前言：一篇好文章的誕生，需要你不斷地搜集資料、整理思路，本站小編為你收集了豐富的莫比烏斯帶主題范文，僅供參考，歡迎閱讀并收藏。
工筆重彩人物畫教學(xué)臨摹
一、工筆重彩人物畫
古人謂：“丹青在山，民知而取之?！薄暗で唷辈粌H僅作為重彩畫顏料的種類，更是隨著歲月的推移成為中國畫的代名詞，并揭開了中國工筆重彩畫濃墨重彩的一頁?！爸夭省币辉~則第一次出現(xiàn)在唐代張彥遠(yuǎn)的《歷代名畫記》中。在清代以前，凡是設(shè)色的中國畫都被稱為重彩。其實(shí)，重彩畫的歷史淵源是久遠(yuǎn)的，最早可以追溯到原始巖畫中，更嚴(yán)格意義上的重彩畫見于馬王堆出土的漢代《西漢帛畫》。此畫勾線流暢，在棕色的絹底上涂以朱砂、石青、石綠等礦物及植物顏料，并用金粉進(jìn)行點(diǎn)綴，畫面精工細(xì)致，富于中國傳統(tǒng)繪畫的裝飾效果。到了魏晉南北朝時(shí)期，顧愷之將其“傳神”論賦予了他的工筆人物畫面中，《洛神賦圖》《女史箴圖》用線嚴(yán)謹(jǐn)流暢，用色艷麗沉穩(wěn)。同時(shí)期的敦煌壁畫更向后人展示了工筆重彩壁上表現(xiàn)的無限魅力。漢至魏晉的重彩畫雖不及后世精到，卻無疑為后代的工筆重彩人物畫奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。唐代是工筆重彩人物畫發(fā)展的高峰。唐代重彩畫追求富麗堂皇、濃艷豐富的色彩效果，在技法的運(yùn)用上極為成熟，達(dá)到了精致入微的程度，這在唐代張萱、周昉的《簪花仕女圖》《虢國夫人游春圖》中都有所體現(xiàn)。在接下來的五代，顧閎中的《韓熙載夜宴圖》更是被后世稱為工筆重彩人物傳世畫中的經(jīng)典之作。但盛唐以后，由于經(jīng)濟(jì)、政治、文化等原因，重彩畫逐漸失去了以往的尊貴地位，不過盡管勢力微弱，但其發(fā)展卻沒有中斷，這從宋、元、明的人物畫中可以看到。特別是寺觀壁畫一直繼承著重彩人物畫的優(yōu)秀傳統(tǒng)。如《永樂宮壁畫》《法海寺壁畫》便是元、明兩代壁上工筆重彩人物畫的代表之作。到了近現(xiàn)代，由于人們觀念的變化、材料的發(fā)展以及對傳統(tǒng)的挖掘，中國畫壇又將重彩人物畫推到了前所未有的高峰。當(dāng)代重彩人物畫形式多樣、技法豐富，以其強(qiáng)烈的現(xiàn)代氣息與色彩沖擊力扣動著欣賞者的心弦，更加符合現(xiàn)代人的審美要求。同時(shí)一大批優(yōu)秀的工筆重彩人物畫家，如蔣彩萍、唐勇力等在重彩人物畫領(lǐng)域的探索也推動著其他畫家，使得工筆重彩在當(dāng)今顯現(xiàn)出了極大的繁榮狀態(tài)，這種狀態(tài)也同時(shí)帶動了高校重彩人物畫教學(xué)的繁榮。高校工筆重彩人物畫教學(xué)是中國畫專業(yè)的必修課程。上世紀(jì)80年代后，我國各大美院及師范院校的美術(shù)專業(yè)都開設(shè)了工筆重彩人物畫課程，而且在教學(xué)方法上不斷探尋、改進(jìn)，以期達(dá)到更好的教學(xué)效果。
二、工筆重彩人物畫臨摹教學(xué)
在國畫教學(xué)中，學(xué)生對工筆重彩人物畫的學(xué)習(xí)一般包括三個(gè)階段。第一是臨摹，第二是寫生，第三是創(chuàng)作。臨摹是學(xué)習(xí)者掌握繪畫基本技法的不二法門，工筆重彩人物畫也是一樣，學(xué)生只有經(jīng)過對經(jīng)典作品的臨摹研究，才能深入了解并掌握其基本技法與審美特點(diǎn)。在臨摹階段，對作品的臨摹又有讀畫、對臨、變臨三個(gè)臨摹的過程。
（一）臨摹的意義
首先教師及學(xué)生要對臨摹有一個(gè)深層次的理解。臨摹的目的、意義并非完全復(fù)制物象，而在于通過對優(yōu)秀作品的分析研究，熟悉工筆重彩繪畫的使用工具，學(xué)習(xí)工筆重彩人物畫造型、構(gòu)圖、勾線、設(shè)色的基本方法，體會作者的思想感情與創(chuàng)作精神，并在臨摹的過程中尋求自己創(chuàng)作的靈感與技法突破。主要解決以下幾個(gè)問題：
1.感受工筆重彩人物畫的形式美感與材質(zhì)美感。（主要注重自己的感受）
2.學(xué)習(xí)工筆重彩人物畫的勾線技法。（線為工筆重彩畫之骨，不同的畫面、人物運(yùn)用不同的線來表現(xiàn)物象的風(fēng)格）
3.學(xué)習(xí)工筆重彩人物畫的設(shè)色技法，特別是對于古代礦物色及植物色的運(yùn)用方法。
4.學(xué)習(xí)工筆重彩人物畫背景、底色的處理。
5.注重對古今工筆重彩人物畫肌理技法的研究與探尋。（積累技法經(jīng)驗(yàn)，探尋技法創(chuàng)新）
通過對以上幾點(diǎn)的思考與總結(jié)，才能更有效地達(dá)到臨摹教學(xué)的目的。
（二）臨本的選擇以及臨摹的要點(diǎn)
對于以往的工筆重彩人物畫教學(xué)來說，在教學(xué)中主要臨摹唐代及五代的絹本工筆重彩畫。這種臨摹雖然有助于學(xué)生把握基本的繪畫技法及重彩畫的審美特征，但在觀念上卻將學(xué)生對重彩人物畫的理解禁錮在這種形式的工筆重彩人物畫中，對于其他朝代及當(dāng)今的重彩人物畫了解甚為缺失。對當(dāng)代重彩人物畫的發(fā)展來說，有必要在臨本上有所調(diào)整。
在高校工筆重彩人物畫的臨摹教學(xué)中，可以從以下三個(gè)方面選擇臨本。
第一種為絹上工筆重彩人物畫。如《簪花仕女圖》《虢國夫人游春圖》《韓熙載夜宴圖》等，這類絹畫具有古代工筆重彩人物畫的特點(diǎn)，特別是在技法方面基本囊括了古代工筆重彩人物畫的繪畫技法，便于初學(xué)者全面了解與學(xué)習(xí)古代工筆重彩人物畫。唐代是工筆重彩人物畫的高峰時(shí)期，重彩人物畫由魏晉南北朝時(shí)期發(fā)展到唐代達(dá)到了很高的階段。張萱、周昉等就是其中的代表畫家。此類畫面人物造型豐滿，服飾華麗，整幅畫典雅工致。勾線上主要運(yùn)用鐵線描、游絲描；畫面顏色主要以朱砂與蛤粉及一些植物色為主；在技法上，運(yùn)用了分染法、罩染法、醒線、提白、托染的方法。五代時(shí)期顧閎中的《韓熙載夜宴圖》也是很好的臨本，此圖被歷代畫家視為工筆重彩人物畫的代表之作。該畫人物較多，臨摹稍有難度。畫面線條圓渾并富有變化，顏色種類較多，并善于用石色、水色的罩染來增強(qiáng)畫面的厚重感，特別是對石色的應(yīng)用變化豐富。每個(gè)畫面及人物的色彩處理都不同，在技法的應(yīng)用上也很多樣。在臨摹中要注意用色的協(xié)調(diào)統(tǒng)一，同時(shí)也要注意豐富的人物表情與內(nèi)心世界的表現(xiàn)。
第二種為壁上工筆重彩人物畫。壁畫是工筆重彩人物畫的另一種表現(xiàn)形式，它的承載物是墻壁或石窟，也是以線為骨，用色較為厚重，特別是經(jīng)過歲月的沉淀，顯示出剝落、風(fēng)蝕的自然肌理效果，這符合現(xiàn)代人溯古的精神追求，所以壁畫不論是對古代技法的研究還是現(xiàn)代技法的追求，都有著積極的教學(xué)意義。如《敦煌壁畫》及《永樂宮壁畫》，二者是古代工筆重彩人物畫壁上表現(xiàn)的優(yōu)秀作品，對研習(xí)壁上重彩人物畫技法及礦物色顏料的使用都有極高的價(jià)值。敦煌壁畫歷經(jīng)13個(gè)朝代，在風(fēng)格上很好地融合了西域與中原的風(fēng)格，在形成自身設(shè)色風(fēng)格的基礎(chǔ)上，又體現(xiàn)出了各個(gè)朝代不同的面貌，達(dá)到了壁上佛教工筆重彩人物畫的繪制高峰。特別是畫面中礦物色的應(yīng)用與現(xiàn)代重彩畫中礦物色的應(yīng)用一脈相承。上世紀(jì)80年代很多藝術(shù)家都是通過臨摹、研究敦煌壁畫而在藝術(shù)創(chuàng)作上達(dá)到了高峰?！队罉穼m壁畫》是文人畫興起后工筆重彩畫在民間發(fā)揚(yáng)光大的優(yōu)秀之作。《永樂宮壁畫》屬道教寺觀壁畫，在繼承唐人工筆重彩畫的繪畫技法上又融匯了元代的繪畫特點(diǎn)。線條勻稱粗壯、勁健而富有氣勢，繼承了唐代吳道子的勾線風(fēng)格；顏色以礦物色石青、石綠、朱砂為主；在技法上以勾填法為主，并大量使用壁畫中常見的瀝粉貼金的方法。
以上兩種壁畫可以通過兩種方法進(jìn)行臨?。旱谝环N為原壁臨摹。臨摹的承載物、顏色均為原制作工具，如制作地仗層、刷底色，然后勾線、填色。這種臨摹有助于學(xué)生更好地了解壁畫的制作過程、繪制過程及顏色的運(yùn)用。第二種為紙上臨摹。用托裱兩層的皮紙及礦物顏料對壁畫進(jìn)行復(fù)古臨摹。這種臨摹在基底及材料的應(yīng)用上對學(xué)生來說是比較方便的，而且便于學(xué)生研究肌理的制作，畫面效果也很好。
第三種為現(xiàn)代工筆重彩人物畫。現(xiàn)代工筆重彩人物畫由于時(shí)代審美角度的拓寬以及顏料制作工藝的拓展，在技法以及形式上都有一定的突破，特別是在形式美感及顏料的運(yùn)用上，不僅可以使學(xué)生了解工筆重彩人物畫在當(dāng)代的發(fā)展形勢 ，更可以為學(xué)習(xí)者的創(chuàng)作及創(chuàng)新提供極好的平臺。當(dāng)代工筆重彩人物畫的臨本很多，最重要的是學(xué)生要感興趣，教師不要將自己的審美觀念強(qiáng)加于學(xué)生，嚴(yán)格要求學(xué)生臨摹某人的作品，而是應(yīng)該采取寬松態(tài)度，讓學(xué)生自行選擇感興趣的臨本，這樣學(xué)生才能對畫面有探索的積極性。在臨摹的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生對現(xiàn)代工筆重彩人物畫畫面的構(gòu)圖形式感、色彩效果、肌理的制作進(jìn)行研究與探尋。
（三）作品的評價(jià)
在以往的教學(xué)中，教師常常以是否忠于原畫來評定學(xué)生臨摹的優(yōu)劣。特別是在臨摹的過程中教導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)格按照書本上所標(biāo)示的步驟及顏色進(jìn)行，忽視了學(xué)生對于臨本的理解。從教育學(xué)及心理學(xué)的角度來說，此種評價(jià)與現(xiàn)代教育評價(jià)體系是完全相悖的?，F(xiàn)代美術(shù)教育注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的狀態(tài)以及對學(xué)生知識的開發(fā)，注重學(xué)生自己的想法。如在臨摹的過程中是否有探究精神，是否在臨摹研究的過程中有所創(chuàng)新，并在自己的畫里有所體現(xiàn)。如果學(xué)生在臨摹的過程中探索到了自己的表現(xiàn)形式，并可以應(yīng)用到自己的寫生、創(chuàng)作中去，這個(gè)臨摹過程無疑是有收獲的。而只是忠實(shí)于原作的效果，沒有動腦思考問題，最終的作品即使與原作相像，對于學(xué)生以后的學(xué)習(xí)也是沒有幫助的。所以教師的評價(jià)觀念要更新，這樣才能使學(xué)生的學(xué)習(xí)更加有效。
結(jié)語
在大學(xué)美術(shù)專業(yè)教育中，教師對學(xué)生要“授之以漁”而非“授之以魚”。在現(xiàn)代工筆重彩人物畫風(fēng)的吹拂下，教師要以多元化的角度來對待傳統(tǒng)與創(chuàng)新，努力拓寬自身的知識面，在工筆重彩人物畫教學(xué)的各個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)，才能使工筆重彩人物畫的教學(xué)不斷進(jìn)步，使得傳統(tǒng)的工筆重彩人物畫在當(dāng)代畫壇大放異彩，也使學(xué)生在走出大學(xué)校園后更快地接受現(xiàn)代各種風(fēng)格的繪畫，做一名出色的藝術(shù)家。
（注：本文為陜西師范大學(xué)社會科學(xué)研究基金項(xiàng)目，項(xiàng)目編號：09SYB09）
參考文獻(xiàn)：
[1]?？苏\.色彩的中國繪畫：中國繪畫樣式與風(fēng)格歷史的展開[M].武漢：湖北美術(shù)出版社，2002.
