震領(lǐng)域的重要發(fā)展方向。

(a)A10

(b)A12

(c)407

(d)415

圖4 模擬與試驗(yàn)滯回曲線的對比

4 結(jié)論

基于OpenSees建立了4個(gè)考慮彎曲變形和縱筋拔出變形的橋墩抗震數(shù)值分析模型，并與試驗(yàn)滯回曲線進(jìn)行了對比?？傮w來看，兩者滯回曲線吻合較好，數(shù)值模型能較好的模擬出墩柱的極限強(qiáng)度、初始抗彎剛度以及最終倒塌階段的強(qiáng)度和剛度退化行為，表明模型建立正確，并具有較高的模擬精度。

參考文獻(xiàn):

[1] 孫治國,王東升,李宏男,等.鋼筋混凝土橋墩彎剪數(shù)值分析模型[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2013,30(2):249-254.

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第3篇：數(shù)值分析范文

在計(jì)算機(jī)上運(yùn)用數(shù)值分析解決實(shí)際問題的過程為：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)模型→數(shù)值計(jì)算方法→程序設(shè)計(jì)→上級計(jì)算求出結(jié)果[1]。數(shù)值實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)充分體現(xiàn)這一過程，同時(shí)也應(yīng)當(dāng)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想. 而目前地方高校在數(shù)值分析課程的教學(xué)與實(shí)驗(yàn)中，普遍存在重理論、輕實(shí)踐、純數(shù)學(xué)十足的問題，部分即使避免這些問題，做到利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行可視化教學(xué)和算法編程實(shí)踐，但學(xué)生也缺乏分析問題、解決問題的能力，因?yàn)閷W(xué)生的算法與程序多是百度而來，缺乏思考. 因此，數(shù)值分析課程的數(shù)值實(shí)驗(yàn)因當(dāng)因時(shí)而異，因?qū)I(yè)而異，緊跟時(shí)展，做到充分吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，讓學(xué)生積極主動(dòng)的去想辦法解決問題，而非被動(dòng)的接受。這樣的數(shù)值實(shí)驗(yàn)才能有效培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力。

數(shù)值分析的內(nèi)容廣泛，包含插值擬合、數(shù)值積分與數(shù)值微分、數(shù)值代數(shù)、微分方程數(shù)值解法、非線性方程與方程組的數(shù)值解法，最優(yōu)化等等。下面以插值擬合、微分方程數(shù)值解法、非線性方程數(shù)值解法、最優(yōu)化的相關(guān)實(shí)際問題為例，研究數(shù)值實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)。

2 結(jié)束語

通過以上案例發(fā)現(xiàn)：如果知道解決實(shí)際問題的數(shù)值分析方法，利用MATLAB能很方便的求出實(shí)際問題的結(jié)果。但是對于多數(shù)學(xué)生而言，由實(shí)際問題無法得到數(shù)學(xué)模型，更無法知道相應(yīng)的數(shù)值分析方法。因此在學(xué)生有一定數(shù)值分析基礎(chǔ)后，才能引入這些實(shí)際問題的數(shù)值實(shí)驗(yàn)；同時(shí)選取的數(shù)值實(shí)驗(yàn)必須為學(xué)生深入研究預(yù)留了空間，因?yàn)樵谥v解相關(guān)的知識背景，詳細(xì)分析問題，建立模型后，對學(xué)生進(jìn)行的是分層次指導(dǎo)解決這些問題（即或利用MATLAB函數(shù)命令簡單編程計(jì)算，或利用MATLAB的專用工具箱計(jì)算，或設(shè)計(jì)算法流程利用MATLAB編程計(jì)算）；這樣每一個(gè)學(xué)生都能參與到實(shí)驗(yàn)中來，每一個(gè)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中都有收獲；最后撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告，闡明實(shí)驗(yàn)的目的、要求、過程、收獲等.如此，通過這些數(shù)值實(shí)驗(yàn)，學(xué)生既自己動(dòng)手解決實(shí)際問題，培養(yǎng)了其綜合應(yīng)用能力，又讓其充分體會(huì)到數(shù)值分析的魅力，為大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽和后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).當(dāng)然，隨著技術(shù)的進(jìn)步，不同專業(yè)的數(shù)值分析應(yīng)用實(shí)驗(yàn)需要教師不停的探索和研究。

參考文獻(xiàn)：

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第4篇：數(shù)值分析范文

Abstract： Based on the bubble dynamic equation under the consideration of liquid surface tension, viscosity and radiative resistance, this essay adopted numerical simulations to investigate single cavitation bubble dynamics with different kinds of acoustic driving frequencies and bubble initial radiuses.

關(guān)鍵詞： 超聲空化；空化氣泡；數(shù)值分析

Key words： ultrasonic cavitation；cavitation bubble；numerical analysis

中圖分類號：G30文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1006-4311（2011）01-0196-02

0引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，超聲已在眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，在這些應(yīng)用中，超聲空化是引發(fā)各種物理、化學(xué)和生物效應(yīng)的主要機(jī)理，這些效應(yīng)與瞬態(tài)空化氣泡崩潰時(shí)所產(chǎn)生的高溫高壓等現(xiàn)象有關(guān)。在研究單一空化氣泡動(dòng)力學(xué)過程的方法中，數(shù)值分析是除理論和實(shí)驗(yàn)方法之外的一種研究方法，至少有兩方面原因表明它是必要的。首先，由于氣泡運(yùn)動(dòng)過程中高度的非線性，使得從理論上建立能夠精確描述空化過程的方程實(shí)際上是不可能的，其次，微米級大小的空化氣泡半徑和持續(xù)時(shí)間為微秒至納秒級的氣泡運(yùn)動(dòng)周期使得實(shí)驗(yàn)測量也難以進(jìn)行。本文基于考慮了液體表面張力、液體粘滯性和輻射阻尼的氣泡運(yùn)動(dòng)方程，采用數(shù)值分析中Runge-Kutta方法研究在不同聲場頻率和氣泡初始半徑條件下單一空化氣泡的運(yùn)動(dòng)過程。

1氣泡動(dòng)態(tài)的數(shù)值分析

考慮了液體表面張力、液體粘滯性和輻射阻尼的單一空化氣泡運(yùn)動(dòng)方程：

R+=P+-P-P-

-+P+-P（1）

方程（1）是二階常微分方程，使用Runge-Kutta方法求解時(shí)應(yīng)當(dāng)用替換法化為形如y′=f（x，y）的一階微分方程組，再加以使用。方程（1）可化為下列一階方程組：

y=R′y′=f（t，R，R′）=-（R′）+P+-P-P--R′+P+-PR?佐=R，y?佐=R′?佐=0

若設(shè)時(shí)間步長為h，則使用Runge-Kutta方法求每個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)上對應(yīng)氣泡半徑大小Rn的遞推公式為：

