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【關(guān)鍵詞】活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；數(shù)學(xué)思想；問(wèn)題意識(shí)；探索規(guī)律
【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2017）25-0059-03
【作者簡(jiǎn)介】杜建軍，江蘇省沭陽(yáng)縣第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇沭陽(yáng)，223600）教科室主任，高級(jí)教師，宿遷市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，江蘇省教育科研先進(jìn)個(gè)人。
“探索規(guī)律”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的基本課程內(nèi)容之一。蘇教版教材從三年級(jí)起，在每一冊(cè)教材里都安排一次有明確主題和內(nèi)容的探索規(guī)律專(zhuān)題活動(dòng)，其教學(xué)目標(biāo)不是指向規(guī)律本身的理解和掌握，而是注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究規(guī)律的過(guò)程，主要目的是讓學(xué)生在探索規(guī)律的過(guò)程中初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去解釋現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)的方式思考問(wèn)題，不斷積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面，筆者以蘇教版四下《多邊形的內(nèi)角和》教學(xué)為例，談?wù)剬?duì)探索規(guī)律教學(xué)的一些思考與實(shí)踐。
一、揭示課題，提出問(wèn)題
出示課題：多邊形的內(nèi)角和。
提問(wèn)：對(duì)于多邊形及內(nèi)角和，你們已經(jīng)知道些什么？還想再研究些什么？
引導(dǎo)：你們對(duì)這些問(wèn)題打算怎樣進(jìn)行研究呢？
談話：這種從簡(jiǎn)單入手、有序思考的研究策略是一種很好的學(xué)習(xí)方法。我國(guó)古代思想家老子這樣說(shuō)過(guò)：“天下難事，必作于易?！彼囊馑季褪钦f(shuō)，比較困難的事情，都要從簡(jiǎn)單的事情做起。今天就讓咱們從比較簡(jiǎn)單的圖形――四邊形開(kāi)始研究。
課始的提問(wèn)喚醒了學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，架起新舊知識(shí)間的橋梁，通過(guò)“你們打算怎樣進(jìn)行研究”引導(dǎo)學(xué)生自己去尋找研究方法，初步滲透由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的探究策略。
二、選擇策略，研究個(gè)案
1.探究四邊形的內(nèi)角和。
提問(wèn)：在我們學(xué)過(guò)的圖形中，有哪些是四邊形？在這些圖形中，你能一眼看出哪個(gè)圖形的內(nèi)角和呢？你是怎樣知道的？
引導(dǎo)：猜一猜，任意四邊形的內(nèi)角和是多少度？數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)大膽的猜想，同時(shí)也得進(jìn)行科學(xué)驗(yàn)證。請(qǐng)同學(xué)們拿出課前發(fā)放的紅色四邊形圖片（圖1），想辦法求出它的內(nèi)角和。
這里選擇直角梯形作為學(xué)具，其中有兩個(gè)角是直角，另兩個(gè)角分別是120°和60°，便于有些學(xué)生用測(cè)量的辦法求出其內(nèi)角和。這里把直角梯形當(dāng)作一般的四邊形讓學(xué)生進(jìn)行度量和計(jì)算，得出360°為一般四邊形的內(nèi)角和。
操作：W生用不同方法進(jìn)行驗(yàn)證。
匯報(bào)：請(qǐng)用不同方法驗(yàn)證的同學(xué)到講臺(tái)前來(lái)匯報(bào)，明確測(cè)量的方法有時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤差，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解為什么可以用分割法。
追問(wèn)：像這樣將四邊形分割為兩個(gè)三角形以后，原來(lái)四邊形的四個(gè)角都“躲”到哪去了呢？
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分割后兩個(gè)三角形的內(nèi)角的總和就是原來(lái)四邊形的內(nèi)角和。
談話：我們把四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的內(nèi)角總和。原來(lái)，不用量也能求出四邊形的內(nèi)角和。
比較：剛才我們用測(cè)量法、分割法分別求出了四邊形的內(nèi)角和，現(xiàn)在你覺(jué)得哪種方法更為簡(jiǎn)單呢？
追問(wèn)：任意一個(gè)四邊形是否都能轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形呢？
演示：利用幾何畫(huà)板課件演示四邊形的變化情況，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)任意四邊形都可以分割為兩個(gè)三角形。
小結(jié)：從特殊的四邊形――長(zhǎng)方形、正方形的內(nèi)角和引發(fā)猜想，并舉例驗(yàn)證，從而得出一般的結(jié)論。由特殊到一般，是獲取結(jié)論的重要方法。
對(duì)四邊形內(nèi)角和的探究是本節(jié)課探究活動(dòng)的重點(diǎn)，讓學(xué)生在課堂上通過(guò)對(duì)不同驗(yàn)證方法的比較，感受分割法的簡(jiǎn)便，初步體會(huì)可以將四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形來(lái)計(jì)算其內(nèi)角和。同時(shí)讓學(xué)生通過(guò)回顧對(duì)四邊形內(nèi)角和的研究，體會(huì)從特殊到一般的研究方法。
2.探究五邊形、六邊形的內(nèi)角和。
提問(wèn)：接下來(lái)，你想研究幾邊形的內(nèi)角和？
引導(dǎo)：要求五邊形、六邊形的內(nèi)角和，你能運(yùn)用研究四邊形內(nèi)角和的方法也來(lái)試一試嗎？請(qǐng)同學(xué)們拿出畫(huà)有五邊形和六邊形的操作紙，想一想，分一分，并算出每個(gè)圖形的內(nèi)角和。
匯報(bào)：讓兩名學(xué)生到臺(tái)前匯報(bào)。
引導(dǎo)：我發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學(xué)都是從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)向其他頂點(diǎn)連線，這樣分割有什么好處呢？
小結(jié)：有序操作和思考也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法。
通過(guò)觀察比較，讓學(xué)生體會(huì)到從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，向與它不相鄰的頂點(diǎn)連線分割最為有序方便，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)更加合理的分割方法。
三、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立模型
1.任意多邊形的內(nèi)角和。
提問(wèn)：對(duì)于其他多邊形，是否也能像剛才那樣將它們分割成一些三角形呢？
小組合作，任意畫(huà)一些多邊形，試一試。
小結(jié)：任意一個(gè)多邊形都能分割成一些三角形。
2.探索多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法。
提問(wèn)：如果要求一百邊形或邊數(shù)更多的多邊形內(nèi)角和，要不要將這樣的多邊形畫(huà)出來(lái)進(jìn)行研究？多邊形的內(nèi)角和還有什么奧秘呢？
引導(dǎo)：觀察剛才的研究記錄，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能通過(guò)剛才的研究找出多邊形內(nèi)角和的秘密嗎？在小組里說(shuō)一說(shuō)。
提問(wèn)：多邊形的內(nèi)角和與什么有關(guān)？你能用一個(gè)式子表示多邊形的內(nèi)角和嗎？
匯報(bào)得出：多邊形的內(nèi)角和=（多邊形的邊數(shù)-2）×180°。