[2]金瑞.工筆人物畫[M].重慶：西南師范大學(xué)出版社，2004.
[3]常銳倫.美術(shù)學(xué)科教育學(xué)[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2002.
【關(guān)鍵詞】莫比烏斯圈；主體坐標(biāo)系；從屬坐標(biāo)系；雙重三維坐標(biāo)；非三維物體；合成運(yùn)動
一、關(guān)于莫比烏斯圈
1莫比烏斯圈的形成
莫比烏斯圈是由［德國］數(shù)學(xué)家莫比烏斯先生在150年前公布于世的.
隨后，科學(xué)家就把莫比烏斯圈定位在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的拓?fù)鋵W(xué)分支里，其數(shù)學(xué)定義：單側(cè)的、閉路的、反轉(zhuǎn)定向的曲面.這樣的莫比烏斯圈最終只剩下一個(gè)“表面”和一條“邊緣”了.（見圖1下部和圖2）
2莫比烏斯圈與普通環(huán)圈不同
經(jīng)過觀察不難發(fā)現(xiàn)：普通環(huán)圈和莫比烏斯圈除了在制作方法和制作過程上完全不同以外，還表現(xiàn)在――如果在普通環(huán)圈和莫比烏斯圈的表面劃線并沿線進(jìn)行裁剪，其裁剪結(jié)果竟會完全不同.
當(dāng)對普通環(huán)圈的表面劃線并沿線裁剪時(shí)，能得到也只能得到――若干個(gè)與原圈等周長的“窄”普通環(huán)圈，而不會得到其他種類的環(huán)圈.
當(dāng)對莫比烏斯圈的表面劃線并沿線裁剪時(shí)，其裁剪結(jié)果卻有兩種：
（1）在莫比烏斯圈表面劃一條中線并沿線將該圈剪開，會得到一個(gè)比原圈周長長一倍、比原圈寬度窄一半的普通環(huán)圈（見圖3）.
（2）在莫比烏斯圈表面劃2條平均分布的等距離線條并沿線條將該圈剪開，則不僅能得到一個(gè)比原圈周長長一倍、比原圈寬度窄23的普通環(huán)圈，同時(shí)還能在其中心部位再得到一個(gè)單獨(dú)的、比原圈寬度窄23，且周長與原圈等長的“窄”莫比烏斯圈（見圖4）.
（以上關(guān)于莫比烏斯圈的裁剪結(jié)果已經(jīng)成為所有中外數(shù)學(xué)書籍里，對莫比烏斯圈進(jìn)行介紹的一部分）唯此，從莫比烏斯圈和普通環(huán)圈的制作方法與裁剪結(jié)果的不同可以說明，它們并不是同類物體！
二、莫比烏斯圈不是三維物體
為了證明普通環(huán)圈與莫比烏斯圈不是同類物體，下面通過兩種不同的制作和生成該兩種環(huán)圈的方法來比較并進(jìn)一步證明.
1第一種制作和生成方法
制作普通環(huán)圈的方法如前文（1以及圖1）中描述的步驟進(jìn)行.
而制作和生成莫比烏斯圈則需要通過兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的三維坐標(biāo)系統(tǒng)（下文稱雙重三維坐標(biāo)體系）來共同完成的.
首先，看第一個(gè)三維坐標(biāo)系（xOy）（下文稱主導(dǎo)三維坐標(biāo)系）（見圖5）.其原點(diǎn)位置為O，該主導(dǎo)三維坐標(biāo)系x-y平面上有一個(gè)以O(shè)為圓心的“正圓”.該“正圓”就是莫比烏斯圈表面中心位置的基本軌跡線.
其次，看第二個(gè)三維坐標(biāo)系（x′O′y′）（下稱從屬三維坐標(biāo)系）（見圖6）.該從屬三維坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置為O′，處在主導(dǎo)三維坐標(biāo)系內(nèi)的“正圓”與x軸的交點(diǎn)上，從屬三維坐標(biāo)系內(nèi)x′―y′平面上的設(shè)定目標(biāo)可以繞O′進(jìn)行有規(guī)則運(yùn)動.但該設(shè)定目標(biāo)的有規(guī)則運(yùn)動必須按照主導(dǎo)、從屬兩個(gè)三維坐標(biāo)系之間相互依存，對應(yīng)旋轉(zhuǎn)、位移、扭轉(zhuǎn)的特殊函數(shù)關(guān)系進(jìn)行.
必須明確的是：主導(dǎo)和從屬三維坐標(biāo)系在立體空間具體的相對位置關(guān)系上是相互平行或垂直的（見圖5，6），其中（xOy）的三個(gè)參數(shù)（xn，yn，zn）為自變量，（x′O′y′）的三個(gè)參數(shù)（x′n，y′n，z′n）為因變量，且主體和從屬三維坐標(biāo)系之間應(yīng)服從（x′，y′）=F（x，y）的對應(yīng)關(guān)系.
這就建立了具有相互依存關(guān)系的雙重三維坐標(biāo)系統(tǒng).在該系統(tǒng)里，整個(gè)從屬三維坐標(biāo)系是主導(dǎo)三維坐標(biāo)系里的一個(gè)整體運(yùn)動單元，隨主體三維坐標(biāo)系做有規(guī)律的運(yùn)動――公轉(zhuǎn)；而從屬三維坐標(biāo)系里運(yùn)動單元自身的運(yùn)動，則與主導(dǎo)運(yùn)動有著嚴(yán)格的對應(yīng)受控運(yùn)動關(guān)系――自轉(zhuǎn).因此，處在該系統(tǒng)內(nèi)設(shè)定目標(biāo)的最終運(yùn)動形式為合成運(yùn)動.（既有公轉(zhuǎn)，又有自轉(zhuǎn)）
圖7是從屬三維坐標(biāo)系整體在（xOy）x―y平面上，沿“正圓”軌跡移動的示意圖.（圖中未畫出0°~45°等處對應(yīng)圖形）
在圖8里有一個(gè)左邊帶小圓圈的“”形符號，該符號中的豎直線是一條起始于O′點(diǎn)，且垂直于x′軸，同時(shí)，它又是一條既平行于（xOy）z軸，也平行于（x′O′y′）y′軸的直線.另外，該符號中左邊帶小圓圈的橫線是一條既平行于（xOy）x軸，也平行于（x′O′y′）x′軸，且屬于該x′軸的一條直線，并且該直線的中點(diǎn)過（x′O′y′）原點(diǎn)坐標(biāo)O′，且垂直y′軸的直線.
下面就以圖8中“”形符號作為基本單元來描述生成莫比烏斯圈的過程：當(dāng)從屬三維坐標(biāo)系整體在（xOy）x―y平面內(nèi)繞O旋轉(zhuǎn)2°（或1°）的同時(shí)，（x′O′y′）內(nèi)x′―y′平面上過O′的直線也對應(yīng)旋轉(zhuǎn)1°（或0.5°）.當(dāng)從屬三維坐標(biāo)系整體沿（xOy）x―y平面上的基圓旋轉(zhuǎn)、位移一周（360°）回到起始點(diǎn)O時(shí)，左邊帶小圓圈的“”形符號也在x′―y′平面上繞O′旋轉(zhuǎn)半周（180°）回到起始位置O′，此時(shí)該符號卻正好被顛倒過來（見圖8）.如果將雙重三維坐標(biāo)體系中被逐漸位移、旋轉(zhuǎn)的“”形符號的空間中各點(diǎn)依次順序連接起來，就可以生成標(biāo)準(zhǔn)的莫比烏斯圈.（用“”形符號的目的是使讀者易于觀察）
由此看出：生成莫比烏斯圈必須由相互依存的雙重三維坐標(biāo)體系共同完成，單獨(dú)的三維坐標(biāo)系無法生成莫比烏斯圈.（理由一）
2第二種制作和生成方法
制作和生成普通環(huán)圈可以用下面的方式：先在主導(dǎo)三維坐標(biāo)系的x―y平面內(nèi)生成以原點(diǎn)O為圓心的“正圓”，然后在z軸的“正、負(fù)”方向上對“正圓”進(jìn)行拉伸，就可以制作和生成普通環(huán)圈（見圖9）.
制作和生成莫比烏斯圈可以這樣完成：以x軸和“正圓”的交點(diǎn)為（x′O′y′）的原點(diǎn)O′，將已生成的外表面是藍(lán)顏色的、內(nèi)表面是紅顏色的普通環(huán)圈剪開.