R=R+hR+k+k+kR=R+k+2k+2k+kk=hft，R，Rk=hft+，R+R，R+k=hft+，R+R+k，R+k=hft+h，R+hR+k，R+k

設(shè)聲場激勵(lì)波形為P=Psin（ωt），若聲壓P

f=P+-（2）

同時(shí)假設(shè)氣泡運(yùn)動(dòng)過程為等溫過程，即方程（1）中的泡內(nèi)氣體多方指數(shù)n=1。計(jì)算時(shí)與液體相關(guān)的各參數(shù)取值分別為：液體密度ρ=1000kg/m3，液體表面張力系數(shù)σ=0.076N/m，液體粘滯系數(shù)μ=0.001kg/（m•s），液體中聲速c=1481m/s，液體中的靜壓P=1.013×105Pa。

下面研究單頻聲場激勵(lì)下，聲場頻率f和氣泡初始半徑R對氣泡動(dòng)態(tài)的影響。具體為計(jì)算f和R在不同的取值條件下，空化氣泡半徑隨時(shí)間的變化曲線，即R（t）曲線。

1.1 聲場頻率對氣泡動(dòng)態(tài)的影響給定氣泡初始半徑R，通過改變聲場頻率f的大小，討論fa的變化對氣泡動(dòng)態(tài)的影響。設(shè)聲場激勵(lì)為P=-Psin（2πft），P=5.0×105Pa，R=0.6μm，由公式（2）得到其自然共振頻率f=7.55MHz。若取f=20MHz，則反映氣泡動(dòng)態(tài)的R（t）曲線為圖1所示，氣泡在多個(gè)聲波周期內(nèi)做復(fù)雜振蕩。

若取f=7MHz，則R（t）曲線為圖2所示，氣泡在一個(gè)聲周期內(nèi)即趨向崩潰。需要指出，這里所說的趨向崩潰是指氣泡半徑在增大到最大值后急劇向R=0趨近。

氣泡在不同聲場頻率激勵(lì)下其趨向崩潰的程度是不同的。圖3顯示了聲場頻率從4MHz變化到10MHz時(shí)，氣泡在趨向崩潰時(shí)的半徑與其初始半徑之比R/R0的變化趨勢。

通常認(rèn)為:當(dāng)超聲波頻率與氣泡的自然共振頻率相等時(shí)，超聲波與氣泡之間就達(dá)到了最有效的能量耦合，氣泡將迅速崩潰。但數(shù)值計(jì)算的結(jié)果表明，當(dāng)f=f時(shí)，氣泡半徑在通常所指的崩潰階段趨向0，但不為0；當(dāng)f小于f至一定限度時(shí)，氣泡半徑才在10-5數(shù)量級上趨向0，這時(shí)可以認(rèn)為氣泡徹底崩潰；當(dāng)f大于f至一定限度時(shí)，氣泡可在多個(gè)聲波周期內(nèi)穩(wěn)定振蕩，且振蕩波形復(fù)雜無規(guī)律。

同時(shí)大量實(shí)驗(yàn)研究表明，隨著頻率升高，聲空化過程變得難以發(fā)生。對這種現(xiàn)象的定性解釋為：頻率增高，聲波膨脹相的時(shí)間相應(yīng)變短（如f=20kHz，其膨脹時(shí)間為25μs；如f=20MHz，其膨脹時(shí)間為25ns），氣泡核來不及增長到可產(chǎn)生效應(yīng)的空化氣泡，或者即便空化氣泡可以形成，但由于壓縮相時(shí)間也短，空化氣泡可能來不及收縮至發(fā)生崩潰。為使在較高頻率下產(chǎn)生空化，可以提高聲強(qiáng)，即空化閾值將隨頻率升高而增大。此外，從聲波的傳播特性可知，頻率升高，聲波的傳播衰減將增大，這也使得空化強(qiáng)度減弱以及可能發(fā)生空化的區(qū)域減小。

1.2 氣泡初始半徑對氣泡動(dòng)態(tài)的影響給定聲場頻率f，計(jì)算氣泡取不同初始半徑R時(shí)的動(dòng)態(tài)曲線R（t）。設(shè)P=P=1.013×105Pa，f=20KHz，這是超聲工業(yè)清洗及聲化學(xué)中較常使用的頻率，按照公式（2）與其對應(yīng)的共振氣泡半徑為R=150μm。圖4為R從60μm變化到160μm氣泡趨向崩潰時(shí)R/R的變化趨勢。同樣可以看出，當(dāng)聲場頻率一定時(shí)，在該頻率上自然共振的空化氣泡并沒有徹底崩潰，而是那些半徑小于自然共振半徑至一定限度的氣泡才趨向徹底崩潰，半徑大于該自然共振半徑的氣泡將持續(xù)振蕩若干周期而不崩潰。

一般情況下，當(dāng)時(shí)，計(jì)算得出下述結(jié)論：對初始半徑大于共振半徑的氣泡，將發(fā)生復(fù)雜的持續(xù)振蕩，一般不會(huì)崩潰；對初始半徑小于共振半徑的氣泡，隨著聲壓負(fù)壓相的到來而不斷增大，當(dāng)聲壓正壓相到來時(shí)，氣泡先因慣性繼續(xù)生長到最大半徑，然后迅速收縮，直到崩潰。

2結(jié)論

本文采用Runge-Kutta數(shù)值分析方法研究在不同聲場頻率和氣泡初始半徑條件下單一空化氣泡的運(yùn)動(dòng)過程，數(shù)值分析結(jié)果表明，當(dāng)給定氣泡初始半徑大小時(shí)，聲場頻率在小于氣泡自然共振頻率至一定限度時(shí)，氣泡將迅速崩潰，而大于該共振頻率時(shí)，氣泡將持續(xù)振蕩而不崩潰，即隨著聲場頻率升高，聲空化將難以發(fā)生；當(dāng)給定聲場頻率時(shí)，只有其半徑小于與該頻率對應(yīng)的氣泡自然共振半徑至一定限度的氣泡才會(huì)徹底崩潰，半徑大于該自然共振半徑的氣泡將做持續(xù)振蕩。

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第5篇：數(shù)值分析范文

【關(guān)鍵詞】金屬管材；端部；內(nèi)卷成形加工；數(shù)值分析

金屬管件端部加工處理主要包括向內(nèi)或向外反轉(zhuǎn)、向內(nèi)或向外卷邊、推拔縮口或擴(kuò)口等幾種形式，但處理過程中易發(fā)生管部或底屈緣破裂問題，因而通常無法成形。本文通過軸對稱彈塑性大變形理論，對金屬管件端部內(nèi)卷成形加工進(jìn)行了探討，同時(shí)分析了、管厚幾何尺寸、管高、管件材質(zhì)材料和沖頭半角等對于管件端部內(nèi)卷成形加工產(chǎn)生的影響進(jìn)行了分析[1]。