談話：同學(xué)們真了不起！人類(lèi)經(jīng)過(guò)多年的探究才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，我們僅在短短一節(jié)課中就發(fā)現(xiàn)了其中的秘密。
通過(guò)讓學(xué)生求一百邊形的內(nèi)角和激發(fā)學(xué)生的探究欲望，抓住“多邊形的內(nèi)角和與什么有關(guān)？”這一核心問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與多邊形邊數(shù)的關(guān)系，將學(xué)生的思維引向更深處。通過(guò)談話讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)探究的樂(lè)趣，獲得快樂(lè)的情感體驗(yàn)，增強(qiáng)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。
四、回顧反思，積累經(jīng)驗(yàn)
提問(wèn)：回顧我們剛才探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程，你有哪些收獲和體會(huì)？
總結(jié)：這節(jié)課，我們從特殊到一般，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，讓我們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中，自覺(jué)運(yùn)用這樣的思想方法，更加智慧地去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，相信你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中更多的奧秘！
在回顧反思環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)本身、探究過(guò)程中的思考方法及數(shù)學(xué)思想等三個(gè)不同層面進(jìn)行反思，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感受運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題的價(jià)值，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)埋下數(shù)學(xué)思想的種子。
【教后反思】
《多邊形的內(nèi)角和》是蘇教版四下“探究規(guī)律”專(zhuān)題活動(dòng)內(nèi)容，是在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了三角形、平行四邊形和梯形，知道三角形的內(nèi)角和是180°、平行四邊形的內(nèi)角和是360°等知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的教學(xué)。在教學(xué)設(shè)計(jì)的理念上，筆者力求體現(xiàn)以下三點(diǎn)：
1.關(guān)注探究過(guò)程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。
本節(jié)課作為探索規(guī)律的專(zhuān)題內(nèi)容，教學(xué)中不是直接將方法呈現(xiàn)給學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生自己找到解決問(wèn)題的方法。課中讓學(xué)生通過(guò)觀察、操作、歸納、類(lèi)比等一系列活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的探究過(guò)程，自主發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)之間的關(guān)系，從而獲得計(jì)算多邊形內(nèi)角和的一般方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。
通過(guò)活動(dòng)，不僅要讓學(xué)生計(jì)算出多邊形的內(nèi)角和，還要讓學(xué)生概括求多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法，并初步用數(shù)學(xué)模型來(lái)表示。在試教的過(guò)程中筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然能計(jì)算出多邊形的內(nèi)角和是多少度，但讓他們總結(jié)出求多邊形內(nèi)角和的算法還具有一定困難。為了克服這一困難，我讓學(xué)生分別把四邊形、五邊形、六邊形……的“邊數(shù)”“分成三角形的個(gè)數(shù)”“內(nèi)角和”等數(shù)據(jù)依次填入表中，這樣容易得出以下結(jié)論：圖形的邊數(shù)越多，分成三角形的個(gè)數(shù)就越多，內(nèi)角和的度數(shù)也就越大；多邊形分成三角形的個(gè)數(shù)總是比它的邊數(shù)少2；多邊形的內(nèi)角和一定是180°的倍數(shù)。這些發(fā)現(xiàn)都是概括多邊形內(nèi)角和計(jì)算方法的感性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在活動(dòng)的過(guò)程中，不斷積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。
2.培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)，提升思維品質(zhì)。
“問(wèn)題”是建構(gòu)課堂的“腳手架”，決定了學(xué)生思維的方向。本節(jié)課不僅要讓學(xué)生經(jīng)歷分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，還要鼓勵(lì)學(xué)生用心發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，大膽提出問(wèn)題。本節(jié)課教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)是“三角形的內(nèi)角和”，基于學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和的認(rèn)識(shí)，可以讓學(xué)生自主質(zhì)疑，提出問(wèn)題。因此，筆者在課始采取開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的方式，直接出示課題，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)已經(jīng)知道些什么，還想研究些什么，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)。當(dāng)學(xué)生得出長(zhǎng)方形、正方形和平行四邊形等特殊的四邊形內(nèi)角和是360°時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生猜想并提出“其他任意四邊形的內(nèi)角和也是360°嗎”“其他多邊形的內(nèi)角和是多少度”等問(wèn)題。通過(guò)“一百邊形的內(nèi)角和是多少度”這一具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生觀察已有數(shù)，分析存在的規(guī)律，得出任意多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法。通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
3.滲透數(shù)學(xué)思想，彰顯數(shù)學(xué)魅力。
本節(jié)課設(shè)計(jì)注重轉(zhuǎn)化、類(lèi)比、歸納等思想方法的滲透。由長(zhǎng)方形、正方形的內(nèi)角和是360°入手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想，通過(guò)舉例驗(yàn)證得到一般四邊形的內(nèi)角和；由對(duì)四邊形內(nèi)角和的探究類(lèi)比到對(duì)其他多邊形內(nèi)角和的探究；通過(guò)對(duì)四邊形、五邊形、六邊形等圖形內(nèi)角和的探究，歸納出任意多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法；將多邊形分割轉(zhuǎn)化為若干個(gè)三角形來(lái)計(jì)算其內(nèi)角和，將新的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
知識(shí)技能
通過(guò)探究，歸納出多邊形的內(nèi)角和
數(shù)學(xué)思考
1、通過(guò)測(cè)量、類(lèi)比、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，探索多邊形的內(nèi)角和的公式，感受數(shù)學(xué)思考過(guò)程的條理性，發(fā)展推理能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。