在（x′O′y′）的x′―y′平面內(nèi)，以原點(diǎn)O′為扭轉(zhuǎn)中心，對普通環(huán)圈的一個(gè)端頭進(jìn)行有規(guī)律的對應(yīng)扭轉(zhuǎn)，其對應(yīng)扭轉(zhuǎn)規(guī)律為：（x′O′y′）沿（xOy）在X―Y平面內(nèi)連續(xù)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，將（x′O′y′）內(nèi)x′―y′平面上的普通環(huán)圈肌體的對應(yīng)段進(jìn)行對應(yīng)扭轉(zhuǎn)；當(dāng)（x′O′y′）整體沿（xOy）基圓在x―y平面上旋轉(zhuǎn)、位移一周（360°）回到起始點(diǎn)O時(shí)，普通環(huán)圈的肌體也在x′―y′平面上繞O′扭轉(zhuǎn)半周（180°）回到起始位置O′，該環(huán)圈的肌體表面正好被翻轉(zhuǎn)過來，也就生成了莫比烏斯圈.（圖10是電腦用此法生成的莫比烏斯圈）
從圖10中可以看到：設(shè)定目標(biāo)的運(yùn)動結(jié)果是由雙重三維坐標(biāo)體系中各坐標(biāo)軸參數(shù)之間相互影響、連續(xù)變化的結(jié)果.正是這個(gè)相互影響和連續(xù)變化，才使得莫比烏斯圈的肌體上根本無法找到二維、三維線段或曲線.唯此足可以證明：莫比烏斯圈不是三維物體?。ɡ碛啥?/p>
三、莫比烏斯圈是“非三維”產(chǎn)物
下面用圖5，6，7，8，9，10來進(jìn)一步證明莫比烏斯圈不是三維產(chǎn)物.
（1）在圖5的雙重三維坐標(biāo)體系中（xOy）的三個(gè)平面與（x′O′y′）的三個(gè)平面之間有著一一對應(yīng)的關(guān)系.
（2）當(dāng)圖6里（x′O′y′）的x′―y′平面上y′軸的數(shù)值發(fā)生變化時(shí)，必然會影響并導(dǎo)致（xOy）的x―z平面上z軸的數(shù)值產(chǎn)生變化（其余軸類推），最終導(dǎo)致整個(gè)雙重三維坐標(biāo)體系內(nèi)所有數(shù)軸上的數(shù)值發(fā)生變化.
（3）當(dāng)圖7中（xOy）的x―y平面上，以原點(diǎn)O為圓心旋轉(zhuǎn)，則（x′O′y′）里z′軸上的數(shù)值就會發(fā)生變化，這就必然導(dǎo)致（xOy）里各個(gè)數(shù)軸上的各數(shù)值直接或間接參與了、或發(fā)生了變化！
（4）當(dāng)圖8中的“”形符號整體沿x―y平面上繞O旋轉(zhuǎn)360°的同時(shí)，還在x′―y′平面內(nèi)繞O′對應(yīng)扭轉(zhuǎn)180°，如果連接該符號在空間相互對應(yīng)的各個(gè)點(diǎn)，就會產(chǎn)生一種空間弧線.（該空間弧線不能產(chǎn)生于單獨(dú)的三維坐標(biāo)體系.因?yàn)樵趩为?dú)的三維坐標(biāo)體系產(chǎn)生的空間弧線一定是某種對稱旋轉(zhuǎn)體表面的對稱母線，而該空間弧線則需經(jīng)受六個(gè)維度上的扭曲變形.）（理由三）
（5）這里假設(shè)圖9所生成的普通環(huán)圈外表面是藍(lán)顏色的，內(nèi)表面是紅顏色的.按照圖10的方式對其進(jìn)行剪斷（假設(shè)剪斷處位于從屬三維坐標(biāo)系的原點(diǎn)O′），將該環(huán)圈的各對應(yīng)部分在雙重三維坐標(biāo)系統(tǒng)內(nèi)進(jìn)行有規(guī)律的繞O旋轉(zhuǎn)360°和繞O′扭轉(zhuǎn)180°，并最終回到O′.此時(shí)，該普通環(huán)圈已經(jīng)被變化成莫比烏斯圈.唯此可以證明：“非三維”物體可以由三維物體演變而來，條件是雙重三維坐標(biāo)系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)維度上的具體參數(shù)必須全部相互影響并參與變化.這是任何一個(gè)三維物體所無法具備的.（理由四）
由于莫比烏斯圈是在雙重坐標(biāo)體系內(nèi)生成的，當(dāng)在三維環(huán)境里對莫比烏斯圈進(jìn)行裁剪時(shí)，其被裁剪下來的部分就解除了該坐標(biāo)體系對它的“非三維”約束，其表現(xiàn)為被裁剪下來的是“窄”普通環(huán)圈；而剩余部分仍保留原“非三維”物體的基本形態(tài)，其表現(xiàn)為“窄”莫比烏斯圈.或者說：在莫比烏斯圈的肌體內(nèi)將同時(shí)存在兩種狀態(tài)――普通環(huán)圈（三維狀態(tài)）和莫比烏斯圈（“非三維”狀態(tài)），這種狀態(tài)會永久存在，且無法用人為干預(yù)的方式將其改變?。ㄏ嚓P(guān)內(nèi)容請查閱論文《莫比烏斯圈的反常現(xiàn)象》）（理由五）
最后引述數(shù)學(xué)泰斗談祥柏先生的判斷來證明莫比烏斯圈不是三維物體.談老曾在《數(shù)學(xué)廣角鏡》P118中明確指出：在現(xiàn)實(shí)世界中克萊因瓶是無法被制造出來的?。ㄆ鋵?shí)該論點(diǎn)的本質(zhì)是：克萊因瓶不是三維物體）數(shù)學(xué)家已證明：每個(gè)克萊因瓶是由兩個(gè)莫比烏斯圈組合而成的.而莫比烏斯圈通體圓潤，渾身都是空間曲線，沒有一條二維直線、曲線以及三維直線、曲線.因此，莫比烏斯圈不是三維物體，而是“非三維”物體?。ɡ碛闪?/p>
四、結(jié)論
莫比烏斯圈不是三維物體，而是人類沒有完全認(rèn)知的“非三維”物體！
五、莫比烏斯圈里仍有未解之謎
是的，莫比烏斯圈里仍然存有許多鮮為人知的奧秘，莫比烏斯圈、莫比烏斯現(xiàn)象及其莫比烏斯原理也沒有得到學(xué)術(shù)界的認(rèn)可，但并不影響我發(fā)表一孔之見，我將在專題論文《莫比烏斯圈的反?，F(xiàn)象》和《重新認(rèn)識莫比烏斯圈》里進(jìn)一步闡述和探討莫比烏斯圈的相關(guān)問題.
當(dāng)然，提交本文的真實(shí)目的是渴望能得到您對莫比烏斯圈、現(xiàn)象和原理作出更權(quán)威的準(zhǔn)確詮釋和更睿智的思想升華！
【參考文獻(xiàn)】
［1］［德］莫比烏斯（1790―1868），數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，1858年公布莫比烏斯圈.
［2］［蘇聯(lián)］伏?巴爾佳斯基.拓?fù)鋵W(xué)奇趣.長沙：湖南教育出版社，1999：43.
［3］華應(yīng)龍.神奇的莫比烏斯帶.北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)精品課程，2005（1）：11-15.
關(guān)鍵詞：學(xué)科工具；教育信息化；深度融合；全面融合
中國分類號：G434 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號：1673-8454（2014）15-0011-03
一、引言
知識是人類對世界的一種認(rèn)識結(jié)果，其表述結(jié)果，可以構(gòu)成從隱喻到嚴(yán)格一個(gè)譜系。美國心理學(xué)家布魯納曾說一句頗引起爭議的話：任何學(xué)科的任何原理都可以以某種形式教給任何年齡的學(xué)生。這句話的關(guān)鍵點(diǎn)在于“某種形式”。布魯納時(shí)代信息技術(shù)還沒有走進(jìn)教育領(lǐng)域，如今，信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)深度融合的產(chǎn)物――學(xué)科工具的開發(fā)與應(yīng)用，產(chǎn)生了越來越多的例子支持布魯納的觀點(diǎn)。典型的例子表明信息技術(shù)能使高深的數(shù)學(xué)題材走向小學(xué)生、中學(xué)生、大學(xué)生，使他們“各取所需”?；谶@樣的實(shí)例和認(rèn)識，我們有理據(jù)認(rèn)為，學(xué)科工具不僅推動了學(xué)科教育的發(fā)展，還對教育信息化具有重要意義?；谇捌诘南盗醒芯亢徒虒W(xué)實(shí)踐[1-4]，我們以數(shù)學(xué)學(xué)科工具為切入點(diǎn)談?wù)剬W(xué)科工具開發(fā)的現(xiàn)實(shí)意義及前景。
二、學(xué)科工具使課程題材滿足多層次的需求
學(xué)科工具使高深的數(shù)學(xué)知識走向不同的群體。如，拓?fù)鋵W(xué)（Topology）是在19世紀(jì)末興起并在20世紀(jì)中迅速蓬勃發(fā)展的一門數(shù)學(xué)分支。直至今日，從拓?fù)鋵W(xué)所衍生出來的知識已和近世代數(shù)、分析共同成為數(shù)學(xué)理論的三大支柱。即使拓?fù)鋵W(xué)這樣高深的學(xué)科，其思想和知識也能為各種層次的學(xué)生所接受和理解。我們以莫比烏斯帶為例進(jìn)行說明。德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）1858年發(fā)現(xiàn)：把一張紙條扭轉(zhuǎn)180度后，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。這種由莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的神奇單面紙帶，被稱為“莫比烏斯帶”，它是一種拓?fù)鋱D形。
1.對小學(xué)生而言，從故事傳說到動手操作再到虛擬環(huán)境中的動態(tài)演示
小學(xué)生愛聽故事，莫比烏斯帶可以以故事的形式展示出來。
從前，一個(gè)小偷偷了一位農(nóng)民的東西，并被當(dāng)場抓獲。小偷是縣官的兒子，縣官心里又氣又急，怎么才能讓自己的兒子免受刑罰呢？于是，縣官在一張紙條的正面寫上：小偷應(yīng)當(dāng)放掉，而在紙的反面寫了：農(nóng)民應(yīng)當(dāng)關(guān)押?？h官將紙條交給判官去辦理。判官左右為難，他不想誤判此案，但是又不敢得罪縣官，怎么辦呢？聰明的判官靈機(jī)一動，嗯，有辦法了！他手拿縣官的紙條，兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據(jù)縣太爺?shù)拿罘诺艮r(nóng)民，關(guān)押小偷。縣官聽了勃然大怒，責(zé)問判官。判官不慌不忙地將紙條捏在手上給縣官看，縣官照著讀，確實(shí)沒錯(cuò)啊，再仔細(xì)觀看字跡，也沒有涂改呀，縣官是不知紙條上其中的奧秘，無話可說，只好自認(rèn)倒霉了。
小故事中蘊(yùn)含著大道理，數(shù)學(xué)家莫比烏斯幫了判官。小學(xué)生也能學(xué)習(xí)高深的數(shù)學(xué)，如今，莫比烏斯帶已經(jīng)走近了小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中。
故事當(dāng)然能激起小學(xué)生的興趣了，但小學(xué)生的智慧更在手尖上，故而在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，就要求小學(xué)生們通過涂色、折紙、剪紙等動手操作，感知莫比烏斯“魔術(shù)般的性質(zhì)”。
在沒有信息技術(shù)支持時(shí)，這樣的教學(xué)當(dāng)然很合乎時(shí)下教育專家所倡導(dǎo)的理念了；但考慮到當(dāng)下的小學(xué)生生活在數(shù)字化時(shí)代，課堂教學(xué)的方式和形式應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)，莫比烏斯帶可以用信息技術(shù)動態(tài)地演示出來。如圖1所示。
在信息技術(shù)的支持下，小學(xué)生對思想和知識的認(rèn)知和領(lǐng)悟，從靜態(tài)走向了動態(tài)，是為學(xué)習(xí)方式的變革。這種變革的結(jié)果之一是在小學(xué)生心靈中播下探究的種子，小學(xué)生好奇，愛發(fā)問，定會有同學(xué)在心底追問，為什么線段能動起來？為什么在平面上能表現(xiàn)立體效果？雖然他們一時(shí)解決不了這些問題，但這些問題會像航標(biāo)一樣，指引他們的前進(jìn)方向。數(shù)學(xué)家陳景潤曾有一段軼事，其師沈元先生在課堂上播下了陳景潤向“哥德巴赫猜想”進(jìn)軍的種子，他年后果然開花結(jié)果。我們認(rèn)為，對小學(xué)生而言，教養(yǎng)性的教育應(yīng)優(yōu)于知識教育，小學(xué)階段不在于傳遞多少知識，更重要的能讓小學(xué)生有更多的感知和感悟。這時(shí)，用學(xué)科工具平臺營造的虛擬環(huán)境革新學(xué)習(xí)方式就顯得非常有必要了。
2.對中學(xué)生而言，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，加深對知識的理解