一、理論基礎(chǔ)

1.1 有限元公式

有限元計(jì)算過程中，應(yīng)將管件模型劃分為數(shù)個(gè)有限單元，設(shè)定所有單元的速度分布：

其中，[E]表示速度關(guān)系-速度梯度矩陣，[B]表示速度關(guān)系-速率矩陣，[N]表示形函數(shù)，yvjrt32表示節(jié)點(diǎn)速度。

因?yàn)椴牧媳緲?gòu)關(guān)系式和virtual velocity原理方程的變化率屬于線性方程式，因而能夠表示為增量方式。利用有限元離散化的標(biāo)準(zhǔn)步驟，能夠獲得大變形的統(tǒng)一剛性方程式：

其中，S、V分別表示表面積和單元體積，[G]和[Q]表示應(yīng)力修正矩陣，{F}表示節(jié)點(diǎn)力的增量，{u}表示節(jié)點(diǎn)位移增量，[K]表示整體的彈塑性剛性矩陣[2]。

1.2 本構(gòu)關(guān)系

分析彈塑性本構(gòu)關(guān)系需進(jìn)行如下假設(shè)：第一，塑。相關(guān)聯(lián)的塑性流動(dòng)本構(gòu)方程、Von Mises屈服函數(shù)和等向應(yīng)變硬化。第二，彈。小應(yīng)變、線彈性和各向同性[3]。

在有限塑性變形和小彈性變形中，本構(gòu)關(guān)系可表示為：

其中，σ（σij）表示Von Mises屈服函數(shù)，δij表示Kronecker符號，V表示泊松比，E表示彈性模量，H‘表示應(yīng)變硬化率，f表示初始屈服函數(shù)，表示彈性系數(shù)，表示彈塑性系數(shù)。

上述方程式的本構(gòu)方程是應(yīng)用于同性材料可以表示為：

其中，α=0為卸載或是彈性狀態(tài)，α=1為塑性狀態(tài)，σij'為σij的偏量部分。

材料的等效塑性-等效應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式能夠表示為：

其中，ε0表示初應(yīng)變，εp表示等效塑性應(yīng)變，σ表示等效應(yīng)力，n表示應(yīng)變硬化指數(shù)，C表示材料常數(shù)[4]。

1.3 虛功原理

使用ULF增量形式對彈塑性變形進(jìn)行描述，ULF虛功原理可表示為：

其中，Sf和V表示作用力的作用面積和材料體積，Lik表示節(jié)點(diǎn)的速度梯度張量，ti為單位面積物體表面所承受的力變化率分量，δvi、δLij和δ'εij表示的是節(jié)點(diǎn)的虛速度梯量、虛速度梯度張量和虛應(yīng)變力張量，'εij表示應(yīng)變速率張量，εij表示應(yīng)變張量，σij表示應(yīng)力速率張量，σjk表示Cauchy應(yīng)力張量[5]。

二、數(shù)值分析

利用上述的理論模型，對金屬管材端部內(nèi)卷成形加工過程實(shí)施數(shù)值分析。因?yàn)榻饘俟懿亩瞬拷饘俟懿亩瞬康木磉厡儆谳S對稱性狀，所以，僅僅需要對模型的一部分進(jìn)行分析。圖1中代表的是模具和弓箭的初始階段裝置狀況，在處理坐標(biāo)方面，同時(shí)利用局部坐標(biāo)（l，n）和固定坐標(biāo)（r，z）兩種。以局部坐標(biāo)（l，n）表示與工具接觸的節(jié)點(diǎn)，不以固定坐標(biāo)（r，z）表示與工具接觸的節(jié)點(diǎn)。前文所述的坐標(biāo)，是在局部坐標(biāo)中，利用右手定則確定，n軸是工具和管材接觸的法線方向，而l軸是工具和管材接觸的切線方向[6]。

表1表示的是數(shù)值模擬的材料參數(shù)，管厚分為0.8mm、0.6mm和0.4mm三種型號，管件外徑為25.4mm，金屬管材的彈性模數(shù)和泊松比為110740MPa和0.33。

GA線段是金屬管件地段的特定邊界，設(shè)定這一部位節(jié)點(diǎn)的z軸方向位移增加量是零，然而，B節(jié)點(diǎn)是完全固定的[7]。

三、總結(jié)

第一，隨著模具角度值的擴(kuò)大，C值也會(huì)相應(yīng)增大，在卸載過程中，C值的變化不會(huì)受到工具位移和模具角度等因素的影響，也就是軸對稱的金屬管材端部向內(nèi)卷邊成形過程中不會(huì)發(fā)生十分明顯的彈回現(xiàn)象。

第二，由于金屬管材制作材料的不同，其端部向內(nèi)卷邊成形是的臨界角度值也會(huì)發(fā)生1b至2b不等的差異，同時(shí)，金屬管材端部內(nèi)卷成形的趨勢基本相同，且具有較高的相似性。

第三，縮口成形制造過程中，模具表面與管端之間的接觸狀況存在一定的差異。

第四，金屬管材端部內(nèi)卷成形負(fù)荷分布情況會(huì)直接受到模具角度值差異和是否受到引導(dǎo)筒作用的影響。

第五，利用引導(dǎo)筒對金屬管材圓筒部外側(cè)的管材變形程度進(jìn)行嚴(yán)格控制，從而避免金屬管材端部外側(cè)發(fā)生座屈現(xiàn)象，受到引導(dǎo)筒作用的影響，模具角度值能夠在不超過123b的情況下出現(xiàn)向內(nèi)卷邊成形，相反，則會(huì)出現(xiàn)縮口成形現(xiàn)象。

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第6篇：數(shù)值分析范文

關(guān)鍵詞：數(shù)值分析；巖質(zhì)高邊坡；邊坡設(shè)計(jì)

引言：

土坡一般有均值坡體或者是比較相似的土質(zhì)坡體特征，但是巖質(zhì)高邊坡穩(wěn)定性完全受內(nèi)部結(jié)構(gòu)控制，只有通過分均值坡體來考慮楔形體穩(wěn)定性。因?yàn)閹r質(zhì)高邊坡高度比較高，開挖后容易產(chǎn)生變形，所以設(shè)計(jì)時(shí)必須要考慮到變形與滾石等問題，且高度決定了巖質(zhì)高邊坡在施工時(shí)容易出現(xiàn)安全事故，影響施工的正常開展。本文將以巖質(zhì)高邊坡實(shí)況為例，通過數(shù)值計(jì)算的方式來明確其設(shè)計(jì)要點(diǎn)。