2、通過(guò)把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在幾何中的應(yīng)用，同時(shí)
時(shí)讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)問(wèn)題的方法。
3、通過(guò)探索多邊形內(nèi)角和公式，讓學(xué)生逐步從實(shí)驗(yàn)幾何過(guò)度到
論證幾何
解決問(wèn)題
通過(guò)探索多邊形內(nèi)角和公式，嘗試從不同角度尋求解決問(wèn)題的方法并能有效的解決問(wèn)題。
情感態(tài)度
通過(guò)對(duì)生活中數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究，進(jìn)一步提高學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)，在自主探究、合作交流的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)的重要作用，感受數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要意義和合作成功的喜悅，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。
重點(diǎn)
探索多邊形內(nèi)角和的公式的探究過(guò)程。
難點(diǎn)
在探索多邊形的內(nèi)角和時(shí)，如何把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形。
知識(shí)聯(lián)系
多邊形的對(duì)角線和三角形的內(nèi)角和為本節(jié)課的知識(shí)做了鋪墊，本節(jié)課的內(nèi)容為多邊形的外角和做知識(shí)上的準(zhǔn)備。
知識(shí)背景
對(duì)多邊形在生活中有所認(rèn)識(shí)
學(xué)習(xí)興趣
通過(guò)探究過(guò)程更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。
教學(xué)工具
三角板和幾何畫(huà)板。
教學(xué)流程設(shè)計(jì)
活動(dòng)流程圖
活動(dòng)內(nèi)容和目的
活動(dòng)一，教師和學(xué)生任意畫(huà)幾個(gè)多邊形，用量角器測(cè)其內(nèi)角和
活動(dòng)二、探索四邊形的內(nèi)角和
活動(dòng)三、探索五邊形、六邊形、七邊形的內(nèi)角和
活動(dòng)四、探索任意多邊形的內(nèi)角和公式
活動(dòng)五、多邊形內(nèi)角和公式的運(yùn)用
活動(dòng)六、小結(jié)和布置作業(yè)
通過(guò)分組測(cè)量，得出這幾個(gè)多邊形的內(nèi)角和
通過(guò)用不同方法分割四邊形為三角形，探索四邊形的內(nèi)角和。
通過(guò)類(lèi)比四邊形內(nèi)角和的得出方法，探索其他多邊形的內(nèi)角和，發(fā)展學(xué)生的推理能力
通過(guò)把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在幾何中的應(yīng)用，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的思考問(wèn)題方法
通過(guò)畫(huà)正八邊形體會(huì)和應(yīng)用多邊形的內(nèi)角和
梳理所學(xué)知識(shí)，達(dá)到鞏固發(fā)展和提高的目的
教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
問(wèn)題與情景
師生行為
設(shè)計(jì)意圖
設(shè)計(jì)情景：什么是正多邊形？
正八邊形有什么特點(diǎn)？
你會(huì)畫(huà)邊長(zhǎng)為3cm的正八邊形嗎？
學(xué)生思考并回答問(wèn)題
學(xué)生不會(huì)畫(huà)八邊形，畫(huà)八邊形需要知道它的每一個(gè)內(nèi)角，怎么就能知道八邊形的每一個(gè)內(nèi)角，就是今天要解決的問(wèn)題，以此來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。
活動(dòng)1、
在練習(xí)本畫(huà)出任意四邊形，五邊星，六邊形，七邊形
分組讓學(xué)生量出每一個(gè)多邊形的內(nèi)角并求出他們的內(nèi)角和，教師在黑板上畫(huà)這四個(gè)四邊形
通過(guò)測(cè)量猜想每一個(gè)多邊形的內(nèi)角和，感受數(shù)學(xué)的可實(shí)驗(yàn)性，感受數(shù)學(xué)由特殊到一般的研究思想
活動(dòng)2（重點(diǎn)）（難點(diǎn)）
探索四邊形的內(nèi)角和
學(xué)生在練習(xí)本上把一個(gè)四邊形分割成幾個(gè)三角形，教師在黑板上畫(huà)幾個(gè)四邊形，叫幾個(gè)學(xué)生來(lái)分割，從而用推理求四邊形的內(nèi)角和，師生共同討論比較那一種分割方法比較合理有優(yōu)點(diǎn)。
通過(guò)分割及推理，培養(yǎng)學(xué)生用推理論證來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)結(jié)論的能力，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生比較和歸納的能力。
活動(dòng)3、探索五邊形、六邊形，七邊形的內(nèi)角和
學(xué)生根據(jù)活動(dòng)二的分析，進(jìn)一步用最優(yōu)方法來(lái)分割五邊形、六邊形，七邊形，從而通過(guò)推理得出他們的內(nèi)角和
通過(guò)分割及推理，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的解決問(wèn)題和推理的能力。
活動(dòng)4、探索任意多邊形的內(nèi)角和
把活動(dòng)2和3中的結(jié)論寫(xiě)下來(lái)，進(jìn)行對(duì)比分析，進(jìn)一步猜想和推導(dǎo)任意多邊形的內(nèi)角和，教師作總結(jié)性的結(jié)論，并且用動(dòng)畫(huà)演示多邊形隨著邊數(shù)的增加其內(nèi)角和的變化過(guò)程。
通過(guò)猜想、歸納、推導(dǎo)讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的思想，通過(guò)公式的歸納過(guò)程，體會(huì)數(shù)形之間的聯(lián)系
活動(dòng)5、畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的八邊形
讓學(xué)生在練習(xí)本上畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的八邊形，教師進(jìn)行評(píng)價(jià)和展示
鞏固和應(yīng)用多邊形內(nèi)角和，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)
數(shù)形結(jié)合應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，不僅僅在四邊形的學(xué)習(xí)中?！皵?shù)”是指數(shù)與式，“形”是指圖形與圖像。數(shù)形結(jié)合的思想可以變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西。而且讓學(xué)生更容易理解，把抽象的數(shù)字和文字，轉(zhuǎn)化成有形的圖形，學(xué)生看起來(lái)更加方便，理解的也會(huì)更透徹，當(dāng)然也會(huì)取得事半功倍的學(xué)習(xí)效果。例如在教授“特殊的平行四邊形”時(shí)，通過(guò)教具或多媒體演示，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)的教學(xué)過(guò)程中觀察角的變化，當(dāng)一個(gè)角這變?yōu)橹苯菚r(shí)，指出這時(shí)的平行四邊形是矩形，使學(xué)生明白，矩形是有一個(gè)角為直角的特殊的平行四邊形。在老師演示完后，要求學(xué)生把準(zhǔn)備好的教具橡皮筋拿出來(lái)，兩個(gè)學(xué)生組成一個(gè)小級(jí)，把橡皮筋拉成四邊形的樣子，同時(shí)再要求學(xué)生按照下面的圖形改變角度從而改變四邊形的形狀，在改變角度時(shí)要觀察兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度是如何產(chǎn)生變化的。當(dāng)四個(gè)角都是直角時(shí)，此時(shí)四邊形是一個(gè)什么樣的特殊四邊形。
二、動(dòng)手操作，讓學(xué)生手腦并用