課件制作營造的虛擬環(huán)境使中學(xué)生通過知識運(yùn)用來理解數(shù)學(xué)。中學(xué)生的心智水平發(fā)展到了形式運(yùn)算階段，不應(yīng)再追求表面上的熱鬧，應(yīng)能處理假設(shè)，能進(jìn)行邏輯演繹思維。中學(xué)生要思考的問題是如何能用技術(shù)表現(xiàn)這種動態(tài)效果，動態(tài)表現(xiàn)這種效果需要哪些知識。如，要表現(xiàn)動態(tài)的莫比烏斯帶就需要有關(guān)參數(shù)方程的知識，斜二側(cè)投影的知識。這些知識原本處于不同的知識結(jié)構(gòu)體系之中，其間并沒有多少聯(lián)系，但通過課件制作這個(gè)環(huán)節(jié)，不同結(jié)構(gòu)體系間的知識發(fā)生了有機(jī)的聯(lián)系，個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)因?yàn)橹R間產(chǎn)生縱橫聯(lián)系而更加完善。情境認(rèn)知理論的核心思想之一就是“例中學(xué)、做中學(xué)”，根據(jù)這種觀點(diǎn)，制作課件能夠把不同結(jié)構(gòu)體系中的知識綜合起來，把知識當(dāng)作工具來運(yùn)用，知識本身并沒有意義，只有通過在實(shí)踐中運(yùn)用這些知識，才不斷改變、加深和豐富個(gè)體對知識的理解。
課件制作營造的虛擬環(huán)境使為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模開辟了新的途徑。數(shù)學(xué)知識本來不應(yīng)當(dāng)具有“去情境化、去時(shí)間化、去個(gè)人化”的特點(diǎn)，但是，由于各種復(fù)雜原因之故，中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)幾乎蛻變成一種在符號化的形式系統(tǒng)中的操練行為。按人本主義學(xué)習(xí)理論的觀點(diǎn)，這樣的學(xué)習(xí)因其與個(gè)人的活動經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)沒有關(guān)系，其實(shí)是沒有意義的。中學(xué)生在小學(xué)階段就接觸過莫比烏斯帶，現(xiàn)在從建模角度重新認(rèn)識之，其意義自不言而喻，使學(xué)生對外在世界的認(rèn)知從物理感知上升到一種定量的刻畫，使之明白了心智抽象的力量。在虛擬環(huán)境中摸擬外部世界，進(jìn)行建模，使知識的學(xué)習(xí)跳出了純形式系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，在面對真實(shí)的任務(wù)中，解決復(fù)雜的、非結(jié)構(gòu)良好的問題，從而活化了知識，學(xué)到了真正的知識。
3.對大學(xué)生而言，追根溯根，進(jìn)行底層設(shè)計(jì)
對大學(xué)生而言，還有更深刻的問題需要回答。如，在平面上表現(xiàn)三維立體圖形的機(jī)理是如何的？原來這里涉及到仿射變換，涉及到齊次坐標(biāo)。如上述課件的底層機(jī)理是：
把空間曲線投影到坐標(biāo)平面上，都相當(dāng)于一組變換公式，把空間點(diǎn)的三維坐標(biāo)變成投影點(diǎn)的二維坐標(biāo)。用（x，y，z）表示空間點(diǎn)的三維坐標(biāo)，（f，g）表示投影點(diǎn)的二維坐標(biāo)，u，v是兩個(gè)參數(shù)，有一個(gè)簡單的常用變換是
f=x+u*z
g=y+v*z
這個(gè)變換所表現(xiàn)的一類投影叫“斜二側(cè)類投影”。
這些在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中處于非核心地位的課程，在信息技術(shù)的驅(qū)動下，煥發(fā)了生機(jī)，逐漸發(fā)展成一門計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。從這里可以讓大學(xué)生明白，計(jì)算機(jī)技術(shù)說到底是一種數(shù)學(xué)技術(shù)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀顛覆了。
三、學(xué)科工具為學(xué)科教育的發(fā)展提供了契機(jī)
楊宗凱[5]指出，21世紀(jì)的教師信息化教育能力則包括引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)與創(chuàng)意、設(shè)計(jì)開發(fā)信息時(shí)代的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和評估準(zhǔn)則、塑造信息時(shí)代的工作與學(xué)習(xí)模式、提升和塑造信息化公民責(zé)任感、從事專業(yè)發(fā)展與領(lǐng)導(dǎo)力培養(yǎng)幾個(gè)方面。然而，師范大學(xué)中的學(xué)科教育或者說教師教育，是培養(yǎng)師資主要力量之一，其生存境況卻令人擔(dān)憂。其一，學(xué)科教育的前身是學(xué)科教材教法，這在以學(xué)科科學(xué)研究為主的學(xué)科院系里，其學(xué)術(shù)價(jià)值或?qū)嵱脙r(jià)值一直不為人認(rèn)可。后來，學(xué)科教材教法發(fā)展成了學(xué)科教學(xué)論，理論性是上去了，但卻越來越虛，依然得不到以學(xué)科科學(xué)研究為主的院系的認(rèn)可；其二，學(xué)科教育教師雖然為學(xué)科院系師范生的培養(yǎng)、學(xué)科教育方向研究生的培養(yǎng)做出了較大的貢獻(xiàn)，其職稱、學(xué)術(shù)上的發(fā)展依然空間有限；其三，雖然師范院校為了破解上述窘境，成立了教師教育學(xué)院，然而上述現(xiàn)狀，依然沒有得到根本上的改觀。信息技術(shù)走向?qū)W科教育，為學(xué)科教育破解上述難題提供了新的思路。
學(xué)科教育平臺的研發(fā)為學(xué)科教育找到了新的研究方向。如，可以研究在學(xué)科工具營造的信息化環(huán)境中，學(xué)生心理的發(fā)展路徑，知識的表征形式，等等，經(jīng)過這樣的努力，就使學(xué)科教育從課程與教學(xué)論下的三級學(xué)科走進(jìn)了心理學(xué)的領(lǐng)域。心理科學(xué)雖屬于自然科學(xué)，然而對具有學(xué)科背景的學(xué)科教師來說，其跨度并不算大。還可以研究信息技術(shù)背景下的課程與教學(xué)，如，可以研究信息技術(shù)環(huán)境下知識可視化課堂教學(xué)范式的構(gòu)建，這也得到了眾多電化教育研究刊物的支持，為學(xué)科教育研究者的成長提供了合乎時(shí)代要求的新方向。
學(xué)科教育平臺的研發(fā)推動了學(xué)科課程的變化。由于學(xué)科工具的發(fā)展，使得國內(nèi)外基礎(chǔ)教育的課程發(fā)生了重大的變化。僅以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，數(shù)學(xué)課程的很多領(lǐng)域都適合使用信息技術(shù)。例如信息技術(shù)增加了“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的可能性，可以借學(xué)科工具等對數(shù)量關(guān)系、平面與空間中的位置關(guān)系和大小度量、數(shù)據(jù)處理等進(jìn)行動態(tài)實(shí)驗(yàn)，能使學(xué)生更直觀地發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性，進(jìn)而提出問題并導(dǎo)向概念或性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)。
學(xué)科教育平臺的研發(fā)為師范生提供了求職求業(yè)的工具，也促進(jìn)學(xué)科教育的發(fā)展。如果一個(gè)學(xué)科或一個(gè)專業(yè)培養(yǎng)出來的學(xué)生沒有好的出口，這樣的學(xué)科或?qū)I(yè)注定是沒有前途的。根據(jù)目前的就業(yè)形勢，凡是懂信息技術(shù)的師范生都是職場上的“香餑餑”，因?yàn)橹袑W(xué)需要既懂技術(shù)，又懂學(xué)科的教師。
學(xué)科教育的發(fā)展離不開學(xué)科工具的支持。
四、大力發(fā)展學(xué)科工具，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與教育的深度、全方面的融合
信息技術(shù)與教育深度融合，大體可以分為以下幾種類型：一是通過視音頻數(shù)字信號同步網(wǎng)絡(luò)傳輸技術(shù)，將異地視音頻實(shí)時(shí)傳遞，將本地、異地課堂融為一體，借此實(shí)現(xiàn)教育公平；還有一種是建立各種平臺或云端教室，在平臺上加載視頻、音頻、動畫等各種資源，并能進(jìn)行實(shí)時(shí)交互，為構(gòu)建混合式學(xué)習(xí)方式提供了強(qiáng)有力的支持；還有一種模式是開發(fā)各種與學(xué)科內(nèi)容深度融合的信息技術(shù)平臺，使學(xué)習(xí)者在使用平臺的過程能加深對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解。第一種模式基于社會學(xué)的視角，以期借助信息技術(shù)之力實(shí)現(xiàn)教育公平，為教育行政管理部門提供了破解社會難題的一個(gè)路徑，因而為教育行政管理部門看好，但其傳遞的“優(yōu)質(zhì)資源”有可能是“粉筆”+“黑板”式，只不過由于執(zhí)教者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富，而被冠之以“優(yōu)秀”。第二種模式基于自主學(xué)習(xí)的模式，為學(xué)生提供了大量的資源，期望學(xué)生能發(fā)揮積極性、主動性自己建構(gòu)，主動學(xué)習(xí)，為高校所看好，因?yàn)榇髮W(xué)生的學(xué)習(xí)，不同于中學(xué)生的學(xué)習(xí)，有大量的自主學(xué)習(xí)時(shí)間，同時(shí)，大學(xué)生也應(yīng)學(xué)會自主學(xué)習(xí)；其承載的資源雖然全是電子的，還可能是視頻的，但這些資源也有可能是傳統(tǒng)課堂的一個(gè)“翻錄”，信息技術(shù)還沒有觸及學(xué)科內(nèi)容的變化。第三種模式，由于深入了具體的學(xué)科，對課堂教學(xué)的影響最大，就目前的態(tài)勢來看，對基礎(chǔ)教育的課堂教學(xué)影響最大，但在高校由于課程眾多，難以針對每一門具體的學(xué)科開發(fā)具體的學(xué)科工具。
從上述可知，信息技術(shù)對教育的影響可以有不同的角度，不同的方式。就基礎(chǔ)教育而言，信息技術(shù)對基礎(chǔ)教育的影響，可以把三種模式都有機(jī)地融合起來，全方面地實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)教育的信息化?；A(chǔ)教育位于國民教育體系中的底層，對高等教育具有重要的支撐作用，如果立足于第三種模式，輔之以第二種模式，廣之以第三種模式，那么信息技術(shù)對教育的影響就是深度的、全方位的了。第三種模式是信息技術(shù)與學(xué)科課程整合的最終落腳點(diǎn)，我們需要大力發(fā)展學(xué)科工具，使這個(gè)落腳點(diǎn)能站穩(wěn)站好，全面推動我們的教育信息化。
根據(jù)何克抗[6]的觀點(diǎn)，教育信息化至少包括“路”、“車”、“貨”和“駕駛員培訓(xùn)”四個(gè)子系統(tǒng)：“路”和“車”涉及教育信息化的硬、軟件和基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，“貨”涉及教育資源和教學(xué)資源的開發(fā)，這三個(gè)子系統(tǒng)都用于創(chuàng)建信息化教學(xué)環(huán)境；第四個(gè)子系統(tǒng)是指經(jīng)過培訓(xùn)的教師利用這種信息化環(huán)境去達(dá)到教育信息化的最終目標(biāo)。我們有一個(gè)基本的想法，就是用學(xué)科工具來帶動師范生教學(xué)技能的發(fā)展，讓師范生學(xué)會用學(xué)科工具來設(shè)計(jì)、開發(fā)信息技術(shù)環(huán)境下的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，從而把“用信息技術(shù)引領(lǐng)教師教育”從理念變成切實(shí)跟進(jìn)的行動，引領(lǐng)教師教育培養(yǎng)模式的發(fā)展，提升學(xué)科教育的學(xué)術(shù)地位，推動學(xué)科教育的整體發(fā)展，為培養(yǎng)信息化背景下的教師盡綿薄之力。我們現(xiàn)在正在開發(fā)面向基礎(chǔ)教育的學(xué)科工具，涉及到的學(xué)科有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、音樂等學(xué)科，正在把上述理念變成行動，也取得了一定的成效。
參考文獻(xiàn)：
[1]劉鄭，陳矛.中學(xué)立體幾何智能教育平臺的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)[J].中國電化教育，2011（5）：109-116.