1.工程概況

以某高速公路建設(shè)實(shí)況為例，闡述數(shù)值分析在巖質(zhì)高邊坡設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。該高速公路因?yàn)橛?jì)劃建設(shè)范圍有廢棄的采石場，所以當(dāng)?shù)氐牡孛渤霈F(xiàn)了較明顯的變化，只有通過高邊坡的方式來建設(shè)路塹。在實(shí)際施工中，邊坡的最大開挖高度在80m左右，碎落的太寬長度測量為10m，除了第六級以及第三級之外，其余所有的平臺(tái)寬度都是2m。坡高較大并且整個(gè)邊坡均屬于中風(fēng)化的巖體。

2.穩(wěn)定性分析

控制巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的主要因素是巖體結(jié)構(gòu)面，設(shè)定巖體屬于均質(zhì)材料，對坡體采用畫面搜索的方式進(jìn)行處理，將最終得出的穩(wěn)定系數(shù)作為穩(wěn)定性計(jì)劃參考。邊坡穩(wěn)定性分析所用的巖體參數(shù)需要工作人員對和碎石粉質(zhì)粘土、強(qiáng)風(fēng)化灰?guī)r以及中風(fēng)化灰?guī)r進(jìn)行檢測才能得出[1]。

假定坡體為均質(zhì)體，采用最不利畫面方法對其進(jìn)行搜索，分析其穩(wěn)定性，所得出的結(jié)果可以用做參考。巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性受巖體內(nèi)部結(jié)構(gòu)面控制，且結(jié)構(gòu)面產(chǎn)生的坡體巖塊楔形體穩(wěn)定性也是對巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行分析時(shí)需要明確的一項(xiàng)檢測內(nèi)容。通常情況下，可以使用楔形體穩(wěn)定的方式來分析坡體局部巖塊的穩(wěn)定性，結(jié)合地址的概況，明確組合對坡體穩(wěn)定會(huì)產(chǎn)生不利的影響。不同的節(jié)理與開挖坡面會(huì)形成不穩(wěn)定楔形體，工作人員必須要通過楔形體穩(wěn)定來分析其穩(wěn)定性[2]。

使用楔形體穩(wěn)定分析方法對其分析發(fā)現(xiàn)，邊坡開挖以后，整體穩(wěn)定性比較好。從現(xiàn)有地質(zhì)資料信息上看，可以判定該施工方式可以滿足坡體的穩(wěn)定性需求。

3.巖質(zhì)邊坡應(yīng)力及變形

巖質(zhì)邊坡的巖體總體力學(xué)性質(zhì)要比其余部分的力學(xué)性質(zhì)好，且穩(wěn)定性比較強(qiáng)。因?yàn)檫吰赂叨缺容^大，所以必須對邊坡開挖以后坡體的盈利分布情況以及坡體的變形情況進(jìn)行分析，使用二維有限元平面應(yīng)變模型即可對其應(yīng)變情況進(jìn)行研究。從地址概況以及地形資料的實(shí)際情況入手，構(gòu)建有限元建模，而邊坡的坡體則可以按照中風(fēng)化凝灰?guī)r的形式進(jìn)行考慮。在開挖以后，對應(yīng)力進(jìn)行分析，該工程開挖后顯示各級的坡體在坡腳附近均存在應(yīng)力集中的情況，而且因?yàn)槠侣时容^緩，所以應(yīng)力的集中水平比較差，坡腳位置最大應(yīng)力在250左右，這一應(yīng)力數(shù)值不會(huì)使坡體產(chǎn)生屈服性破壞[3]。從整體情況上看，根據(jù)有限元的結(jié)果來分析，秉承摩爾庫倫破壞準(zhǔn)則，該坡面附近的巖體是不會(huì)產(chǎn)生破壞的，可以進(jìn)行施工。除了要對坡體的應(yīng)力進(jìn)行分析，在準(zhǔn)備對邊坡開挖以及開挖之后邊坡會(huì)產(chǎn)生的位移也是必須要考慮到的一個(gè)要素。將開挖之前坡體產(chǎn)生的位移作為基礎(chǔ)來預(yù)測開挖之后坡體的整移變化情況。該工程的坡面最大位移達(dá)到25mm，而且位移朝向開挖的臨空面，屬于回彈性位移，坡體整體顯示比較穩(wěn)定[4]。

4.滾石路徑估算

坡面的滾石問題會(huì)影響到高邊坡設(shè)計(jì)質(zhì)量，因?yàn)楦哌吰碌母叨缺容^高，如果沒有妥善的對其進(jìn)行處理，很容易出現(xiàn)各種潛在的危害，影響工程施工質(zhì)量，且對公路的危害比較大。高邊坡設(shè)計(jì)必須要融入滾石路徑估算，對可能產(chǎn)生的公路運(yùn)營滾石采取一些防范措施，控制施工，將產(chǎn)生危險(xiǎn)的幾率控制在最低的范圍內(nèi)。滾石滑落路徑可以通過彈射算法以及滑動(dòng)算法等方式進(jìn)行模擬，在滿足初始計(jì)算條件的基礎(chǔ)上，按照彈射算法計(jì)算滾石空氣運(yùn)動(dòng)或者是在兩點(diǎn)之間互跳斜坡的指數(shù)。按動(dòng)算法來計(jì)算滾石和邊坡的接觸過程，模擬整體計(jì)算過程，判斷滾石位置以及滾石的初始速度，控制邊坡的坡面性質(zhì)，通過對參數(shù)進(jìn)行隨機(jī)分析的方式來明確數(shù)值。模擬初始條件進(jìn)行計(jì)算，首先假設(shè)邊坡在開挖以后不穩(wěn)塊體會(huì)沿著坡面產(chǎn)生，且塊體的初始程度擬定為0m，速度標(biāo)準(zhǔn)差控制在0，塊體的質(zhì)量是10KG，模擬400次塊體下落軌跡，通過模擬計(jì)算的方式來明確其設(shè)計(jì)要點(diǎn)。軌跡模擬是可以在不同坡面下進(jìn)行的，與滾石的下落軌跡進(jìn)行對比，明確計(jì)算結(jié)果。坡面可以在新鮮巖石也可以是被植被覆蓋的坡面[5]。

在皮面比較寬的平臺(tái)上設(shè)置一些被動(dòng)的防護(hù)網(wǎng)，控制滾石，使?jié)L石不至于滑落到公路施工現(xiàn)場。滾石路徑模擬結(jié)果可以按照塊體下落軌跡要求及規(guī)律來明確，保證防護(hù)網(wǎng)設(shè)置的科學(xué)性。三級平臺(tái)之下滾石因?yàn)槠赂弑容^小，并且碎落的臺(tái)上是有一些植被和小草可以緩沖其能量的，所以對彈跳高度的影響比較小，很難危害路面結(jié)構(gòu)以及對來往車輛造成影響。通過對滾石路徑進(jìn)行模擬可發(fā)現(xiàn)，坡面條件對直接影響滾石路徑，并且如果邊坡的高度比較大，可以通過碎落臺(tái)覆土以及被動(dòng)防護(hù)網(wǎng)等方式來控制滾石，降低潛在的風(fēng)險(xiǎn)，提升施工安全性[6]。