現(xiàn)在的初中生，由于家庭條件較優(yōu)越及家長(zhǎng)的包辦代替，動(dòng)手能力較差，這給數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)帶來(lái)了障礙。為了克服這一問(wèn)題，我在課堂上經(jīng)常會(huì)主張讓學(xué)生自己動(dòng)手，親自制作教具。再動(dòng)手的過(guò)程中加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解。例如在學(xué)習(xí)探索多邊形的內(nèi)角和和外角和時(shí)，我就讓學(xué)生在課前準(zhǔn)備好了硬紙板、量角器和剪刀，上課的時(shí)候就讓他們自己在紙板上畫(huà)出了隨意的四邊形，之后讓學(xué)生們把四邊形的四個(gè)角都剪下來(lái)，拼湊在一起，學(xué)生們動(dòng)手做過(guò)后都驚奇地發(fā)現(xiàn)，不管學(xué)生們畫(huà)出什么樣的四邊形，他們的結(jié)果都是一樣的。我便用了一個(gè)非常簡(jiǎn)單的方法給學(xué)生們證明了一下他們的答案：如圖1，連接AC，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于兩個(gè)三角形內(nèi)角和的和，即180°×2=360°。學(xué)生們通過(guò)動(dòng)手調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)興趣，而且這個(gè)理論是他們自己動(dòng)手做出來(lái)的，他們的印象更深，理解和記憶起來(lái)都更容易。接著我便讓學(xué)生在紙板上畫(huà)出了任意多邊形，讓他們?cè)囍ヌ剿魅我舛噙呅蔚膬?nèi)角和。學(xué)生們帶著剛才的興致，又開(kāi)始動(dòng)手了，在他們不斷地探索和實(shí)踐中，很快他們就找到了規(guī)律，這時(shí)候我便給他們引出了多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角的和等于：（n－2）×180°，則正多邊形各內(nèi)角度數(shù)為：（n－2）×180°÷n。學(xué)生們?cè)趯?shí)踐中感受到了學(xué)習(xí)的快樂(lè)，自然增加了他們的學(xué)習(xí)情趣，也增強(qiáng)了他們的動(dòng)手實(shí)踐能力。
三、建立和諧的師生關(guān)系，創(chuàng)設(shè)寬松氛圍
【案例1】 平行四邊形面積的計(jì)算
片段1
師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方形、正方形的面積，生活中有時(shí)候還需要我們計(jì)算平行四邊形的面積。剛才，老師發(fā)給每個(gè)同學(xué)一張紙，紙上印有一個(gè)平行四邊形（如圖），看我們的同學(xué)誰(shuí)會(huì)動(dòng)腦筋、想辦法，計(jì)算出紙上平行四邊形的面積，并知道平行四邊形面積的計(jì)算方法可能是怎樣的。下面，每個(gè)同學(xué)就開(kāi)動(dòng)自己的腦筋思考吧！
富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)了學(xué)生積極參與探究實(shí)踐活動(dòng)，只見(jiàn)有的學(xué)生在畫(huà)著，有的學(xué)生在量著，有的學(xué)生在計(jì)算著，有的學(xué)生則愣著，也有的學(xué)生忍不住抱怨著：它沒(méi)告訴什么呀，怎么算？老師悄悄地走過(guò)去，小聲地問(wèn)：告訴什么，你就能算了？你有辦法自己去知道需要的條件嗎？得到啟發(fā)，該學(xué)生也拿尺量了起來(lái)。教師友善地提醒大家：請(qǐng)注意，量出的長(zhǎng)度會(huì)有誤差，請(qǐng)你取整厘米數(shù)。對(duì)于個(gè)別沒(méi)有思路的同學(xué)，教師輕聲地啟發(fā)，如果是長(zhǎng)方形的話你能算出它的面積嗎？你有辦法把它轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？再想想吧！
大約過(guò)了3、4分鐘，絕大多數(shù)學(xué)生有了自己的答案。我認(rèn)為，有效的課堂是在教師的有效引領(lǐng)下以學(xué)生的獨(dú)立思考，形成各自的想法為前提的。教師沒(méi)有進(jìn)行這樣的導(dǎo)入：在黑板上畫(huà)一個(gè)平行四邊形，告訴學(xué)生這節(jié)課要學(xué)習(xí)的是計(jì)算平行四邊形的面積，并提問(wèn)：我們能不能把平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形。我們可以沿著哪條線剪開(kāi)，能正好拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？引導(dǎo)學(xué)生操作實(shí)踐，進(jìn)行觀察、比較……因?yàn)檫@樣的導(dǎo)入，教師已經(jīng)給出了解決問(wèn)題的思路，學(xué)生只要執(zhí)行老師的指令，就能輕易得出平行四邊形面積的計(jì)算公式，沒(méi)有機(jī)會(huì)，也不需要進(jìn)行自己的思考，不可能形成真正屬于自己的想法。而需要學(xué)生形成各自的想法，首先就應(yīng)該讓學(xué)生積極地獨(dú)立思考、自主探索，并且力求使全體學(xué)生積極參與。
片段2
師：同學(xué)們，有結(jié)果了嗎？
（學(xué)生猶豫地陸續(xù)舉起了手）
師：我只要結(jié)果，誰(shuí)先來(lái)報(bào)一報(bào)你的結(jié)果是多少？
生：這個(gè)平行四邊形的面積是35平方厘米。
師：有不同答案嗎？（有同學(xué)激動(dòng)地站起來(lái)舉手說(shuō)“有！”）
生：我的答案是28平方厘米。（還有同學(xué)想說(shuō)，高高地舉著手。）
生：我算下來(lái)是32平方厘米。
師：還有沒(méi)有？（這時(shí)，沒(méi)有學(xué)生再舉手了。）
這里，老師做得非常好！讓同學(xué)把不同答案說(shuō)出來(lái)，再說(shuō)想法。其實(shí)，老師是不知道正確答案的。試想，如果老師先讓正確的學(xué)生匯報(bào)，把想法和答案都展示出來(lái)，教師再給予充分肯定與表?yè)P(yáng)，這時(shí)課堂上又會(huì)是怎樣的情景，想必一些算錯(cuò)的學(xué)生，或者一些對(duì)自己想法沒(méi)有把握的學(xué)生，他們就很難有勇氣把自己的想法展示出來(lái)。當(dāng)然，這種勇氣也是需要培養(yǎng)的，但人都有一種求成的欲望，更何況是小學(xué)生，很有可能，個(gè)別學(xué)生的正確答案替代了教師的講授，而沒(méi)有了學(xué)生之間不同想法的交流、思維的碰撞，思維的火花也就不可能產(chǎn)生。
【案例2】 《三角形內(nèi)角和》教學(xué)片段
在探究得出三角形內(nèi)角和是180°后，學(xué)生順利地完成了基本練習(xí)，接下來(lái)是一道拓展練習(xí)題。四邊形的內(nèi)角和是多少度？
生：四邊形的內(nèi)角和是360°。
師：你能說(shuō)明為什么嗎？
生：因?yàn)殚L(zhǎng)方形和正方形它們四個(gè)內(nèi)角都是直角，90°×4=360°，所以我覺(jué)得一般四邊形的內(nèi)角和也是360°。
師：這位同學(xué)是從特殊到一般，得出四邊形的內(nèi)角和是360°，誰(shuí)能進(jìn)一步說(shuō)明為什么嗎？
生：我在四邊形里面畫(huà)一條線把它分成兩個(gè)三角形，每個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，兩個(gè)就是360°。
師：大家同意他的意見(jiàn)嗎？
學(xué)生表示同意，老師也表?yè)P(yáng)了這位同學(xué)的重大發(fā)現(xiàn)，正當(dāng)老師準(zhǔn)備進(jìn)行下面的環(huán)節(jié)時(shí)。一個(gè)同學(xué)站了起來(lái)，說(shuō)出了他的發(fā)現(xiàn)。
生：老師，我不同意剛才那個(gè)同學(xué)的意見(jiàn)，我認(rèn)為他的方法是錯(cuò)誤的，我用他的方法試了試，在四邊形里面畫(huà)兩條這樣的線，就分成四個(gè)三角形了。內(nèi)角和就是720°，多了360°。這位學(xué)生的解釋讓老師犯難了，但這位老師并沒(méi)有簡(jiǎn)單地說(shuō)他的發(fā)現(xiàn)是錯(cuò)誤的，而是將這個(gè)問(wèn)題拋給了大家。
師：這位同學(xué)很細(xì)心，發(fā)現(xiàn)畫(huà)兩條線就多出了360°為什么會(huì)多出360°呢？請(qǐng)大家和這位同學(xué)一樣，在四邊形里面畫(huà)兩條對(duì)角線，仔細(xì)思考，分成的四個(gè)三角形內(nèi)角和與原來(lái)四邊形的內(nèi)角和有什么關(guān)系？
顯然，這個(gè)意外是學(xué)生一次錯(cuò)誤的“發(fā)現(xiàn)”，但這個(gè)錯(cuò)誤本身是有研究?jī)r(jià)值的。討論中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，多出的360°是因?yàn)樵趯?duì)角線交點(diǎn)處，就增加了一個(gè)周角，而這個(gè)周角不屬于四邊形的內(nèi)角，計(jì)算四邊形的內(nèi)角和時(shí)要減掉這多出來(lái)的360°。