[2]徐章韜，劉鄭，劉觀海，陳矛.基于立體幾何智能教育平臺的教學(xué)資源開發(fā)[J].課程?教材?教法，2012（7）：49-53.
[3]徐章韜，劉鄭，劉觀海，陳矛.基于立體幾何智能教育平臺下的內(nèi)容知識研究[J].電化教育研究，2012（12）：104-108.
[4]徐章韜，劉鄭，劉觀海，陳矛.信息技術(shù)支持下的學(xué)科教學(xué)知識之課例研究――以立體幾何智能教育平臺為例[J].中國電化教育，2013（1）：94-99.
在這里，時(shí)間被實(shí)體化，橫七豎八地摞在一起，就像播放器的進(jìn)度條，可以被隨時(shí)快進(jìn)和后退。原本看不見摸不著的引力，也像琴弦一樣，在庫珀的手指尖上被任意撥弄。一切已知的物理法則，在這個(gè)奇妙的高維度空間，似乎都被徹底顛覆。
《星際穿越》是導(dǎo)演克里斯托弗?諾蘭的太空旅行史詩新作。電影描述了一個(gè)不怎么美好的未來，那時(shí)，某種“專門欺負(fù)葉綠體”的病毒，侵襲了地球上絕大多數(shù)植物，人類能種植的糧食只剩下玉米，但也處于滅絕的邊緣。
退役宇航員庫珀被征募到了NASA，執(zhí)行一個(gè)孤注一擲的任務(wù)――飛向星辰大海，尋找另一個(gè)能供人類生存的星系。
《星際穿越》是一部地地道道的硬科幻，“蟲洞”、“黑洞”，尤其是那個(gè)能把人腦袋繞暈的“五維空間”。
來看看維度到底是個(gè)啥。用幾何來類比的話，點(diǎn)是零維，線是一維，平面是二維，立體空間則是三維，第四個(gè)維度是時(shí)間，從理論上來說，五維則是把時(shí)間實(shí)體化的維度，六維有點(diǎn)像是平行宇宙，還有七維、八維、九維……
人類就是生活在三維空間里、能夠感知到四維空間的生物，對我們來說，理解比我們低的維度要容易得多，再往上想，不行，腦子不夠用了。
那么別管那些生僻的名詞了，來，先跟著我來一場簡單的維度旅行。
首先要找一根一尺長、一巴掌寬的紙帶子，把紙帶的兩端對準(zhǔn)，用透明膠帶貼上，我們就得到了一個(gè)紙環(huán)，環(huán)的外側(cè)是一個(gè)曲面，內(nèi)側(cè)是另一個(gè)曲面。拿著筆在紙環(huán)的外側(cè)面上畫線，線條跟紙環(huán)邊緣平行的話，這條線永遠(yuǎn)也畫不到內(nèi)側(cè)去。
現(xiàn)在再找一根紙帶來，這次，我們需要把紙帶的一端翻轉(zhuǎn)180°，擰成個(gè)麻花，再把兩端粘在一起。試試看在這條新的紙環(huán)上畫線吧，你會發(fā)現(xiàn)，環(huán)的內(nèi)側(cè)和外側(cè)被打通了，連成了一個(gè)曲面！
這條被命名為莫比烏斯帶的玩意兒，就是一個(gè)建立在二維空間里的三維模型。假如那個(gè)紙環(huán)上有生命的話，他們會發(fā)現(xiàn)，自己居住的世界突然被擴(kuò)展了，原本看不見、到不了的地方，在空間被扭曲之后，連接在了一起。
而在電影《星際穿越》里，把四維時(shí)空“扭曲”成五維莫比烏斯帶的，是某種生活在高維度里的未知生命。對他們來說，時(shí)間“就像一個(gè)可以翻過去的山頭”，回到昨天或者前往明天，是一場可以說走就走的旅行，拎個(gè)小包就能去了。
現(xiàn)實(shí)生活中的我們，有沒有可能真的拎起小包，說走就走，來一場高維度空間的旅行？
事實(shí)上，物理學(xué)家史蒂芬?霍金曾提出過，他的宇宙模型是十一維的，在霍金看來，人類如果想描述現(xiàn)在已知的宇宙，只有長、寬、高、時(shí)間這4個(gè)未知數(shù)是不夠的，要加到11個(gè)未知數(shù)之后，宇宙的很多結(jié)構(gòu)才能得到合理的解釋。
關(guān)鍵詞：微積分；數(shù)學(xué)文化素質(zhì)
數(shù)學(xué)不僅是一種科學(xué)，還應(yīng)該是一門藝術(shù)和一種智慧。不但是描繪和研究客觀世界的思維方式與科學(xué)語言，而且還是創(chuàng)新文化和創(chuàng)造新世界的現(xiàn)實(shí)力量。然而，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)往往只重視知識和技能，卻忽視了培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的認(rèn)識。數(shù)學(xué)文化是以數(shù)學(xué)為核心，以數(shù)學(xué)的精神、觀點(diǎn)、思維、語言以及所輻射相關(guān)文化領(lǐng)域所組成的人類文化。
大學(xué)數(shù)學(xué)不僅傳播知識，而且培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)社會發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)能力。所以，大學(xué)課堂教學(xué)中融人數(shù)學(xué)文化是非常必要的，這樣不僅可以更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，使其更好地適應(yīng)社會，受益終生。本文就如何提高學(xué)生數(shù)學(xué)文化素質(zhì)進(jìn)行了如下分析。
一、數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵
人們談起文化，往往會把其與文學(xué)、語言、文學(xué)、藝術(shù)等聯(lián)系起來，而數(shù)學(xué)卻是數(shù)量、運(yùn)算、推理、抽象等的代名詞。事實(shí)上，數(shù)學(xué)文化確實(shí)是一種文化，對人們的影響無處不在，只是很多人都沒有意識到。著名的美國《科學(xué)》雜志特約主編斯蒂恩說得很明白：“數(shù)學(xué)……在人類特性和人類的歷史中，其地位不亞于語言、藝術(shù)或宗教。”數(shù)學(xué)和其他科學(xué)藝術(shù)一樣，是人類共同的精神基礎(chǔ)，是人類智慧的結(jié)晶。數(shù)學(xué)文化可以理解為：數(shù)學(xué)文化既體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的一面，也體現(xiàn)了文化的一面，它以數(shù)學(xué)科學(xué)知識為核心，以數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)素質(zhì)、數(shù)學(xué)教育等為有機(jī)組成部分，體現(xiàn)出一種與各種文化相互交融的關(guān)系。
二、數(shù)學(xué)文化的教育功能
數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容是廣泛的、博大的、精深的、數(shù)學(xué)文化所蘊(yùn)涵的教育意義是豐富而又巨大的。數(shù)學(xué)以其獨(dú)特的思維方式、獨(dú)特的表現(xiàn)形式，與其它學(xué)科如文化藝術(shù)等一樣，具有重要的文化價(jià)值，對人的發(fā)展起著舉足輕重的作用?？梢赃@樣說：數(shù)學(xué)深刻地影響著人類的精神生活，提高與豐富了人類的整體精神文明水平。數(shù)學(xué)文化有如下教育功能：第一，可以幫助學(xué)生樹立正確的世界觀；第二，有利于思維的發(fā)展；第三，有力于科學(xué)審美觀的培養(yǎng)；第四，有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神；第五，有利于學(xué)生應(yīng)有意識的培養(yǎng)。
三、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的必要性
從微積分教學(xué)的角度考慮，學(xué)習(xí)微積分，不僅要掌握其基本知識和方法，提高運(yùn)算能力、抽象思維能力、應(yīng)用創(chuàng)新能力，為學(xué)習(xí)相關(guān)的學(xué)科打好基礎(chǔ)；更加要從思想高度把握微積分，認(rèn)識微積分思想中蘊(yùn)涵的唯物辯證思想，認(rèn)識微積分思想背后所蘊(yùn)涵的人類思維發(fā)展的曲折過程，認(rèn)識微積分思想的美學(xué)功能，認(rèn)識微積分應(yīng)用的偉大成果。學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分的過程中，深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法，沉淀數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，充分體會微積分的價(jià)值，感受其美學(xué)魅力，微積分的抽象難懂就不會成為學(xué)習(xí)微積分的絆腳石，而微積分所蘊(yùn)涵的人文價(jià)值，也將會成為他們學(xué)習(xí)微積分的動力和目標(biāo)。
四、如何提高學(xué)生數(shù)學(xué)文化素質(zhì)
第一，加強(qiáng)數(shù)學(xué)史教育。數(shù)學(xué)史是一部數(shù)學(xué)理論的建構(gòu)、發(fā)展歷史，也是人類理性思維的探索歷史。教師用數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)情景，在課堂上介紹數(shù)學(xué)家的趣聞逸事、數(shù)學(xué)概念的起源和發(fā)展過程、古今數(shù)學(xué)方法的簡單類比等等，都可以讓學(xué)生充分感到數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。例如，在講解導(dǎo)數(shù)與微分時(shí)，可以給學(xué)生介紹第二次數(shù)學(xué)危機(jī)、導(dǎo)數(shù)符號的演變等；在中值定理教學(xué)時(shí)，可以給學(xué)生介紹拉格朗日的生平、“羅必塔法則”的由來等。
第二，開展研究性學(xué)習(xí)。研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題，自主研究、學(xué)習(xí)的過程。這個(gè)過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋獲證明。在研究性學(xué)習(xí)過程中挖掘數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，適度淡化形式，突出數(shù)學(xué)文化的原創(chuàng)性，著重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，特別是數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。讓學(xué)生真實(shí)地感受到現(xiàn)實(shí)生活中所蘊(yùn)涵的大量數(shù)學(xué)信息以及數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用。
第三，聯(lián)系其他學(xué)科，進(jìn)行相互滲透。數(shù)學(xué)的文化意義不僅僅在于其本身和它的內(nèi)涵，更加在于它的應(yīng)用價(jià)值，只有融入大眾文化的學(xué)科才是有生命力的學(xué)科。例如，在講解極限時(shí)，教師可以說明極限思想是與哲學(xué)緊緊結(jié)合在一起的（如芝諾悖論）；在講解二次曲面時(shí)，可在課堂上讓學(xué)生準(zhǔn)備一張長方形紙帶，將紙帶一端扭轉(zhuǎn)后，再將它首尾相接而成莫比烏斯帶。告訴學(xué)生如果讓一只小螞蟻沿著紙帶爬行，那么螞蟻無須跨越它的邊緣就可以輕易地爬遍整個(gè)紙帶，即莫比烏斯帶是一個(gè)單側(cè)曲面。并同時(shí)向?qū)W生講解莫比烏斯帶在技術(shù)、藝術(shù)、體育上的應(yīng)用。
第四，理論聯(lián)系實(shí)際。牛頓、萊布尼茲當(dāng)年發(fā)明微積分是為了解決力學(xué)和幾何學(xué)中所遇到的問題，直到今天，微積分依然在生產(chǎn)實(shí)踐方面發(fā)揮著重要的作用。在微積分的實(shí)際應(yīng)用中舉例，可以通過對物理學(xué)、生物學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)與自然現(xiàn)象中許多數(shù)量變化關(guān)系分析，建立簡單的行星運(yùn)動模型、人口模型、公共資源模型、經(jīng)濟(jì)問題模型等等，這些內(nèi)容將會豐富教學(xué)內(nèi)容，拓寬學(xué)生的思路和視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素質(zhì)。
在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，微積分的教學(xué)能深刻體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，提升對數(shù)學(xué)文化的重視程度，意識到數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵和價(jià)值。當(dāng)數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲透到教學(xué)重視，數(shù)學(xué)將會更加平易近人，學(xué)生就會更加理解數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。
參考文獻(xiàn)
[1]顧沛.數(shù)學(xué)文化課程建設(shè)的探索與實(shí)踐[M].北京：高等教育出版社，2009：1.12，41―49.