結(jié)束語：

經(jīng)濟(jì)發(fā)展是我國主要發(fā)展方向之一，而公路的實(shí)用性更是影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展要素。在工程設(shè)計(jì)中，巖質(zhì)高邊坡的設(shè)計(jì)考慮因素不同于土質(zhì)邊坡，巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性常為巖體內(nèi)結(jié)構(gòu)面的組合等因素所控制，須分析楔形體巖塊的穩(wěn)定性。在設(shè)計(jì)中可以用楔形體穩(wěn)定方法分析坡體局部巖塊的穩(wěn)定性，而以巖質(zhì)坡體作為均質(zhì)體，用搜索最不利（優(yōu)化）圓弧滑面的方法得到的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)果僅作為設(shè)計(jì)的參考。高邊坡坡體內(nèi)應(yīng)力，開挖后坡體變形問題可以采用有限元按照不同的工況進(jìn)行分析，查明坡體內(nèi)的應(yīng)力分布，減少因?yàn)槠麦w產(chǎn)生破壞或者是坡體的密度過大導(dǎo)致影響坡體穩(wěn)定性的事情發(fā)生。坡面的滾石問題是巖質(zhì)高邊坡設(shè)計(jì)的關(guān)鍵方向之一，可以通過彈射算法以及滑動(dòng)算法結(jié)合的方式來模擬，將模擬結(jié)果作為參考因素來完成設(shè)計(jì)。從滾石路徑模擬結(jié)果入手，改變坡面形狀以及坡面的性質(zhì)等，將滾石對公路車輛的危害控制在最小的范圍內(nèi)，提升設(shè)計(jì)的科學(xué)性。

參考文獻(xiàn)：

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[3]姚環(huán)，秦剛，沈驊. 石崆山Ⅱ號段巖質(zhì)高邊坡穩(wěn)定性的有限單元法（FEM）分析評價(jià)[J]. 地球與環(huán)境，2015，S1：265-269.

[4]宋勝武，馮學(xué)敏，向柏宇，邢萬波，曾勇. 西南水電高陡巖石邊坡工程關(guān)鍵技術(shù)研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2011，01：1-22.

第7篇：數(shù)值分析范文

關(guān)鍵詞：混凝土結(jié)構(gòu)；溫度變形；溫度內(nèi)力；數(shù)值分析；有限元；ANSYS

中圖分類號：TU311.4；TB115文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Numerical analysis on internal force of reinforced concrete structure caused by temperature

ZHU Cimian， GU Shaoyi

(College of Civil Eng., Tongji Univ., Shanghai 200092, China)

Abstract：To study temperature effect of concrete structures, the numerical analysis on temperature deformation and internal force caused by temperature distribution of reinforced concrete frame structures, frame-shearwall structures and shearwall structures are done using ANSYS. Typical computational models are established respectively for the structures with different longitudinal lengths, storeys and forming characteristics, which are analyzed under the assumption with or without temperature difference between inside and outside the structures. The temperature deformation and internal force distribution are obtained. The main conclusions are valuable to structure engineers.

Key words：reinforced concrete structure; temperature deformation; internal force caused by temperature; numerical analysis; finite element; ANSYS

0引言

隨著我國各種大型公共和民用建筑建設(shè)的迅速增長，因溫度變化引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)力越來越受到設(shè)計(jì)人員的關(guān)注，特別是有些大型建筑物雖然其尺度已超過設(shè)計(jì)規(guī)范[1,2]有關(guān)伸縮縫設(shè)置間距的限值，但因使用功能上的需求，或是從有利于結(jié)構(gòu)整體工作出發(fā)，或是為解決建筑物地庫的防水問題，常希望不設(shè)或少設(shè)伸縮縫.這樣便需要對建筑物因溫度變化而引起內(nèi)力變化的規(guī)律、影響因素以及減小結(jié)構(gòu)溫度內(nèi)力的措施[3]等問題進(jìn)行深入研究，以實(shí)現(xiàn)在確保建筑物安全的前提下滿足使用要求.

本文利用大型通用有限元分析軟件ANSYS建立合理的計(jì)算模型，分析混凝土框架、框架―剪力墻及剪力墻結(jié)構(gòu)的溫度變形和內(nèi)力，并根據(jù)各種典型算例的結(jié)果總結(jié)出溫度變形特點(diǎn)和內(nèi)力分布規(guī)律.考慮建筑物內(nèi)、外有無溫差兩種溫變條件，對上述結(jié)構(gòu)分別取不同的長度、結(jié)構(gòu)層數(shù)和平面形狀進(jìn)行分析.

1有限元計(jì)算模型

利用ANSYS有限元程序分析時(shí)，框架梁和柱采用三維梁單元, 樓板和剪力墻采用板殼單元.其中梁采用BEAM188單元，柱采用BEAM189單元，兩者均基于TIMOSHENKO理論，考慮了剪切變形的影響.樓板和剪力墻采用SHELL63單元.雖然鋼筋會(huì)對混凝土的收縮變形產(chǎn)生自約束應(yīng)力，但由于鋼材和混凝土具有相近的線膨脹系數(shù)，而且一般混凝土結(jié)構(gòu)配筋率較低，上述自約束應(yīng)力一般可以忽略.

計(jì)算分析時(shí)通過對彈性模量予以折減來考慮應(yīng)力松弛所引起的溫度內(nèi)力的降低.文獻(xiàn)[4]建議在混凝土結(jié)構(gòu)年溫差應(yīng)力分析中：計(jì)算模量可取混凝土抗壓彈性模量的0.2～0.5倍.計(jì)算模型混凝土強(qiáng)度等級為C30，相應(yīng)計(jì)算模量取抗壓彈性模量的0.3倍，即9×109 N/m2；泊松比取0.2；混凝土線膨脹因數(shù)取0.000 01.

在進(jìn)行溫度內(nèi)力分析時(shí)作如下假定：（1） 各柱在基礎(chǔ)頂面處均為固定端；（2） 混凝土開裂前材料各向同性；（3）構(gòu)件兩側(cè)溫度不同時(shí)，計(jì)算溫變根據(jù)線性變化原則確定.

溫變載荷采用以下兩種：(1） 無溫差，室、內(nèi)外均勻溫降40℃；(2）有溫差，室外溫降40℃，室內(nèi)溫降20℃；屋面因有保溫層，構(gòu)件頂面溫降取30℃，此時(shí)構(gòu)件計(jì)算溫降為（30℃+20℃）/2=25℃；外沿構(gòu)件溫降為（40℃+20℃）/2=30℃.