尋找、思考和交流的過(guò)程，正是學(xué)生空間思維和邏輯思維能力得到發(fā)展的過(guò)程。這是一個(gè)錯(cuò)誤，更是一次機(jī)會(huì)。老師并沒(méi)有往下進(jìn)行預(yù)設(shè)的環(huán)節(jié)，而是引領(lǐng)學(xué)生讓他們?nèi)ゲ僮鳌⑷シ治?、去討論，從而把這個(gè)生成轉(zhuǎn)化為寶貴的課程資源。
實(shí)踐告訴我們，每位學(xué)生都有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛力，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生不斷生成問(wèn)題、解決問(wèn)題，教師在其中要善于挑起“矛盾”，引發(fā)疑問(wèn)，引起爭(zhēng)論，促使學(xué)生進(jìn)行深入思考。教師的任務(wù)就是科學(xué)地、有效地引領(lǐng)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，自己去探索，在精彩的生成中體會(huì)濃濃的數(shù)學(xué)味。因此，一個(gè)富有生命力的課堂，必定是注重學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的課堂，一個(gè)促使學(xué)生的問(wèn)題不斷解決與生成的課堂。
平行四邊形是在學(xué)習(xí)了平行線和三角形之后，是對(duì)平行線和三角形知識(shí)的應(yīng)用和深化。同時(shí)又是為以后學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形等打基礎(chǔ)，起著承上啟下的橋梁作用。平行四邊形具有較多的性質(zhì)，平行四邊形對(duì)角相等，對(duì)邊相等。通過(guò)平行四邊形的定義，我們很自然地聯(lián)想到平行線的知識(shí)，就可以把平行四邊形這一新知識(shí)，其中的部分內(nèi)容可以轉(zhuǎn)化為平行線這一舊知識(shí)。例如：已知，四邊形ABCD為平行四邊形。求證：∠A=∠C，∠B=∠D。
分析：?荀ABCD的鄰角均為同旁?xún)?nèi)角，利用平行線的性質(zhì)得∠A=180-∠B，∠C=180-∠B
∠A=∠C。同理可得∠B=∠D。
這就是利用平行線的性質(zhì)定理“兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”，推導(dǎo)出了平行四邊形的一個(gè)重要的性質(zhì)定理“平行四邊形的對(duì)角相等”。我們可以借助三角形的知識(shí)，進(jìn)一步深入研究平行四邊形，如何實(shí)現(xiàn)這一步新舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化呢？我們可以采用添加對(duì)角線的方法，如果添加一條，則把平行四邊形分成兩個(gè)全等三角形，于是能夠證明平行四邊形的第二個(gè)性質(zhì)定理“平行四邊形的對(duì)邊相等”；如果添加兩條對(duì)角線，則把平行四邊形分成四個(gè)最基本的小三角形，對(duì)等的兩個(gè)分別全等，于是我們證明平行四邊形的第三條性質(zhì)定理“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”。因此，對(duì)角線成為解決平行四邊形問(wèn)題中一種重要的輔助線。
好多學(xué)生不知道輔助線是怎么做的、為什么這樣做、有幾種不同做法等問(wèn)題。事實(shí)上，學(xué)生在自主探究問(wèn)題時(shí)，就要注重培養(yǎng)和鍛煉他們探究問(wèn)題的手段和方法，并體會(huì)“對(duì)折”可以畫(huà)中線、角的平分線、中位線等。“平移”就可以畫(huà)平行線，找同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角等；以此引導(dǎo)學(xué)生添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把未知化為已知，利用已學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決新的問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
關(guān)鍵詞：情境；探究；實(shí)驗(yàn)
中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2013）03-213-01
數(shù)學(xué)知識(shí)和科學(xué)技術(shù)、社會(huì)生活息息相關(guān)。關(guān)注現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，能使學(xué)生真正了解到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值，使數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生愉悅的情感體驗(yàn)過(guò)程，讓學(xué)生感悟到實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)的奇妙和規(guī)律，從而激發(fā)學(xué)生勇于探索科學(xué)知識(shí)的最大潛能，真正實(shí)現(xiàn)從生活走向數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)走向社會(huì)。
一、讓學(xué)生自己去探知，找出規(guī)律
新課標(biāo)下要充分發(fā)揮教師的指導(dǎo)作用，就初中階段的學(xué)生所研究的題目來(lái)說(shuō)，結(jié)論是早就有的，之所以要學(xué)生去探究，去發(fā)現(xiàn)，是想叫他們?nèi)ンw驗(yàn)和領(lǐng)悟科學(xué)的思想觀念、科學(xué)家研究問(wèn)題的方法，同時(shí)獲取知識(shí)。但是，敢“放”并不意味著放任自流，而是科學(xué)的引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)的完成探究活動(dòng)。當(dāng)學(xué)生在探究中遇到困難時(shí)，教師要予以指導(dǎo)。當(dāng)學(xué)生的探究方向偏離探究目標(biāo)時(shí)，教師也要予以指導(dǎo)。所以教師要相信學(xué)生的能力，讓學(xué)生在充分動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口過(guò)程中主動(dòng)積極的學(xué)，千萬(wàn)不要只關(guān)注結(jié)論的正確與否，甚至急于得出結(jié)論。
例如：我們求多邊形內(nèi)角和，教學(xué)過(guò)程：
（一）創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)疑激思。
教師：大家都知道三角形的內(nèi)角和是180? ，那么四邊形的內(nèi)角和，你知道嗎？
活動(dòng)一：探究四邊形內(nèi)角和。在獨(dú)立探索的基礎(chǔ)上，學(xué)生分組交流與研討，并匯總解決問(wèn)題的方法。
方法一：用量角器量出四個(gè)角的度數(shù)，然后把四個(gè)角加起來(lái)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和是360?。
方法二：把兩個(gè)三角形紙板拼在一起構(gòu)成四邊形，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形內(nèi)角和相加是360?。
接下來(lái)，教師在方法二的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生利用作輔助線的方法，連結(jié)四邊形的對(duì)角線，把一個(gè)四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形。
教師：你知道五邊形的內(nèi)角和嗎？六邊形呢？十邊形呢？你是怎樣得到的？
活動(dòng)二：探究五邊形、六邊形、十邊形的內(nèi)角和。
學(xué)生先獨(dú)立思考每個(gè)問(wèn)題再分組討論。
關(guān)注：（1）學(xué)生能否類(lèi)比四邊形的方式解決問(wèn)題得出正確的結(jié)論。
（2）學(xué)生能否采用不同的方法。
學(xué)生分組討論后進(jìn)行交流（五邊形的內(nèi)角和）
方法1：把五邊形分成三個(gè)三角形，3個(gè)180?的和是540?。
方法2：從五邊形內(nèi)部一點(diǎn)出發(fā)，把五邊形分成五個(gè)三角形，然后用5個(gè)180?的和減去一個(gè)周角360?。結(jié)果得540?。
方法3：從五邊形一邊上任意一點(diǎn)出發(fā)把五邊形分成四個(gè)三角形，然后用4個(gè)180?的和減去一個(gè)平角180?，結(jié)果得540?。
