偏微分方程數(shù)值解課程案例教學(xué)

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［摘要］偏微分方程數(shù)值解是計算數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，文章圍繞該課程的教學(xué)目標，根據(jù)學(xué)生的特點，探討了案例教學(xué)方法。通過教學(xué)實踐表明，案例教學(xué)有助于提高課程教學(xué)質(zhì)量。

［關(guān)鍵詞］偏微分方程數(shù)值解；案例教學(xué)；教學(xué)質(zhì)量

一、引言

作為計算數(shù)學(xué)方向研究生的重要基礎(chǔ)課程，偏微分方程數(shù)值解的課程教學(xué)改革引起了人們的關(guān)注。張宏偉教授[7]提出了以培養(yǎng)學(xué)生研究能力為主要目的的教學(xué)模式，廉海榮等[3]探討了研究生課程的研究型教學(xué)模式，李郴良[2]討論了以訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法為主的探究式教學(xué)方法，張新明[9]探索了分層次項目驅(qū)動的教學(xué)方法。這些教學(xué)模式和教學(xué)方法為提高該課程的教學(xué)質(zhì)量提供了良好的參考。近年來，人們探討了案例式教學(xué)方法，并進行了相應(yīng)的教學(xué)改革嘗試，取得了良好的效果。王國成等[5]將PBL教學(xué)法和案例教學(xué)法相結(jié)合，探討了研究生課程教學(xué)改革方法，沈利民等[4]討論了研究生課程的案例庫建設(shè)方案和案例教學(xué)的具體實踐，肖緒洋等[6]結(jié)合課程的特點，構(gòu)建了一些典型教學(xué)案例開展教學(xué)改革活動，張競成等[8]根據(jù)與課程知識的關(guān)聯(lián)度、典型性和前沿性，選取適當案例進行教學(xué)改革實踐，傅偉鋒等[1]分析了美國研究生案例教學(xué)的理論與方法、組織實施體系，總結(jié)其特色，從課前準備、教學(xué)過程、案例庫建設(shè)、教師激勵和教學(xué)輔助體系等方面提出了建議。我們博采眾長，根據(jù)偏微分方程數(shù)值解課程的特點，結(jié)合多年的教學(xué)積累，進行了案例教學(xué)的改革活動，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高課程教學(xué)質(zhì)量。

二、案例教學(xué)法

案例教學(xué)法由美國哈佛法學(xué)院前院長克C.C.Langdell于1870年首創(chuàng)，后由美國哈佛商學(xué)院倡導(dǎo)成為當時很獨特的一種教學(xué)方法。其所選取的教學(xué)案例都來自商業(yè)管理中的實際事件或情境，通過學(xué)生主動參與課堂討論等活動，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。由于教學(xué)效果良好，該方法迅速從美國推廣到世界各地。案例教學(xué)法具有以下幾個特點：一是鼓勵學(xué)生獨立思考。二是以培養(yǎng)學(xué)生能力為主。三是教學(xué)相長。在教學(xué)過程中，學(xué)生根據(jù)案例要求，認真主動地去查閱相關(guān)的理論知識，經(jīng)過仔細思考，提出解決問題的方案。在這些活動過程中教師要給以引導(dǎo)，這促使教師事先要認真思考，根據(jù)學(xué)生的反饋和要求補充有關(guān)新的教學(xué)內(nèi)容。案例教學(xué)法中，案例的選擇是非常重要的。案例教學(xué)法應(yīng)該根據(jù)課程特點和教學(xué)目標選擇或設(shè)計高質(zhì)量的案例。案例的選擇要遵行科學(xué)性、典型性和前沿性原則。哈佛商學(xué)院的案例教學(xué)之所以成功，其原因之一就是它擁有豐富的高質(zhì)量的案例庫。課前準備工作是案例教學(xué)成功的前提。教師在課前必須花費一定的時間進行教學(xué)設(shè)計，制定出細致的教學(xué)安排。傅偉鋒等在[1]中對美國的案例教學(xué)設(shè)計是這樣描述的，“從教學(xué)過程的‘起承轉(zhuǎn)合’到教授提問的方式和語氣、課后評估細節(jié)等多個方面，無一不體現(xiàn)著美國案例教學(xué)的精細性和科學(xué)性?！卑咐虒W(xué)中，課前準備工作主要包括以下幾個方面：一是案例教學(xué)中問題的設(shè)置。問題難易要適度，問題過難，學(xué)生因知識能力不夠找不到解決辦法，然后是消極對待或者敷衍了事，失去了積極性；反之，問題過易，結(jié)果一目了然，也會降低學(xué)生的參與興趣，更不用說達到提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。二是學(xué)生的課前準備要求。案例教學(xué)中，學(xué)生的課前準備工作非常重要，我們必須要留給學(xué)生比較充分的準備時間。如果學(xué)生事先沒有足夠認真的準備，案例教學(xué)就失敗了一半。三是設(shè)置有效的激勵措施。優(yōu)秀的案例教學(xué)必須有一個配套的有效的激勵機制：一是跟學(xué)習(xí)成績評價相關(guān)，二是讓學(xué)生清楚地知道，案例教學(xué)有助于培養(yǎng)他們的分析問題、解決問題的能力。四是教師要充分發(fā)揮“導(dǎo)演”的作用。事先教師必須備課充分，要充分把握知識點的難點、重點等，在討論過程中起到“畫龍點睛”的作用，及時解決學(xué)生的疑難雜癥，能夠敏銳把握學(xué)生的閃光點等等。