[2]方延明.數(shù)學(xué)文化（第二版）[M1.北京：清華大學(xué)出版社，2009：序言.
一、選擇合適內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)文化
教育家布魯納認(rèn)為，學(xué)習(xí)的最好刺激，乃是對所學(xué)材料的興趣。要想讓學(xué)生更好地學(xué)好數(shù)學(xué)，而不至于變成單調(diào)、枯燥的一味鍛煉思維的“體操”，那么，最好的辦法就是選擇合適的學(xué)習(xí)內(nèi)容，向?qū)W生適當(dāng)滲透，讓課堂具有“文化味”。
教學(xué)四年級上學(xué)期的四則混合運(yùn)算時(shí)，學(xué)生們感覺計(jì)算題非常單調(diào)、枯燥，懶得動筆筆算，就算是筆算了，在進(jìn)位時(shí)也經(jīng)常會出錯(cuò)，丟三落四，總是忘記進(jìn)位，計(jì)算結(jié)果自然也變得五花八門。面對現(xiàn)在學(xué)生計(jì)算能力的下降，老師不得不想出各種辦法，以促使學(xué)生盡量少出錯(cuò)。教師都會強(qiáng)調(diào)讓孩子每次將進(jìn)位寫在顯眼的位置，可是總是有部分學(xué)生習(xí)慣了懶得寫，導(dǎo)致計(jì)算正確率提高的效果不是很明顯。筆者在這節(jié)課中，就嘗試使用了課本中的課外閱讀P57“你知道嗎”的格子乘法引導(dǎo)孩子嘗試另辟新途徑，因它比較簡單易行，不容易因進(jìn)位而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。學(xué)生對這種 “鋪地錦”的方法，既感到新奇，又覺得好玩，這樣通過自學(xué)，利用小方格本，在玩樂中，不但學(xué)會了格子乘法的方法，而且四則混合運(yùn)算的解題速度也得到提高，正確率也明顯提高。
二、選擇合適時(shí)機(jī)，滲透數(shù)學(xué)文化
教育面對的是活生生的孩子，絕不是一件簡單的事，它產(chǎn)生的那一刻就注定了它的復(fù)雜性和艱巨性。數(shù)學(xué)文化的滲透要潤物細(xì)無聲，讓學(xué)生在不知不覺中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化，這就需要我們準(zhǔn)確把握合適時(shí)機(jī)，使學(xué)生在有意無意中接受數(shù)學(xué)文化的滲透。。
教學(xué)四年級上冊的平行四邊形和梯形中，我選用了課外閱讀的材料——神奇的莫比烏斯帶。我們知道，很多學(xué)生的幾何題，往往學(xué)得不好，主要在于想象力不夠好，懶得動手操作。為了讓孩子們發(fā)現(xiàn)動手操作后自己的偉大發(fā)現(xiàn)所帶來的成功感，我在課堂中首先利用人教版四上P77的課外數(shù)學(xué)游戲，給孩子們變了一個(gè)魔術(shù)——做了一條神奇的莫比烏斯帶。孩子們驚喜地發(fā)現(xiàn)它只有一個(gè)面（表面），和一個(gè)邊界，非常興奮。個(gè)個(gè)動手將長方形紙條像變魔術(shù)一樣的粘貼、扭轉(zhuǎn)、剪拼，體驗(yàn)動手操作的過程，享受發(fā)現(xiàn)結(jié)果的美妙。這樣的游戲設(shè)計(jì)首先順應(yīng)了孩子們的天性，讓他們產(chǎn)生探究精神，然后在玩的過程中對它產(chǎn)生了更濃厚的興趣，最后的驚奇發(fā)現(xiàn)，滿足了孩子的求知欲望，從而激起了學(xué)生們喜歡數(shù)學(xué)，愛數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望，真正成為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的源頭活水。學(xué)生在學(xué)中玩、玩中學(xué)的同時(shí)接受了數(shù)學(xué)文化的熏陶。
三、選擇合適手段，滲透數(shù)學(xué)文化
[關(guān)鍵詞]“解決問題”教學(xué)模式數(shù)學(xué)自主解決問題
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》開篇談到，義務(wù)教育階段的基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生的全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步與發(fā)展。那么在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生在獲取知識過程中的自主解決問題的能力，我認(rèn)為，“意識”是先導(dǎo)，“策略”是關(guān)鍵，“能力”是目的，因此，教師首先要具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和現(xiàn)代教育的思想，讓每個(gè)孩子的學(xué)習(xí)，都能夠?qū)W有所值，學(xué)有所用，自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法結(jié)合身邊的事物，解決生活和學(xué)習(xí)上的實(shí)際問題?！白灾鹘鉀Q問題”能讓學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動和學(xué)習(xí)必不可少的工具”，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，提高學(xué)生運(yùn)用知識自主解決問題的能力。
一、“解決問題”教學(xué)的現(xiàn)狀與思考
數(shù)學(xué)課的根本目的，是使所有學(xué)生獲得解決他們?nèi)粘Ｉ钪杏龅降臄?shù)學(xué)問題。傳統(tǒng)的“解決問題”教學(xué)模式，不利于發(fā)揮學(xué)生的主體作用，不利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和自覺性，它只強(qiáng)調(diào)老師講、學(xué)生聽、老師問、學(xué)生答。這樣的教學(xué)環(huán)境學(xué)生難以主動去探索，會制約學(xué)生的發(fā)展，因此，它會使課堂效果和質(zhì)量都不高。以往學(xué)生學(xué)習(xí)的材料局限于課本上所提供的一些例題、習(xí)題，要求過高、過偏，條件和結(jié)論基本上是封閉的，學(xué)生的思維無法得到有效的訓(xùn)練，對有差異的學(xué)生不能實(shí)施有差異性的教育，一些例題和習(xí)題遠(yuǎn)離學(xué)生生活實(shí)際，使學(xué)生感到很玄，感到枯燥無味，無法激起對知識的探索欲望，有的甚至對數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭煩。如何更新教學(xué)觀念?如何突現(xiàn)學(xué)生主體地位?如何培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力?如何優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)?如何保證學(xué)生自主探究的時(shí)間和空間的保證?這些都是我們急需著手解決的問題?！缎抡n程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出，以學(xué)生的發(fā)展為本，把課堂還給學(xué)生，保證學(xué)生自主探索的時(shí)間和空間。讓學(xué)生在獲取知識過程中的體驗(yàn)解決問題策略的多樣性。就學(xué)生的發(fā)展而言，解決問題活動的價(jià)值不只是獲得具體的結(jié)論，它的意義更多是使學(xué)生在解決問題的過程中體會到解決問題是可以有不同的策略的，每個(gè)人都應(yīng)當(dāng)有自己對問題的理解，并在此基礎(chǔ)上形成自己解決問題的基本策略，在這種鼓勵個(gè)性發(fā)揮的意義之下，創(chuàng)新精神的培養(yǎng)才能成為可能。
二、“解決問題”教學(xué)模式探索與策略
獲取數(shù)學(xué)知識過程中的解決問題，大致包括四個(gè)環(huán)節(jié)：(一)感知問題，創(chuàng)境激趣；(二)自主探索，解決問題；(三)反饋信息、交流評價(jià)；(四)拓展創(chuàng)新，總結(jié)激勵。這幾個(gè)環(huán)節(jié)在不少情況下，某一步可嵌入另一步中，從而使解決問題的過程得到簡縮，或使某種特殊的解題策略得以實(shí)施。
1.感知問題，創(chuàng)境激趣
感知問題、創(chuàng)設(shè)情境，是解決問題的第一步，讓學(xué)生能結(jié)合具體情境發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題。提出問題是思維活動的出發(fā)點(diǎn)，愛因斯坦和莫樂爾德曾說：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問題也許僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)的或?qū)嶒?yàn)的技能而已，而提出新的問題，新的可能性，從新的角度去看待舊的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想像力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。這就需要我們創(chuàng)設(shè)一種問題情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出有層次、有價(jià)值的問題，使學(xué)生原有知識與須掌握的新知識發(fā)生強(qiáng)烈沖突，使學(xué)生意識中的矛盾激化從而激發(fā)學(xué)生探索的興趣和產(chǎn)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動力。提出的問題才具有一定的藝術(shù)性、新穎性、趣味性，學(xué)生才具有更廣闊的思考空間。如果沒有特定的創(chuàng)設(shè)的問題情境，學(xué)生只是針對教材或教師提出的問題，做出相應(yīng)的解答，那么學(xué)生就會失去觀察、思考與猜測的機(jī)會，就會很難引起感知情景與思維創(chuàng)新的“共振”。如教學(xué)“面積的認(rèn)識”時(shí)，創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：“五一”勞動節(jié)快到了，淘氣和笑笑舉行一場勞動技能比賽。他們決定比試掃地的本領(lǐng)，于是來到校園，淘氣選擇了打掃籃球場，笑笑選擇打掃跳高場地。比賽開始了，一會兒，笑笑掃完了，她高興的跳起來說：“我第一，我第一”。你們同意笑笑得第一嗎?為什么?這是一個(gè)學(xué)生喜聞樂見的情境，吸引學(xué)生的注意力，充分調(diào)動了他們學(xué)習(xí)的興趣，由此提出了有價(jià)值的問題，也為新課的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。