方法4：把五邊形分成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，然后用180?加上360?，結(jié)果得540?。
教師：你真聰明！做到了學(xué)以致用。
交流后，學(xué)生運(yùn)用幾何畫(huà)板演示并驗(yàn)證得到的方法。
得到五邊形的內(nèi)角和之后，同學(xué)們又認(rèn)真地討論起六邊形、十邊形的內(nèi)角和。類(lèi)比四邊形、五邊形的討論方法最終得出，六邊形內(nèi)角和是720?，十邊形內(nèi)角和是1440?。
（二）引申思考，培養(yǎng)創(chuàng)新
師：通過(guò)前面的討論，你能知道多邊形內(nèi)角和嗎？
活動(dòng)三：探究任意多邊形的內(nèi)角和公式。
思考：（1）多邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和的關(guān)系？
（2）多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和的關(guān)系？
（3）從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)引的對(duì)角線分三角形的個(gè)數(shù)與多邊形邊數(shù)的關(guān)系？
學(xué)生結(jié)合思考題進(jìn)行討論，并把討論后的結(jié)果進(jìn)行交流。
發(fā)現(xiàn)1：四邊形內(nèi)角和是2個(gè)180?的和，五邊形內(nèi)角和是3個(gè)180?的和，六邊形內(nèi)角和是4個(gè)180?的和，十邊形內(nèi)角和是8個(gè)180?的和。
發(fā)現(xiàn)2：多邊形的邊數(shù)增加1，內(nèi)角和增加180?。
發(fā)現(xiàn)3：一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線分三角形的個(gè)數(shù)與邊數(shù)n存在（n-2）的關(guān)系。
得出結(jié)論：多邊形內(nèi)角和公式：（n-2）·180。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，怎樣寓知識(shí)、技能、方法、思想于一個(gè)學(xué)過(guò)程中，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題。由于數(shù)學(xué)的高度抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?、結(jié)論的確定性以及應(yīng)用的廣泛性這些特征，決定了數(shù)學(xué)教學(xué)的難度。如果教師只是注重單純地傳授知識(shí)，而不注重學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和能力的培養(yǎng)，學(xué)生就會(huì)跟在老師的后面跑，整天忙忙碌碌，全是死記硬背。聽(tīng)老師講時(shí)還會(huì)，自己做時(shí)就錯(cuò)，臨到考時(shí)就蒙，這樣下去是越來(lái)越糊涂。所以，要使學(xué)生變書(shū)本知識(shí)為自己知識(shí)，就必須學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)知識(shí)的方法。下面就其怎樣使學(xué)生在原有知識(shí)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法談些教學(xué)體會(huì)。
新知識(shí)的獲得，離不開(kāi)原有認(rèn)知基矗很多新知識(shí)都是學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。因此，對(duì)于學(xué)生來(lái)講，學(xué)會(huì)怎樣在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上掌握新知識(shí)的方法是非常必要的。這就需要教師在教學(xué)中精心設(shè)計(jì)、抓住知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)、促進(jìn)正遷移的實(shí)現(xiàn)。
例如，在研究多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，可向?qū)W生提出：我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和等于180°，那么，你能根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出四邊形的內(nèi)角和嗎？這樣簡(jiǎn)單、明了的一句話就勾通了新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。問(wèn)題的提出，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促使了學(xué)生思維的展開(kāi)，提供了回答問(wèn)題的機(jī)會(huì)，創(chuàng)造了活躍的教學(xué)氣氛，學(xué)生會(huì)準(zhǔn)確地回答出四邊形的內(nèi)角和等于360°。又問(wèn)：你是根據(jù)什么說(shuō)四邊形的內(nèi)角和等于360°呢？是猜想的？還是推理得到的？學(xué)生的回答是作四邊形的對(duì)角線，將四邊形分為兩個(gè)三角形，而每個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，兩個(gè)三角形的內(nèi)角和等于360°。教師馬上對(duì)學(xué)生的回答給以肯定和鼓勵(lì)，再問(wèn)：五邊形、六邊形的內(nèi)角和等于多少度？學(xué)生很快就會(huì)回答出五邊形的內(nèi)角和等于540°，六邊形的內(nèi)角和等于720°。接著又問(wèn)：你知道十邊形、一百邊形、一千邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？這是老師故意設(shè)置“知識(shí)障礙”，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。及時(shí)引導(dǎo)、啟發(fā)、遷移、總結(jié)規(guī)律。讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)求四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和，都是從它們的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線將它們轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)求得的，并且內(nèi)角和是由從它們的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線所分得三角形的個(gè)數(shù)確定的，而三角形的個(gè)數(shù)又是由這個(gè)多邊形的邊數(shù)確定的。從而可知從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線可將n邊形分成（n－2）個(gè)三角形，所以n邊形的內(nèi)角的和等于（n－2）·180°，即得多邊形的內(nèi)角和定理。這個(gè)定理的出現(xiàn)，是教者通過(guò)設(shè)疑、引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生思維，尋求解題方法，由個(gè)性問(wèn)題追朔到共性問(wèn)題，總結(jié)出了一般規(guī)律。這樣做，不但使學(xué)生學(xué)會(huì)了在原有知識(shí)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法，又培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，還滲透了把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)研究的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。