三、偏微分方程數(shù)值解課程的案例教學(xué)實踐

偏微分方程數(shù)值解是我校數(shù)學(xué)學(xué)科碩士研究生的一門學(xué)位課程，主要講述偏微分方程的有限差分方法和有限元方法。課程的教學(xué)目標是，通過該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅掌握偏微分方程的基本數(shù)值方法及原理，而且提高其編程計算能力和分析、解決問題的能力。

（一）案例的選擇和設(shè)計我們圍繞課程的教學(xué)目標和教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生的特點，按照科學(xué)性、典型性和前沿性原則，進行本課程教學(xué)案例的選擇與設(shè)計。我們以熱傳導(dǎo)方程為基礎(chǔ)進行如下設(shè)計：情境設(shè)計：有一個爐溫T0=1000℃的加熱爐，已知鋼的λ=40w/（m2•℃），α=0.7×10-5m2/s，鋼的初始溫度t0=20℃，鋼與外界的對流換熱系數(shù)h=350w/（m2•℃）。我們從一維到二維介紹有限差分方法，所以首先設(shè)計了教學(xué)情境一：在其中放入一根長1米的鋼條，計算30分鐘后鋼條的溫度。通過這個案例，學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握一維情形下的有限差分方法，學(xué)會有限差分方法的穩(wěn)定性和收斂性分析。然后設(shè)計教學(xué)情境二：設(shè)置兩個問題，一是在其中放入一塊長1米，寬0.8米的鋼塊，計算30分鐘后鋼塊的溫度；二是在其中放入一個半徑為0.5米的鋼塊，計算30分鐘后鋼塊的溫度。通過問題一，學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握二維情形下的有限差分方法及其穩(wěn)定性、收斂性分析，對比分析五點差分格式和緊湊差分格式的優(yōu)缺點；通過問題二，引導(dǎo)學(xué)生分析有限差分方法的缺點，此時必須引入新的方法來解決存在的問題，由此順理成章引入有限元方法。在有限元方法教學(xué)過程中，我們還是在這個情境下，分別設(shè)計一維情形、二維情形和三維情形的教學(xué)案例。讓學(xué)生通過這些案例的分析，理解和掌握有限元方法。

（二）課堂教學(xué)設(shè)計我們以情境一為例進行設(shè)計。這個案例教學(xué)的目的是，學(xué)生學(xué)會和掌握一維情形下的有限差分方法及其穩(wěn)定性、收斂性分析。1.問題設(shè)計。為了實現(xiàn)課堂教學(xué)目標，我們設(shè)置以下問題：（1）分別討論分析當時τ=t0、t1和空間步長h=h0、h1時用向前歐拉法計算結(jié)果，給出你的發(fā)現(xiàn)。（這里t0、t1和h0、h1是具體的值，其中當τ=t1時方法不收斂。）（2）分別討論分析當時間步長τ=t0、t1和空間步長h=h0、h1時用向后歐拉法計算結(jié)果，給出你的發(fā)現(xiàn)。通過這些問題的分析，學(xué)生能夠進一步了解顯式算法和隱式算法的優(yōu)缺點，理解和掌握兩種方法的收斂性和穩(wěn)定性，學(xué)會進行相應(yīng)的分析。2.對學(xué)生的課前要求。在新知識授課前，我們先講授有限差分方法的向前和向后差分格式，要求學(xué)生編寫程序，完成上述兩個問題的數(shù)值實驗并進行數(shù)值分析，撰寫實驗報告，總結(jié)實驗發(fā)現(xiàn)。3.對學(xué)生的激勵措施。我們改革課程考核方式，提高平時作業(yè)成績占比。我們將學(xué)生分成若干個小組，每個小組完成實驗探索題，在課堂討論中匯報小組的發(fā)現(xiàn)。這些活動記錄成績，按一定比例記入最終考核成績。通過案例教學(xué)模式改革，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。學(xué)生的分析探討能力也得到了提高。

四、結(jié)語

在偏微分方程數(shù)值解課程的教學(xué)實踐中，我們探討了案例教學(xué)法。通過案例教學(xué)，我們既讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)，理解和掌握了所學(xué)知識點，也培養(yǎng)了學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，達到了教學(xué)目標。

參考文獻

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［3］廉海榮,趙琳琳,陳瑞閣,等.關(guān)于“微分方程數(shù)值解”課研究型教學(xué)模式的探討［J］.大學(xué)數(shù)學(xué),2012,28(5):26-29.

［4］沈利民,王艷飛,陳英華,李海生.專業(yè)學(xué)位研究生《有限元分析及應(yīng)用》課程案例庫建設(shè)與案例教學(xué)［J］.當代教育實踐與教學(xué)研究,2019(5):170-171.

［5］王國成,常鋼,施德安.基于問題的案例教學(xué)法在研究生課程教學(xué)中的實踐［J］.教育教學(xué)論壇,2017(24):150-152.

［6］肖緒洋,陳潤平.案例教學(xué)法在數(shù)學(xué)物理方法中的應(yīng)用［J］.課程教育研究,2013(13):53-54.

［7］張宏偉.注重培養(yǎng)研究能力的《微分方程數(shù)值解法》課程教學(xué)研究與實踐［J］.大學(xué)數(shù)學(xué),2006,,22(6):4-6.

［8］張競成,吳開華,陳豐農(nóng),尚平,周賢鋒,陳冬梅.“遙感技術(shù)與應(yīng)用”研究生課程案例教學(xué)模式研究［J］.科技視界,2018(7):78-79.

［9］張新明.面向工科研究生的《微分方程數(shù)值解》教學(xué)改革與實踐———基于分層次項目驅(qū)動教學(xué)法［J］.高教學(xué)刊,2018(3):136-137+141.

作者：李郴良 單位：桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院