2框架結(jié)構(gòu)溫度變形和內(nèi)力

框架結(jié)構(gòu)算例平面大致見圖1，其縱向長度分別為54 m和72 m(超規(guī)范限值)，圖中打叉處表示結(jié)構(gòu)平面變化時(shí)去除此部分；框架層高4.5 m，分為2，5，10層3種情況；柱截面為500 mm×500 mm，梁截面為300 mm×600 mm，樓板厚度為140 mm.

5層框架結(jié)構(gòu)在均勻溫降40℃作用下的變形見圖2.表1所列為計(jì)算求得的縱軸X上各框架柱層間位移數(shù)值，可見各柱的最大層間位移均發(fā)生在底層，以上各層的層間位移迅速減小并趨向于0，且層間位移在結(jié)構(gòu)中部較小，向兩側(cè)則呈遞增趨勢.

縱軸X上柱子的彎矩見圖3，可見柱子的最大彎矩發(fā)生在層間位移最大的底層，尤以邊柱彎矩最大，以上各層柱子的彎矩迅速減小，2層以上柱彎矩趨于0.

樓面梁和樓面板由于溫降作用所引起的縱向力是因框架柱對于樓面結(jié)構(gòu)溫降收縮的約束作用而產(chǎn)生的，縱軸X上各框架梁所受軸力見圖4，其中正值表示梁軸向受拉.由圖中可見樓面結(jié)構(gòu)的縱向力一般為拉、壓交替出現(xiàn).

框架結(jié)構(gòu)的縱向長度增至72 m時(shí)，縱軸X上柱子的彎矩見圖5.對比圖3可知，柱子的彎矩值增加約30％，與結(jié)構(gòu)縱向長度的增長幅度相當(dāng).當(dāng)室外溫降為40℃導(dǎo)致室內(nèi)外有溫差時(shí)，結(jié)構(gòu)變形見圖6，縱軸X上柱子的彎矩見圖7.對比圖3可知，此時(shí)頂層柱子的彎矩明顯增大.對于2層和10層的框架結(jié)構(gòu)，溫度變形和溫度內(nèi)力的變化規(guī)律與5層時(shí)大體相同.

計(jì)算表明：框架平面形狀呈凹凸?fàn)?見圖1)時(shí)結(jié)構(gòu)的溫度內(nèi)力將有明顯減小，特別是縱向外沿處柱子內(nèi)力減小較多，柱彎矩的降低幅度見表2.

3框架―剪力墻結(jié)構(gòu)溫度變形和內(nèi)力

框架―剪力墻結(jié)構(gòu)算例平面見圖8，圖中涂黑部分表示剪力墻和柱子.建筑物縱向長度分別為54 m和72 m（超規(guī)范限值），仍分為2，5，10層3種情況.剪力墻厚度200 mm，結(jié)構(gòu)其余參數(shù)與框架算例相同.

5層框架―剪力墻結(jié)構(gòu)在均勻溫降40℃作用下的變形見圖9，表3為計(jì)算求得的縱軸X上各框架柱層間位移數(shù)值，可見各柱的最大層間位移仍發(fā)生在底層.與表1比較可知，由于剪力墻側(cè)向剛度大，對層間位移有顯著的約束作用.

縱軸X上柱子的彎矩見圖10，可見柱子的最大彎矩仍發(fā)生在層間位移最大的底層，但因?qū)娱g位移減小，所示彎矩值也比圖3明顯減小.縱軸X上各框架梁所受軸力見圖11，可見框架梁軸力仍以2層樓面梁最大，以上各層迅速減小.與圖4比較可知，剪力墻的約束作用使框架梁所承受的縱向軸力明顯加大.縱軸V上由于剪力墻的作用，梁軸力分布發(fā)生變化(圖12)：在設(shè)有剪力墻的柱間梁軸力很小，其相鄰兩跨的梁軸力值較大，且向結(jié)構(gòu)中部呈遞減趨勢.剪力墻中的最大剪應(yīng)力發(fā)生于墻底部.

4剪力墻結(jié)構(gòu)溫度變形和內(nèi)力

本算例為10層剪力墻結(jié)構(gòu)，層高4.5 m，剪力墻平面布置見圖13，墻厚200 mm，所有連系梁截面為200 mm×600 mm，樓板厚度為140 mm.

該10層剪力墻結(jié)構(gòu)在均勻溫降40℃作用下的變形見圖14.由于結(jié)構(gòu)對稱，各層位移亦均呈對稱分布，各樓層的結(jié)構(gòu)平面變形大致相同.

（1）框架、框架―剪力墻和剪力墻結(jié)構(gòu)在均勻溫降作用下的最大層間位移和豎向構(gòu)件的最大內(nèi)力均發(fā)生于底層.

（2）框架和剪力墻結(jié)構(gòu)在均勻溫降作用下，樓面結(jié)構(gòu)的最大縱向力均發(fā)生在2層；同一樓層中層間位移和豎向構(gòu)件內(nèi)力的最大值發(fā)生于結(jié)構(gòu)的端部位置；樓面結(jié)構(gòu)的最大縱向力則發(fā)生于結(jié)構(gòu)的中部位置.但就框架―剪力墻結(jié)構(gòu)而言，上述最大值發(fā)生的位置還與剪力墻的平面布置有關(guān).

（3）均勻溫降作用下結(jié)構(gòu)層間位移、豎向構(gòu)件內(nèi)力和樓面結(jié)構(gòu)縱向力沿結(jié)構(gòu)高度迅速減小，其中以框架結(jié)構(gòu)的減小速度最快，框架―剪力墻結(jié)構(gòu)次之，剪力墻結(jié)構(gòu)的減小速度稍慢.

4）框架結(jié)構(gòu)在均勻溫降作用下樓面結(jié)構(gòu)縱向力一般呈逐層拉、壓交替.

（5）結(jié)構(gòu)的溫度內(nèi)力隨結(jié)構(gòu)縱向長度的增加而增大，在一定范圍內(nèi)兩者的增長幅度大體相當(dāng)，其中框架―剪力墻結(jié)構(gòu)內(nèi)力的增幅受樓面應(yīng)力分布不均勻的影響較大.

（6）結(jié)構(gòu)樓層數(shù)的增加對其溫度位移和溫度內(nèi)力的影響很小.

（7）結(jié)構(gòu)平面的凹凸可使相應(yīng)部位溫度內(nèi)力明顯降低，其內(nèi)力降低的幅度通常在10％以上.

（8）當(dāng)室內(nèi)、外溫度變化不同時(shí)，結(jié)構(gòu)頂層的豎向構(gòu)件以及屋面縱向內(nèi)力均明顯增大.

根據(jù)計(jì)算模型所得結(jié)果，當(dāng)框架結(jié)構(gòu)縱向長度小于混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范所規(guī)定的伸縮縫設(shè)置最大間距限值時(shí)，在溫降40℃的極端條件下，經(jīng)驗(yàn)算因溫度內(nèi)力而需增加的柱子配筋量一般不足15％.但當(dāng)框架結(jié)構(gòu)超長時(shí)，因溫度內(nèi)力而需增加的柱子配筋量將很快增長.