當(dāng)學(xué)生在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上掌握了學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法和數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，對(duì)于諸如此類(lèi)的問(wèn)題就迎刃而解了。如，研究梯形中位線定理，學(xué)生很自然就會(huì)將它轉(zhuǎn)化為三角形中位線來(lái)解決。對(duì)于平行四邊形、梯形的問(wèn)題學(xué)生也很容易就想到轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)來(lái)研究。又如，對(duì)于解二元二次方程組，學(xué)生根據(jù)已學(xué)過(guò)的解一元二次方程等知識(shí)，自然就會(huì)想到通過(guò)消元將原方程組轉(zhuǎn)為一元二次方程來(lái)解之，或?qū)⒍畏匠探M通過(guò)降次轉(zhuǎn)化為一次方程或有一個(gè)一次方程和一個(gè)二次方程組來(lái)解決。對(duì)于分式方程要通過(guò)去分母或換元轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解。對(duì)于無(wú)理方程需把方程兩邊乘方或換元化為有理方程來(lái)解。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只要做到精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，科學(xué)的提出問(wèn)題，采取得體的教學(xué)方法、適時(shí)疏導(dǎo)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用自己的語(yǔ)言對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括和總結(jié)，以知識(shí)講方法，以方法取知識(shí)，就能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，達(dá)到開(kāi)發(fā)學(xué)生智力、提高學(xué)生能力的目的。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，怎樣寓知識(shí)、技能、方法、思想于一個(gè)學(xué)過(guò)程中，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題。由于數(shù)學(xué)的高度抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?、結(jié)論的確定性以及應(yīng)用的廣泛性這些特征，決定了數(shù)學(xué)教學(xué)的難度。如果教師只是注重單純地傳授知識(shí)，而不注重學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和能力的培養(yǎng)，學(xué)生就會(huì)跟在老師的后面跑，整天忙忙碌碌，全是死記硬背。聽(tīng)老師講時(shí)還會(huì)，自己做時(shí)就錯(cuò)，臨到考時(shí)就蒙，這樣下去是越來(lái)越糊涂。所以，要使學(xué)生變書(shū)本知識(shí)為自己知識(shí)，就必須學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)知識(shí)的方法。下面就其怎樣使學(xué)生在原有知識(shí)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法談些教學(xué)體會(huì)。
新知識(shí)的獲得，離不開(kāi)原有認(rèn)知基矗很多新知識(shí)都是學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。因此，對(duì)于學(xué)生來(lái)講，學(xué)會(huì)怎樣在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上掌握新知識(shí)的方法是非常必要的。這就需要教師在教學(xué)中精心設(shè)計(jì)、抓住知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)、促進(jìn)正遷移的實(shí)現(xiàn)。
例如，在研究多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，可向?qū)W生提出：我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和等于180°，那么，你能根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出四邊形的內(nèi)角和嗎？這樣簡(jiǎn)單、明了的一句話就勾通了新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。問(wèn)題的提出，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促使了學(xué)生思維的展開(kāi)，提供了回答問(wèn)題的機(jī)會(huì)，創(chuàng)造了活躍的教學(xué)氣氛，學(xué)生會(huì)準(zhǔn)確地回答出四邊形的內(nèi)角和等于360°。又問(wèn)：你是根據(jù)什么說(shuō)四邊形的內(nèi)角和等于360°呢？是猜想的？還是推理得到的？學(xué)生的回答是作四邊形的對(duì)角線，將四邊形分為兩個(gè)三角形，而每個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，兩個(gè)三角形的內(nèi)角和等于360°。教師馬上對(duì)學(xué)生的回答給以肯定和鼓勵(lì)，再問(wèn)：五邊形、六邊形的內(nèi)角和等于多少度？學(xué)生很快就會(huì)回答出五邊形的內(nèi)角和等于540°，六邊形的內(nèi)角和等于720°。接著又問(wèn)：你知道十邊形、一百邊形、一千邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？這是老師故意設(shè)置“知識(shí)障礙”，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。及時(shí)引導(dǎo)、啟發(fā)、遷移、總結(jié)規(guī)律。讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)求四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和，都是從它們的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線將它們轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)求得的，并且內(nèi)角和是由從它們的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線所分得三角形的個(gè)數(shù)確定的，而三角形的個(gè)數(shù)又是由這個(gè)多邊形的邊數(shù)確定的。從而可知從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線可將n邊形分成（n－2）個(gè)三角形，所以n邊形的內(nèi)角的和等于（n－2）·180°，即得多邊形的內(nèi)角和定理。這個(gè)定理的出現(xiàn)，是教者通過(guò)設(shè)疑、引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生思維，尋求解題方法，由個(gè)性問(wèn)題追朔到共性問(wèn)題，總結(jié)出了一般規(guī)律。這樣做，不但使學(xué)生學(xué)會(huì)了在原有知識(shí)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法，又培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，還滲透了把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)研究的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。
當(dāng)學(xué)生在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上掌握了學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法和數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，對(duì)于諸如此類(lèi)的問(wèn)題就迎刃而解了。如，研究梯形中位線定理，學(xué)生很自然就會(huì)將它轉(zhuǎn)化為三角形中位線來(lái)解決。對(duì)于平行四邊形、梯形的問(wèn)題學(xué)生也很容易就想到轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)來(lái)研究。又如，對(duì)于解二元二次方程組，學(xué)生根據(jù)已學(xué)過(guò)的解一元二次方程等知識(shí)，自然就會(huì)想到通過(guò)消元將原方程組轉(zhuǎn)為一元二次方程來(lái)解之，或?qū)⒍畏匠探M通過(guò)降次轉(zhuǎn)化為一次方程或有一個(gè)一次方程和一個(gè)二次方程組來(lái)解決。對(duì)于分式方程要通過(guò)去分母或換元轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解。對(duì)于無(wú)理方程需把方程兩邊乘方或換元化為有理方程來(lái)解。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只要做到精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，科學(xué)的提出問(wèn)題，采取得體的教學(xué)方法、適時(shí)疏導(dǎo)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用自己的語(yǔ)言對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括和總結(jié)，以知識(shí)講方法，以方法取知識(shí)，就能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，達(dá)到開(kāi)發(fā)學(xué)生智力、提高學(xué)生能力的目的。