2.自主探索，解決問題
這是學(xué)生獲取知識過程中自主探索、自主解決問題的中心環(huán)節(jié)。教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識結(jié)構(gòu)的特征，結(jié)合學(xué)生提供盡可能的材料信息，留足思維的時(shí)空，組織學(xué)生通過有目的的操作、觀察、交流、討論等方法自主解決問題，自動建夠自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
數(shù)學(xué)問題的類型較多，那么解決的方法也不是唯一的。嘗試從不同角度、不同的思路去考慮，尋求解決問題的最佳途徑，這也是學(xué)生思維靈活性、開放性的一種表現(xiàn)。諸如數(shù)學(xué)中的非常規(guī)問題、開放性問題和現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際數(shù)學(xué)問題，都值得讓學(xué)生尋找其解決的辦法和策略，這樣能開闊學(xué)生的思路，使學(xué)生了解現(xiàn)實(shí)生活中各種數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性、多樣性是有益的。例如：如果給你10元錢，可以買回多少千克蘋果?這道缺少條件的應(yīng)用題，似乎更接近生活實(shí)際，可以讓學(xué)生自己去水果店了解蘋果售價(jià)再計(jì)算，把錢用完或剩余一點(diǎn)都可以。學(xué)生問到的單價(jià)不盡相同恰恰反映了市場經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)實(shí)狀況。要是由此引起討論：追求量多還是質(zhì)好?偏遠(yuǎn)地區(qū)價(jià)低合算嗎?那么這里的收獲可就更大了。
3.反饋信息，交流評價(jià)
在自主探索的基礎(chǔ)上，教師給學(xué)生提供充分表達(dá)自己見解的機(jī)會，闡述自己得出的結(jié)論探究過程及疑難問題，然后根據(jù)學(xué)生反饋信息，組織引導(dǎo)學(xué)生通過個(gè)體發(fā)言、小組討論、辯論等多種形式進(jìn)行辨析評價(jià)，使學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定和完善。同時(shí)也是對問題解決的策略、方法進(jìn)行總結(jié)。學(xué)生不是一張白紙，即使是低年級的兒童也存在著豐富的生活體驗(yàn)和知識積累，同時(shí)，每位學(xué)生都有自己的生活背景、家庭環(huán)境，這種特定的生活和社會氛圍，導(dǎo)致不同的學(xué)生有不同的思維方式和解決問題的策略。因而在解決問題的過程中，多鼓勵學(xué)生和別人進(jìn)行交流，使學(xué)生體會到與他人合作的重要性。
4.拓展創(chuàng)新，總結(jié)激勵
依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生在學(xué)習(xí)中的存在的問題，教師挖掘并提供創(chuàng)新素材，設(shè)計(jì)有針對性、代表性的練習(xí)題組(基本題、變試題、拓展題、開放題)讓學(xué)生在解決這些問題的過程中，進(jìn)一步理解，鞏固新知，訓(xùn)練思維的靈活性、敏捷性、創(chuàng)造性，使學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力得到進(jìn)一步的培養(yǎng)與提高，激勵學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中善于思考，大膽發(fā)現(xiàn)。
三、“解決問題”教學(xué)模式的實(shí)踐與反思
我們的學(xué)生幾乎天天都在“解題”，但《標(biāo)準(zhǔn)》所關(guān)注的“解決問題”并不等同于這些解題活動，這里所說的問題既可以是純粹的數(shù)學(xué)題，也可以是以非數(shù)學(xué)題形式呈現(xiàn)的各種問題。但無論是什么類型的問題，其核心都需要學(xué)生通過“觀察、思考、猜測、交流、推理”等富有思維成分的活動才能夠解決的。這一模式的操作，是以“創(chuàng)境激趣”為關(guān)鍵，以“解決問題”為核心，以“自主探索”為主線展開的多維合作活動，這里蘊(yùn)涵著以人的發(fā)展為宗旨的教學(xué)觀，以民主為基礎(chǔ)的師生觀，以自主為手段的方法觀，以提高素質(zhì)為本的質(zhì)量觀的模式特征。
1.在問題情境中，激發(fā)學(xué)生主動參與解決問題
發(fā)現(xiàn)和探索是兒童在精神世界中的一種特別強(qiáng)烈的需要。在教學(xué)中依托情境，引導(dǎo)學(xué)生自己去尋找知識，尋找解決問題的方法，進(jìn)行探索式學(xué)習(xí)。比如教學(xué)“年、月、日”時(shí)，我們創(chuàng)設(shè)問題情景，“同學(xué)們喜歡過生日嗎?”學(xué)生都高興地回答：“喜歡”，接著又問幾個(gè)學(xué)生：“你幾歲了?過了幾個(gè)生日?”一般的人有幾歲，就會過幾個(gè)生日，可是小強(qiáng)滿12歲時(shí)，只過了三個(gè)生日，這是為什么呢?你們想不想知道其中的秘密?學(xué)生聽了，個(gè)個(gè)都情緒高漲，一種強(qiáng)烈的求知欲望油然而生，這時(shí)老師抓住學(xué)生迫切求知心理，及時(shí)引導(dǎo)他們進(jìn)入新課，這樣就很自然地為學(xué)生自主探索，解決問題營造了氛圍。
在“解決兩步計(jì)算的數(shù)學(xué)問題”教學(xué)中，老師不再按傳統(tǒng)那樣先給一個(gè)例題，然后幫學(xué)生去分析第一步求什么，第二步求什么；或要求什么，必須先求什么等等，而是讓學(xué)生自己先根據(jù)所提供的超市水果市場的情景去發(fā)現(xiàn)，提出數(shù)學(xué)問題，然后讓學(xué)生根據(jù)已有的知識獨(dú)立思考，再參與到小組去與別人交流，看看別人怎么想，別人的方法與自己有什么不同，小組同學(xué)比一比，看誰做得好，之后再全班進(jìn)行交流，這樣學(xué)生通過自己的思考以及學(xué)生的交流，新的解決問題的方法一步一步地在自己腦海中構(gòu)建起來。當(dāng)學(xué)生新知構(gòu)建以后，教師便要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)新知的鞏固與應(yīng)用，因此，老師出示了超市的其它商品情況表，讓學(xué)生自選一些自己喜歡的商品，根據(jù)所提供的信息，去提一些兩步計(jì)算的數(shù)學(xué)問題，這不僅將新的知識進(jìn)行運(yùn)用，還又一次提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，真正提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性。
2.主動探索，增強(qiáng)學(xué)生的主體意識
美國心理學(xué)家布鯤內(nèi)認(rèn)為，知識的獲得是一個(gè)主動的過程，學(xué)習(xí)者不應(yīng)是信息被動者，而應(yīng)是知識獲得過程的主動參與者。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，因此，我們教師應(yīng)鼓勵學(xué)生運(yùn)用已有的知識主動大膽地聯(lián)想、推測、探索，從不同角度去驗(yàn)證實(shí)踐尋找解決思路，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立獲取解決問題的策略和思想方法。
我們都知道莫比烏斯在1858年研究“四色定理”時(shí)偶然發(fā)現(xiàn)一個(gè)副產(chǎn)品。目前，“莫比烏斯帶”已被作為“了解欣賞的有趣圖形”之一，寫進(jìn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，編進(jìn)了新世紀(jì)(版)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書第十冊。為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)和積極性，拓展學(xué)生的思維，擴(kuò)大學(xué)生的知識面，我將“神奇的莫比烏斯帶”的問題，用于五年級數(shù)學(xué)課外知識。首先拿一張白紙，問學(xué)生有幾條邊?幾個(gè)方面?“老師會把它變成只有兩條邊、兩個(gè)面、你行嗎?”展開操作與嘗試，通過實(shí)踐，學(xué)生還沒感覺神奇在哪兒?！澳氵€能把它變成一條邊、一個(gè)面嗎?”學(xué)生大膽地嘗試，實(shí)踐出真理。如果沿中間一條線把這個(gè)神奇的圈剪開，會怎樣?學(xué)生又一次大膽猜想。實(shí)踐驗(yàn)證，體會著這其中的奧妙與神奇。如果沿三分之一線剪，是否和上面出現(xiàn)的結(jié)果相同呢?通過學(xué)生親手實(shí)踐，驗(yàn)證了自己的猜想，讓學(xué)生感受到了莫比烏斯的變幻莫測、神奇無比。學(xué)生在經(jīng)歷其出乎意料的變化過程中，通過動手操作，與人合作，尋求解決問題的辦法驗(yàn)證自己的猜測，主動探索。
3.拓展變化，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識
數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是一種基本觀點(diǎn)和態(tài)度，它指的是從數(shù)學(xué)角度思考、解釋、轉(zhuǎn)化表示事物的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一種自覺意識。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用，不全是回到測量、制圖、計(jì)算等數(shù)學(xué)活動，而是培養(yǎng)一種應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決問題的欲望和方式，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化(抽象)為數(shù)學(xué)問題。
例如：地球地赤道是一圓角，假如赤道上緊箍著一圈鋼纜，現(xiàn)在要把這圈鋼纜放松，使它遠(yuǎn)離地面有1米高，這樣，鋼纜必須再接一段上去，這段增加的長度應(yīng)該是多少米?