以上結(jié)論可供設(shè)計(jì)人員參考，在相關(guān)工程設(shè)計(jì)中應(yīng)予以充分考慮.

參考文獻(xiàn)：

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[2]JG J3―2002.鋼筋混凝土高層建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與施工規(guī)程[S].北京：中國建筑工業(yè)出版社， 2002.

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第8篇：數(shù)值分析范文

關(guān)鍵詞：有限土體; 土壓力;數(shù)值分析

中圖分類號：TU472文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

Numerical Simulation to Finite Soil Pressure under Slope Condition

LIU Xin, PAN Zhi-feng, HAN Ya-ming

(China HPDI Geotechnical Engineering & Survey CO.,LTD, Beijing 100088, China)

Abstract: This article processed a numerical simulation to the finite soil slope under GeoStudio-SIGMA/W module. With a given angle 75°，soil pressures of three cases, which the top width of finite soil slope are 7.5m, 12m and 15m, were compared. The result is that the distribution of soil pressure strength increases with the increasing of soil top width, meanwhile, it presents a nonlinear distribution along the wall in trends of increasing to decreasing.

Keywords: finite soil; soil pressure; numerical simulation

1 引 言

隨著建筑物密度和基坑開挖深度的增加，在深基坑設(shè)計(jì)中，基坑在多種情況下距已有建筑物很近，此時(shí)，作用在擬建基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)上的土壓力屬于有限土體土壓力范疇，而朗肯或庫侖土壓力理論采用的是半無限土體的假設(shè)條件，對于有限土體并不適合。因此，對有限土體土壓力的分布規(guī)律進(jìn)行合理的分析就成為了當(dāng)前土力學(xué)中重要的課題。

數(shù)值模擬以其直觀的表現(xiàn)形式、對復(fù)雜幾何形狀巖土體的精確模擬和多場耦合等特點(diǎn)在巖土工程分析中的應(yīng)用非常廣泛，得到了研究人員的普遍認(rèn)同。由于連續(xù)介質(zhì)數(shù)值分析方法能考慮基坑開挖與支護(hù)施工過程的許多影響因素，并能直接計(jì)算分析開挖對周圍環(huán)境的影響，目前連續(xù)介質(zhì)數(shù)值分析方法己成為巖土工程計(jì)算分析的強(qiáng)有力的工具。而GeoStudio-SIGMA/W軟件在邊坡穩(wěn)定性分析、路基穩(wěn)定性分析和基坑支護(hù)分析等領(lǐng)域幾乎所有的巖土體應(yīng)力變形問題均能得到良好解決[1-5]。因此本文選擇該軟件對放坡條件下有限土體進(jìn)行數(shù)值模擬，并對該情況下土壓力強(qiáng)度分布規(guī)律進(jìn)行研究。

2 放坡條件下有限土體土壓力數(shù)值分析

2.1數(shù)值模型建立

本次模擬采用二維平面模型進(jìn)行放坡條件下有限土體土壓力的數(shù)值分析。模型長40m高28m，其中擋墻高15m，嵌固深度為5m，對擋墻角度為75°，有限土體頂部寬度分別為7.5m，12和15m的情況以及擋墻垂直時(shí)，有限土體頂部寬度為15m時(shí)的情況進(jìn)行分析。

圖1 數(shù)值模擬模型簡圖

所進(jìn)行數(shù)值分析均基于圖1所建立模型簡圖進(jìn)行分析，計(jì)算模型底部為地基土，在進(jìn)行土體前已經(jīng)固結(jié)壓實(shí)，模型中土體左右兩側(cè)分別為擋土墻和已有建筑物基礎(chǔ)，均為混凝土材料。所建立模型節(jié)點(diǎn)數(shù)在5000左右，單元10000左右。

2.2 邊界條件與參數(shù)

計(jì)算模型邊界條件的設(shè)置為：模型左右兩側(cè)水平約束，不允許水平方向位移，底部邊界條件為水平和豎直方向均設(shè)定約束，頂部為自由邊界。模型左右邊界、底部邊界和頂部邊界均無外在荷載和初始位移速率。整個(gè)模型僅有重力荷載。計(jì)算模型中土體和地基土采用Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則，擋土墻和建筑物采用彈性本構(gòu)模型，計(jì)算中不考慮地下水問題。土體、擋土墻和建筑物的各參數(shù)見表1。

表1 計(jì)算模型參數(shù)

容重

(kN/m3) 內(nèi)摩擦角

(°) 粘聚力

(kPa) 泊松比 壓縮模量

(MPa)

土體 20 20 20 0.25 40

擋墻及建筑物 28 0.2 1000

2.3 模擬過程

每個(gè)數(shù)值計(jì)算模擬分為2個(gè)主要過程：首先構(gòu)建地基土、擋土墻和已有建筑物基礎(chǔ)模型，并施加重力荷載，讓模型在自重應(yīng)力穩(wěn)定，建立背景自重應(yīng)力場。然后進(jìn)行開挖過程模擬，將左側(cè)上部土體開挖掉，計(jì)算土體作用在擋墻上的土壓力大小。

3 數(shù)值模擬結(jié)果分析

為了研究放坡條件下有限土體土壓力的分布規(guī)律，在對數(shù)值模型進(jìn)行計(jì)算中保持土體力學(xué)參數(shù)和深度不變，擋土墻和建筑物的力學(xué)屬性及幾何屬性不變。以下土體橫向土體壓力圖是不同有土體寬度的數(shù)值模擬結(jié)果。下面對該結(jié)果進(jìn)行分類分析。

圖2 數(shù)值模擬前處理模型(b=0.5H) 圖3 數(shù)值模擬水平土壓力分布(b=0.5H)

(b為有限土體頂部寬度，H為擋墻高度，下同)

圖4 數(shù)值模擬前處理模型(b=0.8H) 圖5 數(shù)值模擬水平土壓力分布(b=0.8H)

圖6 數(shù)值模擬前處理模型(b=1.0H) 圖7 數(shù)值模擬水平土壓力分布(b=1.0H)

從圖2～圖7可以看出，放坡條件下有限土體土壓力分布有以下規(guī)律：

1.土壓力隨著土體寬度的增大而增大，在土體頂部寬度為0.5H時(shí)，墻底部的土壓力只有不到80kPa，而當(dāng)土體頂部寬度為0.8H時(shí)，墻底部土壓力基本為120kPa，而當(dāng)土體頂部寬度為1.0H時(shí)，墻底土體壓力為120kPa?？梢姄鯄ν翂毫﹄S著土體頂部寬度的增大而增大，但是當(dāng)土體頂部寬度b大于0.8H時(shí)，土壓力強(qiáng)度增大并不明顯。