1 引發(fā)探索
教育家布魯納說(shuō)過(guò)：“探索是數(shù)學(xué)的生命線?！?學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程不能是被動(dòng)地吸收課本上的現(xiàn)成結(jié)論，而是學(xué)生親自參與的充滿(mǎn)豐富生活的思維活動(dòng)，經(jīng)歷一個(gè)探索、實(shí)踐和創(chuàng)新的過(guò)程。在學(xué)習(xí)枯燥的數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師如何讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生興趣，處于思考的最佳狀態(tài)，可以有如下的方法。
1.1 創(chuàng)設(shè)情境、引發(fā)探索。 學(xué)生在真實(shí)情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的興趣與好奇心。在教學(xué)《圓的認(rèn)識(shí)》一課，我先用談話的方式問(wèn)學(xué)生“生活中哪些地方可以見(jiàn)到圓形？”，讓學(xué)生想一想、說(shuō)一說(shuō)，再用多媒體出示了生活中常見(jiàn)的情境，“下水道井蓋是圓形的、各式各樣車(chē)的輪胎也都是圓形的……”。這樣就引發(fā)學(xué)生思考，為什么人們要把這些東西做成圓形的呢？
1.2 矛盾質(zhì)疑、引發(fā)探索。 “學(xué)起于思，思源于疑”。學(xué)生有了疑問(wèn)才會(huì)去進(jìn)一步思考問(wèn)題，有所創(chuàng)造。在教學(xué)了“什么樣的數(shù)可以被2、5整除”后，學(xué)生很自然地對(duì)“什么樣的數(shù)可以被3整除”這個(gè)問(wèn)題感興趣。而尋找“被3整除的數(shù)”的方法與“被2、5整除的數(shù)”的方法又有所不同，學(xué)生遭遇了理智的挑戰(zhàn)，從而更積極地參與新問(wèn)題的探索與創(chuàng)新過(guò)程。
1.3 發(fā)現(xiàn)猜想、引發(fā)探索。 蘇霍姆林斯基曾說(shuō)：“人的心靈深處，總有一種把自己當(dāng)作發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者固有需要，……” 在教學(xué)時(shí)讓學(xué)生自主質(zhì)疑，去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，大膽猜想，使學(xué)生由機(jī)械接受向主動(dòng)探索發(fā)展，更有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造個(gè)性。例如：在教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，先讓學(xué)生通過(guò)測(cè)量計(jì)算多個(gè)不同三角形的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和在180度左右，學(xué)生猜想“三角形的內(nèi)角和是180度”。師：“你們的猜想很大膽、也非常有可能性，那么誰(shuí)能想到方法驗(yàn)證你們的猜想呢？”這樣引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索三角形內(nèi)角和的度數(shù)。
2 認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)
概念是思維形式之一，也是判斷和推理的起點(diǎn)，學(xué)生有了正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，就有助于掌握基礎(chǔ)知識(shí)，提高運(yùn)算和解題技能。如果沒(méi)有正確的概念，就不可能有正確的判斷和推理，更談不上邏輯思維能力的培養(yǎng)。并且概念教學(xué)對(duì)發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力起重要作用。
2.1 認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)概念的定義過(guò)程。 概念的形成過(guò)程，蘊(yùn)藏著向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法、訓(xùn)練思維的好機(jī)會(huì)。在教學(xué)平行四邊形、梯形的概念時(shí)，我先出示多種四邊形，如圖：
讓學(xué)生想一想，這些四邊形我們根據(jù)它們的特征可以怎樣來(lái)分類(lèi)呢？生根據(jù)直角來(lái)分，分為4個(gè)內(nèi)角都是直角的四邊形、有2個(gè)內(nèi)角是直角的四邊形、四個(gè)內(nèi)角都不是直角的四邊形。如圖：
生根據(jù)邊長(zhǎng)來(lái)分，分為4條邊都一樣長(zhǎng)的四邊形、有2組對(duì)邊分別相等的四邊形、其它四邊形。如圖：
生根據(jù)平行情況來(lái)分，分為兩組對(duì)邊分別平行的四邊形、只有一組對(duì)邊平行的四邊形、對(duì)邊都不平行的四邊形。如圖：
學(xué)生通過(guò)以上的學(xué)習(xí)過(guò)程，在學(xué)習(xí)平行四邊形的概念時(shí)有了更深刻的認(rèn)識(shí)?！皟山M對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”、“只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫做梯形”，這兩個(gè)概念是按照四邊形的兩組對(duì)邊平行情況來(lái)定義的。
2.2 認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)概念的內(nèi)涵。
從材料感性認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵
為了使學(xué)生順利地獲取有關(guān)概念，我們?cè)跀?shù)學(xué)概念教學(xué)中要根據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，在教學(xué)過(guò)程中要提供與學(xué)生思維水平和原有感性經(jīng)驗(yàn)相吻合的感性材料，讓學(xué)生通過(guò)看、聽(tīng)、觸等多種感官對(duì)概念的個(gè)別屬性及聯(lián)系進(jìn)行多方面的感知。如教學(xué)《圓柱》時(shí)，學(xué)生通過(guò)看、摸許多圓柱模型感知圓柱的外形特征；通過(guò)動(dòng)手剪，將圓柱各部分展開(kāi)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓柱的基本構(gòu)成；再通過(guò)動(dòng)手畫(huà)，感知圓柱的高。
從本質(zhì)屬性認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵
理解概念，要能舉出概念所反映的現(xiàn)實(shí)原型，明確概念的內(nèi)涵與外延，即明確概念所反映的一類(lèi)事物的共同本質(zhì)屬性，和概念所反映的全體對(duì)象。例如：乘法分配律，它的概念原型是(a+b)×c=a×c+b×c，那么a×(b±c)=a×b±a×c、 a×c±b×c = (a±b)×c、a×c±c×b = (a±b)×c這些都是乘法分配律的變形。同時(shí)學(xué)生還應(yīng)該會(huì)區(qū)分a+b×c≠a×c+b×c、a+c×b+c≠(a+b)×c.。另外還有一些拆分的情況，如：35×201＝35×（200＋1）＝35×200＋35。
2.3 認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)概念的意義用途。 真正要學(xué)好一個(gè)數(shù)學(xué)概念，并不是簡(jiǎn)單的字面理解，而是要懂得這個(gè)概念的實(shí)際意義，學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用。