這個(gè)問題無法實(shí)際操作，如果查資料，查到地球赤道的周長或地球的半徑，進(jìn)行大數(shù)目的計(jì)算，就要花許多無效勞動(根本就不需要知道地球的半徑或周長)。我們把它抽象為數(shù)學(xué)問題，這個(gè)問題就是：有大小兩個(gè)圓，它們的圓心重合，半徑差是1米，求兩個(gè)圓的周長差?解：設(shè)小圓半徑為r得：2π(r+1)-2πr=2π=⒍28(米)。解答方法十分簡便。
【摘要】當(dāng)前教育下，由于受應(yīng)試教育的影響，小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計(jì)還僅僅停留在知識層面及教師對利用數(shù)學(xué)作業(yè)培養(yǎng)學(xué)生能力，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，對學(xué)生能力培養(yǎng)關(guān)注不夠等問題，因此在以人為本的新數(shù)學(xué)教育觀下，研究小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)有效性就急具有現(xiàn)實(shí)意義。在新形勢和新理念下，我們應(yīng)具備什么樣的作業(yè)觀，如何將作業(yè)發(fā)揮其最大的有效性，都將直接影響數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)作業(yè)； 有效性
隨著數(shù)學(xué)教育觀念的不斷更新，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法及作業(yè)布置上正在發(fā)生著重大的變化。如何設(shè)計(jì)作業(yè)，既能減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，又能促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)的全面發(fā)展呢？
在小學(xué)數(shù)學(xué)的作業(yè)設(shè)計(jì)中，積極實(shí)施多樣的數(shù)學(xué)作業(yè)形式，可以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的主體意識，給學(xué)生提供自我表現(xiàn)的機(jī)會，技法學(xué)生的創(chuàng)新意思，變“要我做”為“我要做”讓學(xué)生成為作業(yè)的主人，學(xué)習(xí)的主人，進(jìn)而逐步改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。經(jīng)過近幾年的教學(xué)實(shí)踐，我認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)的作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)遵循以下一些原則。
1 趣味設(shè)計(jì)，樂中求知
托爾斯泰曾經(jīng)說過：“成功的教學(xué)需要的不是強(qiáng)制，而是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。”興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的推動力，興趣是 成功的 老師。那么設(shè)計(jì)怎樣的作業(yè)才能緊緊拽住學(xué)生的心，鞏固教師向?qū)W生傳授的知識點(diǎn)呢？我認(rèn)為教師需要設(shè)計(jì)更具有趣味性的作業(yè)，讓學(xué)生愿做。
在小學(xué)生的眼里，那些新穎、生動、靈活多變的事物往往更容易引起的興趣，促使他們的思維始終處于積極狀態(tài)，產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，使其進(jìn)入最佳學(xué)習(xí)狀態(tài)。根據(jù)這一規(guī)律，我們在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)，就應(yīng)該多設(shè)計(jì)一些具有童趣性和親近性的作業(yè)，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生成為一個(gè)樂學(xué)者。
如：在設(shè)計(jì)“認(rèn)識人民幣”題目時(shí)，我讓學(xué)生自己去超市，自己去付錢、生找錢。還有進(jìn)行“分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)，利用多美滋的一則奶粉廣告――“分蛋糕”使學(xué)生對分?jǐn)?shù)有的更深的了解，并鞏固的加減法的知識，這樣使原來枯燥、乏味的計(jì)算現(xiàn)象，變成具有趣味的游戲性、故事性的作業(yè)，讓學(xué)生在輕松、快樂的氣氛中學(xué)會小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法和技能，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
2 生活設(shè)計(jì)，追溯本源
《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)從學(xué)生己有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用。小學(xué)數(shù)學(xué)課本的編排也極力貼近生活，寓于生活，用于生活。本著這一目的，我們在作業(yè)的設(shè)計(jì)上，應(yīng)把數(shù)學(xué)作業(yè)與學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合，常布置一些與學(xué)生生活息息相關(guān)的作業(yè)，可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)問題的能力，讓所學(xué)的知識得到應(yīng)用拓展與延伸。例如，在學(xué)習(xí)完 “合理安排時(shí)間”這節(jié)知識后，我讓學(xué)生合理安排自己早上起床后的時(shí)間，怎么樣設(shè)計(jì)才可以最節(jié)省時(shí)間，同學(xué)們興趣盎然，參與熱情高漲，很積極的就完成了這項(xiàng)作業(yè)。
3 實(shí)踐設(shè)計(jì)，張揚(yáng)個(gè)性
數(shù)學(xué)來源于生活，又作用于生活。課堂教學(xué)應(yīng)該體現(xiàn)“小課堂，大社會”的理念，基于這種理念，好的作業(yè)就應(yīng)該有助于學(xué)生實(shí)踐能力的形成和發(fā)展。當(dāng)學(xué)生面臨生活中的實(shí)際問題時(shí)，能夠主動從數(shù)學(xué)的角度入手，利用數(shù)學(xué)的思想方法尋求解決實(shí)際問題的方法。
學(xué)以致用，要把學(xué)到的知識應(yīng)用到生活中來，也是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識能力的最有效途徑。為此，進(jìn)行作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)歷和認(rèn)知水平，創(chuàng)設(shè)一些生活性的實(shí)際問題，讓學(xué)生嘗試從教學(xué)角度運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法尋求解決問題的方法，體會數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的價(jià)值，認(rèn)識到生活中處處有數(shù)學(xué)，生活離不開數(shù)學(xué)，并逐步成為一個(gè)知識的實(shí)踐者。
學(xué)完“平行四邊形”之后，我另外又給學(xué)生介紹了一個(gè)小知識：“神奇的莫比烏斯帶”，起初我是用一個(gè)魔術(shù)來引入這個(gè)神奇的小紙帶，然后讓學(xué)生在一次次的猜想，一次次的動手去驗(yàn)證的過程中，不但是他們鞏固的平行四邊形的有關(guān)知識，同時(shí)也感嘆數(shù)學(xué)的奇妙，特別是當(dāng)學(xué)生知道，莫比烏斯帶在我們生活中其實(shí)應(yīng)用十分廣泛的時(shí)候，更是體會到數(shù)學(xué)和日常生活之間的緊密聯(lián)系，從而體會到數(shù)學(xué)的內(nèi)在價(jià)值。
再例如《認(rèn)識千米》之后設(shè)計(jì)“體驗(yàn)1千米”和“調(diào)查1千米”的作業(yè)?！绑w驗(yàn)1千米”要求學(xué)生實(shí)際走一走 100米 大約多少步，在實(shí)際走一走 1千米，感受 1千米 的長度，并且記錄出自己走 1千米 大約需要多長時(shí)間?！罢{(diào)查1千米”要求學(xué)生網(wǎng)上搜索并記錄出3條關(guān)于千米的信息。這樣從體驗(yàn)和調(diào)查兩個(gè)方面入手讓學(xué)生對“千米”有了具體的感性認(rèn)識，讓學(xué)生在鮮明具體的體驗(yàn)中鞏固了所學(xué)知識。
4 差異設(shè)計(jì)，各取所需
由于受天賦、家庭、教育等各方面的影響，學(xué)生之間的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力的差異是客觀存在的。如果讓有差異的學(xué)生做無差異的作業(yè)，必然會造成一些學(xué)生“吃不飽”，一些學(xué)生“不夠吃”的現(xiàn)象。因此，在數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計(jì)上，我們不能搞“一刀切”，應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，針對學(xué)生的個(gè)體差異設(shè)計(jì)不同的作業(yè)，使我們的教學(xué)面向全體學(xué)生，讓不同的人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上得到不同的發(fā)展。
小朋友，帶上你一段時(shí)間的學(xué)習(xí)成果，一起來做個(gè)自我檢測吧，相信你一定是最棒的!
一、認(rèn)真思考，細(xì)心填空（共23分）
(共11題；共23分)
1.
（5分）汽車每小時(shí)行駛_______千米，飛機(jī)每小時(shí)行駛_______千米。
A.60
B.200
C.700
2.
（1分）校乒兵球隊(duì)中男生的人數(shù)是女生的9倍，男生的人數(shù)在50人至60人之間，男生有_______人。
3.
（1分）在一張長是20厘米，寬是15厘米的長方形紙里剪一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的面積是_______平方厘米，剩下的圖形周長是_______厘米。
4.
（1分）27÷8=3……_______???????????32÷_______=6……2
5.
（2分）用4，8，6組成的最大三位數(shù)是_______，最小三位數(shù)是_______，它們的和是_______，差是_______。
6.
（1分）一列火車10：30出發(fā)，走了45分鐘，它_______到達(dá)；小紅走路上學(xué)7：15分出門，7：40到校，他上學(xué)時(shí)間是_______分。
7.
（6分）在橫線上填上“＞”“＜”成“=”。
704+206_______900
410-198_______200
762-568_______200
130×5_______650
497×3_______1500
402×5_______2000
_______
30毫米_______3分米
2小時(shí)_______100分
8.
（2分）在下圖中涂出
_______，它的分?jǐn)?shù)單位是_______，有_______個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。
9.
（1分）有六張撲克牌，2，3，4點(diǎn)的各兩張，任意摸起兩張，兩張撲克牌上的點(diǎn)數(shù)和有_______種可能情況。
10.
（2分）一個(gè)正方形的周長是12分米，邊長是_______分米，面積是_______平方分米．
11.
（1分）把一個(gè)蛋糕平均分成8塊，小明吃了3塊，小明吃了這塊蛋糕的
_______，剩下的爸爸吃了，爸爸吃了這塊蛋糕的
_______。
二、請你判一判。
（5分）
(共5題；共5分)
12.
（1分）
圖中的陰影部分可以用
來表示。（
）
13.
（1分）時(shí)、分，秒中秒的單位最小，但是秒針走得最快。
14.
（1分）一噸鐵和1噸棉花同樣重。（
）
15.
（1分）一張單人課桌長約65厘米。
16.
（1分）下面卡片上兩個(gè)數(shù)的和是632。（
）
三、快樂ABC，請你選一選。
（5分）
(共5題；共5分)
17.
（1分）340與100的差除以25與5的和，商是多少？列式為（
）
A
.
（25+5）÷（340﹣100）
B
.
340﹣100÷25+5
C
.
（340﹣100）÷（25+5）
18.
（1分）如圖，靠墻圍成一個(gè)長方形的面積是x平方厘米，長是15厘米，則這個(gè)長方形的周長是（
）厘米．
A
.
x÷15×2+15
B
.
（x÷15+15）×2
C
.
x÷15×2
D
.
15
x÷2
19.
（1分）天天用兩根同樣長的鐵絲分別圍成一個(gè)長方形和一個(gè)正方形。圍成的正方形邊長為6厘米，那么圍成的長方形的周長是（
）厘米.
A
.
6
B
.
36
C
.
24
D
.
48
20.
（1分）養(yǎng)雞專業(yè)戶賣出公雞98只，還有公雞87只，母雞的只數(shù)是原有公雞的5倍，養(yǎng)雞專業(yè)戶有母雞多少只？正確列式是（
）
A
.
（98＋87）×5
B
.
98＋87×5
C
.
98×5＋87
D
.
98×(5＋87)
21.
（1分）如圖，將莫比烏斯帶沿虛線剪開，得到（
）.
A
.
一條長紙條
B
.
兩個(gè)套在一起的紙環(huán)
C
.
兩個(gè)分開的紙環(huán)
D
.
一個(gè)大的紙杯
四、細(xì)心計(jì)算（27分）
(共2題；共27分)
22.
（15分）直接寫出得數(shù)。
90÷3=
17×3=
=
67×0+25=
8T-3000kg=
12×5=
48÷4=
=
84-84÷4=
1500kg+2500kg=
23.
（12分）列豎式計(jì)算，帶“”的要驗(yàn)算。
①433+539
②629-358
③199＋714
④806-307
⑤527+271
⑥1000-456
五、畫筆顯神通。
（12分）
(共2題；共12分)
24.
（6分）在圖中涂色表示它下面的分?jǐn)?shù)。
25.
（6分）畫一個(gè)周長16厘米的正方形和一個(gè)周長20厘米的長方形。
六、解決問題小能手。
（共28分）
(共5題；共28分)
26.
（5分）某學(xué)校有男生959人，女生的人數(shù)比男生的人數(shù)多41人，全校一共有多少個(gè)學(xué)生？
27.
（5分）①號與②號長方形的面積相等，①號每個(gè)小正方形的面積是50平方厘米，那么②號每個(gè)小正方形面積是多少平方厘米？
28.
（5分）大船有8只，小船的只數(shù)是大船的4倍，
?
（先補(bǔ)充問題，再解答）
29.
（5分）李冬看一本120頁的書，第一天看了20頁，第二天看了25頁，兩天共看了全書的幾分之幾？
30.
（8分）一個(gè)操場長200米，寬100米，小英每天圍操場跑兩圈，一共跑了多少米？
參考答案
一、認(rèn)真思考，細(xì)心填空（共23分）
(共11題；共23分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
二、請你判一判。
（5分）
(共5題；共5分)
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、快樂ABC，請你選一選。
（5分）
(共5題；共5分)
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
四、細(xì)心計(jì)算（27分）
(共2題；共27分)
22-1、
23-1、
五、畫筆顯神通。
（12分）
(共2題；共12分)
24-1、
25-1、
六、解決問題小能手。
（共28分）
(共5題；共28分)
26-1、
27-1、
28-1、
本站为第三方开放式学习交流平台，所有内容均为用户上传，仅供参考，不代表本站立场。若内容不实请联系在线客服删除，服务时间：8:00~21:00。