2.從圖中可以看到土壓力隨著墻高的分布，最大土壓力并不在墻體的最底部，而是在墻接近底部的地方。圖3能夠較為明顯的顯示出，水平土壓力的分布規(guī)律。

4 放坡條件下有限土體土壓力對比分析

本節(jié)我們通過數(shù)值模擬來對在墻高為75°時(shí)，b=0.5H和b=1.0H兩種情況進(jìn)行土壓力分布規(guī)律分析。所得土壓力分布規(guī)律圖如下所示。

圖8 數(shù)值模擬土壓力隨墻高分布(b=0.5H) 圖9 數(shù)值模擬水平土壓力隨墻高分布(b=1.0H)

從圖8、圖9可以看出，兩種方法所得土壓力分布趨勢基本一致。均隨著土體頂部寬度b的增大而增大，均在b=0.5H時(shí)，土壓力分布的非線性更加明顯，在b=1.0H時(shí)，土壓力分布體現(xiàn)非線性規(guī)律則不明顯。其分布規(guī)律均為墻頂處土壓力為0，到了一定深度后土壓力開出出現(xiàn)，到墻下部某一高度土壓力達(dá)到最大值，隨著深度的增大，土壓力值減小。

5 小結(jié)

本章通過GeoStudio-SIGMA/W建立放坡條件下有限土體土壓力數(shù)值模型并進(jìn)行了分析，得到以下主要結(jié)論。

(1)基于數(shù)值模擬所得結(jié)果，土壓力強(qiáng)度分布隨著土體頂部寬度的增加而增加，且土壓力強(qiáng)度隨著墻高的分布呈非線性分布。

(2)土壓力分布規(guī)律呈現(xiàn)土體頂部寬度小時(shí)，非線性明顯，而土體頂部寬度大時(shí)非線性不明顯的規(guī)律。

參考文獻(xiàn)

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第9篇：數(shù)值分析范文

關(guān)鍵詞: 數(shù)值分析迭代法線性方程組

在工程技術(shù)、自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的許多問題最終都可歸結(jié)為解線性方程組,因此線性方程組的求解對于解決實(shí)際問題是極其重要的。線性方程組的解法有很多種,其中數(shù)值分析中的迭代法是比較重要的一種。

迭代法的基本思想是將線性方程組:

Ax=b(其中A∈R,b∈R),(1)

經(jīng)過變換構(gòu)造出一個(gè)等價(jià)同解方程組:x=Mx+c,然后改寫成Jacobi迭代式:

x=Mx+c(k=0,1,2,…),(2)

或者Gauss-Seidel迭代式:

x=Bx+Bx+c(k=0,1,2,…)(其中B+B=M),

選定初始向量:x=(x,x,…,x),反復(fù)不斷地使用迭代式來構(gòu)造一個(gè)序列:{x}(k=0,1,2,…)。如果{x}(k=0,1,2,…)收斂,它就是該方程組的近似解序列,否則它就沒有實(shí)用價(jià)值。本文利用系數(shù)矩陣A的對角線上元素的和給出了系數(shù)為對稱正定矩陣的線形方程組Ax=b的一種新的定常迭代格式,如果系數(shù)矩陣A為可逆的非正定矩陣,可以通過預(yù)處理轉(zhuǎn)化為正定矩陣,令A(yù):=AA,b:=Ab即可。且充分考慮加快計(jì)算速度。

一、收斂定理及證明

1.引理:如果M是一個(gè)n×n矩陣,對任意的n維向量c迭代格式(2)收斂的充分必要條件是ρ(M)

證明見文獻(xiàn)[1]。

2.定理1:如果A為對稱正定n×n矩陣,則線形方程組Ax=b的迭代格式

x=[I-A]x+(3)

是收斂的。

證明見文獻(xiàn)[3]。

對任意系數(shù)為正定矩陣的線性方程組,迭代格式(3)都是收斂的,因?yàn)槭諗克俣热Q于迭代矩陣譜半徑的大小,譜半徑越小,收斂速度越快,譜半徑越大,收斂速度越慢。但迭代格式(3)只能保證迭代矩陣的譜半徑小于1,如果迭代矩陣的譜半徑非常接近1,其收斂速度是非常慢的。

下面通過在迭代格式(3)中引入一個(gè)因子來改進(jìn)收斂速度。

構(gòu)造迭代格式:

{y=[I-A]x+b(4)

或者與(4)等價(jià)的迭代格式:

x=[I-A]x+b(5)

3.定理2:如果A為對稱正定n×n矩陣,則線性方程組Ax=b的迭代格式(5)是收斂的。

證明:設(shè)λ(i=1,2,…,n)為A的n個(gè)特征值,因?yàn)锳是對稱正定矩陣,所以λ>0(i=1,2,…,n),λ+λ+…+λ=a+a+…+a。

I-A的n個(gè)特征值為1-(i=1,2,…,n),

顯然-1

這樣有ρ[I-A]

如果正定線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣特征值的分布相對比較集中,還可以進(jìn)一步對定理2的迭代格式進(jìn)行改進(jìn),以加快計(jì)算速度。

當(dāng)系數(shù)矩陣的特征值分布比較集中時(shí),(i=1,2,…,n)近似等于,

即A的特征值近似等于。

構(gòu)造迭代格式:

{y=[I-A]x+b(6)

或者與(6)等價(jià)的迭代格式:

x=[I-A]x+b(7)

因?yàn)楫?dāng)系數(shù)矩陣的特征值分布比較集中時(shí),(i=1,2,…,n)近似等于,這時(shí)迭代格式(7)的迭代矩陣[I-A]的譜半徑就與0非常接近,從而使得收斂速度極快。

4.定理3:迭代格式(7)收斂的充分必要條件是:

證明:迭代格式(7)收斂的充分必要條件是其迭代矩陣I-A的譜半徑小于1,

而矩陣I-A的譜半徑小于1的充分必要條件是:

5.推論1:迭代格式(7)收斂的充分條件是λ≤2λ。

證:因?yàn)棣恕?λ,所以得到:

即迭代格式(7)是收斂的。

二、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在特征值分布比較集中時(shí),分別用迭代格式(7)對應(yīng)的算法(iterativen函數(shù))與Gauss_seidel迭代算法、Cholesky分解算法對系數(shù)矩陣的階數(shù)J=100,200,500,1000的4個(gè)線性方程組進(jìn)行計(jì)算,對所耗時(shí)間進(jìn)行比較,結(jié)果如下表:

Iterativen,Gauss_seidel,Cholesky算法耗時(shí)比較表

雖然Gauss_seidel算法的迭代次數(shù)比Iterativen算法少,但是Gauss_seidel算法在求逆的過程中浪費(fèi)了大量的時(shí)間。當(dāng)系數(shù)矩陣的特征值比較集中時(shí),Iterativen算法要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他2種方法。

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